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第7章 弯曲

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材料力学：第七章 弯曲变形

材料力学：第七章 弯曲变形
刚度设计依据
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1

第七章弯曲变形第二节叠加法

第七章弯曲变形第二节叠加法
3）建立补充方程
11Fl 3 FBl 3 wB 0 96 EI 6 EI
4）求解多余未知力
解得
11F FB 13.75 kN 16
FB 13.75 kN
5） 强度计算 作弯矩图
最大弯矩
M max 2.03 kN m
根据梁的弯曲正应力
强度条件
max
M max 95.7 MPa Wz
1
F1a3 F1a3 3EI 2EI 5F1a3 6EI
a
A
B1
B
C
B F
1
a
C1
B
C
a
a
F2
2）在F2 和单独作用下
F1
A
B
C
wC F
2

F1 2a 3EI
3
aF wC F
1
2
5F1a3 8F2a3 6EI 3EI
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4
梁的最大挠度发生在中间截 面，为
w max
由于
5ql 4 7.26 103 m = 7.26 mm 384 EI
w max
l 7.26 mm < w 7.5 mm 400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
是叠加原理.
1.载荷叠加（Superposition of loads）
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起 的变形的代数和.

材料力学 第7章 弯曲变形

材料力学 第7章 弯曲变形

M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个

第七章 弯曲变形

第七章 弯曲变形

w
B2
wC 2
(ql)l 3 48 EI
第六节 梁变形的叠加解法
ql 3 ql3 ql 3 11ql3 B B1 B 2 B3 24 EI 3EI 16 EI 48 EI
5ql 4 3ql 4 (ql)l 3 11ql 4 wC wC1 wC 2 wC 3 384 EI 48 EI 48 EI 384 EI
dy ＝ dx
第一节 弯曲变形的基本概念
约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
第二节 挠曲线近似微分方程
力学公式
1 M ( x) ( x) EI z
数学公式
以上两式消去
a Fa 3F 拐点 (-)
a
(+)
M 图
极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定
Fa
最大。
下凸
上凸
直线
第四节 梁的刚度校核
刚度条件：
y max [ y ],
max
[ ]
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如： l l ~ 对于桥式起重机梁： [ y] 500 750 对于一般用途的轴：
y f (x)
y (x )
y
水平方向位移：高阶微 量，忽略不计。
第一节 弯曲变形的基本概念
角位移：横截面相对于原
来位置转过的角度，以表
示。亦可以用该截面处的
y

材料力学-第7章 弯曲变形

材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：

工程力学第7章 弯曲强度答案

工程力学第7章 弯曲强度答案

43第 7 章 弯曲强度7－1 直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为 M 的力偶作用，如图所示。

若已知变形后中性层的曲率半径为 ρ ；材料的弹性模量为 E 。

根据 d 、 ρ 、E 可以求得梁所承受 的力偶矩 M 。

现在有 4 种答案，请判断哪一种是正确的。

(A)M ＝E π d 习题 7－1 图(B) 64ρ M ＝64 ρ(C) E π d 4 M ＝E π d(D)32 ρ M ＝ 32ρ E π d 3正确答案是 A 。

7－2关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下 4 种答案，请判断哪一种是正确的。

(A) 细长梁、弹性范围内加载； (B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。

正确答案是 C _。

7－3 长度相同、承受同样的均布载荷 q 作用的梁，有图中所示的 4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。

l 5习题 7－3 图正确答案是 d 。

7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。

图中的尺寸单位为 mm 。

求：梁的 1－1 截面上 A 、−⎜ ⎟ A I zB 两点的正应力。

习题 7－4 图解：1. 计算梁的 1－1 截面上的弯矩：M = ⎛1×103N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞ =−1300 N ⋅ m ⎝2 ⎠ 2. 确定梁的 1－1 截面上 A 、B 两点的正应力：A 点：⎛150 ×10−3 m ⎞ 1300 N ⋅ m ×⎜− 20 ×10−3m ⎟ σ = M z y = ⎝ 2 ⎠＝2.54×106 Pa = 2.54 MPa (拉应力) I zB 点：100 ×10-3m ×(150 ×10-3m )3121300N ⋅ m ×⎜ 0.150m − 0.04m ⎟⎛ ⎞ σ = M z y ⎝ 2 ⎠ =1.62 ×106 Pa =1.62MPa(压应力) B ()127－5 简支梁如图所示。

