18学年高中数学概率章末小结与测评教学案新人教A版3180208355

第三章概率小结（人教A版高中课标教材数学必修3）教学设计一、教学内容解析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修3第三章《概率》的小结课，本节教学内容为梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力．掌握随机现象中的必然事件、不可能事件、随机事件的概念；掌握古典概型、几何概型的特点及概率运算；掌握互斥事件、对立事件的概念，会利用公式计算有关的问题的概率．概率小结是对概率概念和运算的丰富与升华，是对概率认识的又一次质的飞跃．根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在小结课之前让学生自己总结本章知识网络结构，在课堂上学生分组讨论并展示，加之老师对知识网络结构的归纳、总结和评价，使学生对本章内容有一个全面的认识．通过各类题组训练，让学生自己体会知识的横向、纵向联系，对相关概念的认识更加精准和深刻，同时也把它们作为本节课的教学重点．本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．另外，概率问题可以与其他模块知识交汇形成不同背景的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，因此本节的内容起到了新旧知识相互迁移、融会贯通的重要作用；并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、等价转化的数学思想方法提供了重要的素材．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：通过具体实例，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；理解古典概型及其概率计算公式；初步体会几何概型的意义．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1.在具体情景中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别和联系，培养良好的思维品质．2.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识．3.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，从而渗透转化的数学思想方法．4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义，从而深入体会数形结合的思想方法．5.营造和谐的课堂氛围，通过独立思考，合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及严谨的思维方式．三、学生学情分析本节课面对的是高一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导．通过之前的学习学生已经了解了概率的意义以及频率与概率的区别和联系，理解了古典概型和几何概型的概念及其计算．同时对于数形结合、等价转化的数学思想方法也有了初步的认识．为了更好的实现本节课的教学目标，需要学生从原有的知识和能力出发进一步体会频率与概率、古典概型和几何概型的内在联系，从而深入感受转化、类比的数学思想方法．让学生充分感受两种概率模型的研究方法和生成过程，从而深入体会数形结合的思想方法．从数形结合、等价转化的数学思想方法的初步具备到本节课的深入强化，从概率的意义、古典概型和几何概型的概念及其计算到整章知识的综合应用，可通过实际教学中积极的双边活动让学生自主寻求解决问题的途径．激发学生学习热情，提高课堂效率，使知识得到螺旋式的巩固与提高．而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面，还有待于教师的指导帮助．根据本节课的教学内容及学生的实际情况，我将本节课的教学难点制定为：对概率本质的深入理解，古典概型和几何概型的概念及其计算的实际应用．学生根据教师提供的情境，采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识，归纳知识．通过创设情境疑问，引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流，探求解决问题的方法．鼓励学生创新思考，加强数学实践，培养学生的理性思维，同时注重培养学生良好的数学学习习惯．四、教学策略分析1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.2．为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助多媒体或实物投影仪等信息技术手段，增加信息量，为学生的数学探究与数学思维提供支持．3．数学是一门培养重要思维的学科．根据本课特点及学生情况，教学中教师通过创设情境，设置问题，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究、合作交流，实现动眼、动手、动脑操作来达到对知识的发现和接受．围绕本节课的教学重点，教学过程中以问题为驱动，逐层递进，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入．通过思考题，以“问题串”形式组织教学，通过探究，引导学生思考、归纳、总结．例题、练习、变式题的设置从浅入深，课后作业分层布置，设置为巩固型、思维拓展型两个阶段，为不同认知基础的学生提供相应的学习机会．在教学过程中，反馈应体现在学生对于课堂所学知识的掌握情况，同时也体现在教师对于学生解题过程中的诊断性评价．例题的自主完成要给学生足够的时间，通过学生板演反馈知识内化情况．通过反馈教师给予学生更有针对性的指导帮助，从而真正实现知识的内化．五、教学过程教学流程：问题1：小组活动，组内学生讨论总结的知识网络结构．师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】学生及时查漏补缺，让学生再经历知识由零乱到系统的过程，构建起完整的单元知识网络，为单元复习课的深入开展奠定坚实的基础，同时可以使学生逐步形成自主归纳的意识，增强归纳知识的能力．在数学课堂教学中，让学生围绕中心议题展开合作交流，能充分展示学生的主体地位，使学生从“学会”向“会学”转化，促使学生主动地、开放地学习.同时它能充分发扬民主，吸引学生参与，激活思维火花，开启智慧闸门，给学生以发展个性、展示才华的机会，使学生的探索能力得到提高与发展，另外还能培养学生的团结协作能力和社会交往能力．（二）目标训练，突出重点学生完成一组基础训练题，回顾《概率》一章基本概念和基本运算．1.下列说法正确的序号是①不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1；0,1之间；②任何事件的概率总是在()③频率是客观存在的，与试验次数无关；④随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率；⑤概率是随机的，在试验前不能确定；⑥某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0.8 ．2．下列事件：①如果a>b，那么a－b>0；②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝log a x是增函数；③某人射击一次，命中靶心；④从装有1个红球、2个白球共3个球的袋子中，摸出一球是黄球；其中是随机事件的为( )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③3．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )A ．3个都是正品B ．至少有一个是次品C ．3个都是次品D ．至少有一个是正品4. 如果事件A 、B 互斥，且事件A 、B 分别是A 、B 的对立事件，那么（ ）A. 事件A B 是必然事件； B ．事件A B 是必然事件；C ．事件A 与B 一定互斥；D ．事件A 与B 一定互斥．5.下列结论不正确的是（ ）A. 若(A)0P =，则(A)1P =；B. 若事件A 、B 对立，则(A B)1P +=；C ．