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导数及其应用

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考研数学-专题5 导数的概念及应用

考研数学-专题5 导数的概念及应用

f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n

导数的七种应用

导数的七种应用

导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。

在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。

本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。

一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。

比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。

二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。

根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。

三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。

在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。

四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。

它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。

五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。

六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。

七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。

综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。

它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。

(七)导数概念及应用

(七)导数概念及应用

(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧　x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。

导数的概念导数公式与应用

导数的概念导数公式与应用

导数的概念导数公式与应用导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。

导数的概念在不同领域都有广泛应用，例如物理学、经济学和工程学等。

本文将介绍导数的概念、导数公式以及导数在实际应用中的一些例子。

导数的概念可以理解为函数在其中一点处的变化率。

具体来说，如果函数在其中一点处具有导数，那么导数等于函数在该点处的斜率。

直观地说，如果一个函数在其中一点的导数为正，意味着函数在该点附近的值在增加；如果导数为负，意味着函数在该点附近的值在减小。

如果导数等于零，在该点附近的值则没有变化。

导数的计算可以使用导数公式来简化。

对于一些常见的函数，我们可以使用已知的导数公式来得到它们的导数。

例如，对于多项式函数，如果f(x) = ax^n ，其中a和n为常数，那么它的导数为f'(x) = nax^(n-1)。

而对于指数函数f(x) = e^x ，它的导数等于它自身，即f'(x) = e^x。

通过使用这些已知的导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。

导数在实际应用中有着广泛的应用。

一个常见的应用是在物理学中，用于描述物体的运动。

例如，我们可以通过计算一个物体的位移函数的导数来得到它的速度函数。

同样地，计算速度函数的导数可以得到加速度函数。

通过这样的导数计算，我们可以更好地理解物体的运动规律。

另一个应用是在经济学中，用于描述供需关系。

导数可以提供给我们有关价格和数量之间关系的更多信息。

如果一个函数表示价格对其中一变量的依赖关系，那么它的导数可以告诉我们，当这个变量改变一个单位时，价格将会如何改变。

这种信息对于制定合理的价格策略和优化资源配置非常重要。

除了物理学和经济学，导数在工程学和计算机科学中也有许多应用。

在工程学中，导数可以用于解决建筑结构的优化问题，确保建筑物的稳定性。

在计算机科学中，导数可以用于图像处理和机器学习等领域，提供对图像和数据的更深入的理解。

总结起来，导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。

函数的导数及其应用

函数的导数及其应用

函数的导数及其应用
函数的导数是指函数y=f(x)的斜率，表示函数在每个点上的变
化率。

导数表示了函数在某一点的瞬时变化率。

导数的符号和大小
可以告诉我们函数在该点的增长或减少程度，以及函数变化的速率。

导数在实际应用中有很多重要的作用，包括：
1. 切线和切平面的计算：导数可以用来计算曲线在某一点的切
线以及曲面在某一点的切平面。

2. 极值的计算：导数可以用来找出函数的最大值和最小值，以
及函数的拐点和凸凹性。

3. 增长率和加速度的计算：导数可以用来计算物体的速度和加
速度，而这些量在物理学中有重要的应用。

4. 构建数学模型：导数是数学建模中不可或缺的工具，可以用
来描述各种现象，从物理学到经济学、生态学等学科。

总之，导数是数学中非常重要的概念，可以应用于各个领域的
问题中，深受科学家和工程师的青睐。

导数及其应用生活中的优化问题举例

导数及其应用生活中的优化问题举例
根据数据特点和预测需求，选择适合的时间序列预测模型，如 ARIMA、SARIMA、LSTM等。
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。

导数的定义及其应用

导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。

本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。

一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。

具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。

如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。

例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。

二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。

1. 用定义式计算。

根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。

这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。

2. 利用导数的性质计算。

导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。

例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。

3. 利用数值计算方法计算。

数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。

导数的概念导数公式与应用

导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。

具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。

导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。

二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。

这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。

2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln⁡(a)。

这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。

4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln⁡(a))。

5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。

- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。

- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。

6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。

- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。

- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。

以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。

三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。

1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。

导数的性质及其应用

导数的性质及其应用性质单调性(1)若导数大于零,则单调递增;若导数小于零,则单调递减;导数等于零为函数驻点,不一定为极值点。

需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

(2)若已知函数为递增函数,则导数大于等于零;若已知函数为递减函数,则导数小于等于零。

根据微积分基本定理,对于可导的函数,有:如果函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零) ,那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减) ,这种区间也称为函数的单调区间。

