北师大版九年级上第四章数学单元测试卷

2019年秋北师九上数学单元测试卷班级 姓名第四章 图形的相似 [时间：120分钟 分值：150分]一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．2018· 如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么xy＝( )A.32B.38C.23D.852．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．83．能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′或BC B ′C ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠C ′C.AB A ′B ′＝BCB ′C ′且∠B ＝∠B ′D.AB A ′B ′＝BCA′C′且∠B ＝∠A ′ 4．[2018·滨州]在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，8)，B (10，2)．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( )A ．(5，1) ．(4，3) C ．(3，4)．(1，5)5．[2018·贵港]如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE .若S 四边形BCFE＝16，则S △ABC ＝( )B.18D.246．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 48．如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是点B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A.13B.23C.34D.459．[2018·厦门一模]我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ (如图)：(1)测量者在水平线上的A 处竖立一根竹竿，沿射线QA 方向走到M 处，测得山顶P 、竹竿顶端B 及M 在一条直线上；(2)将该竹竿竖立在射线QA 上的C 处，沿原方向继续走到N 处，测得山顶P 、竹竿顶端D 及N 在一条直线上；(3)设竹竿与AM ，CN 的长分别为l ，a 1，a 2，可得公式PQ ＝d la 2－a 1＋l.则上述公式中，d 表示的是( )A ．QA 的长 ．AC 的长C ．MN 的长D ．QC 的长10．[2018·包头]如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.435二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，d ＝6 cm ，则c ＝____ ____ cm.12．[2018·上海]如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是__ __．,13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，且AD ＝2.5 cm ，DB ＝0.9 cm ，则CD ＝__ __cm ，S △ACD ∶S △CBD ＝__ __．14．[2018·包头]如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF .若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为__ __．15．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 上一点，且BP ＝1，点D 为AC 上一点．若∠APD ＝60°，则CD 的长为__ __.16．[2018秋·金牛区期末]如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 边上的一动点，连接OE ，将△BOC 分成了两个三角形，若BE ＝OB ，且OC 2＝CE ·BC ，则∠BOC 的度数为__ __．三、解答题(本大题共9个小题，共96分)17．(10分)若a b ＝c d ＝e f ＝25.求：(1)a －c b －d； (2)2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f； (3)比较(1)(2)的结论能发现什么规律？18．(10分)[2018秋·宜宾县期中]已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点F，E，试证明：(1)△BAF∽△BCE；(2)△BEF∽△BC A.19．(10分)[2018·青海]如图，在平行四边形ABCD中，E为AB 边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：AD＝BF；(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．20．(10分)将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标．(1)沿y轴正方向平移2个单位；(2)关于y轴对称；(3)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．21．(10分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EA D.22．(10分)如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A ＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．23．(12分)[2018·金华、丽水节选]在ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝12.点D 在直线CB 上，直线AB 与直线CE ，DE 的交点分别为点F ，G .如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形．(1)若点G 为DE 的中点，求FG 的长． (2)若DG ＝GF ，求BC 的长．,24．(12分)如图，已知Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线交于点F ，求证：(1)△ABD ∽△CAD ； (2)AB AC ＝DF AF.25．(12分)[2018·淮安节选]如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__ __ ；(2)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．参考答案一、1．A 【解析】 由xx ＋y ＝35得5x ＝3x ＋3y ，即x y ＝32.2．C 【解析】 ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即13＝2EF，得EF ＝6. 3．C 【解析】C 项满足三角形两边对应成比例且夹角相等，其他选项都不满足三角形相似的条件．4．C 【解析】 根据题意点C 的坐标为(6×12，8×12)，即C (3，4)．5．B 【解析】 设△AEF 的面积为S ，则△ABC 的面积为16＋S ，由于在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，所以S 16＋S ＝(AE AB )2＝(13)2＝19，解得S ＝2，所以S △ABC ＝16＋2＝18，故选．6．B 【解析】 ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△ABF .∵AD ∥BC ，∴△EDF ∽△ECB ，因此与△DEF 相似的三角形有2个．7．C 【解析】 ∵∠BAC ＝∠PED ，而AB AC ＝32，∴EP ED ＝32时，△ABC ∽△EP D.∵DE ＝4，∴EP ＝6，∴点P 落在P 3处．8．C 【解析】 ∵AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴EC BE ＝DCAB ＝3，同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋EC ＝14，∴EF ＝34.9．B 【解析】 ∵AB ∥PQ ，∴PQ AB ＝MQ AM ，∴PQ l ＝a 1＋AQ a 1，∴AQ ＝PQl ·a 1－a 1.∵CD ∥PQ ，∴PQ CD ＝NQ CN ，∴PQ l ＝a 2＋AC ＋AQ a 2，∴AQ ＝PQl ×a 2－a 2－A C.∴PQ ＝AC·la 2－a 1＋l ，∴d＝A C.10．D【解析】 连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∴DE ＝BE ＝12BC ＝2，∴∠CBD ＝∠EDB ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴AB ∥DE ，∴△DEF ∽△BAF ，∴DE AB ＝DF BF， 易求得AB ＝3，∴DE AB ＝DF BF ＝23，∴DF ＝25BD ＝25×23＝45 3.二、11．4. 12． 127．答图【解析】 如答图，作AH ⊥BC 于点H ，交GF 于点I .设正方形的边长是x ，∵△ABC 的面积是6，∴12×BC ×AH ＝6.又∵BC ＝4，∴AH＝3，AI ＝3－x .∵正方形DEFG ，∴GF ∥BC ，∴GF BC ＝AI AH ，3－x 3＝x4，解得x ＝127，∴正方形的边长是127.13． 1.5 25∶9．【解析】 ∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°， ∴∠A ＝∠BC D.又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD DB，∴CD 2＝AD ·DB ＝2.5×0.9＝2.25， ∴CD ＝1.5 cm ，∴S △ACD S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2.51.52＝259. 14．52 【解析】 ∵3AE ＝2EB ，∴AE EB ＝23.∵EF ∥BC 易证得△AEF ∽△ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝425，又∵S △AEF ＝1，∴S △ABC ＝254，∵AC 是对角线，∴S △ADC ＝254，又∵AF FC ＝AE EB ＝23， ∴S △ADF ＝25S △ADC ＝25×254＝52.15．23 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°. ∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP ＝∠DP C.又∵∠B ＝∠C ，∴△BAP ∽△CPD ，∴AB CP ＝BPCD.∵AB ＝BC ＝3，BP＝1，∴CP ＝BC －BP ＝2，即32＝1CD ，解得CD ＝23. 16．108°解：∵OC 2＝CE ·BC ，∴OC CE ＝BCOC，∵∠OCE ＝∠OCB ， ∴△OCE ∽△BCO ， ∴∠COE ＝∠CBO . