7.3 向量的内积

7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。

二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。

三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。

（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。

向量内积运算法则向量内积是线性代数中的重要概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨向量内积的运算法则，包括定义、性质和应用。

1. 定义。

在二维空间中，我们可以将两个向量表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)。

\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\)。

这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)。

在三维空间中，向量的内积可以表示为：\(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\)。

\(\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix}\)。

这两个向量的内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)。

一般地，对于n维空间中的向量，其内积可以表示为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i\)。

2. 性质。

向量内积具有以下性质：交换律，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}\)。

分配律，\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)。

数乘结合律，\(k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a})\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})\)。

这些性质使得向量内积在实际应用中具有很大的灵活性，可以方便地进行运算和推导。

向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。

在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。

向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。

也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。

向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。

这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。

2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。

这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。

3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。

这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。

4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。

这里，u 表示向量u的长度。

向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。

在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。

在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。

在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。

通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。

未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。

1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。

每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。

第一部分是引言部分。

在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。

【课题】7.3 平面向量的积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积．在讲述向量积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】cos30⋅+⋅，i F j是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即OAOB＝b,由射线OA与OB夹角，记作<．两个向量a的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量b的积，记作180时，90时，=因此对非零向量cos900,·b＝0⇔a可以验证，向量的积满足下面的运算律：．60的夹角为︒a a =2+x 22+x y (7.12)由平面向量积的定义可以得到，当＝||||⋅a ba b ＝45．判断下列各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。

向量的内积和外积
1）内积：两个向量a和b的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量和b的内积记作a,b或ab即a.b=|a||b|cos＜(a,b).
2）外积：两个向量a和b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b或[ab]它的模是|a×b|=|a||b|sin＜(a,b).
内积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数减少了，或曰缩小了。

形象地看，是向“内”收缩了。

外积：两个张量（含矢量）相乘以后，其总阶数增加了，或曰扩大了。

形象地看，是向“外”扩张了。

内积是一个向量在另一向量所在方向上的积，所以叫内积。

外积是一个向量在另一向量的无关方向上的积，所以才叫外积。

所以，两个相同向量的积在内积上达到最大，把外积方向给挤没了，所以外积中如果两个向量相同则为0。

因为向量相同外积为0，所以才有交换变号，即反对称性。

人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
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7.4.1 向量的内积
【教学目标】
1。

理解并掌握平面向量内积的基本概念,会用已知条件来求向量的内积．
2。

掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．
3. 通过教学,渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．
【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．。