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第五章 数列5.1 数列基础5.1.1 数列的概念1．数列的概念及一般形式2．数列的分类一般地，如果数列的第n 项a n 与n 之间的关系可以用a n ＝f (n )来表示，其中f (n )是关于n 的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．(2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020；②1，12，14，…，12n－1，…；③1，－23，35，…，(－1)n－1·n2n－1，…；④1,0，－1，…，sin nπ2，…；⑤2,4,8,16,32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限．5(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…； (4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…. [思路点拨] 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N ＋)． (2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N ＋)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n2n －1(n ∈N ＋)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n 1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征．并对此进行归纳、联想．2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．[提示]由数列与函数的关系可知，数列{a n}的图像是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．2．若数列{a n}满足a n＋1－a n>0，∀n∈N＋都成立，则该数列{a n}是递增数列吗？[提示]是．因为a n＋1－a n>0，故a n＋1>a n，所以数列{a n}是递增数列．【例3】已知函数f(x)＝x－1x.数列{a n}满足f(a n)＝－2n，且a n>0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的增减性．[思路点拨]先根据已知条件解方程求a n，再利用作差法或作商法判断数列{a n}的增减性．[解](1)∵f(x)＝x－1x，f(a n)＝－2n，∴a n－1a n＝－2n，即a 2n＋2na n－1＝0，解得a n＝－n±n2＋1，∵a n>0，∴a n＝n2＋1－n.(2)法一：(作差法)∵a n＋1－a n＝(n＋1)2＋1－(n＋1)－(n2＋1－n)＝(n＋1)2＋1－n2＋1－1＝[(n＋1)2＋1－n2＋1][(n＋1)2＋1＋n2＋1](n＋1)2＋1＋n2＋1－1＝(n＋1)＋n(n＋1)2＋1＋n2＋1－1，又(n＋1)2＋1>n＋1，n2＋1>n，∴(n＋1)＋n(n＋1)2＋1＋n2＋1<1.∴a n＋1－a n<0，即a n＋1<a n.∴数列{a n}是递减数列．法二：(作商法)∵a n>0，∴a n＋1a n＝(n＋1)2＋1－(n＋1)n2＋1－n＝n2＋1＋n(n＋1)2＋1＋(n＋1)<1.∴a n＋1<a n.∴数列{a n}是递减数列．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是不是该数列中的项，其方法是由通项公式构造方程，求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．1．{a n}与a n是含义不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．要注意以下两个易错点：(1)并非所有的数列都有通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n 或(－1)n ＋1处理符号； (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.5.1.2 数列中的递推1．数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)．拓展：数列递推公式与通项公式的关系(1)一般地，给定数列{a n }，称S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和． (2)S n 与a n 的关系 a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).n n n ＋1n ＋1＋ 2 019a 2 020＝( )A ．－13 B.13 C ．－12 D.12(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11的值为( ) A ．31 B ．32 C ．61 D ．62 (1)B (2)A [(1)由a n a n ＋1＝1－a n ＋1， 得a n ＋1＝1a n ＋1，又∵a 2 019＝2， ∴a 2 020＝13，故选B.(2)∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31，故选A.](由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.12n n n 式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n －2.[思路点拨] 应用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解，注意检验n ＝1时a 1是否满足a n (n ≥2)．[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)] ＝4n －5.(*)当n ＝1时，a 1满足(*)式，故a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1.(*) 当n ＝1时，a 1不满足(*)式， 故a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(变条件)若把本例(1)中的S 换为S ＝2n 2－3n ＋1，再求{a }的通项公式．(已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；,如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝.1．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n ＝2，照此递推关系，你能写出{a n }任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？[提示] 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2.则a na 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N ＋)．2．在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1－a n ＝2，照此递推关系试写出前n 项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？[提示] 由a n ＋1－a n ＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝2，…，a n －a n －1＝2(n ≥2，n ∈N ＋)，将这些式子两边分别相加得：a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＝2(n －1)，即a n －a 1＝2(n －1)，所以有a n ＝2(n －1)＋a 1＝2n ＋1(n ∈N ＋)．【例3】 设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1＝nn ＋1a n (n ∈N ＋)，求数列的通项公式．[思路点拨] 由递推公式，分别令n ＝1,2,3，得a 2，a 3，a 4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用a n ＋1＝n n ＋1a n 反复迭代；或将a n ＋1＝n n ＋1a n变形为a n ＋1a n ＝n n ＋1进行累乘；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形为(n ＋1)a n ＋1na n ＝1，构造数列{na n }为常数列．[解] 法一：(归纳猜想法)因为a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，a 2＝12×1＝12，a 3＝23×12＝13，a 4＝34×13＝14，…猜想a n ＝1n .法二：(迭代法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·…·12a 1，从而a n ＝1n .法三：(累乘法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＋1a n＝n n ＋1，则a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12， 所以a n ＝1n .法四：(转化法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以(n ＋1)a n ＋1na n ＝1，故数列{na n }是常数列，na n ＝a 1＝1，所以a n ＝1n .由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．1．因为a n ＝S n －S n －1只有当n ≥2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n . 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列第1课时 等差数列的定义1．