第七章 弯曲——弯曲位移

EIy′′ = − M ( x )
EIy = − ∫ [ ∫ M ( x)dx]dx + Cx +D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件 即位移边界条件确定。 弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n 个 由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
EIy ′ = EI θ = − ∫ M ( x ) dx +C
第七章 弯曲--弯曲位移部分
(Displacements of Bending Beam)
§7-7 梁的位移─挠度及转角
在工程中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保 证正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
Fb ( l 2 − b 2 ) Fb 3 F ( x − a )3 y2 = − x− x + 6 EIl 6 EIl 6 EI
受任意荷载的简支梁，只 要挠曲线上没有拐点，均 可近似地将梁中点的挠度 作为最大挠度。
F
a A x C D b B
x
y
l
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
挠曲线近似微分方程
1、挠曲线方程(deflection equation)
曲线 y = f (x) 的曲率为
y′′ κ=± 2 3/ 2 ′ (1 + y )
梁纯弯曲时中性层的曲率：
M ( x) 1 = ρ ( x) EI z
M ( x) 1 = ρ( x) EI z
1 y′′ κ= =± ≈ ± y′′ 2 3/ 2 (1 + y′ ) ρ( x)

第七章弯曲变形1

Fab ( L a ) B 2 ( L) 6 LEI
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1

Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1

Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1


Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)分析

A
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
A
zdA
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0 截面的惯性积（ y为对称轴）
A
M z y dA M
A
Байду номын сангаас
A
yE
y dA
M
y2dA Iz
截面对z轴的惯性矩
A
1 M
EI z
中性层的曲率公式
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距
y
中性轴最远处。
3.简单截面的抗弯模量
dy
(1)矩形：
Wz
Iz h/2
bh3 12
2 h
y
Wz
1 6
bh2
(2)圆：
Wz
D 4
64(D / 2)
D 3
32
(3)圆环
WZ
(D4 d 4 )
64(D / 2)
D3
32
(1 4 )
式中 d
C
副梁CD:
Pa M max CD 4
M
由 (M m ax ) AB (M ) m ax CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
P D
a
Pa (Mmax)CD 4
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
4m
45 kN
1.正应力
My

第七章-弯曲应力(1) (2)

y
M
z

Q
横截面上内力 横截面上切应力

横截面上正应力
Q dA
A
M y dA
A
切应力和正应力的分布函数不知道，2个方程确定不了
切应力无穷个未知数、正应力无穷个未知数，实质是 超静定问题 解决之前，先简化受力状态 —— 理想模型方法
8
横力弯曲与纯弯曲 横力弯曲 ——
剪力Q不为零 （ Bending by transverse force ） 例如AC, DB段
E
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
拉应力
a
e
压应力
y1
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点：
a, b, d
33
（3）计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
M B y2 a Iz 30 MPa （拉） M B y1 b Iz
70 MPa （压）
压应力 B截面
b
d
强度问题 弯曲问题的整个分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形 刚度问题
5
本章主要内容
7.1 弯曲正应力 7.2 弯曲正应力强度条件 7.3 弯曲切应力及强度条件 7.4 弯曲中心 7.5 提高弯曲强度的一些措施
这一堂课先效仿前人，探求出来弯曲正应力
公式，然后解决弯曲正应力强度问题
6
知道公式会用，不知推导，行不行？不行。
2
解：1 画 M 图求有关弯矩
qLx qx M1 ( ) 2 2
2
2
x 1
60kNm
M max qL / 8 67.5kNm
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0 x l 0 x l
FS x
ql
2