若事件A 、B 、C 两两互斥，则事件事件A 与B C +也互斥；D ．若事件A 与B 互斥，则事件A 与B 一定不互斥．6．(2014·江苏)从1、2、3、6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．7．(2013·江苏)现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m 、n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．8. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( )A. 116B. 18C. 14D. 12 9. 在长方体1111ABCD A B C D -内任意取点，则该点落在四棱锥1B ABCD -内部的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16 10. 在棱长为2正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取点P ，则该点P 到点O 的距离大于1的概率是（ ）A ．12πB ．112π-C ．6πD ．16π- 学生自主完成，小组讨论，回答老师提出的问题．问题1：恒成立问题、可成立问题、不成立问题分别对应那些事件？问题2：事件的关系有哪些？问题3：事件的关系与集合论的哪些概念等价？问题4：如何利用集合韦恩图解释第4、5题？问题5：第8、9、10题的几何概型的测度分别是什么？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】通过设计一组简单的，全面包含要复习的各类知识点的题组进行引入，它的落脚点绝非是为巩固知识技能而进行的简单重复，而是将学生的知识结构分散在不同的知识之中，将渗透或运用的思想、方法有共同点的习题重新组合呈现．这种引入方式有利于激发学生反思，使其产生探究欲望，有利于学生针对具体情况建构用于指引问题解决的图式，形成背景性经验．题目的设置主要是学生以前的错题的再现与澄清，要有层次、有梯度．不仅考查学生的基础知识，还要考查学生基本能力，让学生进行限时训练，力图发现新问题，突出重点和补救性，这是对复习的数学知识和思想方法的运用，是培养学生解题能力的又一次升华．教师借题点拨，系统归纳、总结出有关的基础知识、思想方法和规律等，并板书．（三）典型例题，探究分析1.频率与概率1.下列说法中正确的个数是（）①频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生可能性的大小；②概率为0的事件一定是不可能事件，概率为1的事件一定是必然事件；③每个实验结果出现的频率之和不一定等于1；④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值．A. 4B. 3 C．2 D．1师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．问题1：概率为0的事件一定是不可能事件吗？为什么？问题2：你能举几个实例吗？师生活动：教师引导学生设计三个测度不同的几何概型问题．2.古典概型中事件的关系和运算2.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中是互斥事件的个数是( )①至少有一个白球,都是白球；②至少有一个白球,至多有一个红球；③恰有一个白球,恰有2个白球；④至少有一个白球,都是红球.A. 0B. 1C. 2D. 3问题1：分别说明每一组事件是什么关系？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．3.一个箱子中有红、黄、白三色球各一个, 求：⑴.从中不放回地抽取2个球，①有红色球的概率；②没有红色球的概率；(2).从中不放回地抽取2次，①第一次取到红色球的概率；②没有红色球的概率；(3).从中每次任取一个,有放回地抽取2次，①2次全是红球的概率；②2次颜色全相同的概率；③2次颜色不相同的概率；④2次至少有一次是红球的概率；⑤2次至多有一次是红球的概率.问题1：以上三种不同的抽取方式下的所有基本事件总数分别是多少？如何表示？渗透了哪种数学思想？问题2：分别求解各个事件的概率？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．3.几何概型中的不同测度4．如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：（1）在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；（2）在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB．问题1：以上两个问题是什么概型？为什么？问题2：它们的测度分别是什么？如何求其概率？ACPB第4题问题3：本题体现了什么数学思想？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．4.古典概型和几何概型综合应用5．已知向量(1,1),(,)a b x y =-=．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b =-的概率；（2）若,x y ∈[]1,6，求满足1a b >-的概率．问题1：以上两个问题分别是什么概型？为什么？问题2：事件A ：1a b =-等价于什么？ 事件B ：1a b >-等价于什么？问题3：第二个问题的测度是什么？如何求其概率？问题4：本题体现了什么数学思想？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】数学复习离不开解题教学，应以知识和能力并重、螺旋上升的原则设置典型例题题组．对每个例题由老师设置问题链引导学生思考，突破一个个问题，从而打通解题的思路以及相关知识点之间的逻辑关系，在引导的过程中不能就题论题，而要引导学生对解题规律进行总结，对知识进行提升，做到让学生知其所以然，既重视基础知识、基本技能的训练，又重视核心思想方法的渗透，以期达到“讲一题、得一法、会一类、通一片”的效果，切实提高学生的解题能力．（四）高考链接，拓展提高1．（2016年北京高考）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）9252．（2016年天津高考）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31 3．（2016年全国I 高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）344．（2007年海南 宁夏）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．师生活动：小组讨论，代表发言交流．【设计意图】高考题有一定的系统性、针对性，有明确的考查目标和培养方向，有利于多方面地促使学生对知识本质的认识，有利于对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性．（五）归纳总结，反思升华【设计意图】教学中要有意识地关注学生在学习过程中的感悟，引导学生反思:每个题组复习了哪些知识？重温了哪些方法？用到了哪些技能？体现了哪些思想？哪道题可以推广、引申？将一题多解及多题一解的疑问交给学生，让学生深入探讨，教师要引导学生根据问题进行反思，在反思中巩固知识、深化认识、提高水平，使学生的知识就能由点到线、由线到面、由面到整体，最终形成最为科学的知识框架和体系．每次学习仅是一种经历，只有通过不断的反思，把经历提升为经验，学习才具备了真正的价值和意义.从这个意义上说，帮助学生养成学习反思的习惯，培养学生的反思意识，对学生的个性发展有不可估量的作用.布置作业：一张练习题【设计意图】课后作业是课堂教学的延伸，它既是对单元知识的巩固训练，也是对单元知识的拓展延伸，可加深对知识的理解、形成数学能力．作业设置一要有针对性，在复习中针对学生学习中的重点、难点、易错点进行选题，避免过多的重复训练．二要有层次性，作业不是一味的罗列习题，而是要将题目有梯度的安排，使每一位学生在做题中都能感受到挑战的存在．教学中还应关注学生的个体差异，允许学生思维方式的多样化和思维水平的不同层次，同时应努力为学有余力的学生提供平台，立足于单元知识，为他们提供几道拓展探究性的习题，并给予个别指导，实现分层提高．。