等差数列的概念一般地，如果数列{a n}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即a n＋1－a n＝d恒成立，则称{a n}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．拓展：等差数列定义的理解(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式及其推广若等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.该式可推广为a n＝a m＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．3．等差数列的单调性等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为递增数列；若公差d<0，则数列{a n}为递减数列．n1n n n ＋4，试判断{b n}是不是等差数列．[思路点拨]可以利用a1和d写出b n的通项公式，也可以直接利用定义判断b n＋1－b n是不是常数．[解]法一：由题意可知a n＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则b n＝3a n＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4.由于b n是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)，故{b n}是等差数列．法二：根据题意，知b n＋1＝3a n＋1＋4，则b n＋1－b n＝3a n＋1＋4－(3a n＋4)＝3(a n －a n)＝3d(常数)．＋1由等差数列的定义知，数列{b n}是等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N＋)⇔{a n}为等差数列；(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋)⇔{a n}为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N ＋)⇔{a n }为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.1．若{a n }是等差数列，试用a m ，a n 表示公差d ，其中n ≠m . [提示] d ＝a n －a mn －m.2．若数列{a n }的通项公式a n ＝kn ＋b ，则该数列是等差数列吗？ [提示] 是．因为a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ，故{a n }是等差数列．【例2】 (教材P 19例5改编)(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．[思路点拨] 设出基本量a 1，d .利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．[解] (1)法一：∵a 4＝7，a 10＝25， 则⎩⎨⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3. ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， ∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N ＋)． 法二：∵a 4＝7，a 10＝25， ∴a 10－a 4＝6d ＝18， ∴d ＝3，∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝3n －5(n ∈N ＋)． (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34. ∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314. 法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ， 即－74＝54＋4d ， 解得d ＝－34.∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎨⎧a 1＋(m －1)d ＝a ，a 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其他项时，则运用a n ＝a m ＋(n －m )d 较为简捷．1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有： (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式；反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．第2课时等差数列的性质1．等差中项如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝x＋y 2.在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？[提示]是．2．等差数列的性质{a n}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则a s＋a t ＝a p＋a q.①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，a p＋a q＝2a s.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….思考2：在等差数列{a n}中，2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)成立吗？2a n＝a n＋k＋a n－k(n>k>0)是否成立？[提示]令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2a n＝a n＋1＋a n－1成立；令s＝t ＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2a n＝a n＋k＋a n－k也成立．拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(2)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．(3)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(4){a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．【例1】(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；(2)已知数列{x n}的首项x1＝3，通项x n＝2n p＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．[解](1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②将②代入①，得p＝1.所以p＝q＝1.三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{a n}为等差数列，可证2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋).n(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.[思路点拨] 解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a 1和d 后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．[解] 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下： (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48， 即4(a 1＋12d )＝48. ∴4a 13＝48. ∴a 13＝12.(2)化成a 1和d 的方程如下：⎩⎨⎧(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1，d ＝3，或⎩⎨⎧a 1＝16，d ＝－3，∴d ＝3或－3.法二：(1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13. 得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5得 2(a 2＋a 5)＝34， 即a 2＋a 5＝17.解⎩⎨⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，得⎩⎨⎧ a 2＝4，a 5＝13，或⎩⎨⎧a 2＝13，a 5＝4. ∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.1．利用等差数列的通项公式列关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．3．通项公式的变形形式a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N ＋)，它又可变形为d ＝a n －a mn －m，应注意把握，并学会应用．[探究问题]1．对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法： (1)设这三个数分别为a ，b ，c .(2)设该数列的首项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d . (3)设该数列的中间项为b ，公差为d ，则这三个数分别为b －d ，b ，b ＋d . 那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？ [提示] 方法(3)可能更便捷一些．2．如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？ [提示] 可以设四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .【例3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[解] 法一：设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎨⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11，或⎩⎨⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得⎩⎨⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎨⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎨⎧a 1＝11，d ＝－3， ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎨⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 化简，得⎩⎨⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列．2．当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a ＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3．当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a ＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .1．若数列{a n }满足2a n ＝a n ＋k ＋a n －k (n ，k ∈N ＋，n >k )⇔{a n }为等差数列． 2．等差数列的性质：(1)在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a n －a mn －m为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a n ＝a m ＋(n －m )d .(2)等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．(3)等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .3．等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．5.2.2 等差数列的前n 项和1．等差数列的前n 项和公式(1)两个公式共涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n 项和．(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．2．等差数列前n 项和S n 的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．【例1】 在等差数列{a n }中． (1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (3)已知a 16＝3，求S 31.[解] (1)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∴⎩⎨⎧8a 1＋28d ＝48，12a 1＋66d ＝168， 解方程组得a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44.(3)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝3×31＝93.a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.n m 2m 3m 项和，若S m ＝30，S 2m ＝100，则S 3m ＝________；(2)已知等差数列{a n }中，若a 1 011＝1，则S 2 021＝________；(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.(1)210 (2)2 021 (3)53 [(1)法一：设{a n }的公差为d ，依据题设和前n 项和公式有：⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30， ①2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100， ②②－①，得ma 1＋m (3m －1)2d ＝70， 所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ma 1＋m (3m －1)2d ＝3×70＝210.法二：S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等差数列， 所以30、70、S 3m －100成等差数列． 所以2×70＝30＋S 3m －100.所以S 3m ＝210.法三：在等差数列{a n }中，因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， 所以S n n ＝a 1＋(n －1)d 2.即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 构成首项为a 1，公差为d2的等差数列．依题中条件知S m m 、S 2m 2m 、S 3m3m 成等差数列， 所以2·S 2m 2m ＝S 3m 3m ＋S mm .所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30) ＝210.(2)法一：∵a 1 011＝a 1＋1 010d ＝1， ∴S 2 021＝2 021a 1＋2 021×2 0202d＝2 021(a 1＋1 010d )＝2 021.法二：∵a 1 011＝a 1＋a 2 0212，∴S 2 021＝a 1＋a 2 0212×2 021＝2 021a 1 011＝2 021. (3)法一：a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53.法二：∵S n T n＝2n ＋2n ＋3＝n (2n ＋2)n (n ＋3)，∴设S n ＝2n 2＋2n ，T n ＝n 2＋3n ，∴a 5＝S 5－S 4＝20，b 5＝T 5－T 4＝12， ∴a 5b 5＝2012＝53.]等差数列的前n 项和常用性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为k 2d 的等差数列.(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列为等差数列.(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d .①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1； ②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(4)若{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n＝S 2n －1T 2n －1.1．对于等差数列{a n }而言，若a 1<0，d >0，其前n 项和S n 有最大还是最小值？若a 1>0，d <0呢？[提示] 若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．2．当公差d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，能否借助二次函数的性质求S n 的最值，为什么？[提示] 可以，但需注意自变量n 的取值范围．【例3】 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，则数列的前多少项之和最大？并求此最大值．[思路点拨] 可以多角度分析：借助函数图像，利用函数性质，还可以分析通项等．[解] 法一：∵S n ＝d2n 2＋n (d <0)，∴S n 的图像是开口向下的抛物线上一群孤立的点， ∵S 17＝S 9， ∴最高点的横坐标为9＋172＝13，即S 13最大，由题意及等差数列的性质可得d ＝－2，可求得最大值为169. 法二：∵S 17＝S 9， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1＝25>0，∴a 13>0，a 14<0.∴S 13最大，由题意及等差数列的性质可得d ＝－2，可求得最大值为169. 法三：由⎩⎨⎧a 1＝25，S 17＝S 9，得17×25＋17×162d ＝9×25＋9×82d ，解得d ＝－2.从而S n ＝25n ＋n (n －1)2·(－2)＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大，最大值是169. 法四：同法三，可得d ＝－2. 由⎩⎨⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0， 得252≤n ≤272.∴当n ＝13时，S n 有最大值，为169.求等差数列前n 项和的最值问题的方法 (1)运用配方法，将S n ＝d2n 2＋n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)通项公式法：①当a 1>0，d <0时，数列{a n }的正数项有限，前n 项和有最大值，由⎩⎨⎧ a n ≥0a n ＋1≤0可求出S n 取得最大值时的n 值．②当a 1<0，d >0时，数列{a n }的负数项有限，前n 项和有最小值，由⎩⎨⎧a n ≤0a n ＋1≥0可得S n 取最小值时的n 值．指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？[解] 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．1．