ql / 2
x
据方程画出剪力图和弯矩图。 由剪力图、弯矩图可见。 最大剪力和弯矩分别为
M
ql 2 / 8

x
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
工程力学：第 7章 弯曲 例7.3
a
Me
b
A
FAY
x1
M /l
3、剪力和弯矩的符号规定
M M
FAy
FS
FS
FBy
+
_
方法：截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。
工程力学：第 7章 弯曲
二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
1、剪力方程和弯矩方程
用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化 规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。 即：
FS FS (x)
由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为 控制面，约束力 FBy 右侧的截面，以及集中力 qa左侧 的截面，也都是控制面。
工程力学：第 7章 弯曲 例7.6
A
q
C
D
B
9 qa FAy 4 FS 9qa / 4
（+） O
4a FBy
a
3、建立坐标系 建立FS－x和 M－x坐标系 4、确定控制面上的 剪力值，并将其 标在FS－x中。 x 5、确定控制面上的 弯矩值，并将其 标在M－x中。
亦即 由 弯曲内力求弯曲应力 强度问题
弯曲问题的整个分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
刚度问题
例7.1
（2）分段写剪力方程和弯矩方程。
FRA FRB
a F b
Fb l Fa l
FRB
B
y
AC段：
FRA
Fb l
(0 x a ) ( a ) M ( x ) Fb x 0 x a ) (b ) l
CB段：
FS ( x )
A
c
x
x
x
l
FS ( x) M ( x)
3ql 2 / 32
x
0 x l
3.据方程画出剪力图和弯矩图。
工程力学：第 7章 弯曲
三、载荷集度、剪力和弯矩间的关系
工程力学：第 7章 弯曲
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d 2 M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
工程力学：第 7章 弯曲
载荷集度、剪力和 弯矩关系：
(0 x a ) ( a )
(a x l ) (C )
c
x
x
x
l
Fb l
由（a）、（c）两式可知，AC， CB 两段梁的剪力图各是一条平
+
Fa l
行于 x 轴的直线。
工程力学：第 7章 弯曲
例7.1
（4）作弯矩图
y
FRA
A
a
F
b
FRB
B
Fb M ( x) x l
(0 x a) (b)
M M (x)
工程力学：第 7章 弯曲
2、剪力图和弯矩图
绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。绘图时 以平行于梁轴的横坐标 x 表示横截面的位置，以纵坐 标表示相应截面上的剪力或弯矩。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图。
工程力学：第 7章 弯曲
2、q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q < 0），抛物线呈凸形。
3、剪力Fs=0处，弯矩取极值。 4、集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变。
工程力学：第 7章 弯曲 表 7-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
工程力学：第 7章 弯曲 例7.5
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
D
E
F
2kN
B
FBY
简支梁受力的大小和方向 如图示。试画出其剪力图 和弯矩图。
解：1、确定约束力 根据力矩平衡方程
1.5m
1.5m
M ＝0， M ＝0
A B
求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN 2、确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内 侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
5．根据微分关系连图线
M (kN.m)
O
0.335 1.335
(-)
(-)
1.665
x
工程力学：第 7章 弯曲 例7.6
q
C A B
D
试画出梁剪力图和弯矩图。 解：1、确定约束力
a
FBy
qa
4a
FAy
根据梁的整体平衡，由 求得A、B 二处的约束力 2、确定控制面
M ＝0， M ＝0
A B
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
CB
FS x2 ＝M e / l 0 x2 b M x2 ＝ M e x2 / l 0 x2 b
3、据方程画出剪力图和弯矩图。
工程力学：第 7章 弯曲 例7.4
y
q
A x
FAY
B C
l
简支梁受均布载荷作用，试写 出剪力和弯矩方程，并画出剪 力图和弯矩图。 解：1．确定约束力
x
qa
3 ＝ qa 4
9a / 4
M
（-）
81qa 2 / 32
7qa / 4
qa
qa 2
（+） O
工程力学：第 7章 弯曲
7.3
回顾与比较
梁横截面上的应力和强度条件
内力 应力
F A
T IP
M
FAy
FS
? ?
工程力学：第 7章 弯曲
通过温故，启迪了知新的思路 —— 应力从内力出发
工程力学：第 7章 弯曲
纵向对称面
F
1
F
2
梁的轴线
A
B
F
A
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
F
B
工程力学：第 7章 弯曲
一、平面弯曲的概念：
纵向对称面：包含梁横截面的一根对称轴及其
梁轴线的平面称为纵向对称面。
平面弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称
面内，弯曲变形后的轴线是一条在该
纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲
Fb l Fb l
F Fa l x F ( x a)
Fa l
(l x)
(a x l ) (a x l )
(c ) (d )
工程力学：第 7章 弯曲
例7.1
（3）做剪力图
y
FRA
A a
F
b
FRB
B
Fb FS ( x) l
Fa F S ( x) l
称为平面弯曲。也称为对称弯曲。
工程力学：第 7章 弯曲
二、受弯杆件的简化
1、梁的载荷与支座
（1）梁载荷的分类
•集中载荷 •集中力偶
•分布载荷（均匀、线性）
工程力学：第 7章 弯曲
（2）支座种类
固定铰支座
活动铰支座
固 定 端
工程力学：第 7章 弯曲
（3）梁的载荷与支座的简化
火 车 轮 轴 简 化
C
l
x2
B
FBY
图示简支梁C点受集中力偶作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
解：1、确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B

M ea / l
FAy＝Me / l FBy＝ -Me / l

Mb / l
2、写出剪力和弯矩方程 FS x1 ＝M e / l 0 x1 a AC M x1 ＝M e x1 / l 0 x1 a
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镗刀杆的简化
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吊车大梁简化
均匀分布载荷 ， 简称均布载荷
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2、静定梁的基本形式
FAx
简支梁
FAy FBy
FAx FAy FAx MA FAy FBy
外伸梁
悬臂梁
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7.2
一、梁的内力
1、剪力和弯矩的定义 截面法： 截 代 FS 剪力、M弯矩 平
不论在截面的左侧 或右侧，向上的外 力均将引起正值 的 弯矩，而向下的外 力则引起负值的 弯矩。 FAy M
M
c
FS
FS
FBy
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3、剪力和弯矩的符号规定
M c FS FS M
FAy
FS FS
FBy
+
_
方法：截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负。
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x
FBY
M ＝0， M ＝0
A B
FS ql / 2
FAy＝ FBy＝ ql/2 2．写出剪力和弯矩方程

ql 2 / 8

x
ql / 2
FS x ＝ql / 2 qx 0 x l
M x ＝qlx / 2 qx 2 / 2
M 3ql 2 / 32

工程力学：第 7章 弯曲
第 7 章 弯 曲
工程力学：第 7章 弯曲
7.1 7.2
平面弯曲概述 梁的内力 内力图