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19．微专题：阅读理解问题【河北热点】1．阅读下面的材料：分解因式：x 2＋2x －3.解：原式＝x 2＋2x ＋1－1－3＝(x 2＋2x ＋1)－4＝(x ＋1)2－4＝(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝(x ＋3)(x －1)．上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：(1)x 2－4x ＋3；(2)4x 2＋12x －7.2．△ABC 的面积是60，请完成以下问题：(1)如图①，假设AD 是△ABC 的BC 边上的中线，那么△ABD 的面积________△ACD的面积(填“＞〞“＜〞或“＝〞)；(2)如图②，假设CD 、BE 分别是△ABC 的AB 、AC 边上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法：连接AO ，由AD ＝DB 得S △ADO ＝S △BDO ，同理：S △CEO ＝S △AEO .设S △ADO＝x ，S △CEO ＝y ，那么S △BDO ＝x ，S △AEO △ABE ＝12S △ABC ＝30，S △ADC ＝12S △ABC ＝30，可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝30，x ＋2y ＝30，解得________，通过解这个方程组可得四边形ADOE 的面积为________； (3)如图③，假设AD ∶DB ＝1∶3，CE ∶AE ＝1∶2，请你计算四边形ADOE 的面积．3．一般地，n个相同的因数a相乘a·a·…·a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28＝3)．一般地，假设a n＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，那么n叫做以a为底b的对数，记为log a b(即log a b＝n)．如34＝81，那么4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381＝4)．(1)计算以下各对数的值：log24＝________；log216＝________；log264＝________；(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？(4)根据幂的运算法那么：a n·a m＝a n＋m以及对数的含义说明上述结论．参考答案与解析1．解：(1)x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)．(2)4x2＋12x－7＝4x2＋12x＋9－9－7＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．2．解：(1)＝(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝10 20 (3)如图③，连接AO .∵AD ∶DB ＝1∶3，∴S △ADO ＝13S △BDO .∵CE ∶AE ＝1∶2，∴S △CEO ＝12S △AEO .设S △ADO ＝x ，S △CEO ＝y ，那么S △BDO ＝3x ，S △AEO ＝2y .由题意得S △ABE ＝23S △ABC ＝40，S △ADC ＝14S △ABC ＝15，可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝15，4x ＋2y ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝2.∴S 四边形ADOE ＝S △ADO ＋S △AEO ＝x ＋2y ＝13.3．解：(1)2 4 6(2)由题意可得4×16＝64，log 24、log 216、log 264之间满足的关系式是log 24＋log 216＝log 264.(3)猜测的结论是：log a M ＋log a N ＝log a MN .(4)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，∴M ＝a m ，N ＝a n ，∴MN ＝a m ＋n ，∴log a MN ＝m ＋n ，∴log a M＋log a N ＝log a MN .。
（2022•河北中考）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意3×120＝x﹣120 B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤【解析】选B．由题意得出等量关系为：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和＝21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，∴20x+3×120＝（20+1）x+120，∴A选项不正确，B选项正确；由题意：大象的体重为20×240+360＝5160斤，∴C选项不正确；由题意可知：一块条形石的重量＝2个搬运工的体重，∴每块条形石的重量是240斤，∴D选项不正确.（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ 4 ；（2）设甲盒中都是黑子，共m（m＞2）个，乙盒中都是白子，共2m个．嘉嘉从甲盒拿出a（1＜a＜m）个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多（m+2a）个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x（0＜x＜a）个白子，此时乙盒中有y个黑子，则yx的值为 1 ．【解析】（1）依题意有：a+8＝2（10﹣a），解得a＝4．答案：4；（2）依题意有：2m+a﹣（m﹣a）＝（m+2a）个，y＝a﹣（a﹣x）＝a﹣a+x＝x，yx =xx=1．答案：（m+2a），1．（2022•乐山中考）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为10 ．【解析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，解得：x＝2，∴5x＝5×2＝10，即正方形d的边长为10．答案：10列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m n＝1．【解析】设右下角方格内的数为x，根据题意可知：x﹣4+2＝x﹣2+n，解得n＝0，∴m n＝m0＝1（m≠0）．答案：1．。
（2022•泰安中考）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（）A．最高成绩是9.4环B．平均成绩是9环C．这组成绩的众数是9环D．这组成绩的方差是8.7【解析】选D．由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；平均成绩是110×（9.4×2+8.4+9.2×2+8.8+9×3+8.6）＝9（环），故选项B不合题意；这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；这组成绩的方差是110×[2×（9.4﹣9）2+（8.4﹣9）2+2×（9.2﹣9）2+（8.8﹣9）2+3×（9﹣9）2+（8.6﹣9）2]＝0.096，故选项D符合题意2（2022•南充中考）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解析】选B．由统计图可知，平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是（9+9）÷2＝9（2022•广元中考）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（）A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8（2022•乐山中考）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（）A．88 B．90 C．91 D．92【解析】选C．李老师的综合成绩为：90×30%+92×60%+88×10%＝91（分）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解析】选D．由图可得：≈5，x A=4.9+5+5+5+5+5.1+5.17≈5，x B=4.4+5+5+5+5.2+5.3+5.47故反映出这两组数据之间差异不能反映出这两组数据之间差异，故选项A不符合题意；A和B的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项B和C不符合题意；由图象可得，A种数据波动小，比较稳定，B种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据之间差异，故选项D 符合题意（2022•雅安中考）在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（）A．9.3，9.6B．9.5，9.4C．9.5，9.6D．9.6，9.8【解析】选C．这10次射击成绩从小到大排列是：8.8，9.0，9.2，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，9.8，∴中位数是（9.4+9.6）÷2＝9.5（环），9.6出现的次数最多，故众数为9.6环．（2022•抚顺中考）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（）A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数【解析】选A.由图可得，甲射击10次的成绩分别为5，6，6，7，5，6，6，6，7，6；乙射击10次的成绩分别为9，5，3，6，9，10，4，7，8，9．甲的成绩起伏比乙的成绩起伏小，故A正确，符合题意；甲的众数是6，乙的众数是9，故B错误，不符合题意；甲的平均数为110×（5+6+6+7+5+6+6+6+7+6）＝6，乙的平均数为110×（9+5+3+6+9+10+4+7+8+9）＝7，故C错误，不符合题意；甲的中位数是6，乙的中位数是7.5，故D错误，不符合题意．（2022•扬州中考）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2＞S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）【解析】图表数据可知，甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，即甲的波动性较大，即方差大．答案：＞乙 28 25 26 24 22 25则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．【解析】甲的方差为：S 甲2=15[（32﹣25）2+（30﹣25）2+（25﹣25）2+（18﹣25）2+（20﹣25）2]＝29.6；乙的方差为：S 乙2=15[（28﹣25）2+（25﹣25）2+（26﹣25）2+（24﹣25）2+（22﹣25）2]＝4．∵29.6＞4，∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙． 答案：乙②87③94④91⑤90（专业评委给分统计表）记“专业评委给分”的平均数为x．（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；（2）对于该作品，问x的值是多少？（3）记“民主测评得分”为y，“综合得分”为S，若规定：①y=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；②S＝0.7x+0.3y．求该作品的“综合得分”S的值．【解析】（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50﹣40＝10（张），答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；（2）x=（88+87+94+91+90）÷5＝90（分）；答：x的值是90分；（3）①y=40×3+10×（﹣1）＝110（分）；②∵S＝0.7x+0.3y＝0.7×90+0.3×110＝96（分）．