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ，设∠OBC ＝∠OCB ＝∠COE ＝x ，∵BE ＝BO ，∴∠BOE ＝∠BEO ＝∠COE ＋∠ECO ＝2x ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＋∠BOC ＝180°， ∴x ＋x ＋3x ＝180°， ∴x ＝36°， ∴∠BOC ＝3x ＝108°.三、17．解：(1)∵a b ＝c d ＝25，∴a ＝25b ，c ＝25d∴a －c b －d ＝25b －25d b －d ＝25（b －d ）b －d ＝25. (2)∵a b ＝c d ＝e f ＝25，∴2a 2b ＝3c 3d ＝－4e －4f ＝25，同(1)可知， 2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝25（2b ＋3d －4f ）2b ＋3d －4f ＝25.(3)a －c b －d ＝2a ＋3c －4e 2b ＋3d －4f ＝a b. 18．证明：(1)∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠AFB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠B ＝∠B ， ∴△BAF ∽△BCE . (2)∵△BAF ∽△BCE ，∴BF BE ＝BA BC，∴BFBA＝BEBC，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BC A.19．(1)证明：∵点E是AB中点，∴AE＝BE.1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥B C.又∵点F在CB，DE的延长线上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF；(2)解：∵EB∥CD，∴△EFB∽△FD C.∵△AED≌△BFE，∴ED＝EF，S△AED＝S△BFE，∴EFDF＝12，∴S△BEFS△DCF＝14，设S△BFE为x，S四边形EBCD为3x，则4x＝32，x＝8，S四边形EBCD＝3×8＝24.20．解：图略．(1)△ABC沿y轴正方向平移2个单位后所得△A1B1C1的三个顶点坐标为A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3).(2)△ABC关于y轴对称的△A2B2C2的三个顶点坐标分别为A2(0，－2)，B2(－3，－1)，C2(－2，1).(3)将△ABC以点C为位似中心，放大为原来的2倍后所得△A3B3C3的三个顶点坐标分别为A3(6，7)，B3(0，5)，C3(2，1)或A3(－2，－5)，B3(4，－3)，C3(2，1).21．证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BA D.又∵∠AED＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠BAD＋∠1，∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠AED，∴△ABC∽△EA D.22．解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠DME＝∠A＝∠B，∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG.又∵∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.23．答图解：(1)在正方形ACDE 中，有DG ＝GE ＝6. 在AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝122＋62＝6 5.∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF . ∴FG AF ＝EG AC ，∴FG AF ＝612＝12. ∴FG ＝13AG ＝2 5.(2)如答图，在正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°， 又EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF . 设∠1＝∠2＝x .∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x . ∵GF ＝GD ， ∴∠3＝∠2＝x .在△DBF 中，∠3＋∠FDB ＋∠B ＝180°， ∴x ＋(x ＋90°)＋x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝30°.∴在ABC中，AB＝2AC＝24，BC＝AB2－AC2＝242－122＝12 3.24．证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠AC D.又∵∠ADB＝∠ADC，∴△ABD∽△CA D.(2)∵△ABD∽△CAD，∴ABCA＝BDAD.∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EC，∴∠ACD＝∠ED C.∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDF.又∵∠AFD＝∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴ADDB＝AFDF，∴ABAC＝DFAF.25．【解析】 (1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C ＞90°，则有2∠A ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠A ＝90°， 又∵∠A ＝60°，∴2∠A ＋∠B ＝90°不成立，即代入2∠B ＋∠A ＝90°；可得∠B ＝15°. 解：(2)存在，BE ＝95.∵点E 在BC 边上， ∴∠AEB ＞90°，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°或2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∵点E (异于点D )，∴2∠BAE ＋∠B ＝90°不成立． 在ABC 中，可得∠BAE ＋∠EAC ＋∠B ＝90°，又由“准互余三角形”定义可知：2∠B ＋∠BAE ＝90°， ∴∠B ＝∠EAC ， ∴△ABC ∽△EAC ，∴AC EC ＝BC AC， ∵AC ＝4，BC ＝5， ∴EC ＝165，∴BE ＝BC －EC ＝95.。

北师大版数学九年级上册第四章测试题（一）（图形的相似测试卷）一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．= B．=C．= D．=10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）A．B．C．D．二、填空题11．若，则= ．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为．15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B （1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．16．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是．三、解答题19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．20．（6分）若=，求的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD 地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？答案解析一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；网格型；数形结合．【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．【解答】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质．【专题】数形结合．【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP=AP•CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ， ∴=，∵点E 是边AD 的中点，∴AE=DE=AD ， ∴=．故选：D ．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF ∽△BCF 是解题关键．7．四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′位似，O 为位似中心，若OA ：OA′=1：3，则S 四边形ABCD ：S 四边形A´B´C´D´=（ ）A ．1：9B ．1：3C ．1：4D ．1：5【考点】位似图形的性质．【分析】四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′位似，四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，可知AD ∥A′D′，△OAD ∽△OA′D′，求出相似比从而求得S四边形ABCD ：S 四边形A´B´C´D´的值．【解答】解：∵四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，∴AD ∥A′D′，∴△OAD ∽△OA′D′，∴OA ：O′A′=AD ：A′D′=1：3，∴S 四边形ABCD ：S 四边形A´B´C´D´=1：9．故选：A ．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．8．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m【考点】利用影子测量物体的高度．【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：=，解得x=2.2，2.2﹣1.7=0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．=B．=C．=D．=【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∵=，故A、B选项均错误；∵△ADE∽△ABC，∴==，=（）2=，故C选项正确，D选项错误．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选C．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．二、填空题11．若，则=．【考点】比例的性质．【专题】常规题型．【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解．【解答】解：∵，∴﹣2=，=2+=，∴+1=+1，即=．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k=．【考点】相似三角形的性质．【分析】由一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，根据相似比等于对应边的比，即可求得答案．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，∴较小三角形与较大三角形的相似比k==．