导函数等于零的点称为函数的驻点,在这类点上函数可能会取得极大值或极小值(即极值可疑点) 。

进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。

对于满足的一点,如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零,那么是一个极大值点,反之则为极小值点。

x变化时函数(蓝色曲线)的切线变化。

函数的导数值就是切线的斜率,绿色代表其值为正,红色代表其值为负，黑色代表值为零。

凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。

如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。

如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。

曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

应用导数与物理、几何、代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。

如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时。

但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。

为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把此时的极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即，这就是通常所说的速度。

导数初步导数的定义计算与应用

导数初步导数的定义计算与应用导数初步导数是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。

导数的定义、计算以及应用都是我们学习微积分的基础知识。

本文将初步介绍导数的定义、计算方法以及一些实际应用。

1. 导数的定义在数学中，导数的定义是函数在某一点上的变化率。

对于一个函数f(x)，它在点x处的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或者df(x)/dx。

导数的定义可以通过极限来表示。

当x自变量趋于某一点a时，函数f(x)在点a处的导数可以用以下极限式来定义：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)其中lim表示极限，x→a表示x趋向于a，[f(x) - f(a)] / (x - a)表示函数在x处两点间的差值，即斜率。

2. 导数的计算方法导数的计算在微积分中有一套具体的方法，可以帮助我们计算各种类型的函数的导数。

2.1. 常数函数的导数对于常数函数f(x) = C，其中C是一个常数，其导数为零，即f'(x) = 0。

因为常数函数在任何一点上的斜率都为零，表示该函数的变化率为零。

2.2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n（其中n是一个实数）的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，其导数是f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2 * x。

2.3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是导数计算中常见的函数类型。

以下是一些常见的导数计算公式：指数函数f(x) = a^x（其中a是常数）的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。

对数函数f(x) = log_a(x)（其中a是常数）的导数为f'(x) = 1 / [x * ln(a)]。

2.4. 三角函数的导数三角函数在导数计算中也常见，以下是一些常见的三角函数导数计算公式：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