答：该作品的“综合得分”S的值为96分【解析】（1）a＝（1﹣20%﹣10%−410）×100＝30，∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，∴m=92+942=93；∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，∴b＝96，答案：30，96，93；（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×6+320=540（人），答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人（2022•河北中考）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．【解析】由题意得，甲三项成绩之和为：9+5+9＝23（分），乙三项成绩之和为：8+9+5＝22（分），∵23＞22，∴会录用甲；（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9×120360+5×360−120−60360+9×60360＝3+2.5+1.5＝7（分），三项成绩之加权平均数为：8×120360+9×360−120−60360+5×60360=83+4.5+56＝8（分），∵7＜8，∴会改变（1）的录用结果．（2022•天津中考）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为40 ，图①中m的值为10 ；（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．【解析】（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：13÷32.5%＝40（人），m%=440×100%＝10%，即m＝10；答案：40，10；（Ⅱ）这组项数数据的平均数是：140×（1×13+2×18+3×5+4×4）＝2（项）；∵2出现了18次，出现的次数最多，∴众数是2项；把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，（2022•广东中考）为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8（1）补全月销售额数据的条形统计图．（2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？（3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销额定为多少合适？【解析】（1）补全统计图，如图，；（2）根据条形统计图可得，众数为：4，中位数为：7，平均数为：3×1+4×4+5×2+7×1+8×2+10×3+18×115=7（3）应确定销售目标为7万元，要让一半以上的销售人员拿到奖励．理由．【解析】（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故m=3.7+3.82=3.75；10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；答案：3.75；2.0；（2）∵0.0424＜0.0669，∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是2.0，众数是2.0，∴B同学说法合理．答案：B；（3）∵一片长11cm，宽5.6cm的树叶，长宽比接近2，∴这片树叶更可能来自荔枝．C（30≤m＜40）xD（40≤m＜50）80E（50≤m≤60）y请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）求x的值；（2）这组数据的中位数所在的等级是D；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．【解析】（1）由题意得x＝200×20%＝40；（2）把200个学生平均每天阅读时间从小到大排列，排在中间的两个数均落在D等级，答案：D；（3）被抽查的200人中，不低于50分钟的学生有200﹣5﹣10﹣40﹣80＝65（人），1800×65200=585（人），答：估计受表扬的学生有585人．。
（2022•泰州中考）如图，在长为50m 、宽为38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m 2，道路的宽应为多少？【解析】设路宽应为x 米根据等量关系列方程得：（50﹣2x ）（38﹣2x ）＝1260，解得：x ＝4或40，40不合题意，舍去，所以x ＝4.答：道路的宽应为4米．（2022·牡丹江中考）如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x +48＝0的两个实数根．（1）求C 点坐标；（2）求直线MN 的解析式；（3）在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．【解析】（1）解方程x 2﹣14x +48＝0得x 1＝6，x 2＝8．∵OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x +48＝0的两个实数根，∴OC ＝6，OA ＝8．∴C （0，6）；（2）设直线MN 的解析式是y ＝kx +b （k ≠0）．由（1）知，OA ＝8，则A （8，0）．∵点A 、C 都在直线MN 上，∴{8k +b =0b =6，解得，{k =−34b =6，∴直线MN 的解析式为y =−34x +6； （3）∵A （8，0），C （0，6），∴根据题意知B （8，6）．∵点P 在直线MN ：y =−34x +6上，∴设P （a ，−34a +6）当以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC ＝PB 时，点P 是线段BC 的中垂线与直线MN 的交点，则P 1（4，3）； ②当PC ＝BC 时，a 2+（−34a +6﹣6）2＝64，解得，a =±325，则P 2（−325，545），P 3（325，65）； ③当PB ＝BC 时，（a ﹣8）2+（34a ﹣6+6）2＝64，解得，a =25625，则−34a +6=−4225，∴P 4（25625，−4225）． 综上所述，符合条件的点P 有：P 1（4，3），P 2（−325，545），P 3（325，65），P 4（25625，−4225）．。
（2022•云南中考）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【解析】选D．∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意.（2022•金华中考）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解析】选B．在△AOB和△DOC中，{OA=OD∠ADB=∠DOCOB=OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），（2022•扬州中考）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【解析】选C．A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意（2022•成都中考）如图，在△ABC 和△DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC ∥DF ，AC ＝DF ，只添加一个条件，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC ＝DEB ．AE ＝DBC ．∠A ＝∠DEFD ．∠ABC ＝∠D【解析】选B ．∵AC ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝DF ，∴当添加∠C ＝∠F 时，可根据“ASA ”判定△ABC ≌△DEF ；当添加∠ABC ＝∠DEF 时，可根据“AAS ”判定△ABC ≌△DEF ；当添加AB ＝DE 时，即AE ＝BD ，可根据“SAS ”判定△ABC ≌△DEF ．（2022•黄冈中考）如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，请你添加一个条件 ∠A ＝∠D ，使△ABC ≌△DEF ．【解析】添加条件：∠A ＝∠D ．∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠DAB =DE ∠B =∠DEC，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）.答案：∠A ＝∠D ．（答案不唯一）（2022•龙东中考）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OC ，请你添加一个条件 OB＝OD （答案不唯一） ，使△AOB ≌△COD ．【解析】添加的条件是OB ＝OD ，理由是：在△AOB 和△COD 中，{AO =CO∠AOB =∠COD BO =DO，∴△AOB ≌△COD （SAS ）.答案：OB ＝OD （答案不唯一）．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD．【解析】由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD，答案：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．∴① ∠ADC ＝∠F ．∵EF ∥BC ，∴② ∠1＝∠2 ．又∵③ AC ＝AC ，∴△ADC ≌△CFA （AAS ）．同理可得：④ △ADB ≌△BEA （AAS ） ．S △ABC ＝S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah ．【解析】证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°．∵∠F ＝90°，∴∠ADC ＝∠F ，∵EF ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵AC ＝AC ，在△ADC 与△CFA 中，{AC =AC∠1=∠2∠ADC =∠F，∴△ADC ≌△CFA （AAS ）．同理可得：④△ADB ≌△BEA （AAS ），∴S △ABC ＝S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah ．答案：①∠ADC ＝∠F ，②∠1＝∠2，③AC ＝AC ，④△ADB ≌△BEA （AAS ）．（2022•宜宾中考）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ．求证：AD ＝CF ．（2022•乐山中考）如图，B 是线段AC 的中点，AD ∥BE ，BD ∥CE ．求证：△ABD ≌△BCE ．【解析】∵点B 为线段AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠EBC ，∵BD ∥CE ，∴∠C ＝∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中{∠A =∠EBCAB =BC ∠DBA =∠C，∴△ABD ≌△BCE ．（ASA ）（2022•衡阳中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是BC 边上的点，且BD ＝CE ．求证：AD ＝AE ．【解析】：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC∠B =∠C BD =CE，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE（2022•陕西中考）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．