故答案为：．【点评】此题考查了相似比的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记定义．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为4cm，6cm，8cm．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴△A′B′C′的周长：△ABC的周长=A′B′：AB，∵在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，∴△ABC的周长为：54cm，∵△A′B′C′的周长为18cm，∴A′B′：AB=A′C′：AC=B′C′：BC=，∴A′B′=4cm，B′C′=6cm，A′C′=8cm．故答案为：4cm，6cm，8cm．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B （1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为5．【考点】利用镜子的反射原理．【专题】计算题；压轴题．【分析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．16．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴=，即=，解得AC=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，=18，∴S△ABC故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是9：11．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE=x ，S △BEF =a ，再求出S △ADF 的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x 与a 的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE=x ，S △BEF =a ，∵CE=x ，BE ：CE=2：1，∴BE=2x ，AD=BC=CD=AD=3x ；∵BC ∥AD ∴∠EBF=∠ADF ，又∵∠BFE=∠DFA ；∴△EBF ∽△ADF∴S △BEF ：S △ADF ===，那么S △ADF =a ．∵S △BCD ﹣S △BEF =S 四边形EFDC =S 正方形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ， ∴x 2﹣a=9x 2﹣×3x•2x ﹣， 化简可求出x 2=；∴S △AFD ：S 四边形DEFC =：=：=9：11，故答案为9：11． 【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．三、解答题19．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，且a=6dm ，b=3dm ，d=dm ，求线段c 的长度．【考点】成比例线段．【分析】根据比例线段的定义得出=，即=，解之可得c ．【解答】解：根据题意，=，即=，解得：c=3，答：线段c的长度为3dm．【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键．20．若=，求的值．【考点】比例的性质．【分析】首先由已知条件可得x=，然后再代入即可求值．【解答】解：∵=，∴8x﹣6y=x﹣y，x=，∴==．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【考点】比例的性质．【专题】探究型．【分析】令=k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k 值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．【解答】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC +CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m 、20m 梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC 地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m 2、10元/m 2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？【考点】相似三角形的性质．【专题】应用题．【分析】（1）易得△AMD ∽△BMC ，根据BC=2AD 可得S △BMC =4S △AMD ，据此可得种满△BMC 的花费；（2）根据每平方米8元来看，△AMD 面积为20平米方米，△BMC 面积为80平方米，因此可以得出梯形的高也就是两三角形高的和为12米，那么可得梯形面积为180平方米，还有80平方米未种，800元未用，所以要选择每平方米十元的茉莉花．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是梯形，∴AD ∥BC ，∴∠MAD=∠MCB ，∠MDA=∠MBC ，∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD ：S △BMC =（10：20 ）2=1：4．∵种植△AMD 地带花费160元，单价为8元/m 2，∴S △AMD =20m 2，∴S △CMB =80m 2，∴△BMC 地带所需的费用为8×80=640（元）；（2）设△AMD 的高为h 1，△BMC 的高为h 2，梯形ABCD 的高为h ． ∵S △AMD =×10h 1=20，∴h 1=4，∵S △BCM =×20h 2=80，∴h 2=8，∴S 梯形ABCD =（AD +BC ）•h =×（10+20）×（4+8）=180．∴S △AMB +S △DMC =180﹣20﹣80=80（m 2），∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600（元），∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及应用；求得梯形的高是解决本题的难点；用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方．25．如图，已知在△ABC 和△EBD 中，．（1）若△ABC 与△EBD 的周长之差为60cm ，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC 与△EBD 的面积之和为812cm 2，求这两个三角形的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比即可得到结论；（2）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论；【解答】解：（1）∵，∴△ABC∽△DBE，∴△ABC的周长：△EBD的周长=，设△ABC的周长为5k，△EBD的周长为2k，∴5k﹣2k=60，∴k=20，∴△ABC的周长=100cm，△EBD的周长=40cm；（2）∵，∴△ABC∽△DBE，∴=（）2=，∵△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，=812×=700．∴S△ABC【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？【考点】相似三角形的性质与判定．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：由题意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河宽BD是13.6米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．北师大版数学九年级上册第四章测试题（二）（图形的相似测试卷）一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C． D．53．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：16．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C． D．27．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．510．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1611．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C． D．212．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）二．填空题13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．三．解答题17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．22．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？答案解析一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C． D．5【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线．【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A．【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C． D．2【考点】相似多边形的性质．【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（负值舍去），。

