北师大版必修5高中数学第1章 数列章末小结导学案(二)

学习目标1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .学习过程一、课前准备(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++.※ 典型例题例1在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.三、总结提升※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+※ 当堂检测1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）.A. 59B. 31C. 30D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是。

北师大版高中数学必修五第一章数列小结与复习教案一、数列的概念及相关知识点1.数列的定义：按照一定的顺序排列的一组数。

2.数列的表示：一般表示为{a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...}或者(a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...)，其中a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...依次称为数列的项，a₁称为数列的首项，aₙ称为数列的第n项。

3.数列的分类：-等差数列：差值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)d。

-等比数列：比值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁q^(n-1)。

-幂次数列：各项是公比的幂次方的数列。

-斐波那契数列：前两项为1，从第3项开始，每一项都等于前两项的和。

-拍数列：数列以递增或递减的方式排列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)bₙ。

4.数列的前n项和：-等差数列：Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列：Sₙ=(a₁*(q^n-1))/(q-1)，当，q，<1时，Sₙ=a₁/(1-q)。

-幂次数列：Sₙ=(aₙ*q-a₁)/(q-1)。

-斐波那契数列：Sₙ=Fₙ₊₂-1-拍数列：Sₙ=(n*(a₁+aₙ))/2二、数列的综合性题目解法与常用技巧1.求等差数列的和时，如果不能确定Sₙ的公式，则可以考虑用递推公式Sₙ=Sₙ₋₁+aₙ来求解。

2.求证一些结论时，可以尝试先计算前几项得出猜想，然后再进行严格的数学证明。

3.涉及等差数列与等差中项，常使用等差中项的性质：中项等于首项与末项的平均数。

4.利用等差数列的性质进行特殊的构造：例如构造等差数列a,a+d,a+2d，可以进行各种相加，相减和相乘操作。

5.利用平方差公式代数化简计算等差数列时，注意式子的变换与运算。

6.求证题目中如果存在级数或者级数之差的求和，可以考虑用数学归纳法进行证明。

三、教学重点与难点1.教学重点：数列的基本概念与常见分类，数列的各种公式与常用技巧，数列的前n项和公式的推导。

2.教学难点：利用数列的概念与公式解决实际问题，数学证明的推导与展示。

第十四课时 第一章 数列小结与复习（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题；⑵提高运算速度和运算能力。

2、过程与方法：⑴精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤；⑵在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力。

3、情感态度与价值观：⑴在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质；⑵在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识。