【解析】：∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ，在△CDE 和△ABC 中，{∠EDC =∠BCD =AB ∠DCE =∠A，（2022•桂林中考）如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．（1）求证：BE＝DF；（2）求证：△ABE≌△CDF．【证明】（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，且AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF．∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2022•玉林中考）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB ＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究△ABD与△ACD全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？全等（填“全等”或“不全等”），理由是三边对应相等的两个三角形全等；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．【解析】（1）在△ABD和△ACD中，{AB=ACAD=ADDB=DC，∴△ABD≌△ACD（SSS）．答案：全等，三边对应相等的两个三角形全等；（2）树状图：所有可能出现的结果（①②）（①③）（②①）（②③）（③①）（③②）共有六种等可能的情况，符合条件的有（①②）（①③）（②①）（③①）有四种，令△ABD ≌△ACD 为事件A ，则P （A ）=23．（2022•福建中考）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．【证明】∵BF ＝EC ，∴BF +CF ＝EC +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠A ＝∠D ． （2022•长沙中考）如图，AC 平分∠BAD ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，垂足分别为B ，D ．（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）若AB ＝4，CD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【解析】（1）∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，{∠B =∠D∠BAC =∠DAC AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC =12AB •BC =12×4×3＝6， ∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12.答：四边形ABCD 的面积是12．（2022•吉林中考）如图，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ．求证：BD ＝CD ．【解析】在△ABD 与△ACD 中，{AB =AC∠BAD =∠CAD AD =AD，。
（2022•桂林中考）桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（）A．甲大巴比乙大巴先到达景点B．甲大巴中途停留了0.5hC．甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴D．甲大巴停留前的平均速度是60km/h【解析】选C．由图象可得，甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项A正确，不符合题意；甲大巴中途停留了1﹣0.5＝0.5（h），故选项B正确，不符合题意；甲大巴停留后用1.5﹣1＝0.5h追上乙大巴，故选项C错误，符合题意；甲大巴停留前的平均速度是30÷0.5＝60（km/h），故选项D正确，不符合题意．（2022•玉林中考）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（）A．兔子和乌龟比赛路程是500米B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟C．兔子比乌龟多走了50米D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点【解析】选C．A.“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；B.乌龟在途中休息了35﹣30＝5（分钟），兔子在途中休息了50﹣10＝40（分钟），兔子比乌龟多休息了35分钟，原说法正确，故此选项不符合题意；（2022•江西中考）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等【解析】选D．由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误. （2022•温州中考）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A． B． C． D．【解析】选A．由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误.（2022•重庆中考A卷）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A．5m B．7m C．10m D．13m【解析】选D．观察图象，当t＝3时，h＝13，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m.A．3时B．6时C．9时D．12时【解析】选C．由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为9时.（2022•河北中考）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是（）A． B． C． D．，【解析】选C．∵一个人完成需12天，∴一人一天的工作量为112∵m个人共同完成需n天，∴一人一天的工作量为1，mn∵每人每天完成的工作量相同，∴mn＝12．，∴n是m的反比例函数，∴选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是：C．∴n=12m1301 （2022•宜昌中考）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）m/min D．20m/minA．50m/min B．40m/min C．2007【解析】选D．由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，=20（m/min）.∴这一时间段小强的步行速度为2000−120070−30（2022•武汉中考）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A． B． C． D．【解析】选D.注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平缓，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为选项D.体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是（）A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5kmC．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min【解析】选B.由图象知，A.张强从家到体育场用了15min，故A选项不符合题意；B.体育场离文具店2.5﹣1.5＝1（km），故B选项符合题意；C.张强在文具店停留了65﹣45＝20（min），故C选项不符合题意；D.张强从文具店回家用了100﹣65＝35（min），故D选项不符合题意.（2022•乐山中考）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少【解析】选D．由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8÷10＝0.08（千米/分），乙的速度是1.2÷10＝0.12（千米/分），∴甲比乙的速度慢，故A正确，不符合题意；经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，不符合题意；∵甲40分钟走了3.2千米，∴甲的平均速度为3.2÷40＝0.08（千米/分钟），故C正确，不符合题意；∵经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，∴甲比乙走过的路程多，故D错误，符合题意A．B．C．D．【解析】选D．过D点作DE⊥AC于点E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE＝CE=12AC＝3，∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴ACAD=ABAE，∴6y=x3，∴y=18 x，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6（2022•台州中考）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【解析】选C．吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小B．当K＝0时，R1的阻值为100C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态【解析】选C．由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL），∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；由图2知，当R1＝20时，K＝40，∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意.（2022•永州中考）学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y 与x关系的是（）A．B．C．D．【解析】选A．根据已知0≤x≤30时，y随x的增大而增大，当30＜x≤90时，y是一个定值，当90＜x≤135时，y随x的增大而减小，∴能大致反映y与x关系的是A.（2022•雅安中考）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A．B．C．D．（2022•毕节中考）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（）A．汽车在高速路上行驶了2.5hB．汽车在高速路上行驶的路程是180kmC．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/hD．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h【解析】选D．∵3.5h到达目的地，在乡村道路上行驶1h，∴汽车下高速公路的时间是2.5h，∴汽车在高速路上行驶了2.5﹣0.5＝2（h），故A错误，不符合题意；由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是180﹣30＝150（km），故B错误，不符合题意；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2＝75（km/h），故C错误，不符合题意；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220﹣180）÷1＝40（km/h），故D正确，符合题意．