概率章末小结一、教学目标 1、知识与技能（1）了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念； （2）理解频率的稳定性及概率的统计定义.（3）理解概率的统计定义.（4）了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系；（5）了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算； （6）通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。

（7）应用古典概型计算公式 nmA P)( 时， 用枚举和列表法正确求出m,n . （8）会判断是否属于几何概型并求对应题型的概率 2、过程与方法发现法教学，通过学生在抛硬币的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高. 理解在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现规律性，进而理解概率和频率的关系. 从而培养学生从试验中归纳出一般规律的能力以及学生动手能力与解决实际问题的能力. 3、情感态度价值观（1）在探究过程中，鼓励学生大胆尝试，培养学生勇于创新、敢于实践等良好的个性品质；（2）通过对概率的学习，渗透偶然寓于必然、事物之间既对立又统一的辩证唯物主义 思想；增强学生的科学素养. 二、教学重点、难点1、理解频率的稳定性及概率的统计定义；2、频率与概率的区别和联系.3、事件间的关系，概率的加法公式。

4、互斥事件与对立事件的区别与联系。

三、教学方法与手段方法：试验、观察、探究、归纳和总结； 手段：采用实物试验，多媒体计算机辅助教学. 四、教学过程 1、复习事件的概念在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件.例、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：（1）“某电话机在一分钟之内，收到三次呼叫”；（2）“当x是实数时，20x≥”；（3）“没有水分，种子发芽”；（4）“打开电视机，正在播放新闻”.答案：（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件.根据三类事件的概念，让学生举出现实生活中有关这三类事件的一些例子.例、某批乒乓球质量检查结果表可以看到，当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，在它附近摆动. 结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能事先确定的，但是在进行大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率总是接近于某个常数.这个常数，我们给它起个名称，叫做概率.2、概率的定义一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).3、集合间的关系可以用Venn图来表示，类似事件间的关系我们也可以用图形来表示。