二、教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.教学难点 解题思路和解题方法的优化. 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、导入新课师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.生 (1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a 1,a n ,d (q ),n ,S n “知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨. （二）、推进新课师 出示投影胶片1：例题1【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3，试问：是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. ［合作探究］师 这道题涉及到两个数列｛a n ｝和｛b n ｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n ，b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于｛a n ｝是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q由已知a 1=b 1=1，a 2=b 2,a 8=b 3，可以列出方程组⎩⎨⎧=+=+2711qd q d 解出d 和q ，则a n ,b n 就确定了师 如果a n 和b n 确定了，那么a n =log a b n ＋b 就可以转化成含有a ，b ，n 的方程，如何判断a ，b 是否存在呢？生 如果通过含有n ，a ，b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a ，b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？ 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d (d ≠0)，等比数列｛b n ｝的公比为q ，则⎩⎨⎧=+=+.71,12q d q d 解得d =5，q =6.所以a n =5n -而b n =6 n -1，若存在常数a ，b ，使得对一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立，即5n -4=log a 6 n -1＋b即5n -4=(n -1)log a 6＋b即(log a 6-5)n ＋(b -log a 6＋4)=0.对任意n ∈N *都成立只需⎩⎨⎧=+-=-046log 056log a a b 成立解得a =661,b =1.所以存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立师 本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式.a n和b n 确定了，其他的问题就可以迎刃而解可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值. ［合作探究］师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解请学生读题，并逐句分析已知条件生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x -d ，x ，x ＋d ,则x -d ＋x ＋x ＋d生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x -d ＋10， x ＋10，x ＋d ＋11，则(x ＋10)2=(x -d ＋10)(x ＋d ＋师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x ，d .板 书：解：设原计划三年的产值为x -d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值为x -d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋⎩⎨⎧+=+++-=+++-.)10()11)(10(,3002x d x d x d x x d x 解得x =100，d =10，x -d =90,x +d答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清a n 和S n ，抓住基本量a 1，d (q )，再调用有关的概念和公式求解师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{a kn }是公比为q 的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值. ［合作探究］师 题目中数列{a k n }与{a n }有什么关系？ 生 数列{a k n }的项是从数列{a n }中抽出的部分项师 由已知条件k 1=1，k 2=5，k 3=17可以知道等差数列{a n }中的哪些项成等比数列？ 生 a 1，a 5，a 17成等比数列师 要求的k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值，实质上求的是什么？ 生 实质上就是求数列{k n }的前n 项和师 要求｛k n ｝的前n 项和，就要确定数列{k n }的通项公式.应该从哪儿入手？ 生 应该从求等比数列{a k n }的公比入手.其公式为15a a师 a 5，a 1要由等差数列｛a n ｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d 和a 1了生 如果设等差数列{a n }的公差为d ，那么a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d ，由于a 1，a 5，a 17成等比数列，则有(a 1＋4d )2=a 1(a 1＋16d )，从而a n 应该可以求出了师 请同学们把刚才的分析整理出来(投影胶片4)解：设数列｛a n ｝的公差为d ，d ≠0，则a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d 因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则 (a 1＋4d )2=a 1 (a 1＋16d )，即2d =a 1d又d ≠0，则a 1=2d所以a n =a 1＋(n -1)d =2d ＋(n -1)d =(n ＋1)d因为数列{a k n }的公比为q ，则3)11()15(15=++==dda a q所以a k n =a k 1·3 n -1=a 1·3n -1=2d ·3n -1.又a k n =(k n +1)d ,则2d ·3 n -1＝(k n +1)d .由d ≠0，知k n =2·3 n -1-1(n∈N *).因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n =2·3 0-1＋2·31-1＋2·32-1＋…＋2·3n -1-1=2(30＋31＋32＋…＋3n -1)-n =2·133-n -n =3n -n -1.师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝(1)求数列{bn }的通项b n ；设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与3log 1+n a b 的大小，并证明你的结论. ［合作探究］师 数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步请同学们快速准确地求出b n生 快速求解(1)解：设数列{b n }的公差是d ，由题意得b 1＝b 1＋21×10×(10-1)d ＝解得b 1＝1,d ＝∴b n ＝3n -师 在下一个问题中，数列{a n }与数列{b n }具有什么关系呢？数列{a n }具有什么特征？ 生 数列{a n }是由数列{b n }生成的一个新的数列？ 由a n ＝log a (1＋n b 1)＝log a (1+231-n )，可知数列{a n }不是特殊数列师 题中比较S n 与3log 1+n a b 的大小，你现在能作出预料吗？ 生 不能，S n 是什么样子还不清楚.需要得出S n ，才能进一步思考师 那就请同学们先把S n 求出来生 写出S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n发现式中的那个积不太好处理师 能不能现在就和3log 1+n a b 联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？生 因为3log 1+n a b =log a 313+n ，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？ 生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题(投影胶片6)(2)解:由b n ＝3n -2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n3log 1+n a b =log a 313+n 因此要比较S n 与3log 1+n a b 的大小，可先比较(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )与313+n 的大小取n ＝1，有(1＋1)＞3113+⨯取n ＝2，有(1＋1)(1+41)＞3123+⨯由此推测(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b(对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考下面对(*)式加以证明： 证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )(1+131+n )=21×45×78×…×2313--n nD n ＝313+n再设nn C n n B n n 313...9106734,133...895623+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯=∵当k ∈N 时，121+++k k k k ＞恒成立， 于是A n ＞B n ＞C n .∴A n 3＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D n 3.∴A n ＞D n即(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 成立由此证得：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b证法二：∵2313...710471413-+⨯⨯⨯⨯=+n n n因此只需证1＋231-k ＞332313-+k k 对任意自然数k 成立即证2313--k k ＞332313-+k k ,也即(3k -1)3＞(3k ＋1)(3k -2)2,即9k ＞该式恒成立，故1＋231-k ＞332313-+k k取k ＝1，2，3，…n 并相乘即得A n ＞D n .师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用（三）、课堂小结：等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d (q )，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒（四）、布置作业：复习参考题一 A 组15、16 B 组7 C 组1、2五、教后反思：。