单元检测试题：《图形的相似》一．选择题1．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°2．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．3．已知＝，那么的值为（）A．B．C．D．4．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P 的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．在△ABC中，边BC＝6，高AD＝4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．26．如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．167．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8．正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G 分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝4．则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．4﹣4 D．8﹣49．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2 m，并测得BC＝3 m，CA＝1 m，那么树DB的高度是（）A ．6mB ．8mC ．32mD ．0.125m10．下列各组图形中一定相似的图形是（ ） A ．有一个角相等的两个等腰三角形 B ．两邻边之比相等的两个平行四边形 C ．有一个角为60°的两个菱形 D ．两个矩形11．如图，已知∠ACD ＝∠B ，若AC ＝6，AD ＝4，BC ＝10，则CD 长为（ ）A ．B ．7C ．8D ．912．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：4，则S △BDE ：S △ACD ＝（ ）A ．1：16B ．1：18C ．1：20D ．1：24二．填空题 13．若，则＝ ．14．如图，点B 在AD 上，AB ＝1，AD ＝4，且△ABC ∽△ACD ，则AC ＝ ．15．如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF ．若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为 ．16．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长都是1）．△A1B1C1是以B为位似中心的△ABC的位似图形，且△A1B1C1与△ABC位似比为2，则点C1的坐标是，△A1B1C1的面积是．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE．AB；②1.8≤AE＜5；③当AD＝时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形，BD为4或6.25．其中正确的结论是．（把你认为正确结论序号都填上）三．解答题19．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．（1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）；（2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．21．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为，B1的坐标为，C1的坐标为；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．22．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．23．已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA＝3cm，OC＝4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？24．某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在个、个、个大小不同的内接正方形．乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．参考答案一．选择题1．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．2．解：∵△ABC∽△ADE，∴．故选：D．3．解：∵＝，∴设a＝2k，则b＝3k，则原式＝＝．故选：B．4．解：∵点P的纵坐标为，∴点P在直线y＝上．①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，则P（1，）；②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB•OA，∴＝b﹣1，∴（b﹣8）2＝48，解得b＝8±4，∴P（1，2+）或（1，2﹣）．综上所述，符合条件的点P有3个．故选：D．5．解：设AD交GH于M．∵四边形EFMN是正方形，∴HG∥BC，∴△AGH∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AD⊥BC，EH＝HG＝MD，∴＝，设EH＝x，则AM＝4﹣x，∴＝，解得：x＝2.4，∴EH＝2.4．答：这个正方形的边长为2.4．故选：C．6．解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），∴位似比为：2：1，∵△DEF的面积为4，∴△ABC的面积为：4×4＝16．故选：D．7．解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形故选：B．8．解：如图，作AN⊥BC于N，交DG于M，交EF于H．∵AB＝AC＝12，AN⊥BC，∴BN＝CN＝4，∴AN＝＝＝8，∵AD＝AG，AB＝AC，∴∠ADG＝∠AGD，∠B＝∠C，∵∠A+2∠ADG＝180°，∠A+2∠B＝180°，∴∠ADG＝∠B，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AM＝4，∵四边形MHFG是矩形，∴MH＝GF＝DG＝4，∴HN＝MN﹣MH＝4﹣4，∴点F到BC的距离为4﹣4，故选：C．9．解：由题意可得，CE∥BD，在△ABD中，，即，解得BD＝8m．故选：B．10．解：A、一个角可以是顶角也可以是底角，不能确定，所以不一定形似，故A不正确；B、两邻边之比相等，如果夹角不相等，两平行四边形也不相似，所以不一定相似，故B不正确；C、菱形的四条边相等，如果一个角都为60°，则四个角等对应相等，且各边对应成比例为1，所以一定相似，故C则正确；D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故D不正确．故选：C．11．解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴，∵AC＝6，AD＝4，BC＝10，∴，∴CD＝．故选：A．12．解：∵S△BDE ：S△CDE＝1：4，∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE ：S△ABC＝1：25，∴S△ACD＝25a﹣a﹣4a＝20a，∴S△BDE ：S△ACD＝a：20a＝1：20．故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：∵，∴＝＝．故答案为．14．解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AB＝1，AD＝4，∴AC2＝4，则AC＝2．故答案为：2．15．解：∵3AE＝2EB，∴可设AE＝2a、BE＝3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AEF＝1，∴S△ABC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC ＝S△ABC＝，∵EF∥BC，∴＝＝＝，∴＝＝，∴S△ADF ＝S△ADC＝×＝，故答案为：．16．解：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，∴，∴，∴解得：EF＝．故答案为：1.217．解：如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，0），△A1B1C1的面积是：4×6﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4＝10．故答案为：（1，0），10．18．解：如图，在线段DE上取点F，使AF＝AE，连接AF，则∠AFE＝∠AEF ∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵∠ADE＝∠B＝a，∴∠C＝∠ADE＝a，∵∠AFE＝∠DAF+∠ADE，∠AEF＝∠C+∠CDE∴∠DAF＝∠CDE∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD∴∠CDE＝∠BAD∴∠DAF＝∠BAD∴△ABD∽△ADF∴＝，即AD2＝AB•AF∴AD2＝AB•AE，故①正确；由①可得：AE＝＝，当AD⊥BC时，由勾股定理可得：AD＝＝＝3 ∴3≤AD＜5∴≤AE＜5，即1.8≤AE＜5故②正确；如图2，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝5∴BH＝CH＝BC＝4∴AH＝＝＝3∵AD＝AD′＝，∴DH＝D′H＝＝＝1∴BD＝3或BD′＝5，CD＝5或CD′＝3，∵∠B＝∠C∴△ABD≌△DCE（SAS），△ABD′与△D′CE不是全等形故③不正确；如图3，AD⊥BC，DE⊥AC∴∠ADE+∠DAE＝∠C+∠DAE＝90°∴∠ADE＝∠C＝∠B∴BD＝4如图4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H，∵∠ADE＝∠C∴∠ADH＝∠CAH∴△ADH∽△CAH∴＝，即＝，∴DH＝，∴BD＝BH+DH＝4+＝＝6.25，故④正确；综上所述，答案为：①②④．三．解答题（共6小题）19．解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF．（2）选△EAF∽△EBC，理由如下：在ABCD中AD∥BC，∴∠EAF＝∠B．又∵∠E＝∠E，∴△EAF∽△EBC．20．解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．21．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，A 1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；（2）如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A 2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．22．（1）证明：延长BM交AD的延长线于H，在△BMC和△HMD中，，∴△BMC≌△HMD，∴BM＝MH，又MN⊥BM，∴NB＝NH，∴∠NBM＝∠NHM，∵AH∥BC，∴∠MBC＝∠NHM，∴∠MBC＝∠NBM，即BM平分∠NBC；（2）解：设DN＝a，则DC＝AB＝4a，∴DM＝MC＝2a，由勾股定理得，MN＝＝a，由（1）得，∠BNM＝∠MND，∠BMN＝∠MDN，∴△BMN∽△MDN，∴＝＝，∴BM＝2a，由勾股定理得，BN＝＝5a，则AN＝＝3a，∴＝＝．23．解：（1）∵t＝1∴CN＝1，AM＝1过N作NE⊥y轴，作NF⊥x轴∴△CEN∽△COA，∴，即，∴EN＝．（1分）由勾股定理得：，，∴．（2分）（2）由（1）得，∴∴N点坐标为．∵多边形OAMN由△ONA和△AMN组成∴＝（3分）＝（4分）∴多边形OAMN的面积S＝．（0≤t≤4）（5分）（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，当AN＝A′N＝A′O＝OA，四边形OANA’是菱形．即AN＝OA，∴5﹣t＝3∴t＝2．（6分）②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．即OA⊥NN′，OG＝AG＝，∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，∴CN＝，∴（7分）③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．即OH⊥AC，AH＝NH＝，由面积法可求得OH＝，在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH＝．∴，∴．（8分）综上所述，t的值为．24．解：（1）1，2，3．（2）乙同学的结果不正确．例如：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝1，则．如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．设它的边长为a，则依题意可得：，∴，如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．设它的边长为b，则依题意可得：，∴．∴a＞b．（3）丙同学的结论正确．设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为h a，h b，h，内接正方形的边长分别为x a，x b，x c．c依题意可得：＝，∴x a＝．同理x b＝．∵x a﹣x b＝﹣＝﹣＝2S（﹣）＝（b+h b﹣a﹣h a）．＝（b+﹣a﹣）．＝•（b﹣a）（1﹣）．＝•（b﹣a）（1﹣）．又∵b＜a，h a＜b，∴（b﹣a）（1﹣）＜0，∴x a＜x b，即x a2＜x b2．∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．。