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导数及其应用3.1 导 数3.1.1 函数的平均变化率一、学习目标了解函数平均变化率的概念，会求函数在某一个区间上的平均变化率 二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是 ( )A ．97年B ．98年C ．99年D ．00年2．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则xy∆∆为 ( ) A ．21+∆+∆xx B ．21-∆-∆xx C ．Δx ＋2D ．xx ∆-∆+123．对于以下四个函数： ①y ＝x②y ＝x 2③y ＝x 3④xy 1=在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是： ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发．经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是 ( )(二)填空题5．函数y ＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为__________． 6．函数xy 1=在区间[－2，－1]上的平均变化率为__________． 7．函数x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为__________．8．函数y ＝sin x 在区间]2π,0[上的平均变化率为__________．9．函数y ＝ln x 在区间[1，e ]上的平均变化率为__________． (三)解答题10．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．11．求一次函数y ＝kx ＋b 在区间[n ，m ]，(m ≠n )上的平均变化率．12．国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如右图所示．试问哪个企业治污效果好．(其中W 表示治污量)W 1(t )表示甲企业，W 2(t )表示乙企业3.1.2 瞬时速度与导数一、学习目标了解运动物体的瞬时速度的概念和导数的概念，会利用定义求函数的导数 二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的)1．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么ts∆∆为 ( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时，物体的平均速度 B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的加速度 2．函数f (x )＝x 2，在x ＝0处的瞬时变化率为 ( ) A ．Δx B ．－Δx C ．Δx 2 D ．0 3．已知函数f (x )＝x ＋x1，则f '(1)＝ ( ) A ．0B ．2C ．x∆++111D ．x∆+-1114．物体自由落体运动方程为22m/s 8.9,21)(==g gt t s ，若ts t s v t ∆-∆+=→∆)1()1(lim0g = (m/s)，那么下列说法正确的是 ( )A ．9.8 m/s 是在0～1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 (二)填空题5．函数y ＝x 在x ＝3处的导数值为________． 6．函数y ＝5的导数为________． *7．1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则f '(x 0)等于________．8．某物体运动的瞬时速度与时间的关系为：v (t )＝3t －2，则该物体运动的加速度为____ ______．9．某汽车启动阶段的路程与时间的函数关系为s (t )＝t 3＋2t 2＋1，(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)则t ＝2秒时，汽车的速度为________m/s 2．(三)解答题10．求函数f (x )＝x2在x ＝2处的导数值． 11．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系为s ＝3t －t 2，(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2s 时的瞬时速度； (3)求t ＝0s 到t ＝2s 时的平均速度．12．求函数f (x )＝x 3在x ＝2处的导数值．3.1.3导数的几何意义一、学习目标通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线在某一点处的切线的斜率和切线方程 二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则2='x y 等于( )A ．－3B ．－1C ．3D ．1 2．抛物线y ＝x 2＋x ＋1在点(1，3)处的切线的斜率为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如果f (x )图象关于y 轴对称，定义域为R ，且导数f '(x )存在，则f '(0)的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－14．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为 ( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0 (二)填空题5．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是221+=x y ，则f (1)＋f '(1)＝________．6．函数xy 1=在(1，1)处切线的斜率为________． 7．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象上点P (x 0，y 0)，则函数f (x )在点P 处的切线斜率为 ________．8．已知曲线512++=xx y 上一点)219,2(P ，则曲线在P 点处的切线方程为________．9．点P (3，y 0)为函数f (x )＝x 3图象上的点，则函数f (x )在点P 处的切线的斜率为_______．(三)解答题 10．求曲线xy 9=在点M (3，3)处的切线方程．11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a .、b 、c 的值．*12．曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求此切线方程．3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数一、学习目标会求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，xy 1=的导数． 二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．若f (x )＝x ，则f '(x )等于 ( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．不确定2．物体的运动方程为ts 1=，(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则物体在1s 时的瞬时速度为 ( ) A ．1 m/sB ．－1 m/sC ．－2 m/sD ．2 m/s3．函数xy 1=在x ＝2处的切线的斜率等于 ( ) A ．21 B ．41- C ．41D ．21-4．下列说法正确的是 ( )A ．若函数f '(x )＝1，则f (x )表达式一定为f (x )＝xB ．函数f (x )＝x 2图象上任意一点的切线的斜率均大于零C ．函数xx f 1)(=图象上存在切线斜率为零的点 D ．