（2022•哈尔滨中考）一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（）A．150km B．165km C．125km D．350km【解析】选A．当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km）.A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【解析】选D．由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵12×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项也不正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝2+6＝8，∴D选项的结论正确.（2022•仙桃中考）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解析】选A．随着t的增加，s由大变小，所以排除B；由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变大，所以排除D；由于t是匀速，所以就对称，所以可以排除C；所以只剩下选项A．（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A ．2.7分钟B ．2.8分钟C ．3分钟D ．3.2分钟【解析】选C ．由图象可得，小明的速度为a12米/分钟，爸爸的速度为：a (12−4)÷2=a4（米/分钟）， 设小明出发m 分钟两人第一次相遇，出发n 分钟两人第二次相遇，a12m ＝（m ﹣4）•a 4，a 12n +a 4[n ﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a ， 解得m ＝6，n ＝9，n ﹣m ＝9﹣6＝3．（2022·遵义中考）遵义市某天的气温y 1（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化如图所示，设y 2表示0时到t 时气温的值的极差（即0时到t 时范围气温的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】选A ．因为极差是该段时间内的最大值与最小值的差．所以当t 从0到5时，极差逐渐增大；t 从5到气温为25℃时，极差不变；当气温从25℃到28℃时极差达到最大值．直到24时都不变．只有A 符合.（2022•临沂中考）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（）A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上B．A城与B城的距离是300kmC．乙车的平均速度是80km/hD．甲车比乙车早到B城【解析】选D．由题意可知，A城与B城的距离是300km，故选项B不合题意；甲车的平均速度是：300÷5＝60（km/h），乙车的平均速度是：300÷（4﹣1）＝80（km/h），故选项C不合题意；设乙车出发x小时后追上甲车，则60（x+1）＝80x，解得x＝3，60×4＝240（km），即甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上，故选项A不合题意；由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意．（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为．（2022•威海中考）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是1．【解析】当x＞0时，1x+1＝2，解得x＝1．当x≤0时，2x﹣1＝2，解得x＝1.5，因为1.5＞0，舍去．所以x＝1．答案：1．家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是①③④．（填写所有正确结论的序号）①体育场离王强家2.5km②王强在体育场锻炼了30min③王强吃早餐用了20min④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min【解析】由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场2.5千米，用时15分钟跑步到达，∴①的结论正确；由图象中的折线中的第一段可知：王强从第15分钟开始锻炼，第30分钟结束，∴王强锻炼的时间为：30﹣15＝15（分钟），∴②的结论不正确；由图象中的折线中的第三段可知：王强从第30中开始回家，第67分钟到家；由图象中的折线中的第四段可知：王强从第67分钟开始吃早餐，第87分钟结束，∴王强吃早餐用时：87﹣67＝20（分钟），∴③的结论正确；由图象中的折线中的第四段可知：王强从第87分钟开始骑车去往3千米外的学校，第102分钟到达学校，∴王强骑自行车用时为：102﹣87＝15（分钟），∴王强骑自行车的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）∴④的结论正确．综上，结论正确的有：①③④，答案：①③④．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x ．【解析】（1）函数的图象如图所示：根据图象可知：选择函数y ＝kx +b ，将（0，1），（1，2）代入得{b =1k +b =2，解得{k =1b =1，∴函数表达式为：y ＝x +1（0≤x ≤5）； （2）当y ＝5时，x +1＝5，∴x ＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x 为4小时.【解析】（1）①如图：②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；②当x＝14时，y有最小值为80；（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．（2022•天津中考）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112离学生公寓的距离/km0.5 0.8 1.2 1.6 2（Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为0.8 km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为0.25 km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为10或116 min．（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．0.08x−5.36(82＜x≤92)（2022•陕西中考）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …输出y…﹣6 ﹣2 2 6 16 …根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为8 ；（2）求k，b的值；（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．【解析】（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，。
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·浙江温州）计算的结果是A．6 B．C．3D．2．（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（）A． B． C． D．3．（2022·陕西）计算：（）A．B．C．D．4．（2022·浙江嘉兴）计算a2·a（）A．a B．3a C．2a2D．a35．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．6．（2022·江西）下列计算正确的是（）A． B． C． D．7．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积8．（2022·浙江温州）化简的结果是（）A．B．C．D．9．（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．1210．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（）A． B． C． D．11．（2022·云南）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x，9x，……，第n个单项式是（）A．(2n-1)B．(2n+1)C．(n-1)D．(n+1)12．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．913．（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于的是（）A．B．C．D．14．（2022·四川成都）下列计算正确的是（）A． B． C． D．15．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（）A．B．C．D．16．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．4117．（2022·湖南湘潭）下列整式与为同类项的是（）A．B．C．D．18．（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（）A．B．C．D．19．（2022·重庆）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3二．填空题20．（2022·江苏苏州）已知，，则______．21．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．22．（2022·四川乐山）已知，则______．23．（2022·湖南邵阳）已知，则_________．24．（2022·天津）计算的结果等于___________．25．（2022·江苏扬州）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．26．（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．27．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．28．（2022·山东滨州）若，，则的值为_______．29．（2022·山东泰安）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）30．（2022·四川德阳）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．31．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____．32．（2022·湖南怀化）因式分解：_____．33．（2022·浙江绍兴）分解因式：＝ ______．34．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________．35．（2022·江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．36．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．（1）若a，b是整数，则的长是___________；（2）若代数式的值为零，则的值是___________．37．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．38．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，24 68 10 1214 16 18 20……则第27行的第21个数是______．三．解答题39．