本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式a n ，求前n 项和S n ，还是求项数n .1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的前n 项和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较好，若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．3．求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种： (1)用二次函数的性质求解．(2)明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决． 4．解决数列应用题时应分清：(1)是不是等差数列问题； (2)是通项问题还是求和问题．5.3 等比数列 5.3.1 等比数列第1课时 等比数列的定义1．等比数列的概念一般地，如果数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q ，即a n ＋1a n＝q 恒成立，则称数列{a n }为等比数列，其中q 称为等比数列的公比．拓展：对等比数列的定义的理解(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．2．等比数列的通项公式及其推广若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则其通项公式a n ＝a 1q n －1，该式可推广为a n ＝a m q n －m ，其中n ，m ∈N *.3．等比数列的单调性等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .(1)当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，数列为递增数列； (2)当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，数列为递减数列； (3)当q ＝1时，数列为常数列； (4)当q <0时，数列为摆动数列．n (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ； (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .[解] (1)法一：∵⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，∴⎩⎨⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝22n －53. 法二：∵a 7＝a 4q 3，∴q 3＝a 7a 4＝82＝4，∴q ＝34.∴a n ＝a 4q n －4＝2×4n －43＝2×22n －83＝22n －53. (2)法一：∵⎩⎨⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， ∴32×＝1，即26－n ＝20，∴n ＝6.法二：∵a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)， ∴q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6. (3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a 1和q 的方程(组)，求出a 1和q .1．如何证明数列{a n }是等比数列？ [提示] 只需证明a n ＋1a n ＝q ，(q ≠0)即可．2．如何证明数列{a n ＋1}是等比数列？ [提示] 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝q ，(q ≠0)即可．【例2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)， 又a 1＝1，故a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)可知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，即a n ＝2n －1.由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}. 【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．[解] (1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12. 又a 1＝－12，所以数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．1．已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．2．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有： ①定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．②通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．③构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可．1．等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零．(2)a n ＋1a n 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．2．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．(3)在公式a n ＝a m q n －m 中，体现了已知任意两项便可求公比q ，即可求任意一项的思想．第2课时 等比数列的性质1．等比中项在等比数列{a n }中，若s ＋t ＝p ＋q (s ，t ，p ，q ∈N ＋)，则a s ·a t ＝a p ·a q .(1)特别地，当2s ＝p ＋q (s ，p ，q ∈N ＋)时，a p ·a q ＝a 2s .(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….拓展：(1)“子数列”性质对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k .(2)两个等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也为等比数列．A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9(2)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝________.(1)B (2)1316 [(1)因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，a 2＝－1×b ＝－b ＞0，所以b ＜0，所以b ＝－3，且a ，c 必同号．所以ac ＝b 2＝9.(2)由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.]由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列.所以a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0).n n 243546则a 3＋a 5＝________.(2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．(1)6 (2)64 [(1)∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，∴(a 3＋a 5)2＝36，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6. (2)设a 1＝2，a 5＝8， ∴a 3＝a 1a 5＝4，∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝43＝64.]。
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高中数学必修3知识点第一章算法初步1.1.1算法的概念算法的特点:（1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.（2）确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.（3）顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。
(5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。
1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
(二）构成程序框的图形符号及其作用学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画.3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号.4、判断框分两大类，一类判断框“是"与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
三年级上册数学第五单元笔记
一、单元主题
本单元主要涉及倍的认识以及解决与倍有关的实际问题。
二、重点知识
1. 倍的概念：一个数是另一个数的几倍，可以用除法计算。
2. 倍的应用：通过画图、列式等方法解决有关倍的问题。
3. 解决问题的步骤：
- 阅读理解：明确问题中的已知信息和所求问题。
- 分析解答：选择合适的方法进行计算，如列式、画图等。
- 回顾反思：检查计算结果是否正确，以及是否符合实际情况。
三、学习方法
1. 通过实物操作和图形演示，帮助学生理解倍的概念。
2. 进行大量的练习，加深对倍的认识和应用。
3. 引导学生运用所学知识解决实际问题，培养他们的应用意识和解决问题的能力。
四、总结
本单元重点学习了倍的认识和应用，通过学习，学生能够理解倍的概念，解决与倍有关的实际问题。
在学习过程中，要注重实物操作、图形演示和练习，培养学生的应用意识和解决问题的能力。