第3章 概率1．频率与概率概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率．2．古典概型(1)古典概型的特点是：有限性和等可能性．(2)对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝m n求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重、不漏．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和，求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与A 互为对立事件)求解．4．几何概型(1)几何概型的特点是：无限性和等可能性．(2)对于几何概型试验的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．[典例1] (江西高考)如图，从A 1(1，0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[解] 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.[借题发挥] 要正确理解P (A )＝m n中的基本事件，准确求出m 、n 的个数，求基本事件个数的常用方法有：列举法、列表法和树状图法．[对点训练]1.(北京高考)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×⎝⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率为P(C)＝416＝14.[典例2] 黄种人群中各种血型的人所占比例如下：输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[解] (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知，得：P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.所以，任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.[借题发挥] 准确理解互斥事件与对立事件的定义是正确应用公式的前提，如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，注意应用加法公式的前提条件是事件A与事件B互斥；若事件A与事件B是对立事件，则P(A)＝1－P(B)．[对点训练]2．据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率．解：法一：设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，又∵A 与B 是互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：设事件A 为“一个月内被投诉不超过1次”，A －为“一个月内被投诉次数超过1次”，A 与A －为对立事件．∴P (A －)＝0.1，又∵P (A )＋P (A －)＝1，∴P (A )＝1－P (A －)＝0.9.[典例3] 在等腰Rt△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率．[解] 在AB 上截取AC ′＝AC . 于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22. 所以AM 的长小于AC 的长的概率为22. [借题发挥] 若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．[对点训练]3．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ；②某地1月1日刮西北风；③当x 是实数时，x 2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件． 2．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 解析：选C 由频率与概率关系知C 正确．3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310 B.112 C.4564 D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }． 4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.68解析：选C 其中质量小于4.85 g 包括质量小于4.8 g 和质量在[4.8,4.85)范围内两种情况，所以所求概率为0.32－0.3＝0.02.5．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：选D 由题意知(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为336＝112.6．(北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4解析：选D 画草图易知区域D 是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P ＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.7．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59解析：选A 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P＝29. 8．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8解析：选B 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.9．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离正方形的中心不超过1 cm 的概率． 其中是几何概型的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ①是，因为区间[－10,10]内有无限多个数，对应数轴上无限多个点，且取到“1”这个数对应的点的概率为0；②是，因为区间[－10,10]和[－1,1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；③不是，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，不满足无限性；④是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49解析：选D 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH 的面积为(2)2＝2.又圆的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π12．在区间[0,4]上任取一实数a ，使方程x 2＋2x ＋a ＝0有实根的概率是________． 解析：当4－4a ≥0即a ≤1时方程有实根，故所求的概率为P ＝14.答案：1413．(福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．解析：因为0≤a ≤1，由3a －1>0得13<a ≤1，由几何概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案：2314．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是________，击中小于8环的概率是________．解析：设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.3，P (B )＝0.4，P (C )＝0.1，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.7，P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.8， ∴P ＝1－0.8＝0.2. 答案：0.7 0.2三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(2)求该班成绩在[61,100]内的概率．解：记该班的测试成绩在[100～91)，[90～81)，[80～71)，[70～61)内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[81,100]内的概率是P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.15＋0.25＝0.4.(2)该班成绩在[61,100]内的概率是P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.15＋0.25＋0.36＋0.17＝0.93.16．(12分)设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解：记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，在每个最小等边三角形内再作小等边三角形使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则新作小等边三角形的边长为2 3.∴P (A )＝34323432＝14. 17．(12分)为迎接2017全运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，b，c(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a＝50×0.1＝5，b＝2550＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝310.18．(14分)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝610＝35.(2)①设一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝615＝25.模块综合检测(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个年级共有12个班，每个班学生的学号都从1到50，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是( )A ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法 答案：D2．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为( ) A ．5 B ．15 C ．2 D ．80解析：选A 由频数、频率的概念，设该组的频数为n ，则n ＝20×0.25＝5. 3.如图所示，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是( )A.12B.34C.38D.18解析：选C 此题是几何概型问题，P ＝阴影面积总面积＝38.4．已知x ，y 的取值如下表所示，如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋2，则b 等于( )A ．－12 B.12 C ．－110 D.110解析：选B 由表格数据知x ＝3，y ＝5，又线性回归方程过(x ，y )，即过点(3,5)， ∴5＝3b ＋72.∴b ＝12.5．某县有30个乡，其中山区有6个，丘陵地区有12个，平原地区有12个，要从中抽取5个乡进行调查，则应在丘陵地区、平原地区和山区各抽取的乡的个数分别是( )A ．2,2,1B ．1,2,2C ．1,1,3D ．3,1,1解析：选A 由分层抽样的定义知，抽样比为530＝16，则丘陵地区，平原地区和山区抽取的个数分别为：2,2,1.6．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A．0.95 B．0.7 C．0.35 D．0.05解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.7．阅读下列程序：输入xIf x<0 Theny＝2*x+3ElseIf x>0 Theny＝-2*x+5Elsey=0End IfEnd If输出y.如果输入x=-2，则输出结果为( )A．0 B．－1 C．－2 D．9解析：选B 输入x＝－2，则－2<0成立，则y＝2×(－2)＋3＝－1，则输出－1.8.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000 位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )A ．25B ．30C ．50D ．75解析：选A 抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.9.(天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选D 第1次，S ＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n ＝2，S ＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n ＝3，S ＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n ＝4，S ＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P (A )＝39＝13.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．某5人上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋10＋11＋95＝10，15x －2＋y －2＋－2＋－2＋－2]＝2，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x 2＋y 2－x ＋y ＋192＝0.所以x 2＋y 2＝208. 答案：20812．(安徽高考)如图所示，算法框图的输出结果是________．解析：第一次进入循环体有T ＝0＋0，第二次有T ＝0＋1，第三次有T ＝0＋1＋2，……第n 次有T ＝0＋1＋2＋…＋n －1，令T ＝n n －2>105，解得n >15(n <－14舍去)，故n ＝16，k ＝15.答案：1513．若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x －＝2，则输出的数等于______．解析：算法的功能是求解三个数的方差，输出的是S ＝－2＋－2＋－23＝23. 答案：2314．(浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． 解析：设此正方形为ABCD ，中心为O ，则任取两个点的取法有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AO ，BO ，CO ，DO ，共10种；取出的两点间的距离为22的取法有OA ，OB ，OC ，OD ，共4种，故所求概率为410＝25.答案：25三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)在2013辽宁全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩： 甲：9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8； 乙：9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1；(1)用茎叶图表示甲、乙两个人的成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；(2)分别计算两个样本的平均数x 和标准差s ，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．解：(1)如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.由图知，甲的中位数是9.05，乙的中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大．(2)x 甲＝110×(9.4＋8.7＋7.5＋8.4＋10.1＋10.5＋10.7＋7.2＋7.8＋10.8)＝9.11，s 甲＝110－2＋－2＋…＋－2]＝1.3，x 乙＝110×(9.1＋8.7＋7.1＋9.8＋9.7＋8.5＋10.1＋9.2＋10.1＋9.1)＝9.14， s 乙＝110－2＋－2＋…＋－2]＝0.9，由s 甲＞s 乙，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计乙运动员比较稳定．16．(12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15＝109，(x i －x )2＝1 570，y ＝15＝23.2，(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝＝3081 570≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－109×0.1 962＝1.814 2.故回归直线方程为y ＝0.196 2x ＋1.814 2，回归直线在(1)中的散点图中． (3)据(2)知当x ＝150 m 2时，销售价格估计为：y ＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2≈31.2(万元)．17．(12分)下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生共5人，设x 、y 分别表示英语成绩和数学成绩.(1)x ＝4 (2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？ 解：(1)P (x ＝4)＝1＋5＋7＋150＝725；P (x ＝4，y ＝3)＝750；P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝710；(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－550－710＝15，又P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，所以a ＋b ＝3.18．(14分)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个，事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个， 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2，8.7，9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。

概率小节（1）教案一、教材分析此处概率是指高中数学人教A版必修3第三章。

这里的概率先从多次重复试验说起，定义了频率和概率。

接下来主要讲了两个概率模型——古典概型和几何概型。

在讲具体的概型之前，编者首先介绍了事件，互斥事件、对立事件这些小概念。

此处未涉及到排列组合的相关知识，但是能分析清楚基本事件将对后面的学习有很大的帮助。

在当代高中数学新课改的背景下，数学教育要把“数学育人”作为根本目标，要将“德育”渗透到教育教学的各环节中。

通过引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流等多种活动形式来理解和掌握基本的数学方法和教学技能。

要鼓励学生的创新思考，加强学生的数学实践，培养学生的理性精神，从而激发学生的学习兴趣。

在数学教学过程中，学生成为课堂学习的主体，教师成为学生活动的组织者、引导者、合作者。

二、学情分析学生已在一个半星期内完成了对本章的学习，同学们对概率的掌握大都还停留在概念的简单运用，公式的简单运用上。

尤其在对基本事件的罗列上大部分同学都还比较生疏。

三、教学目标1.知识与技能：掌握对立事件求概率的容斥原理；掌握古典概型的计算公式2.过程与方法：会利用互斥事件和对立事件求解概率；在利用对立事件求解概率的过程中能利用方程的思想；能快速准确地罗列清楚基本事件3.情感态度价值观：帮助学生树立学习概率的信心；在罗列基本事件的过程中训练有条理地思考问题，解决问题。

四、教学重、难点重点：1.会利用互斥事件和对立事件求解概率2.在利用对立事件求解概率的过程中能利用方程的思想3.能快速准确地罗列清楚基本事件4.求古典概型的概率难点：1. 在利用对立事件求解概率的过程中能利用方程的思想2. 能快速准确地罗列清楚基本事件五、教学过程授课时间：清明收假回来第一天早上的第一节课1.互斥事件和对立事件的概率求解1.1 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为、、、、计算这个射手在一次射击中：射中10环或9环的概率，至少射中7环的概率；射中环数不足8环的概率．解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，题目设计目的：开篇放置一道简单题，调到大家参与的积极性，同时引导同学们回忆概率的相关内容。