（2022·江苏苏州）已知，求的值．40．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？41．（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：，其中，．42．（2022·浙江金华）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当时，该小正方形的面积是多少？43．（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．44．（2022·浙江丽水）先化简，再求值：，其中．45．（2022·重庆）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．46．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵，∴247是13的“和倍数”．又如：∵，∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A．47．（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；③当a＝3时，352＝1225＝；……(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·浙江温州）计算的结果是A．6 B．C．3D．【答案】A【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【详解】解：．故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．2．（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；，故C符合题意；，故D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．3．（2022·陕西）计算：（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．4．（2022·浙江嘉兴）计算a2·a（）A．a B．3a C．2a2D．a3【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．【详解】解：故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键．5．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．【详解】解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；B. ，和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；C. ，根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．6．（2022·江西）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和的应用是解题的关键．7．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积【答案】C【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x、y的已知条件，分别用x、y列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．【详解】根据题意可知，四边形EFGH是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH边长为y，则长方形的宽为x-y，所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG==2xy，所以根据题意，已知条件为xy的值，A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH的面积=y2，根据条件无法求出，不符合题意；C.的面积=，根据条件可以求出，符合题意；D.的面积=，根据条件无法求出，不符合题意；故选 C．【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．8．（2022·浙江温州）化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．9．（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．10．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．【详解】解：A、，原式计算正确；B、，原式计算错误；C、，原式计算错误；D、，原式计算错误；故选：A．【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2022·云南）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x，9x，……，第n个单项式是（）A．(2n-1)B．(2n+1)C．(n-1)D．(n+1)【答案】A【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．12．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．13．（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；B．，符合题意；C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；D．，不符合题意，故选B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．14．（2022·四川成都）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；B.，故该选项错误，不符合题意；C.，故该选项错误，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．15．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．【详解】解：A、，该选项错误；B、，该选项错误；C、，该选项正确；D、，该选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．17．（2022·湖南湘潭）下列整式与为同类项的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．18．（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】通过，判断A选项不正确；C选项中、不是同类项，不能合并；D 选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确．【详解】A. ，故A不正确；B. ，故B正确；C. ，故C不正确；D. ，故D不正确；故选B．【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．19．（2022·重庆）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵∴①说法正确∵又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是、、、；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是、、；当括号中有四个字母，共有1种情况，∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．20．（2022·江苏苏州）已知，，则______．【答案】24【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：24．【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键．21．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．【答案】5【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=c，∴d=2b+c=c，则c=d，∴4d+d =26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．22．（2022·四川乐山）已知，则______．【答案】【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解：，，即，，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．23．（2022·湖南邵阳）已知，则_________．【答案】2【分析】将变形为即可计算出答案．【详解】∵∴故答案为：2．【点睛】本题考查代数式的性质，解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识．24．（2022·天津）计算的结果等于___________．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．25．（2022·江苏扬州）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．【答案】1000【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，当震级为8级的地震所释放的能量为：，当震级为6级的地震所释放的能量为：，，震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．26．（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=；n=2时，“○”的个数是，n=3时，“○”的个数是，n=4时，“○”的个数是，……∴第n个“○”的个数是，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022①，②解①得：无解解②得：故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．27．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．28．（2022·山东滨州）若，，则的值为_______．【答案】90【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：90．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．29．（2022·山东泰安）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）【答案】7.1×10-7【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．30．（2022·四川德阳）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．【答案】4【分析】根据完全平方公式的运算即可.【详解】∵，∵+=4=16，∴=4.【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 31．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m2－1＝_____．【答案】【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：m2－1＝故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键．32．（2022·湖南怀化）因式分解：_____．【答案】【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可．【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．33．（2022·浙江绍兴）分解因式：＝ ______．【答案】【分析】利用提公因式法即可分解．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．34．（2022·浙江宁波）分解因式：x2-2x+1=__________．【答案】（x-1）2【详解】由完全平方公式可得：故答案为．【点睛】错因分析容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.35．（2022·江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．【答案】1【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程的一个解是，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．36．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．（1）若a，b是整数，则的长是___________；（2）若代数式的值为零，则的值是___________．【答案】【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；（2）根据分解因式可得，继而求得。