第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。

第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

北师大版九年级上册数学第四章检测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（）.A. 900cmB. 1000cmC. 1100cmD. 1200cm2.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）A. =B. =C. =D. =3.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（）A. 7.5B. 10C. 15D. 204.将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是( )A. B. C. D.5.应中共中央总书记胡锦涛的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚渝先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于（）A. 一个篮球场的面积；B. 一张乒乓球台台面的面积；C. 《重庆时报》的一个版面的面积；D. 数学课本封面的面积。

6.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，BD长0.5m，且△ADE∽△ABC ，则梯子的长为（）A. 3.5mB. 3.85mC. 4mD. 4.2m7.下列叙述正确的是（）A. 所有的矩形都相似B. 有一个锐角相等的直角三角形相似C. 边数相同的多边形一定相似D. 所有的等腰三角形相似8.如图，当小颖从路灯AB的底部A点走到C点时，发现自己在路灯B下的影子顶部落在正前方E处．若AC=4m，影子CE=2m，小颖身高为1.6m，则路灯AB的高为（）A. 4.8米B. 4米C. 3.2米D. 2.4米9.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.10.如图2，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A. S△AFD=2S△EFBB. BF=DFC. 四边形AECD是等腰梯形D. ∠AEB=∠ADC11.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A. 30厘米、45厘米；B. 40厘米、80厘米；C. 80厘米、120厘米；D. 90厘米、120厘米12.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点，，．下列说法正确的是（）A. △与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）B. △与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0） C. △与△ABC是相似图形，但不是位似图形 D. △与△ABC不是相似图形二、填空题（共6题；共12分）13.如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C.若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为________.14.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为________．15.若两个相似多边形的周长的比是1：2，则它们的面积比为________16.如图，已知点A在反比例函数y= （x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=________．17.如图，线段AC与BD相交于点O，，若OA∶OC＝4∶3，的面积是2，则的面积等于________．18.如图，点A(2，2 ),N(1，0), ∠AON=60°,点M为平面直角坐标系内一点,且MO=MA,则MN的最小值为________.三、解答题（共3题；共15分）19.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．20.“两个三角形相似，对应点连线经过同一点，那么这两个图形位似”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．21.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．求证：．四、作图题（共1题；共10分）22.如图，△ABC与△A´B´C´是位似图形，且相似比为.（1）在图中画出位似中心；（2）若，求的长.五、综合题（共4题；共59分）23.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．24.小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．（1）小明距离路灯多远？（2）求路灯高度．25.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．26.在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是________．（直接给出结论无须证明）答案一、单选题1. D2. D3. C4. B5. C6. A7. B8. A9. C 10. A 11.C 12. B二、填空题13. 2 14.15.1：4 16.16 17.18.三、解答题19. 解答：△ABD∽△CBE ，△ABC∽△DBE ．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE ，∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE ，∴△ABC∽△DBE20.解：命题为真命题．因为两个三角形相似，对应点连线经过同一点，则利用相似三角形的性质可证明对应边平行或共线，所以那么这两个三角形位似．21.解：证明．证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知= ， = ，∴× × = × × =1四、作图题22. （1）解：如解图，连接，交于点，则点即为位似中心；（2）解：∵与是位似图形，且相似比为，，∴五、综合题23. （1）解：①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，∴DD′=CD=3．②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF= ∠DCD′=30°，在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF= ，∴D′F= ，∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣．（2）解：如图②中，在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2，∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，∴△A′DF∽△A′D′C，∴= ，∴= ，∴DF= ，同理可得△CDE∽△CB′A′，∴= ，∴= ，∴ED= ，∴EF=ED+DF= ．（3）解：如图③中，作FG⊥CB′于G．∵四边形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=3，∵S△CEF= •EF•DC= •CE•FG，∴CE=EF，∵AE=EF，∴AE=EF=CE，∴∠ACF=90°，∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴= ，∴AC2=AD•AF，∴AF= ，∵S△ACF= •AC•CF= •AF•CD，∴AC•CF=AF•CD= ．24. （1）解：设DB=xm，∵AB∥CD ，∴∠QBA=∠QDC ，∠QAB=∠QCD ，∴△QAB∽△QCD∴同理可得∵CD=EF∴∴∴x=12即小明距离路灯12m（2）解：由得∴CD=6即路灯高6m 25. （1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴= ，∴BC2=BE•BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x= ，即AE=26. （1）30°（2）①②思路1：如图2（a），连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAD=60°，∴∠EAB=∠CAD，在△AEB△与ADC中，，∴△AEB≌△ADC，∴CD=BE；思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=60°，∵DF∥AB，∴∠DFC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DAF=∠EDB，在△ADF与△DEB中，，∴△ADF≌△DEB，∴DF=BE=CD；思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=60°，∵CD=BG，∴DG=AC，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DAF=∠EDB，在△ADC与△DEG中，，∴△ADC≌△DEG，∴CD=EG=BG=60°，∴BE=BG=CD；（3）k（BE+BD）=AC。

北师大版数学九年级上册第四章测试题（一）（图形的相似测试卷）一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．= B．=C．= D．=10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，。