第2章 概率一、事件概率的求法 1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P （AB ）P （B ）.(2)借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝m n.2．相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )． 3．n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，…，n ，q ＝1－p .二、随机变量的概率分布1．求离散型随机变量的概率分布的步骤 (1)明确随机变量X 取哪些值；(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． 2．两种常见的概率分布 (1)超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．(2)二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k q n －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．三、离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋n n ，V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . 2．当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nM N ，V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N 2（N －1）.3．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：则E (X )＝________．解析：∵k ＋2k ＋3k ＝1，∴k ＝16，∴E (X )＝1×16＋2×26＋3×36＝1＋4＋96＝73.答案：732．已知P (B |A )＝13，P (A )＝35，则P (AB )＝________．解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×35＝15.答案：153．某同学通过计算机测试的概率为23，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝3×23×19＝29.94．已知随机变量X 分布列为P (X ＝k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1，2，3)，则a ＝________． 解析：依题意得a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1，解得a ＝2738.答案：27385．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (AB )＋P (AB )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×35＝12.答案：126．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)，若X 在区间(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在区间(0，2)内取值的概率是________．解析：∵X ～N (1，σ2)，∴P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)，∴P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.87．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数都不相同}，B ＝{出现一个3点}，则P (B |A )＝________.解析：若两个点都不相同，则有(1，2)，(1，3)，…，(1，6)，(2，1)，(2，3)，…，(2，6)，…，(6，1)，…，(6，5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P (B |A )＝1030＝13. 答案：138．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X 的数学期望E (X )＝________．解析：由题得X 所取得的值为0或2，其中X ＝0表示取得的球为两个黑球，X ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (X ＝0)＝C 23C 24＝12，P (X ＝2)＝C 13C 24＝12，故E (X )＝0×12＋2×12＝1.答案：19．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数X 的均值是2，则p ＝________．解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知X ～B (6，1－p )，所以E (X )＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.310．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则n ＝________，p ＝________． 解析：∵E (X )＝2.4，V (X )＝1.44， ∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np （1－p ）＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.答案：6 0.411．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6，0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4. 答案：0.392 412．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，所以E (X )＝3×25＝65. 答案：6513. 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．解析：青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：第一条：按A →B →C →A ，P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.答案：1314．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )＝________.解析：对称轴在y 轴左侧(ab ＞0)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝6×7126＝13；P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89. 答案：89二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)P (A )＝A 13A 14A 25＝1220＝35.(2)P (A ∩B )＝A 23A 25＝620＝310.(3)P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值．解：(1)X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110， 故抽取次数X 的概率分布为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，所以E (X )＝5×35＝3. 17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X .(1)求X ＝6的概率；(2)求X 的概率分布和均值．解：(1)P (X ＝6)＝2×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝516.(2)由题意知，X 可能取值为4，5，6，7，P (X ＝4)＝2×C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝5)＝2×C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12×12＝14，P (X ＝6)＝516，P (X ＝7)＝2×C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝516，故X 的概率分布为所以E (X )＝4×18＋5×14＋6×516＋7×516＝9316.18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的概率分布、均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15. 故X 的概率分布为：所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.V (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.19．(本小题满分16分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的概率分布和均值．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝r )＝C r4·C 3－r6C 310(r ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X随机变量X 的均值E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较E (X )与x 的大小．(只需写出结论)解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝(AB )＋P (AB )＝35×35＋25×25＝1325.所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .。

§3.4小结与复习教学目标：1.了解本章基本概念.2.形成本章知识结构与网络.3.灵活运用相关知识解决问题.重点：形成本章知识结构与网络；难点：灵活运用相关知识解决问题..教学过程：一、本章知识结构二、典例剖析例1：目标3.1.2第（2）题关于天气预报中预报某地下雨的概率为10%，则下列解释正确的是（）（A）有10%的区域下雨（B）一天中有10%的时间下雨（C）下雨的可能性为10% （D）由于10%比较小，所以不下雨再如“某种彩票，中奖率为110000，则买10000张彩票一定中奖”例2：一个人进行射击，每次命中目标的概率均为0.8，则他射击4次至少命中3次的概率大约是（A）0.4（B）0.75（C）0.8（D）0.9 分析：概率约为80%．例3：目标3.3.1第（5）题：取一根长为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪得两段的长都不少于1cm 的概率为（ ）（A ）12（B ）13 （C ）14（D ）23答案：B例4：家安全机关录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 起，在10s 长的一段内容包含两间谍的犯罪信息．后来某工作人员不小心按错了健，使从此处开始往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？ 解：包含两间谍的犯罪信息谈话录音在30s 至40s 之间，当按错键的时刻在这段时间内时，部分内容被擦掉；当按错键的时刻在0s 至30s 这段时间内时，全部内容被擦掉．所以按错键时刻在0s 至40s 之间时，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉． 记“按错了健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”为事件A ，则401()306045P A ==⨯．答：按错了健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为145．例5：正方形投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 答案：12例6：长为3的正方体内任意取一点，求这点到各个面的距离都大于1的概率．解：记“这点到各个面的距离都大于1”为事件A ，根据题意，满足条件的点位于一个棱长为1的小正方体内，这个小正方体的中心与原正方体的中心相同，所以3311()327V P A S ===小正方体大正方体．答：这点到各个面的距离都大于1的概率为127． 三、练习：1、如果事件A 、B 是互斥事件，则 [ ] A 、A B +是必然事件 B 、A B +是必然事件 C 、A 与B 一定互斥 C 、A 与B 一定不互斥2一个家庭有三个小孩，所有可能的基本事件的个数是 [ ] A 、4 B 、6 C 、8 D 、103、100张卡片（从1号到100号），从中任取一张，取到的卡片是6或8的倍数的概率[ ] A 、0.24 B 、0.23 C 、0.15 D 、0.14xyO 2 2-2 -24、区间（0，1）中，随机的取出两数，其和小于12的概率[ ]A、18B、14C、34D、785、A、B两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应该等候另一个一刻钟，过时即离开，两人能会面的概率[ ]A、516B、716C、23D、49作业：课后反思：。

高中数学概率章末总结教案【教学目标】1. 知道概率的概念及其基本性质；2. 掌握基本概率统计方法；3. 能够应用概率理论解决实际问题；4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

【教学内容】1. 概率的基本概念2. 古典概率和频率概率的区别3. 概率的性质与定理4. 事件的概率计算5. 条件概率6. 独立性、相关性【教学过程】一、引言：通过举例引入概率的概念，让学生了解概率在生活中的应用。

二、概率的基本概念：介绍概率的定义、样本空间、随机试验等基本概念。

三、古典概率和频率概率的区别：通过比较两者的特点，让学生理解它们的区别和联系。

四、概率的性质与定理：讲解概率的加法规则、乘法规则等性质及定理，帮助学生掌握概率计算方法。

五、事件的概率计算：教学如何计算单个事件和多个事件的概率，并通过例题讲解如何应用概率计算实际问题。

六、条件概率：介绍条件概率的概念及计算方法，并通过实例演示条件概率的应用。

七、独立性、相关性：讲解事件的独立性和相关性，引导学生理解事件之间的关联性。

【课堂练习】1. 请计算以下事件的概率：a) 抛一枚硬币，出现正面的概率；b) 抽一张扑克牌，是红桃的概率。

2. 计算以下事件的条件概率：a) 有一副扑克牌，抽到一张红桃牌的条件下，再抽到一张梅花牌的概率；b) 有一副骰子，投掷两次，第一次投掷的点数是奇数的条件下，第二次投掷的点数是偶数的概率。