2021-2022年中考数学真题分类汇编阅读材料题1.(2022·湖南省)阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA =bsinB．证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD=asinB在Rt△ACD中，CD=bsinA∴asinB=bsinA∴asinA=bsinB根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB =csinC；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)2.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】(2)如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．3.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)．(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1,1)，求c的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<0<x2、|x1|>|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦⋅韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba ，x1x2=ca”.此关系通常被称为“韦达定理”．4. (2022·内蒙古自治区赤峰市)阅读下列材料 定义运算：min|a ，b|，当a ≥b 时，min|a ，b|=b ；当a <b 时，min|a ，b|=a ． 例如：min|−1，3|=−1；min|−1，−2|=−2． 完成下列任务(1)①min|(−3)0，2|=______； ②min|−√14，−4|=______．(2)如图，已知反比例函数y 1=kx 和一次函数y 2=−2x +b 的图象交于A 、B 两点．当−2<x <0时，min|kx，−2x +b|=(x +1)(x −3)−x 2，求这两个函数的解析式．5. (2022·湖南省永州市)已知关于x 的函数y =ax 2+bx +c ． (1)若a =1，函数的图象经过点(1,−4)和点(2,1)，求该函数的表达式和最小值； (2)若a =1，b =−2，c =m +1时，函数的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围． (3)阅读下面材料：设a >0，函数图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A ，B 两点均在原点左侧，探究系数a ，b ，c 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与x 轴有两个不同的交点，所以Δ=b 2−4ac >0；②因为A ，B 两点在原点左侧，所以x =0对应图象上的点在x 轴上方，即c >0； ③上述两个条件还不能确保A ，B 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需−b2a <0． 综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件可归纳为：{a >0Δ=b 2−4ac >0c >0−b 2a<0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y=ax2−2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．6.(2022·浙江省金华市)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1.作直径AF．2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3.连结AM，MN，NA．(1)求∠ABC的度数．(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．7.(2022·吉林省)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1//l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ′，则S△ABCS△DBC=ℎℎ′．证明：∵S△ABC=______．(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC =AMDM．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°．∴AE//______．∴△AEM∽______．∴AEDF =AMDM．由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC=______，∴S△ABCS△DBC =AMDM．(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E.若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则S△ABCS△DBC的值为______．8.(2022·四川省凉山彝族自治州)阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=______.x1x2=______．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1 s −1t的值．9.(2022·山西省)阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(−b2a ,4ac−b24a)和一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行分析：(1)a>0时，抛物线开口向上．①当Δ=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a<0．∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图1)．②当Δ=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2)．∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．③当Δ=b2−4ac<0时，……(2)a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______(从下面选项中选出两个即可)；A.数形结合B.统计思想C.分类讨论D.转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为______．10.(2021·四川省凉山彝族自治州)阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550−1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707−1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log39可以转化为指数式32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a(M⋅N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴M⋅N=a m⋅a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M⋅N)．又∵m+n=log a M+log a N，∴log a(M⋅N)=log a M+log a N.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：①log232=______ ，②log327=______ ，③log71=______ ；(2)求证：log a MN=log a M−log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)；(3)拓展运用：计算log5125+log56−log530．11.(2021·宁夏)阅读理解：如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF//BC，可以得到以下结论：AHAD =EFBC．拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC=3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度(单位：厘米)随着排数(单位：排)的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘160______ ______ ______ …米若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？12.(2021·贵州省安顺市)(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12，BC=5，求EF的值；(3)拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．已知∠1=∠2=∠3=α，当角α(0°<α<90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．13.(2021·湖北省鄂州市)数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现由5+5=2√5×5=10；13+13=2√13×13=23；0.4+0.4=2√0.4×0.4=0.8；15+5>2√15×5=2；0.2+3.2>2√0.2×3.2=1.6；12+18>2√12×18=12．猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立)．猜想证明∵(√a−√b)2≥0，∴①当且仅当√a−√b=0，即a=b时，a−2√ab+b=0，∴a+b=2√ab；②当√a−√b≠0，即a≠b时，a−2√ab+b>0，∴a+b>2√ab．综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2√ab成立(当且仅当a=b时等号成立)．猜想运用对于函数y=x+1x(x>0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？