函数f (x )定义域为R ，且f '(x )＝0，则函数f (x )为偶函数 (二)填空题5．函数x y 1=在(1，1)处的切线方程为________． 6．函数xx f 1)(=在(1，1)处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形的面积为________．7．函数f (x )＝x 2，则使1≤f '(x )≤2成立的x 取值范围为________． 8．曲线3x 2－y ＝0在61-=x 处的切线的倾斜角是________． 9．函数241x y =在点Q (2，1)处的切线方程为________． (三)解答题10．设点A 为函数x x f 1)(=图象上的点，函数f (x )在点A 处的切线的倾斜角为4π3，求点A 的坐标．11．曲线y ＝x 2上点A 处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，求过点A 的切线方程．12．求曲线xy 1=和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积．3.2.2导数公式表一、学习目标能利用导数公式表中给出的基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数． 二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．y ＝log 3x ，则y '＝ ( ) A ．x3ln B ．x3 C ．3ln 1x D ．x1 2．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线的横截距为 ( ) A ．e2 B ．－1 C ．－e 2 D ．13．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 4．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为 ( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(－2，－8)或(2，8) D ．(－1，－1)或(1，1) (二)填空题5．函数f （x )＝sin x 在原点处的切线方程为__________． 6．曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________． 7．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 8．在抛物线y ＝x 2上依次取两点，它们的横坐标分别为x 1＝1，x 2＝3，若抛物线上过点P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为__________．9．曲线f (x )＝x 3在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在A 点处的切线方程________． (三)解答题10．求曲线32x y =在点P (8，4)处的切线方程．11．求曲线y ＝ln x 在点(1，0)处的切线方程，并在同一个坐标系内画出它们的图象．12．设f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，其中]2π,0[∈x ，设A 为两个函数图象的交点，求这两个函数在点A 处的两条切线的方程．3.2.3 导数的四则运算法则一、学习目标通过导数公式表给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，会求简单函数的导数二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．y ＝x 2sin x ，则y '＝ ( ) A ．2x sin x B ．x 2cos x C ．2x cos x ＋x 2cos x D ．2x sin x ＋x 2cos x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为 ( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x3．设)1(1)1()(22-=/+-=x x x x f ，则f '(x )等于 ( )A ．3x 2－2x ＋1B ．3x 2＋2x ＋1C ．3x 2－2x －1D ．x 2－2x ＋1*4．已知3sin 2sin 21++=x x y ，那么y '是 ( ) A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数 (二)填空题5．设函数y ＝(2x 2＋3)(3x －2)，则y '＝________． 6．已知f (x )＝x 3＋x 2f '(1)，则f '(2)＝________． 7．设f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝f 0'(x )，f 2(x )＝f 1'(x )，…，f n ＋1(x )＝f n '(x ))，n ∈N ，则f 2006(x )＝______． 8．函数y ＝ln x －x 2，则y '＝________．*9．构造一个不恒等于0的函数f (x )，使f '(x )＝2f (x )，f (x )可以为________． (三)解答题*10．求函数f (x )＝x (x －1)(x －2)…(x －100)在x ＝0处的导数值．11．求过点(－1，0)并与曲线21++=x x y 相切的直线方程．12．求函数)11)(1(-+=xx y 的导数．3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性一、学习目标了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．已知函数y ＝x 3－3x ，则它的单调递增区间是 ( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)、(1，＋∞) 2．函数y ＝2x ＋sin x 的单调递增区间为 ( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．)2ππ2,2ππ2(+-k k (k ∈Z ) D ．)ππ2,π2(+k k (k ∈Z )3．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如右图所示，则导函数y ＝f '(x )的图象可能为 ( )4．已知函数f (x )的导数为f '(x )，若f '(x )＜0(a ＜x ＜b )且f (b )＞0，则在(a ，b )内必有( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＞0 D ．不能确定 (二)填空题5．二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 在[－1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范是________． 6．函数f (x )＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为________． 7．函数y ＝3x 2－2ln x 的单调减区间为________．8．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f '(x )g (x )＋f (x )g '(x )＞0且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________．*9．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为________． (三)解答题10．求函数y ＝x 2e x 的单调递增区间．11．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2 (Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,43的最大值和最小值．