第一章《数列》单元总结数列求和（专题复习）-----------蒙城第六中学 曹雪芹目标：1、熟练掌握等差、等比数列的求和公式2、掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法重点：掌握由数列通项公式求数列的前几项和的方法难点：非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和以及应用。

利用裂项相消法、错位相减法求数列的前几项和；高考定位：一、 复习引入上节课我们学习了哪些求和公式？ （1）等差数列 （2）等比数列二、数列求和的常用方法探究探究：（前一天布置的思考题）学生分析各题通项特点，归纳求和方法（1）=-+++++)12(7531n{}n a ()11n a a n d =+-()()11122n n n n n a a s na d -+=+={}na 11n n a a q -=()11,11,11n n na q s a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（2）=++++n 21814121 （3）=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++++++n n 21)12()815()413()211(（4）()11234561(n n n +-+-+-++-⋅为偶数） （5）=⨯-++⨯+⨯+⨯n n 21)12(815413211（6）=+++⨯+⨯+⨯)2(1531421311n n小结：求数列 的前n 项和 的步骤： （1）找（或求）通项 （2）分析通项 的结构（3）选择相应的解法：公式法（等差、等比数列）分组求和法（不同类型数列相加）并项求和法（可两两结合求解）裂项相消法（通项可拆成两项之差）错位相减法（等差乘等比） （4）求三、热点互动探究：连接高考（2021山东）已知等差数列{}n a 满足：{}n a a a a ,26,7753=+=的前n 项和n S1求n a 及n S（2）令)(112*∈-=N n a b n n ，求数列{}n b 的前n 项和n T 引申：（3）令n n n a c 4=，记{}911,<n n n G G n c 求证：项和为的前 na na ns n s（4）的取值范围恒成立，求对一切，若项和为的前记k N n k F F n S n n n *∈≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧1分析：本题主要考查等差数列的基本知识，考查逻辑推理能力、等价变形和运算能力。