3.思考问题：在一个黑盒中装有3个白球和2个黑球，从中任取一球，知道取到的是白球后，将其放回，再取一次。

请问两次均取到白球的概率是多少？【课堂反馈】1. 请学生综合运用所学概率知识解决实际问题；2. 让学生互相讨论、分享解决问题的方法和思路；3. 鼓励学生提出问题、疑惑，引导他们深入思考和探索。

【课后作业】1. 完成教辅书上的习题；2. 思考如何应用概率理论解决生活中的问题，并写出解决方案；3. 总结本节课学习的知识点，写出体会和感悟。

【教学反思】1. 教师应做好课前准备，确保教案设计合理，内容丰富；2. 灵活运用教学方法，激发学生的学习兴趣；3. 注意引导学生主动思考、探索，培养他们解决问题的能力。

第二章 统计应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点：(1)用随机数法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当问题所给位数不相等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．(2)用系统抽样抽样时，如果总体容量N 能被样本容量n 整除，抽样间隔为k ＝N n，如果总体容量N 不能被样本容量n 整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n .⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n 表示取N n 的整数部分 (3)几种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样；当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样．[典例1] 选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样； (2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样； (3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样； (4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．解：(1)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．第一步：确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲厂生产的篮球应抽取21×13＝7(个)，乙厂生产的篮球应抽取9×13＝3(个)；第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(2)总体容量较小，用抽签法．第一步：将30个篮球用随机方式分段，分段为1,2， (30)第二步：将以上30个分段分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签； 第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步：从袋子中逐个不放回抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步：找出和所得号码对应的篮球，这些篮球便组成了我们要抽取的样本． (3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．第一步：将300个篮球用随机方式分段，分段为001,002， (300)第二步：在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步：从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码，找出和所得号码对应的篮球便组成我们要抽取的样本．(4)总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样法．第一步：将300个篮球用随机方式分段，分段为000,001,002，…，299，并分成30段． 第二步：在第一段000,001,002，…，009这十个分段中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为始号码；第三步：将分段为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本． [对点训练]1．某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人．现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一分段为1,2， (270)使用系统抽样时，将学生统一随机分段为1,2，…，270，并将整个分段依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样解析：选D 按分层抽样时，在一年级抽取108×10270＝4(人)，在二年级、三年级各抽取81×10270＝3(人)，则在号码段1,2，…，108中抽取4个号码，在号码段109,110，…，189中抽取3个号码，在号码段190,191，…，270中抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样．本考点主要利用统计表、统计图分析估计总体的分布规律．要熟练掌握绘制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键，从图形与图表中获取有关信息并加以整理，是近年来高考命题的热点．[典例2] 样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a，样本数据落在[2,10)内的频率为b，则a，b分别是( )A．32,0.4 B．8,0.1C．32,0.1 D．8,0.4解析：选A 落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，100×0.32＝32，∴a＝32，落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.∴b＝0.4.[对点训练]2．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数是11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9.答案：9样本的数字特征可分为两大类，一类反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数；另一类反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征．有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点．[典例3] 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示：(1)填写下表：(2)①结合平均数和方差，分析偏离程度；②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些；③结合平均数和命中9环以上的次数，看谁的成绩好些； ④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力． 解：(1)甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9， ∴中位数为7环．乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，∴x 乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7(环)．乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10， ∴中位数是7＋82＝7.5(环)．于是填充后的表格，如图所示：(2)s 2甲＝110[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1.2，s 2乙＝110[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝5.4.①甲、乙的平均数相同，均为7，但s 2甲＜s 2乙，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多． ③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．[对点训练]3．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位：克)：125,124,121,123,127，则该样本标准差s ＝________(克)(用数字作答)．解析：先求平均数x ＝125＋124＋121＋123＋1275＝124(克)，则样本标准差s ＝－x2＋－x 2＋…＋－x25＝1＋0＋…＋95＝2.答案：21．分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫做散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归方程．2．回归方程的应用利用回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结果不是准确值，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结果的正确率是最大的，所以可以大胆地利用回归方程进行预测．[典例4] 某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下列所示对应的数据：(1)(2)求出y对x的回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？解：(1)依表中数据，画出散点图如图．(2)观察散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，所以变量x，y线性相关．将相关数据列表如下：设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，于是 b ^＝440－4×2.5×3630－4×2.52＝805＝16， a ^＝y －b ^x ＝36－16×2.5＝－4，∴y 对x 的回归方程为y ^＝16x －4.(3)当广告费为9万元时，y ^＝16×9－4＝140(万元)， 即广告费为9万元时，销售收入约为140万元． [对点训练]4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对xA.y ^＝x －1B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^＝176解析：选C 由题意得x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x ，y )一定满足线性回归方程，经验证知选C.(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( ) A ．长方体的体积与边长 B ．大气压强与水的沸点 C ．人们着装越鲜艳，经济越景气 D ．球的半径与表面积解析：选C A 、B 、D 均为函数关系，C 是相关关系．2．下列说法错误的是( )A ．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 解析：选B 平均数不大于最大值，不小于最小值．3．(2016·开封高一检测)某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n 的值是( )A ．193B ．192C ．191D ．190 解析：选B1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，解得n ＝192.4．某班学生父母年龄的茎叶图如图，左边是父亲年龄，右边是母亲年龄，则该班同学父亲的平均年龄比母亲的平均年龄大( )A ．2.7岁B ．3.1岁C ．3.2岁D ．4岁解析：选C 分别求出父亲年龄和母亲年龄的平均值，可得父亲的平均年龄比母亲的平均年龄大3.2岁，故选C.5．如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )A.y ^＝x ＋1.9B.y ^＝1.04x ＋1.9 C.y ^＝0.95x ＋1.04 D.y ^＝1.05x －0.9解析：选B x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(3＋3.8＋5.2＋6)＝4.5.因为回归直线方程过样本点中心(x ，y )，代入验证知，应选B.6．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图，则新生婴儿体重在(2 700,3 000)的频率为( )A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.3解析：选D 由直方图可知，所求频率为0.001×300＝0.3.7．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93，下列说法正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数解析：选C A 不是分层抽样，因为抽样比不同．B 不是系统抽样，因为是随机询问，抽样间隔未知．C 中五名男生成绩的平均数是x ＝86＋94＋88＋92＋905＝90，五名女生成绩的平均数是y ＝88＋93＋93＋88＋935＝91，五名男生成绩的方差为s 21＝15(16＋16＋4＋4＋0)＝8，五名女生成绩的方差为s 22＝15(9＋4＋4＋9＋4)＝6，显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差．D 中由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．8．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图1图2A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%解析：选C 由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%，故选C.9．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是( )A ．高一的中位数大，高二的平均数大B ．高一的平均数大，高二的中位数大C ．高一的平均数、中位数都大D ．高二的平均数、中位数都大解析：选A 由茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为6477，所以高二的平均数大．故选A.10．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25解析：选A 由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，∴x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A.11．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别分段为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18 解析：选C 志愿者的总人数为20＋＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.12．设矩形的长为a ，宽为b ，若其比满足b a ＝5－12≈0.618，则这种矩形称为黄金矩形．黄金矩形给人以美感，常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：选 A 甲批次的样本平均数为15×(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617；乙批次的样本平均数为15×(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613.所以可估计：甲批次的总体平均数与标准值更接近．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数x 及其标准差s 如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________.答案：乙14．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差)对应相同的是________．解析：由s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，可知B 样本数据每个变量增加2，平均数也增加了，但s 2不变，故方差不变．答案：方差15．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数茎叶图如图，记分员去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________．解析：由于需要去掉一个最高分和一个最低分，故需要讨论：①若x ≤4，∵平均分为91，∴总分应为637分．即89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x ＝637，∴x ＝1.②若x ＞4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640≠637，不符合题意，故填1. 答案：116．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70,80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x ＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知一组数据从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5， 所以4＋x 2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x ，方差为s 2，由题意得x ＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743.18．(12分)2015年春节前，有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站，让过往的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的摩托车驾驶人员每隔50人询问一次省籍，询问结果如图所示：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？解：(1)根据题意，因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点，所以交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中 广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)， 四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)，设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得5100＝x40，解得x ＝2，即四川籍的应抽取2名．19．(12分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm 的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位： mm ，保留两位小数)如下：40．02 40.00 39.98 40.00 39.99 40．00 39.98 40.01 39.98 39.99 40．00 39.99 39.95 40.01 40.02 39．98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm 为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数．解：(1)(2)∵抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有18只，∴合格率为1820×100%＝90%，∴10 000×90%＝9 000(只)．即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9 000. 20．(12分)某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表：(1)(2)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^x解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．(2)设回归直线方程是y ^＝b ^x ＋a ^. 由题中的数据可知y ＝3.4，x ＝6.所以b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝－－＋－－＋1×0.6＋3×1.69＋1＋1＋9＝1020＝0.5. a ^＝y －b ^x ＝3.4－0.5×6＝0.4.所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为 y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)知，当x ＝4时，y ＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该商场的利润额为2.4百万元．21．(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．解：(1)作出茎叶图：(2)x 甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．22．(12分)已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回池塘，待完全混合后，再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，立即放回池塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图甲所示的茎叶图．(1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量；(2)为了估计池塘中鱼的总重量，现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重，根据称重鱼的重量介于[0,4.5](单位：千克)之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0,0.5)，第二组[0.5,1)，…，第九组[4,4.5]．如图乙是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．①估汁池塘中鱼的重量在3千克以上(含3千克)的条数；②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数也比第三组多7条，请将频率分布直方图补充完整；③在②的条件下估计池塘中鱼的重量的众数及池塘中鱼的总重量．图甲 图乙解：(1)根据茎叶图可知，鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80,20. 由题意知，池塘中鱼的总数目为1 000÷80＋202 000＝20 000(条)，则估计鲤鱼数目为20 000×80100＝16 000(条)，鲫鱼数目为20 000－16 000＝4 000(条)．(2)①根据题意，结合直方图可知，池塘中鱼的重量在3千克以上(含3千克)的条数约为20 000×(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝2 400(条)．②设第二组鱼的条数为x ，则第三、四组鱼的条数分别为x ＋7、x ＋14，则有x ＋x ＋7＋x ＋14＝100×(1－0.55)，解得x ＝8，故第二、三、四组的频率分别为0.08、0.15、0.22，它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16,0.30,0.44，据此可将频率分布直方图补充完整(如图)．③众数为 2.25千克，平均数为0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋…＋4.25×0.02＝2.02(千克)，所以鱼的总重量为2.02×20 000＝40 400(千克)．。