*12．设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．(Ⅰ)求a ，b ，c 的值； (Ⅱ)求函数f (x )的单调递增区间．3.3.2 利用导数研究函数的极值一、学习目标了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．下列函数中，x ＝0是极值点的函数是 ( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan x －xD ．xy 1=2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f '(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．函数f (x )＝(x 2－1)3＋2的极值点是 ( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处切线斜率均为－1，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2，2]； ②f (x )的极值点有且仅有一个； ③f (x )的最大值与最小值之和等于零 其中正确的命题个数为 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 (二)填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．6．函数f (x )＝sin2x －x ，(2π＜x ＜2π)的最大值为________．7．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝________．8．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f '(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则x 0的值为________；则a ＋b ＋c ＝________．9．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________． (三)解答题10．已知导函数f '(x )的下列信息：当1＜x ＜4时，f '(x )＞0；当x ＞4或x ＜1时，f '(x )＜0；当x ＝4或x ＝1时f '(x )＝0．试画出函数f (x )图象的大致形状．11．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ． (Ⅰ)求f (x )的单调减区间； (Ⅱ)若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．*12．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (Ⅰ)求a 、b 的值； (Ⅱ)若对于任意的x ∈[0，3]，都有f (x )＜c 2(c 为常数)成立，求c 的取值范围．3.3.3 导数的实际应用一、学习目标会利用导数解决某些实际问题 二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的)1．曲线y ＝x 3－3x 上P 点处的切线平行于x 轴，则P 点的坐标为 ( ) A ．(0，0)，(1，3) B ．(－1，2)，(1，－2) C ．(－1，－2)，(1，2) D ．(－1，3)，(1，3)2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒3．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ( )A ．)2π,0( B ．)π,π43[)2π,0[C ．)π,π43[D ．]π43,2π(4．一质点的运动方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6 B ．3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －6 (二)填空题5．某质点的运动方程是S ＝t 3－(2t －1)2，则在t ＝1s 时的瞬时速度为________． 6．曲线3x 2－y ＋6＝0在61-=x 处的切线的倾斜角是________． 7．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为________cm 时，盒子容积最大8．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线方程为________________． 9．汽车启动阶段的路程函数为S (t )＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的加速度为________． (三)解答题10．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？11．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y ，已知甲、乙两地相距100千米．(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？12．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(0，－2)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2．(Ⅰ)求直线l 2的方程； (Ⅱ)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．单元达标一、选择题(每道题的四个选项答案中有且只有一个答案是正确的) 1．设f (x )是可导函数，且2)()2(lim 000=∆-∆-→∆xx f x x f x ，则f '(x 0)＝ ( )A ．21 B ．－1C ．0D ．－22．在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．03．函数y ＝sin2x 在点)23,6π(M 处的切线斜率为 ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．24．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( ) A ．5，15 B ．5，－4 C ．5，－15 D ．5，－165．f '(x )是f (x )的导函数，f '(x )的图象如右图所示，则下列图中，f (x )的图象只可能是( )二、填空题 6．设函数xx x x f cos sin cos )(+=，则)4π(f '＝________．7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为________________．8．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f '(x )＝2x ＋2，则f (x )＝ ________________．9．一点沿直线运动，若由始点起经过t (t ＞0)秒后的路程是tt s 1212+=，则速度为0的时刻为________秒末．三、解答题10．过曲线y ＝x －e x 上某点的切线平行于x 轴，求这点的坐标及切线方程．11．已知函数bx ax x f +-=26)(的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0．求函数y ＝f (x )的解析式．12．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？参考答案第三章 导数及其应用3.1 导 数3.1.1 函数的平均变化率 1．D 2．C 3．C 4．B 5．3 6．21-7．001x x x +∆+ 8．π2 9．11-e10．解：从出生到第3个月婴儿体重的平均变化率为：135.35.6=- 第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率为：4.06126.811=-- 11．