第一章数列归纳总结专题探究专题1 数列通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式.根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：1.知S n求a n［例1］（1）已知数列{a n}的前n项和S n=(-1)n+1n,求a n;（2）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n,求a n.S1（n=1）［分析］利用a n= ，求数列{a n}的通项公式.S n-S n-1 (n≥2)［解析］(1)当n≥2时，a n=S n-S n-1=(-1) n+1n-(-1) n(n-1)=(-1) n(1-2n),当n=1时，a1=S1=(-1) 2×1=1,适合上式.∴a n=(-1) n(1-2n).(2)当n≥2时，a n=S n-S n-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当n=1时，a1=S1=3+21=5,不满足上式.5 (n=1)∴a n= .2n-1(n≥2)［说明］已知S n求a n,即已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是a n=S n-S n-1 (n≥2),这里常忽略了条件n≥2而导致错误，因此必须验证n=1时是否成立，若不成立，则S1（n=1）通项公式只能用分段函数a n= 来表示.S n-S n-1（n≥2）变式应用1 （1）已知数列｛a n｝的前n项和S n=n2+3n+1,求通项a n;(2)已知数列｛a n｝的前n项和S n=3n+2n，求通项a n.［解析］(1)当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+3n+1-(n-1) 2-3(n-1)-1=2n+2,又n=1时，a1=S1=5不满足上式.5 (n=1)∴a n= .2n+1 (n≥2)（2）当n≥2时，a n=S n-S n-1=3n+2n-［3n-1+2(n-1)］=2·3n-1+2=2(3n-1+1)又n=1时，a1=S1=5不满足上式，5 (n=1)∴a n= .2(3n-1+1) (n≥2)2.累加法［例2］ 已知a 1=1,a n+1-a n =2n-n ,求a n .［分析］ 当n ≥2时，a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1),而a 2-a 1=21-1,a 3-a 2=22-2,…,a n -a n-1=2n-1 -(n -1),层层累加就可以求出a n .［解析］ ∵a n+1-a n =2n -n ,∴a 2-a 1=21-1,a 3-a 2=22-2,a 4-a 3=23-3,…a n -a n-1=2n-1-(n -1).∴当n ≥2时，有a n -a 1=(2+22+…+2n-1)-［1+2+3+…+(n -1)］. ∴a n =(1+2+22+…+2n-1)-2)1(-n n =2n -2)1(-n n -1，a 1=1也适合上式. ∴数列{a n }的通项公式a n =2n -2)1(-n n -1. ［说明］ 已知a 1且a n+1-a n =f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法求a n .变式应用2 已知｛a n ｝中，a 1＝1，且a n+1-a n =3n (n ∈N +),求通项 a n .［解析］ ∵a n+1-a n =3n (n ∈N +),∴a 2-a 1=3,a 3-a 2=32,a 4-a 3=33,……a n -a n-1=3n-1 (n ≥2)，以上各式相加得a n -a 1=3+32+33+…+3n-1 =31)31(31---n =23n -23, ∴a n =a 1+23n -23=23n -21 (n ≥2). 又a 1=1满足上式，∴a n =23n -21 (n ∈N +). 3.累乘法［例3］ 在数列{a n }中，已知a 1=1，a n+1=2n a n ,求a n .［分析］ 由a n+1=2n a n ,可得n n a a 1+=2n ,于是12a a =2, 23a a =22, 34a a =23,…, 1-n n a a =2n-1,将上面各式相乘，便可求出数列{a n }的通项公式. ［解析］ 由a n+1=2n a n ,得nn a a 1+=2n ,∴12a a =2, 23a a =22, 34a a =23,…, 1-n n a a =2n-1.将上述(n -1)个式子相乘， 得12a a ·23a a .34a a (1)-n n a a =2·22·23·…·2n-1, ∴a n =a 1×21+2+3+…+(n -1) =22)1(-n n .［说明］ 已知a 1且nn a a 1+=f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法求a n . 变式应用3 已知数列｛a n ｝,a 1=31,前n 项和S n 与a n 的关系是S n =n (2n -1)a n ,求通项a n .［解析］ ∵S n =n (2n -1)a n , ∴S n-1=(n -1)(2n -3)a n-1 (n ≥2)， 两式相减，得a n =n (2n -1)a n -(n -1)(2n -3)a n-1 (n ≥2)， 即（2n +1）a n =(2n -3)a n-1, ∴1-n n a a =1232+-n n . ∴12a a =51,23a a =73,9534=a a ,……12321+-=-n n a a n n(n ≥2)，以上各式相乘，得 )12)(12(31-+=n n a a n ,又∵a 1=31,∴a n =)12)(12(1-+n n (n ≥2).a 1=31满足上式，∴a n =)12)(12(1-+n n (n ∈N +). 4.构造转化法［例4］ 在数列{a n }中，a 1=1,a n+1=32a n+1,求a n . ［分析］ 通过整理变形，进而构造等比数列，由等比数列的通项间接求数列{a n }的通项公式. ［解析］ 由已知得a n+1-32a n =1,① ∴a n -32a n-1=1(n ≥2), ② ①-②，得a n+1-a n =32 (a n -a n-1). 令b n =a n+1-a n ,则1-n n b b =32, ∴{b n }为等比数列，公比为32, b 1=a 2-a 1=32a 1+1-a 1=32, ∴b n =32×（32）n-1=（32）n ,即a n+1-a n =（32）n , ③由①③得a n =3-3×（32）n . ［说明］ 已知a 1且a n+1=pa n +q (p,q 为常数)的形式均可用上述构造法，特别地，若p =1，则{a n }为等差数列；若q =0,p ≠0，则{a n }为等比数列. 变式应用4 已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=3a n +2(n ∈N ＋).求数列｛a n ｝的通项公式. ［解析］ ∵a n+1=3a n +2(n ∈N +), ∴a n+1+1=3(a n +1), ∴111+++n n a a =3(n ∈N +). ∴数列｛a n +1｝是以a 1+1=2为首项，3为公比的等比数列.∴a n +1=2·3n-1,∴a n =2·3n-1-1(n ∈N ＋).。