① RA ) + P (B ) ② P (A ) + P (B ) = 1 ③ A 包含的基本事件的个数③基本事件的总数提升层・链力强化\| _________ 、1. 有关事件的概念(1)必然事件：在条件 S 下，第三章概率I N层-Ml 识整台觀率与频率［自我校对］随机事件的概率一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件.(2) 不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件,简称不可能事件.(3) 确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.⑷随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A, B, C,…表示.2. 对于概率的定义应注意以下几点(1) 求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.(2) 只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.(3) 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.(4) 概率反映了随机事件发生的可能性的大小.(5) 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0，故O W P(A) < 1.例对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1) 计算表中次品的频率；(2) 从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3) 为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U 盘？【精彩点拨】结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率.【规范解答】⑴表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2) 当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3) 设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，贝U x(1 —0.02) >2 000，因为x是正整数，所以x>2 041，即至少需进货2 041个U盘.［再练一题］1•某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少?靶心吗?【解】(1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在 0.9附近摆动，故概率约为 0.9. (2) 击中靶心的次数大约为300X 0.9 = 270(次).(3) 由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化•后30次中，每次击中靶心的概率仍是 0.9，所以不一定击中靶心.(4) 不一定.互斥事件与对立事件1.对互斥事件与对立事件的概念的理解(1) 互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生. 因此对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.(2) 利用集合的观点来看，如果事件A nB = ?，则两事件是互斥的，此时 A U B 的概率就可用加法公式来求，即为P (A U B ) = P (A ) + R B );如果事件 A n B M ?，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式.(3) 利用集合的观点来看，如果事件A n B = ?, A U B = U,则两事件是对立的，此时 A U B就是必然事件，可由 RA U Bl = P (A ) + RD = 1来求解RA )或P (B ).2. 互斥事件概率的求法(1) 若 A , A ，…，A 互斥，则 RAU AU …U A) = P (A ) + RA) +…+ RA).(2) 利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发 生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和.值得注意的是：①、②两点是公式的使用 条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.3. 对立事件概率的求法R Q ) = RA U A) = RA) + P (N) = 1,由公式可得 P (A ) = 1-P (N)(这里 ~A 是 A 的对 立事件，Q 为必然事件).4•互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化 为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解.(2) 假设该射击运动员射击了 (3) 假如该射击运动员射击了靶心吗？300次，则击中靶心的次数大约是多少？300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中⑷假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第 10次一定击中 TUP甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目.其中，选择题 3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1) 甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少?⑵甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为(2) “甲、乙两人都抽到判断题”的概率为盘=io ,故“甲、乙两人至少有一人抽到选i 9择题”的概率为i -和=i0.［再练一题］2•某服务电话，打进的电话响第i 声时被接的概率是0.i ;响第2声时被接的概率是0.2 ;响第3声时被接的概率是 0.3 ;响第4声时被接的概率是 0.35.(1) 打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ (2) 打进的电话响4声而不被接的概率是多少？【解】(i)设事件“电话响第 k 声时被接”为 Ak (k € N)，那么事件A 彼此互斥，设“打 进的电话在响5声之前被接”为事件 A ,根据互斥事件概率加法公式，得 P (A ) = F (A U A U AU A 4) = RA i ) + RA) + P (A) + P (AO = 0.i + 0.2 + 0.3 + 0.35 = 0.95.(2)事件“打进的电话响 4声而不被接”是事件 A “打进的电话在响 5声之前被接”的对立事件，记为 A.根据对立事件的概率公式，得P ( A) = i — P (A ) = i -0.95 = 0.05.在高考题中，经常式.【规范解答】 把3个选择题记为X i , X 2,X 3,2个判断题记为P i , P 2.总的事件数为20.“甲抽到选择题, 乙抽到判断题”的情况有:(X i , P i ), (X i , P 2),(X 2, P i ),(X 2, P 2),(X 3 ,P i ) ,(X 3, P 2),共6种;“甲抽到判断题, 乙抽到选择题”的情况有:(P i , X i ), (P i , X 2), (P i , X 3), (P 2, X i ),(P 2 , X 2), ( P 2, X 3), 共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况有:(X i , X 2) , (X i , X 3), (X 2, X i ), (X 2, X 3), (X 3, X i ),(X 3 , X 2)，共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(P i , P 2) , (P 2,P i )，共2种.(i) “甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 20io'“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为 6 _ 3 20— i0‘【精彩点拨】3io ' io —5.出现此种概率模型的题目. 解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式 P （A =巴时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n , m 但列举n时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.几何概型同古典概型一样， 是概率中最具有代表性的试验概型之一， 在高考命题中占有 非常重要的位置.我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用P （A ）=m 求解，而需转化为几何度量（如长度、面积、体积等）的比值求解，体现了数形结合的数学思想. 例 甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率.【精彩点拨】甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是6小时，当两船到达泊位的时间差不超过6小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待.【规范解答】设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x 、y .O W x w 24,贝U O W y w 24,作出如图所示的区域.I x - y | w 6.本题中，区域D 的面积S = 242,区域d 的面积S 2 = 242- 182.d 的面积 242 - 182 7P = -------- = ------ 2 =D 的面积24216.［再练一题］ 3.从｛123,4,5｝中随机选取一个数为a ,从｛1,2,3｝中随机选取一个数为 b ,贝U b >a的概率是（）A.5C.2【解析】 •••当b = 1时，没有满足条件的 a 值；即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为7_16B.5 D.1fl 乩240 624当b = 2 时，a=1 ；当b = 3时，a可以是1,可以是2,二共3种情况.而从｛1,2,3,4,5｝ 中随机取一个数 a ,再从｛1,2,3｝中随机取一个数 b 共有3X 5= 15种不同取法，31•••概率为丁 5.【答案】D统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点， 此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛， 能很好地考查学生的综合解题能力， 在解决综合问题时， 要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的.身高数据的茎叶图如图3-1所示.乙班189 9 101615 图3-1（1） 直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.【精彩点拨】（1）根据“叶”上的数据的集中情况作出判断； （2）代入方差的计算公式求解；（3）列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解.【规范解答】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm- 179 cm 之间，而乙班身高集中于170 cm 〜179 cm 之间.因此乙班平均身高高于甲班；⑵匚=158+ 162+ 163+ 168 + 168+ 170 + 171 + 179+ 179+ 182 10=170(cm).12 I2 2 2 2甲班的样本方差 s = 10[(158 — 170) + (162 — 170) + (163 — 170) + (168 — 170) + (1682 2 2 2 2 2—170) + (170 — 170) + (171 — 170) + (179 — 170) + (179 — 170) + (182 — 170)]=卜例 随机抽取某中学甲、乙两班各 10名同学，测量他们的身高（单位：cm ）,获得257.2(cm ).(3) 设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A,从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有:(181,173) ,(181,176) ,(181,178) ,(181,179) ,(179,173) ,(179,176), (179,178) , (178,173) , (178,176) , (176,173)共10 个基本事件，而事件A含有4 个基本事件：(181,176) , (179,176) , (178,176) , (176,173),［再练一题］4•某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,55］岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为OOOOOOOO“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图:组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195P第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3图3-2(1) 补全频率分布直方图并求n, a, p的值；(2) 从年龄段在［40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在［40,45)岁的概率.【解】(1)第二组的频率为 1 —(0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) X 5= 0.3，所以高=0.06.频率分布直方图如下:120第一组的人数为2°°,频率为0.04 X 5= 0.2 ,所以门=000 =1 000.0.3 ,所以第二组的人数为1 000X 0.3 = 300 ,所以p =帶由题可知，第二组的频率为=0.65.第四组的频率为0.03 X 5= 0.15，所以第四组的人数为 1 000 X 0.15 = 150，所以a =150X 0.4 = 60.(2)因为［40,45)岁年龄段的“低碳族”与［45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60 : 30= 2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，［40,45)岁中有4人，［45,50)岁中有2人.设［40,45)岁中的4人为a, b, c, d, ［45,50)岁中的2人为m n,则选取2人作为领队的选法有(a, b), (a, c) , (a, d), (a, n) , (a, n), (b, c) , (b , d), (b , m , (b , n), (c , d) , (c , n) , (c , n), (d ,n) , (d , n) , ( m n),共15种；其中恰有 1 人年龄在［40,45)岁的有(a , m , (a , n) , (b , n), (b , n) , (c , n) , (c , n), (d , n) , (d , n),共8种.8所以选取的2名领队中恰有1人年龄在［40,45)岁的概率为话在古典概型中，基本数形结合思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用.事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数. 在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比.例设点(p , q)在| p| w3 , | q| <3中按均匀分布出现，试求方程x2+ 2px—q2+ 1 = 0的两根都是实数的概率.【精彩点拨】试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部.【规范解答】基本事件总体的区域D的度量为正方形面积，即D的度量为S正方形=6 = 36 ,由方程x2+ 2px—q2+ 1 = 0的两根都是实数，2 2得△ = (2 p) —4( —q + 1) > 0 ,••• p2+ q2> 1.•••当点(p , q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d的度量为S正方形一S圆=36 —n ,36— n 巴36•原方程的两根都是实数的概率为［再练一题］5•三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人（不自传），若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？【解】记三人为A、B C,则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16,而又回到A手中的事件个数为6 个，根据古典概型概率公式得P=-=-.16 8M I, N中的一个垢展层・樹接烏毎\1 •小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是字母，第二位是123,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是【解析】•/ Q = {( M,1) , (M,2) , (M,3) , (M,4) , (M,5) , (I, 1) , (I, 2) , (I, 3) , (I, 4),(I, 5) , (N,1) , (N,2), (N,3), (N,4) , ( N,5)},•••事件总数有15种.白紫一红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄一白紫、红白一黄紫、黄紫一红白、白紫一红黄，共 4种，故所求概率为 P = 6=彳，故选C.【答案】4.某公司的班车在 7: 30,8 : 00,8 : 30发车，小明在 7: 50至8: 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（1 A.- 3 1 B.—2 2 C.33 D.47:50 8:00 8:10 ^:20 S:3O■JIL■A BC D【解析】如图，7: 50至& 30之间的时间长度为 40分钟，而小明等车时间不超过1•••正确的开机密码只有 1种，••• P =祜.【答案】C40—I 15B【答案】3•为美化环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选 2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是1 B.12C.3【解析】 从4种颜色的花中任选 2种颜色的花种在一个花坛中,在另一个花坛的种数有： 红黄一白紫、红白一黄紫、红紫一白黄、黄白一红紫、黄紫一红白、2.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为5 B.83 C.8【解析】如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口,则该行人至少等待 15秒才出现绿灯. AB 长度为 40— 15 = 25, 由几何概型的概率公式知,至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40 —15 5 斗”= 8，故选 B. 5 D.6余下2种颜色的花种10分钟是指小明在 7: 50至& 00之间或8: 20至8: 30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为 20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P = 40=2.故选B .【答案】【答案】C5.如果 3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长, 则称这3个数为一组勾股数,从 123,4,5中任取3个不同的数，则这 3个数构成一组勾股数的概率为 (1B.— 51 D.2Q【解析】从1,2,3,4,5 中任取3个不同的数共有如下 10个不同的结果: (1,2,3),(1,2,4) , (1,2,5) , (1,3,4), (1,3,5),(1,4,5) , (2,3,4) , (2,3,5) , (2,4,5) ,(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为1故选C.。