北师版九年级数学上册第四章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四组图形中，不是相似图形的是( )2．【教材P 79随堂练习T 3改编】已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a＝2 cm ，b ＝4 cm ，c ＝5 cm ，则d 等于( )A ．1 cmB ．10 cmC ．52 cmD ．85 cm 3．【教材P 119复习题T 3改编】如图，直线a ，b ，c 被直线l 1，l 2所截，交点分别为点A ，C ，E 和点B ，D ，F ．已知a ∥b ∥c ，且AC ＝3，CE ＝4，则BDBF 的值是( )A ．34B ．43C ．37D ．474．【教材P 119复习题T 1(3)改编】若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝8 cm ，AC ＞BC ，则AC 的长为( )A ．5－12 cm B ．2(5－1)cm C ．4(5－1)cm D ．6(5－1)cm 5．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF 相似的是( )A ．AB DE ＝AC DF B ．AB DE ＝BCEF C ．∠A ＝∠E D ．∠B ＝∠D 6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( )A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．【2021·兰州】如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为()A．4.36 mm B．29.08 mm C．43.62 mm D．121.17 mm8．【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E 是CD的中点，则△DEO与△BCD的面积的比等于()A．12B．14C．16D．189．【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是()A．四边形NPMQ B．四边形NPMRC．四边形NHMQ D．四边形NHMR10．【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC 边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每题3分，共24分)11．【教材P119复习题T1(2)改编】假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km．12．若a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________．13．【2020·郴州】如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，23为相似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2，3)，则点A1的坐标是__________．14．【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝______m．16．【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝3AB＝3BD，则AD：AC的值为________．17．【2021·扬州】如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F，G分别在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为________．18．【2021·宿迁】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是________．三、解答题(19，20，21，23题每题10分，其余每题13分，共66分) 19．(1)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm．A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝21 cm．(2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们相似，不改变AC的长，A′C′的长应改为多少？20．如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于点F．(1)求△AEF与△CDF的周长之比；(2)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．21．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向上平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的相似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．22．【2020·苏州】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．(1)求证：△ABE∽△DF A；(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．23．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2 m高的标杆CD和EF，两标杆相距52 m，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，点G与建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4 m到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．24．【2020·南京】如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，ADAB＝A′D′A′B′．(1)当CDC′D′＝ACA′C′＝ABA′B′时，求证：△ABC∽△A′B′C′．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．答案一、1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A10．B 点拨：易证△AFD ∽△EBA ，得AD EA ＝DFAB ，即10AE ＝63，则AE ＝5．由AD ＝10，DF ＝6，得AF ＝102－62＝8． 故EF ＝AF －AE ＝8－5＝3 ．二、11．160 12．2 13．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 14．5 15．5.5 16．33 17．12518．43 点拨：连接DE ，易证△CDE ∽△CBA ，得DE BA ＝CD CB ＝23，∠CED ＝∠CAB ，故DE ∥BA ．易证△DFE ∽△AFB ，得DE AB ＝DF AF ＝23， 则S △AFE ＝35S △ADE ．由CE ＝2AE ，得S △ADE ＝13S △ADC ，故S △AFE ＝15S △ADC ． 由CD ＝2BD ，得S △ADC ＝23S △ABC ，故S △AFE ＝215S △ABC ． 当AB ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即△AFE 面积最大，计算得解．三、19．解：(1)△ABC 与△A ′B ′C ′不相似．理由如下：∵AB A ′B ′＝412＝13，BC B ′C ′＝618＝13，AC A ′C ′＝821， ∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′≠AC A ′C ′． ∴△ABC 与△A ′B ′C ′不相似．(2)当A ′C ′＝24 cm 时，两三角形相似．20．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．∴∠EAF ＝∠DCF ，∠AEF ＝∠CDF ． ∴△AEF ∽△CDF ． ∵AE ：EB ＝2：3，∴△AEF 的周长△CDF 的周长＝AE CD ＝25．(2)∵△AEF∽△CDF，∴S△AEFS△CDF＝⎝⎛⎭⎪⎫252＝425．∵S△CDF＝20 cm2，∴S△AEF＝20×425＝165(cm2)．21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C就是所要画的三角形，点A2的坐标为(－2，－2)．22．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°．∴∠AEB＝∠DAF．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B．∴△ABE∽△DFA．(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2．∵AB＝6，∠B＝90°，∴AE＝AB2＋BE2＝62＋22＝210．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4．∵△ABE∽△DFA，∴ABDF＝AEAD．∴DF＝AB·ADAE＝6×4210＝6510．23．解：由题意得CD＝DG＝EF＝2 m，DF＝52 m，FH＝4 m．∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°．又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH．∴CDAB＝DGBG，EFAB＝FHBH，即CDAB＝DGDG＋BD，EFAB＝FHFH＋DF＋BD．∴2AB＝22＋BD，2AB＝44＋52＋BD．∴22＋BD＝44＋52＋BD，解得BD＝52 m．∴2AB＝22＋52，解得AB＝54 m．答：建筑物AB的高度为54 m．24．解：(1)CDC′D′＝ACA′C′＝ADA′D′；∠A＝∠A′(2)△ABC与△A′B′C′相似．理由如下：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB．∴△ADE∽△ABC．∴ADAB＝DEBC＝AEAC．同理，A′D′A′B′＝D′E′B′C′＝A′E′A′C′．∵ADAB＝A′D′A′B′，∴DEBC＝D′E′B′C′．∴DED′E′＝BCB′C′．同理，AEAC＝A′E′A′C′．∴AC－AEAC＝A′C′－A′E′A′C′，即ECAC＝E′C′A′C′．∴ECE′C′＝ACA′C′．∵CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′，∴CDC′D′＝DED′E′＝ECE′C′．∴△DCE∽△D′C′E′．∴∠CED＝∠C′E′D′．∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°．同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°．∴∠ACB＝∠A′C′B′．AC A′C′＝CBC′B′，∴△ABC∽△A′B′C′．又∵。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试第一卷 (选择题 共30分)一、选择题(每题3分，共30分)1．以下各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线区分被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，假定AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，那么DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．