变式探究对于函数y=1x−3+x(x>3)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面积为S(米 2).问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？14.(2021·内蒙古自治区赤峰市)阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”.如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．(1)已知点A的坐标为(2,0)．①若点B的坐标为(4,4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为______ ；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；(2)已知点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)若使函数y=kx的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．15.(2021·山西省)(1)计算：(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2．(2)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2x−1 3>3x−22−1．解：2(2x−1)>3(3x−2)−6……第一步4x−2>9x−6−6……第二步4x−9x>−6−6+2……第三步−5x>−10……第四步x>2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______ (运算律)进行变形的；②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．16.(2021·湖南省张家界市)阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，(1)若x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)是增函数；(2)若x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)=x2(x>0)是增函数．证明：任取x1<x2，且x1>0，x2>0．则f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1+x2)(x1−x2).∵x1<x2且x1>0，x2>0，∴x1+x2>0，x1−x2<0．∴(x1+x2)(x1−x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0，f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=x2(x>0)是增函数．根据以上材料解答下列问题：(1)函数f(x)=1x (x>0)，f(1)=11=1，f(2)=12，f(3)=______ ，f(4)=______ ；(2)猜想f(x)=1x(x>0)是______ 函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想．17.(2021·山东省济宁市)研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．(1)阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD−A′B′C′D′(图1)，因为在平面AA′C′C中，CC′//AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．(2)如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是______ ；②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．18.(2021·山西省)阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F =95C +32得出，当C =10时，F =50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式1R =1R 1+1R 2求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R =1R 1+1R 2计算：当R 1=7.5，R 2=5时，R 的值为多少； ②如图，在△AOB 中，∠AOB =120°，OC 是△AOB 的角平分线，OA =7.5，OB =5，用你所学的几何知识求线段OC 的长．19. (2021·安徽省)【阅读理解】我们知道，1+2+3+⋯+n =n(n+1)2，那么12+22+32+⋯+n 2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n 个n n+n+⋯+n ⏟ ，即n 2，这样，该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+⋯+n 2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n−1行的第一个圆圈中的数分别为n−1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______ ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+⋯+n2)=______ ，因此，12+22+32+⋯+ n2=______ ．【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+⋯+201721+2+3+⋯+2017的结果为______ ．20.(2021·广西壮族自治区南宁市)【阅读理解】如图①，l1//l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等.在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF=∠DFC=90°，∴AE//DF．∵l1//l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE=DF．又S△ABC=12BC⋅AE，S△DBC=12BC⋅DF．∴S△ABC=S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．21.(2021·河南省)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______ (填序号)．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．(3)如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=√3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长．1.(1)证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD=csinB，在Rt△ACD中，AD=bsinC，∴csinB=bsinC，∴bsinB =csinC；(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠BAC=67°，∠B=53°，∴∠C=60°，在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin60°=80×√32=40√3(m)，又∵ACsinB =BCsin∠BAC，即800.8=BC0.9，∴BC=90m，∴S△ABC=12×90×40√3=180√3(m2).2.(1)证明：如图1，连接DC，∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BC，∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60°，∴∠ABC−∠ABD=∠DBE−∠ABD，即∠CBD=∠ABE，∴△CBD≌△ABE(SAS)，∴CD=AE，∠BDC=∠E=60°，∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴AB=CB，BE=BG，∠ABC=∠BCD=∠EBG=∠BGF= 90°，∠EGB=∠GEB=45°，∴∠ABC−∠ABG=∠EBG−∠ABG，即∠CBG=∠ABE，∴△CBG≌△ABE(SAS)，∴CG=AE，∠CGB=∠AEB=45°，∴∠AGC=∠EGB+∠CGB=45°+45°=90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②由①可知，CG=AE，∠AGC=90°，∴CG2+AG2=AC2，∴AE2+AG2=AC2，∵AE2+AG2=10，∴AC2=10，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2=10，∴AB2=5，∴S正方形ABCD=AB2=5．3.解：(1)当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=−3；(2)①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−√b2−4ac2a ，x2=−b+√b2−4ac2a，∴AB=x2−x1=√b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：(−b2a ,4ac−b24a)，∴AE=b2−4ac4a ，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB =34，∴b2−4ac4a ÷√b2−4aca=34，∴b2−4ac=9；②∵b2−4ac=9，∴x 2=−b+32a ，∵OP//MN ，∴NP BP=OM OB ， ∴b 2a ：−b+32a=2， ∴b =2，∴22−4ac =9，∴c =−54a ，∴T =1a 2+165c =1a 2−54a ⋅165=1a 2−4a =(1a −2)2+4， ∴当1a =2时，T 最小=4，即a =12时，T 最小=4．4.1 −45.解：(1)根据题意得{1+b +c =44+2b +c =1a =1，解得{a =1b =2c =1，∴y =x 2−2x +1=(x −1)2，∴该函数的表达式为y =x 2−2x +1或y =(x −1)2， 当x =1时，y 的最小值为0；(2)根据题意得y =x 2−2x +m +1， ∵函数的图象与x 轴有交点，∴Δ=b 2−4ac =(−2)2−4(m +1)≥0， 解得：m ≤0；(3)根据题意得到y =ax 2−2x +3的图象如图所示， 如图1，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a <1a −2+3>0，即{ a <0a <13a >1a >−1， ∴a 的值不存在； 如图2，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3>0，即{ a <0a <13a <1a >−1， ∴a 的取值范围为−1<a ≤0， 如图3，{ a <0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3<0，即{ a <0a =13a <1a <−1， ∴a 的值不存在；如图4，{ a >0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3<0，即{ a >0a <13a <1a <−1∴a 的值不存在； 如图5，{ a >0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3>0，即{ a >0a =13a <1a >−1， ∴a 的值为13； 如图6，当a =0时，函数解析式为y =−2x +3，函数与x 轴的交点为(1.5,0)， ∴a =0成立；综上所述，a 的取值范围为−1<a ≤0或a =13．