第三章概率互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．[典例1] 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B 型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35，因为B ，O 型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B ′∪D ′.依据互斥事件概率的加法公式，有P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A ′∪C ′，依据互斥事件概率的加法公式，有P (A ′∪C ′)＝P (C ′)＋P (A ′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P (A ′∪C ′)＝1－P (B ′∪D ′)＝1－[P (B ′)＋P (D ′)]＝1－0.64＝0.36.[对点训练]1．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， ∴P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D ，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120 ＝611 000. (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E ，则P (E )＝1－P (A )－P (B )＝1－11 000－1100＝9891 000.古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的结果数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝mn求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．[典例2] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P 1 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；(2)若乘客P 1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P 5 坐到5号座位的概率.解：(1)(2)若乘客P 1 则所有可能的坐法可用下表表示为：设“乘客P 5 坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4. 所以P (A )＝48＝12.乘客P 5 坐到5号座位的概率是12.[对点训练]2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．[典例3] 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a 、b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．解：(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S (Ω)＝16.构成事件B 的区域面积为：S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.[对点训练]3．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm.现用直径为2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解：记事件A ＝“硬币落下后与格线无公共点”，则硬币圆心落在如图所示的小三角形内，小三角形的边长为23.∴P (A )＝S △A ′B ′C ′S △ABC ＝34× 23 234× 432＝14.统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．[典例4] (2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.(2)由频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为1 10 .[对点训练]4．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～179 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；(2)甲班的平均身高x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm 2)．(3)设“身高为176 cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P (A )＝410＝25.即身高为176 cm 的同学被抽中的概率为25.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．随机事件的概率总在[0,1]内 B ．不可能事件的概率不一定为0 C ．必然事件的概率一定为1 D ．以上均不对解析：选C 随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.2．下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.3．甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.16解析：选B 甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧有2个基本事件，故乙正好坐中间的概率为26＝13.4．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥解析：选B 因为事件B 是表示“三件产品全是次品”，事件C 是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.5．(2016·郑州高一检测)函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使得f (x 0)≤0的概率是( )A.310 B.15 C.25 D.45解析：选A 由f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，由x ∈ [－5,5]，区间长度为10，所以所求概率为P ＝310.6．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形＝ab ，S △ABE ＝12ab ，由几何概型的概率公式可知P ＝S △ABE S 矩形＝12. 7．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16B.13C.12D.23解析：选B 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P ＝26＝13.故选B.8．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝( )A.4πB.1πC ．2 D.2π解析：选D 豆子落在正方形EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH 的边长是2，则正方形EFGH 的面积是2，又圆的面积是π，所以P (A )＝2π.9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.4π D.4π－1 解析：选 B 要使函数有零点，则Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，a 2＋b 2≥π2，又－π≤a ≤π，－π≤b ≤π，所以基本事件的范围是2π·2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为4π2－π34π2＝1－π4.故选B. 10．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.910解析：选C 设被污损的数字是x ，则x ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为x甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x 乙＝15[83＋83＋87＋(90＋x )＋99]＝442＋x 5，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A ，则此时有90＞442＋x 5，解得x ＜8，则事件A 包含x ＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P (A )＝810＝45.11．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于( )A.12B.23C.13D.25解析：选B 由古典概型的概率公式得P (A )＝16，P (B )＝36＝12.又事件A 与B 为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝16＋12＝23. 12．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78解析：选C 由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件，即如图所示的阴影部分的面积，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1216＝34，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2016·青岛高一检测)一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．解析：记“任取一球为白球”为事件A ，“任取一球为黑球”为事件B ，则P (A ＋B )＝P (A)＋P (B)＝1020＋520＝34.答案： 3414．如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．解析：设正方形的边长为1，则正方形的面积S ＝1，扇形的面积S 1＝12×π2×12＝π4，根据几何概型公式得，点P 落在扇形外且在正方形内的概率为1－π41＝1－π4.答案：1－π415．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________．解析：依题意知，直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1恒有公共点，故|a |12＋12≤1，解得－2≤a ≤ 2.答案：[－2，2]16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为16.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为26＝13.答案：16 13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求： (1)甲被选中的概率； (2)丁没被选中的概率．解：(1)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}6个基本事件，甲被选中的事件有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}共3个，若记甲被选中为事件A ，则P (A )＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B ，则P (B －)＝1－P (B )＝1－12＝12.18．(12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．解：(1)由题意可得n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a ，c 1)，(a ，c 2)，所以总得分为2分的概率为26＝13.19．(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足m ＋2≤n 的事件的概率为P 1＝316，故满足n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.20．(12分)已知集合Z ＝{(x ，y )|x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]}． (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．解：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2；y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1.则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89.(2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ，∵x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.21．(12分)(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．所以所求的概率P＝9 10 .(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.22．(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会( )A．不全相等 B．均不相等C ．都相等D ．无法确定 答案：C2．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( ) A.34 B.23 C.12 D.13解析：选B 根据几何概型可知，在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的坐标就是1<x ≤3，∴所求的概率为23，故选B.3．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：选B E 1 与E 3，E 1 与E 4 均为互斥而不对立的事件． 4．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况； ④正方形的边长和面积； ⑤汽车的重量和百公里耗油量． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②⑤ D ．④⑤解析：选C ①为负相关；③也为负相关；④中的边长和面积的关系为函数关系；只有②、⑤中的两个变量成正相关．5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64解析：选 C 由表知(10,40]上的频数为52，故样本数据在(10,40]上的频率为52100＝0.52.6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92解析：选A 数据从小到大排列后可得其中位数为91＋922＝91.5，平均数为87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是()A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040解析：选B 执行程序输出1×2×3×4×5×6＝720.8．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( )A.29B.23C.13D.19 解析：选A 如图所示，由几何概型概率公式，得 P ＝S A S Ω＝12×4×212×6×6＝29. 9．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( )A.110 B.310 C.610 D.710解析：选B 从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是30100＝310.10．三个数390,455,546的最大公约数是( ) A ．65 B ．91 C ．26 D ．13解析：选D 用辗转相除法．∵546＝390×1＋156,390＝156×2＋78,156＝78×2，∴546与390的最大公约数为78.又∵455＝78×5＋65,78＝65＋13,65＝13×5，∴455与78的最大公约数为13，故390,455,546的最大公约数为13.11．在如图所示的程序框图中，如果输入的n ＝5，那么输出的i 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由框图知当n ＝5时，将3n ＋1＝16赋给n ，此时i ＝1；进入下一步有n ＝8，i ＝2；再进入下一步有n ＝4，i ＝3；以此类推有n ＝1，i ＝5，此时输出i ＝5.12．下图是把二进制的数 11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i>5? B．i≤5? C．i>4? D．i≤4?解析：选D 根据程序框图，要使得输出的结果是1＋1×2＋1×22＋1×23＋1×24，那么判断框内的条件必须是“i≤4？”.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．解析：丙组中应抽取的城市数为：8×624＝2.答案：214．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．①第一步：x＝23，第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，第三步：输出y；②第一步：x＝23，第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，第三步：输出y；③算6次乘法，3次加法；④算3次乘法，3次加法．以上描述正确的序号为________．解析：利用秦九韶算法，y＝((7x＋3)x－5)x＋11，算3次乘法，3次加法，故②④正确．答案：②④15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.解析：按照程序框图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S，输出T＝30.答案：3016．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________．解析：显然直线l 的斜率存在，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入(x －1)2＋y 2＝3中得，(k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2－2＝0，∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点，∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0，∴k 2<3，∴－3<k <3，又当弦长|AB |≥2时，∵圆半径r ＝3，∴圆心到直线的距离d ≤2，即|2k |1＋k2≤2，∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1.由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率P (M )＝1－ －1 3－ －3＝33. 答案：33三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解：记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.由题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4 彼此互斥．(1)取出1球为红球或黑球的概率为：P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为： 法一：P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝512＋412＋212＝1112. 法二：P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.18．(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x ，y . 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，|x －y |≤6.作出如图所示的区域．区域D (正方形)的面积S 1＝242，区域d (阴影)的面积S 2＝242－182.∴P ＝S 2S 1＝242－182242＝716. 即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716. 19．(12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示．(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．解：(1)这10名同学的成绩是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98，则平均数x ＝80. 方差s 2＝110[(98－80)2＋(97－80)2＋(93－80)2＋(86－80)2＋(84－80)2＋(75－80)2＋(73－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝174.4.即样本的平均成绩是80分，方差是174.4.(2)设A 表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有：(98,84)，(98,86)，(98,93)，(98,97)，(97,84)，(97,86)，(97,93)，(93,84)，(93,86)，(86,84)，共10种．而事件A 含有4个基本事件：(98,93)，(97,93)，(93,84)，(93,86)． 所以所求概率为P ＝410＝25.20．(12分)某培训班共有n 名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．其中落在[80,90)内的频数为36.(1)请根据图中所给数据，求出a 及n 的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩；(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．解： (1)第四组的频率为：1－0.05－0.075－0.225－0.35＝0.3， ∴a ＝0.310＝0.03，n ＝360.3＝120.(2)第一组应抽：0.05×40＝2(名)， 第五组应抽：0.075×40＝3(名)．(3)设第一组抽取的2个分数记作A 1、A 2，第五组的3个分数记作B 1、B 2、B 3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3 共10种，其中平均分不低于70分的有9种，所求概率为：P ＝910.21．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？。