73．假定a b ＝35，那么a ＋bb的值是( )A.58B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，衔接CD ，假定点D 恰恰是线段AB 的一个黄金联系点，那么∠A 的度数是( )图2A ．22.5°B ．30°C ．36°D ．45°5．如图3所示，将△ABO 的三边区分扩展为原来的2倍失掉△A 1B 1C 1(顶点均在格点上)，它们是以点P 为位似中心的位似图形，那么点P 的坐标是( )A ．(－4，－3)B ．(－3，－3)C ．(－4，－4)D ．(－3，－4)图36．如图4，矩形ABCD ，AB ＝2，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，假定四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，那么AD 的长为( )图4A. 5B.5＋1 C ．4 D ．2 37．在小孔成像效果中，光线穿过小孔，在屏幕上构成倒立的实像，如图5所示，假定点O 到AB 的距离是18 cm ，点O 到CD 的距离是6 cm ，那么像CD 的长是AB 长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判别 8．为了测量校园水平空中上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴味小组做了如下的探求：依据光的反射定律，应用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 前进到点D ，这时恰恰在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，那么树(AB )的高度为( )图6A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，假定AB ＝2，BC ＝3，那么△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A ．9∶4B ．3∶2C ．4∶3D ．16∶9图710．如图8，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝12 cm ，动点D 从点A 动身到点B 中止，动点E 从点C 动身到点A 中止．点D 的运动速度为1 cm/s ，点E 的运动速度为2 cm/s.假设两点同时运动，那么当以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是( )图8A ．3 s 或4.8 sB ．3 sC ．4.5 sD ．4.5 s 或4.8 s 请将选择题答案填入下表：第二卷 (非选择题 共90分)二、填空题(每题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 区分在边AC 和BC 上，那么CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转失掉△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．BE ′＝5，D ′C ＝4，那么BC 的长为________．图1013．假定a b ＝c d ＝e f ＝12，那么3a －2c ＋e3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移失掉的，假定AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，那么△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延伸线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，那么点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判别△ABC 的外形．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点区分是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O 为位似中心，在点O 的异侧画出四边形OABC 的位似图形四边形OA 1B 1C 1，使它与四边形OABC 的相似比是2∶3；(2)写出点A 1，B 1，C 1的坐标； (3)求四边形OA 1B 1C 1的面积．图1419．(8分)：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB 的延伸线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 区分在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上恣意一点，衔接BD ，取BD 的中点E ，衔接CE 并延伸CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，假定AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入«世界遗产名录»．小铭、小希等几位同窗想应用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研讨需求停止两次测量，于是在阳光下，他们首先应用影长停止测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延伸线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同不时线上，并测得DF ＝2.5米．图中一切点均在同一平面内，木棒高CD ＝1.72米，AB ⊥BF ，CD ⊥BF ，试依据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，OA ＝12厘米，OB ＝6厘米，点P 从点O 末尾沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 末尾沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动．假设点P ，Q 同时动身，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)．(1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数表达式； (2)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，D 是BC 边上的一个动点(不与点B ，C 重合)，在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°.(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分红两局部，假设AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金联系点．某数学兴味小组在停止研讨时，由〝黄金联系点〞联想到〝黄金联系线〞，相似给出〝黄金联系线〞的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分红两局部，这两局部的面积区分为S 1，S 2，假设S 1S ＝S 2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金联系线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金联系线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，假定直线AE 是正方形ABCD 的黄金联系线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C [解析] ∵两条直线区分被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DEEF. ∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.应选C. 3．C4．C [解析] ∵点D 是线段AB 的一个黄金联系点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ， 即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，那么∠B ＝x °，∠BCD ＝x °，∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36， 即∠A ＝36°.应选C. 5．A6．B [解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，那么FD ＝x －2，EF ＝2， ∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.应选B.7．C [解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，那么OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm.∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.应选C.8．A [解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，那么∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CD AB.∵DE ＝3.2米，CD ＝1.6米，BE ＝8.4米，∴3.28.4＝1.6AB，解得AB ＝4.2米． 9．D [解析] 此题运用方程思想，设CF ＝x ， 那么BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由可证得Rt △FCB ′∽Rt △B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A [解析] 此题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种状况区分求解．11.54 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ，∴△AED ∽△BDF ， ∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54. 12．2＋34 [解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4. ∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12 [解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e 3b －2d ＋f ＝1.5b －d ＋0.5f3b －2d ＋f ＝12. 14.503 [解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S△HEC＝12×203×5＝503. 15.43或 3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种状况： (1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3.