k nm b kn b km n m n f m f x y =---+=--=∆∆)()( 12．解：在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，然而≥∆-∆--)()]()([0101t t t W t W )()]()([0202t t t W t W ∆-∆--，所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹)． 3.1.2瞬时速度与导数 1．A 2．D 3．A 4．C5．1 6．y '＝0 7．318．3 9．20 10．解：xx x f x f f x x ∆-+∆=∆-+∆='→∆→∆2222lim )2()2(lim )2(002121lim 2)2()2(22lim00-=+∆-=∆+∆+∆-=→∆→∆⋅⋅x x x x x x 11．解：(1))m /s (3)3(lim )(3lim )0()(lim 02000=∆-=∆∆-∆=∆-∆=→∆→∆→∆t t t t ts t s v t t t (2))m/s (1)1(lim )2()2(lim002-=-∆-=∆-∆+=→∆→∆t ts t s v t t(3))m/s (12462)0()2(=--=-=s s v 12．解：xf x f f x ∆-+∆='→∆)2()2(lim )2(0x x x x x x x x ∆++∆++∆⋅∆=∆-+∆=→∆→∆]4)2(2)2[(lim 2)2(lim 20330.12]126)[(lim ]4)2(2)2[(lim 2020=+∆+∆=++∆++∆=→∆→∆x x x x x x3.1.3导数的几何意义 1．C 2．C 3．C 4．D5．3 6．－1 7．2ax 0＋b 8．15x －4y ＋8＝0 9．27 10．解：xf x f f x ∆-∆+='→∆)3()3(lim)3(0.133lim 3939lim 00-=∆+-=∆-∆+=→∆→∆xx x x x 所以切线方程为：x ＋y －6＝0 11．解∵f (1)＝1，∴a ＋b ＋c ＝1． ① 又f '(x )＝2ax ＋b ， ∴f '(2)＝1，∴4a ＋b ＝1． ② 又切点(2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1． ③把①②③联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=++.124,14,1c b a b a c b a解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,9,11,3c b a即a ＝3，b ＝－11，c ＝9．12．设切点坐标M (x 0，x 30－3x 0)，则切线的斜率k ＝f '(x 0)＝3x 20－3，切线方程y ＝(3x 20－3)x ＋16，又因为点M 在切线上，所以x 30－3x 0＝(3x 20－3)x 0＋16得x 0＝－2．∴切线方程为y ＝9x ＋16．3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数1．C 2．B 3．B 4．D5．x ＋y －2＝0 6．2 7．]1,21[ 8．4π3 9．x －y －1＝0 10．解：21)(x x f -='，设A (x 0，y 0)，则11)(20-=-='x x f ，所以x 0＝±1，所以点A 的坐标为(1，1)或(－1，－1)．11．解：设A (x 0，y 0)，由题意可知所求切线的斜率为3．∵y '＝2x ，∴2x 0＝3．∴230=x ． ∴490=y ．即)49,23(A ． ∴切线方程为：12x －4y －9＝0．12．解：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==21x y x y ，解得：⎩⎨⎧==11y x ，所以交点为(1，1)，对于21,1xy x y -='=，所以k 1＝－1．切线方程为：x ＋y ＝2． 对于y ＝x 2，y '＝2x ，所以k 2＝2，切线方程为：y ＝2x －1． 如图，所以4323211||21=⨯=⨯=∆AC S ABC ．3.2.2 导数公式表1．C 2．D 3．A 4．D5．y ＝x 6．387．(1，e )；e 8．(2，4) 9．3x －y －2＝0；3x －y ＋2＝0 10．3431+=x y11．解：xy 1='，所以切线的斜率为k ＝1，切线方程为：y ＝x －1．图象如图：12．解：根据题意，交点)22,4π(A ． f '(x )＝cos x ，所以22)4π(1='=f k ． g '(x )＝－sin x ，所以22)4π(2-='=g k ． 所以，所求两条切线方程分别是：).4π1(2222);4π1(2222++-=-+=x y x y 3.2.3 导数的四则运算法则 1．D 2．B 3．C 4．B5．18x 2－8x ＋9 6．0 7．－cos x 8．x xy 21-=' 9．f (x )＝e 2x 10．解：设f (x )＝x ·g (x )，g (x )＝(x －1)(x －2)…(x －100)则f '(x )＝g (x )＋x ·g '(x )，所以f '(0)＝g (0)＝1·2·3…·100 11．解：∵点(－1，0)在曲线21++=x x y 上， 且22)2(1)2()1(2+=++-+='x x x x y ． ∴.1)21(1|21=+-='-=x y ∴所求的切线方程为：y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0． 12．解法一∵),11)(1(-+=xx y ∴)11)(1()11()1('-++-'+='xx x x y xx x xx21)1()11(21+--=).11(21x x+-=解法二∵,)11)(1(2121-+-=-+=x x xx y∴).11(2121212321x xx x y +-=--='--3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性1．D 2．A 3．D 4．C5．[1，＋∞) 6．(－∞，－1]，[0，1] 7．)33,0( 8．(－∞，－3)∪(0，3) 9．a ≤－310．提示：由f '(x )＞0，求得(－∞，－2)和(0，＋∞) 11．解：f (x )的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,23． (Ⅰ) 32)1)(12(2322642322)(2+++=+++=++='x x x x x x x x x f ． 当123-<<-x 时，f '(x )＞0；当211-<<-x 时，f '(x )＜0；当21->x 时，f '(x )＞0．从而，f (x )分别在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--,21,1,23单调增加，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1单调减少．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,43的最小值为412ln 21+=⎪⎭⎫⎝⎛-f ．又.0949ln 1212173ln 16127ln 16923ln 4143<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=--+=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f所以f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,43的最大值为27ln 16141+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ．12．解：(Ⅰ)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ． ∴c ＝0．∵f '(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12， ∴b ＝－12，且a ＞0．