课题: §2.1数列的概念与简单表示法●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

1．1 数列的概念学习目标核心素养1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象素养．2．通过数列通项公式的应用培养逻辑推理及数学运算素养．1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．(1)数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫作数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项a n叫数列的通项(2)数列的表示①一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；②字母表示：上面数列也可记为{a n}．③数列的分类分类标准名称含义举例按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4，…，n 无穷数列项数无限的数列1,4,9，…，n2，…思考：[提示] 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．(2)数列的项和项数有何区别？[提示] 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1．2．通项公式阅读教材P 5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．(1)如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．(2)数列可以看作是定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：(1)若a n ＝2n －1，则a 2＋a 3的值是什么？[提示] 因为a n ＝2n －1，所以a 2＝2×2－1＝3，a 3＝2×3－1＝5，则a 2＋a 3＝3＋5＝8． (2)数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？[提示] 数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋1，则122是该数列的( ) A ．第9项 B ．第10项 C ．第11项D ．第12项C [由n 2＋1＝122得n 2＝121，∴n ＝11．故选C ．] 2．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2nC [经检验可知，它的一个通项公式为a n ＝n ＋2．] 3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝sin n π2，则a 2＝________．0 [a 2＝sin 2π2＝sin π＝0．]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n，n ∈N ＋，则它的第8项是________，第9项是________．1 －1 [当n ＝8时，a 8＝(－1)8＝1． 当n ＝9时，a 9＝(－1)9＝－1．]数列的概念【例1】(1)下列说法错误的是( )A．数列0,1,2,3，…的首项是0B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项都不等于3C．数列中的每一项都是数D．如果已知数列的通项公式，那么可以写出该数列的任意一项(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．(1)B[同一个数可以在一个数列中重复出现，故B错误．](2)[解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1,1，…．数列及其分类的判定方法1判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数．2判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．[跟进训练]1．下列说法正确的是( )A．1,2,3,4，…，n是无穷数列B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列{2n＋1}的第6项是13D[A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13．]根据数列的前n 项写出数列的通项公式【例2】 根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，…．[解] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n 2n －12n ＋1．(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2．∴a n ＝n 22．(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正， 故a n ＝(－1)n·n ．(4)通过观察分析可知所求通项公式为a n ＝29(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．[跟进训练]2．(1)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A ．n 2n ＋1B ．n 2n －1C ．n2n －3D ．n2n ＋3(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，…．(1)B [由已知得，数列可写成11，23，35，47，59，…，故通项公式为n2n －1．](2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n ＝1n ＋1n ＋3．②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以a n ＝(－1)n(2n ＋1－1)．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．所以a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.通项公式的应用[探究问题]1．已知数列{a n }的通项公式，如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值关于n 的方程．2．已知数列{a n }的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示] 假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得关于n 的方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 思路探究：(1)令a n ＝0，a n ＝1⇒求n ⇒判断(2)假设存在连续且相等的两项⇒列方程⇒求解⇒判断 [解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝21．所以0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，所以n 2－21n ＝2， 即n 2－21n －2＝0．因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， 所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，解得m ＝10． 所以数列{a n }中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝n 2－21n2”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1)(2)两题．[解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1，即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，所以m 2－3m ＝(m ＋1)2－3(m ＋1)，解得m ＝1．所以数列{a n }中存在连续的两项，第1项与第2项相等． 2．(变结论)例3的条件不变，求a 3＋a 4的值和a 2n ． [解] a 3＋a 4＝32－21×32＋42－21×42＝－61，a 2n ＝2n2－21×2n 2＝2n 2－21n ．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，例如由2的不足近似值构成的数列1,1．4,1．41,1．414，…，便无通项公式．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列中的项不能相等．( ) (2)数列1,2,3,4，…，n －1，只有n －1项． ( )(3)数列1,2,3,4，…，n 2是无穷数列． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n 2共n 2项，是有穷数列，故(3)错．2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中0．08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝n －2n 2． 令a n ＝0．08，即n －2n 2＝8100， 所以n ＝10，n ＝52(舍去)，故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________． 3－4n15 [根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为a n ＝3－2n，所以a 2n ＝3－22n＝3－4n，a 2a 3＝3－223－23＝15．]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n． (1)写出数列的前三项；(2)110和1627是不是数列{a n }中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)数列的前三项：a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝410＝25，a 3＝432＋3×3＝418＝29．(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N ＋，故n ＝－8舍去． 所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，注意到n ∈N ＋，所以1627不是数列{a n }中的项．。