易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种状况，留意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如下图．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y ＝12x＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)．故答案为(4，3)或(－8，－3)． 17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)，∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式， 得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如下图，四边形OA 1B 1C 1即为所求．(2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ .由(1)可知，△AQP ∽△ABC ， ∴PA AC ＝PQ BC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延伸线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，那么△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC. ∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)， ∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC .(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即2.4BD ＝ 2.5BD ＋2.5，∴BD ＝60， ∴1.72AB ＝2.460，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米． 由于OB ＝6厘米， 所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)．(2)当△POQ 与△AOB 相似时，①假定OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t12，解得t ＝4；②假定OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6，解得t ＝2.所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，那么CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)． (3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ， 那么AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23， 即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，那么DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23； 当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不契合题意，故此种状况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23. 24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金联系线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°， ∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金联系线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x . ∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金联系线， ∴S △ABES 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD ， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ，即(1－12x )2＝12x ·1， 整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x ＝3－5，∴BE 的长为3－ 5.。

第四章图形的相似测试卷一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．53．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：16．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．27．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．510．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：1611．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．212．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）二．填空题13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．三．解答题17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD 交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC 上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．22．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？答案解析一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．5【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线．【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A．【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B 点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．2【考点】相似多边形的性质．【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（负值舍去），经检验x1=是原方程的解．故选B．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】相似三角形的判定．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选：B．【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．2【考点】相似三角形的性质．【专题】网格型．【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=，进而求出答案．【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，可得∠QMB=∠P，∵PB′=2，PQ=2，B′Q=4，∴PB′2+PB′2=B′Q2，∴△QPB′是直角三角形，∴tan∠QMB=tan∠P===2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）【考点】平面直角坐标系中的位似变换．【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．二．填空题13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．14．（2016•济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【考点】平行线分线段成比例．【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件∠ACD=∠ABC（答案不唯一），使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD=∠ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=．【考点】相似多边形的性质．【专题】压轴题．【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（不合题意舍去），经检验x1=是原方程的解．故答案为．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．三．解答题（共52分）17．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．19．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5∵△BOD与△BEC相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∵BC•EF=BE•CE，∴EF=2，CF==1，∴E（2，2），或（3，）．【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC 上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．【考点】相似三角形的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．【解答】（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF=3.6，∵BE=AF，∴BE=3.6．【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．【考点】利用标杆测量物体的高度．【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．22．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【考点】利用镜子测量物体的高度．【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴，解得：LD=7，∴拍摄点距离景物7米；（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，∴，解得：LC=70，∴相机的焦距应调整为70mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．励志名言：1、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。