6.解：(1)∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =(5−2)×18025=108°，即∠ABC =108°； (2)△AMN 是正三角形， 理由：连接ON ，NF ， 由题意可得：FN =ON =OF ， ∴△FON 是等边三角形， ∴∠NFA =60°， ∴NMA =60°，同理可得：∠ANM =60°， ∴∠MAN =60°， ∴△MAN 是正三角形； (3)∵∠AMN =60°， ∴∠AON =120°， ∵∠AOD =360°5×2=144°，∴∠NOD =∠AOD −∠AON =144°−120°=24°， ∵360°÷24°=15， ∴n 的值是15．7.12BC ⋅ℎ DF △DFM AE DF 738.解：(1)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−−32=32，x 1x 2=−12=−12，故答案为：32，−12；(2)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两根分别为m 、n ， ∴m +n =32，mn =−12，∴n m +m n=n 2+m 2mn =(m +n)2−2mnmn =(32)2−2×(−12)−12=−132；(3)∵实数s 、t 满足2s 2−3s −1=0，2t 2−3t −1=0， ∴s 与t 看作是方程2x 2−3x −1=0的两个实数根， ∴s +t =32，st =−12，∴(s −t)2=(s +t)2−4st ， (s −t)2=(32)2−4×(−12)， (s −t)2=174，∴s −t =±√172， ∴1s −1t =t −s st =−(s −t)st=±√172−12=±√17．9.AC 可用函数观点认识二元一次方程组的解(答案不唯一) 10.(1)5 ，3，0(2)设log a M =m ，log a N =n ，则M =a m ，N =a n ， ∴M N=a m a n=a m−n ，由对数的定义得m −n =log a MN ，又∵m −n =log a M −log a N ，∴log a MN =log a M −log a N(a >0,a ≠1,M >0,N >0)； (3)原式=log 5(125×6÷30)=log 525=2．11.400332038012.解：(1)a 2+b 2=c 2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)，证明如下：∵如图①是由直角边长分别为a ，b 的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b −a)的小正方形拼成的一个边长为c 的大正方形，∴4△ADE 的面积+正方形EFGH 的面积=正方形ABCD 是面积， 即4×12ab +(b −a)2=c 2， 整理得：a 2+b 2=c 2；(2)由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形， 设EF =a ，FD =b ， ∴a +b =12①，∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，∴E′F′=EF ，KF′=FD ，E′K =BC =5， ∵E′F′−KF′=E′K ， ∴a −b =5②，由①②得：{a +b =12a −b =5，解得：a =172，∴EF =172；(3)c +b =n ，理由如下： 如图③所示：设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ， ∵∠1=∠2=∠3=α，∠PMQ =∠D′OE′=∠B′C′A′=90°，∴△PMQ ∽△D′OE′∽△B′C′A′， ∴OE′C′A′=D′E′B′A′，PMB′C′=PQB′A′， 即ce =en ，bf =fn ， ∴e 2=cn ，f 2=bn ，在Rt △A′B′C′中，由勾股定理得：e 2+f 2=n 2， ∴cn +bn =n 2， ∴c +b =n ．13.解：猜想运用：∵x >0，∴x +1x ≥2√x ⋅1x ， ∴y ≥2，∴当x =1x 时，y min =2， 此时x 2=1， 只取x =1，即x =1时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵x >3， ∴x −3>0， ∴y =1x−3+x =1x−3+(x −3)+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3≥5，∴当1x−3=x −3时，y min =5， 此时(x −3)2=1， ∴x 1=4，x 2=2(舍去) 即x =4时，函数y 的最小值为5．拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，由题意得：9x +12y =63， 即：3x +4y =21， ∵3x >0，4y >0 ∴3x +4y ≥2√3x ⋅4y ， 即：21≥2√12xy ， 整理得：xy ≤14716，即：S ≤14716，∴当3x =4y ，时S max =14716此时x =72，y =218即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为14716．14.(1)①12；②∵若点C 在直线x =4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，∴C(4,2)或(4,−2)，设直线AC的关系式为：y=kx+b将(2,0)、(4,2)代入解得：k=1，b=−2，∴y=x−2，将(2,0)、(4,−2)代入解得：k=−1，b=2，∴y=−x+2，∴直线AC的解析式为：y=x−2或y=−x+2；(2)∵点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)，设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M(3,−2)，N(6,−4)，的图象过M时，k=−6，当函数y=kx的图象过N时，k=−24，当函数y=kx若使函数y =kx 的图象与点P 、Q 的“相关矩形”有两个公共点，则−24<k <−6．15.解：(1)(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2=1×8−8×14=8−2=6； (2)任务一： ①乘法分配律②五；化系数为1用到性质3，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向； 任务二：x <216.(1)13；14(2)减；证明：任取x 1<x 2，x 1>0，x 2>0，则f(x 1)−f(x 2)=1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2，∵x 1<x 2且x 1>0，x 2>0， ∴x 2−x 1>0，x 1x 2>0， ∴x 2−x 1x 1x 2>0，即f(x 1)−f(x 2)>0，∴函数f(x)=1x (x >0)是减函数．17.解：(1)如图1中，连接BC′．∵A′B=BC′=A′C′，∴△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′=60°，∵AC//A′C′，∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，∴两直线BA′与AC所成角为60°．(2)①丙②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．由题意在Rt△MKJ中，∠MJK=90°，MJ=5+3=8，JK=8−(4−2)=6，∴MK=√MJ2+JK2=√82+62=10，∴PM+PN的最小值为10．18.解：(1)图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；(答案不唯一)．(2)①当R1=7.5，R2=5时，1 R =1R1+1R2=17.5+15=5+7.57.5×5=13，∴R=3．②过点A作AM//CO，交BO的延长线于点M，如图，∵OC 是∠AOB 的角平分线，∴∠COB =∠COA =12∠AOB =12×120°=60°．∵AM//CO ，∴∠MAO =∠AOC =60°，∠M =∠COB =60°． ∴∠MAO =∠M =60°． ∴OA =OM ．∴△OAM 为等边三角形． ∴OM =OA =AM =7.5． ∵AM//CO ， ∴△BCO ∽△BAM ． ∴OCAM =BOBM ． ∴OC 7.5=57.5+5．∴OC =3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．19.【规律探究】2n +1；n(n+1)(2n+1)2；n(n+1)(2n+1)6；【解决问题】 1345．20.解：【类比探究】过点E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD =CD =4，∠ADC =90°， ∵DE =CE ，EF ⊥CD ，∴DF =CF =12CD =2，∠ADC =∠EFD =90°， ∴AD//EF ， ∴S △ADE =S △ADF ，∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2=4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，∴∠BDC=∠GCF，∴BD//CF，∴S△BDF=S△BCD，∴S△BDF=12BC×BC=8．21.解：(1)如图1，由作图得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO=∠PHO=90°，∵OE−OC=OF−OD，∴CE=DF，∵CG=12CE，DH=12DF，∴CG=DH，∴OC+CG=OD+DH，∴OG=OH，∵OP=OP，∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，故答案为：⑤．(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：如图2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，∴△OPE≌△OPF(SAS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴OP是∠AOB的平分线．(3)如图3，OC<OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PME=90°，由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，∵∠AOB=60°，∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∵∠CPE=30°，∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，∴∠OCP=∠OPC=12(180°−∠POE)=12×(180°−30°)=75°，∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，∴∠OPM=90°−30°=60°，∴∠MPE=105°−60°=45°，∴∠MEP=90°−45°=45°，∴MP=ME，设MP=ME=m，则OM=MP⋅tan60°=√3m，由OE=√3+1，得m+√3m=√3+1，解得m=1，∴MP=ME=1，∴OP=2MP=2，∴OC=OP=2；如图4，OC>OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PMC=90°，同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°，∠MPC=∠MCP=45°，∴OE=OP=√3+1，∵MC=MP=12OP=12OE=√3+12，∴OM=MP⋅tan60°=√3+12×√3=3+√32，∴OC=OM+MC=3+√32+√3+12=2+√3．综上所述，OC的长为2或2+√3．。