又直线x －6y －7＝0的斜率为61， 因此，f '(1)＝3a ＋b ＝－6． ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0． (Ⅱ)f (x )＝2x 3－12x ．∴f '(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)．令f '(x )＞0得x ＜－2或x ＞2． 所以函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． 3.3.2利用导数研究函数的极值 1．B 2．A 3．D 4．C 5．32 6．2π7．5 8．x 0＝1；a ＋b ＋c ＝5(提示：a ＝2，b ＝－9，c ＝12．) 9．a ＞2或a ＜－1 10．解：当1＜x ＜4时，f '(x )＞0，可知f (x )在此区间内单调递增； 当x ＞4或x ＜1时，f '(x )＜0，可知f (x )在这两个区间内单调递减； 当x ＝4或x ＝1时，f ’'(x )＝0，是两个极值点． 综上，函数f (x )的图象的大致形状如下图所示(注：图象不唯一，只要符合题设条件即可)．11．解：(Ⅰ)f '(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f '(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (Ⅱ)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)＞f (－2)．因为在(－1，3)上f '(x )＞0，所以f (x )在[－1，2]单调递增，又由于 f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间 [－2，2]上的最大值和最小值． 于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2． 故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2．因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7．即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7． 12．解： (Ⅰ)f '(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2取得极值，则有f '(1)＝0，f '(2)＝0． 即⎩⎨⎧=++=++.031224,0366b a b a解得，a ＝－3，b ＝4． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ’'(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0，1)时，f '(x )＞0； 当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0； 当x ∈(2，3)时，f '(x )＞0．所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ． 则当x ∈[0，3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c ． 因为对于任意的x ∈[0，3]，有f (x )＜c 2恒成立， 所以9＋8c ＜c 2．解得c ＜－1或c ＞9．因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 3.3.3 导数的实际应用 1．B 2．C 3．B 4．D 5．－1 6．4π3 7．1 8．y ＝e 2(x －1) 9．14 10．解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短．如右图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为x 512m ，因此新墙总长度)0(5122>+=x xx L ， 25122x L -='． 令25122xL -='＝0，得x ＝16或x ＝－16．∵x ＞0，∴x ＝16． ∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴它必是最小值点．∵x ＝16，∴32512=x． 故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．[注]本题也可利用均值不等式求解．11．解：(Ⅰ)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时， 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(Ⅱ)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x100小时，设耗油量为h (x )升，依题意得),1200(41580012801100)88031280001()(23≤<-+=⋅+-=x x x x x x x h ).1200(64080800640)(332≤<-=-='x x x xx x h 令h '(x )＝0，得x ＝80． 当x ∈(0，80)时，h '(x )＜0，h (x )是减函数； 当x ∈(80，120)时，h '(x )＞0，h (x )是增函数． 当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25．因为h (x )在[0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．12．(Ⅰ)解：设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，y '＝2x ＋1，由题意得k 1＝0='x y ＝1得直线l 1的方程为y ＝x －2．∵21l l ⊥∴1112-=-=k k ． 令2x ＋1＝－1，得x ＝－1，将x ＝－1代入y ＝x 2＋x －2，得y ＝－2． ∴l 2与该曲线的切点坐标为A (－1，－2)，由直线方程的点斜式， 得直线l 2的方程为y ＝－x －3． (Ⅱ)由直线l 1的方程为y ＝x －2，令y ＝0，得x ＝2． 由直线l 2的方程为y ＝－x －3，令y ＝0，得x ＝－3． 由⎩⎨⎧--=-=32x y x y 得25-=y设由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积为S ，则425)]3(2[2521=--⋅-⋅=S ． 单元达标1．B 2．D 3．C 4．C 5．D6．21- 7．3x ＋y －2＝0 8．x 2＋2x ＋1 9．1 10．解∵y '＝1－e x ，又切线与x 轴平行，∴切线的斜率k ＝0．∴令y '＝1－e x ＝0，得x ＝0．∴切点坐标为(0，－1)．∴切线方程为y ＝－1．11．解：由函数f (x )的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知 －1＋2f (－1)＋5＝0，即21)1(,2)1(-=-'-=-f f ． 222)()6(2)()(b x ax x b x a x f +--+='． 解得：a ＝2，b ＝3(b ＝－1舍去) 所求的函数解析式为362)(2+-=x x x f ． 12．解：(Ⅰ)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获利为f (x )， 则依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)，又由已知条件，24＝k ×22，于是有k ＝6．所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0，30]． 2故x ＝12时，f (x )达到极大值．因为f (0)＝9072，f (12)＝11664，所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．。