向量的内积

取 1 1
2
2
[1,2 ] [1,1 ]
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
则向量组 1 ,2 就是与向量组1 ,2 等价的正交向量组。
设向量
3
x1 x2
与 1 ,2
都正交，即
x3
x1
x2
x3
0
4 2 2
0
3 x1 3 x2 3 x3 0
解此方程组得 3 1
4. 三角不等式：x y x y .
特别地，把长度为 1 的向量称为单位向量。
例如
01，
1
0 2 ，
1 1
0
1
2
1
3
3
都是3维单位向量。
3
对于任何向量 x 0 ，则 x0
1
x是单位向量，
x
这种把向量 x 化成单位向量的过程称为向量 x 的单位化
（或标准化）
根据向量长度的性质3，当
则称其为V 的一个规范正交基（或标准正交基）。
由定义不难得知，向量组 1, 2 ,, r 为向量空间的一个规范正交基，当且仅当
1 当i j
[i , j ] 0 当i j
i, j 1, 2, , r.
1
0
0
例如
向量组
e1
0
，e2
1
，e3
0
与向量组
0
0
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
0， 2
0
x1
定定义义4.42.2
设
n
维向量
x
x2
，则称非负实数
xn

线性代数§5.1向量的内积

|| x || || y ||
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)

向量内积的解析-概述说明以及解释

向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。

在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。

向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。

也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。

向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。

这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。

2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。

这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。

3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。

这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。

4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。

这里，u 表示向量u的长度。

向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。

在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。

在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。

在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。

通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。

未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。

1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。

每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。

第一部分是引言部分。

在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。

两个向量内积和正交的定义

两个向量内积和正交的定义向量是在数学中经常用到的概念，向量的运算方式有点类似于数的运算，但是向量有很多特殊的性质，因此需要了解向量的内积和正交的定义。

一、向量的内积向量的内积是指两个向量的数量积，也被称为点积或标量积，它的定义如下：设有两个n维向量a = (a1, a2, …, an)和b = (b1, b2, …, bn)，它们的内积表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn。

通过这个公式得到的结果是一个数字，而不是向量，这个数字表示了两个向量的夹角和它们的长度的乘积。

如果a·b = 0，那么这两个向量就被称为正交向量。

二、向量的正交两个向量的正交是指它们之间的夹角为直角，这种关系被称为正交关系。

在三维空间中，我们可以看到两个正交的向量表示的向量平面是一个矩形。

这个矩形的长度是两个向量长度的乘积，宽度则是它们的夹角的正弦值所乘。

在二维空间中，当两个向量垂直时，它们就正交了。

例如，在平面直角坐标系中，两个向量a = (1, 0)和b = (0, 1)是正交向量，它们的内积为0。

三、向量的应用向量的内积和正交在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 在三维计算机图形学中，可以利用向量的内积来计算光照效果。

2. 在机器学习中，向量的内积和正交用于向量的相似性度量，这是非常重要的一个概念。

3. 在物理学中，向量的正交关系被用来计算施加在物体上的力的大小和方向。

四、总结向量的内积和正交是向量的两个重要的概念。

这些概念有着广泛的应用，需要掌握这些概念才能更好地理解一些数学和物理学问题。

我们在应用和研究中，可以通过向量内积和正交，更细致地分析和解决问题，也可以更深入地了解向量及其运算特性。

向量的内积_正交矩阵

= α ′β = β ′α
α = ( α ,α ) = a1 2 + a 2 2 + + a n 2
3 、单位向量：当 α
=1
时，称α为单位向量
*
将非零向量α单位化：取向量 α ，
=
1
α
α
(α , β ) = 0 4 、正交：如果向量α 与β 满足称 α β
向量与正交。
，则
二、主要性质向量内积的性质：设 α, β , γ 均为 n 维向量， λ 为实数，则
所以， e1 , e2 , e3 , e4 是 R4 的一组标准正交基
设α1 , α 2 , , α n 是R n的一组基，
利用此组基求 Rn 的一组标准正交基的方法：步骤一：将 α 1 ,α 2 ,,α n 正交化，得一正交基施密特（ Schmidt ）正交化法：
( β1 ,α 2 ) 取 β 1 = α 1 , β 2 = α2 − ( β , β ) β1 , 1 1 ( β 1 ,α 3 ) ( β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) ( β2, β2 )
即
αi = (αi , αi ) = 1
n维向量组α1 , α 2 , , α m 是R n的一组标准正交基
（1） m=n (α ,α ) = 0 （2）i j
= 1
(i ≠ j) (i = j)
【例】
证明向量组
e1 =
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 − , e = , e = , e = 2 3 2 4 2 2 2 0 1 1 0 − 0 2 2 0

向量的内积

高等工程数学
Advanced Engineering Mathematics
第二章矩阵分析
续
向量的内积
一、内积的定义
x1 y1 x2 y2 定义1.设有n维向量 x ， y ... ... x y n n 令 [ x , y ] x1 y1 x2 y 2 ... xn yn , 称 [ x , y ]为向量 x 与 y 的内积。内积用矩阵乘法可表示为[ x , y ] x y y x
3
aT 1 1 1 1 解：记 A T ，则 a3 满足齐 a 2 1 2 1 次线性方程 AxO x1 1 1 1 0 即 1 2 1 x2 0 x 3 x1 x3 1 1 1 1 0 1 由 A~ 得， ~ 0 3 0 0 1 0 x2 0 1 1 从而有基础解系 0 。取 a 3 0 即为所求。 1 1
上式是以为未知量的一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程。其左端 A E 是的 n 次多项式，记为f ( ) ，称为方阵 A 的特征多项式。显然，A 的特征值就是特征方程的解。 n 阶矩阵 A 在复数范围内有 n 个特征值. 设 n 阶矩阵 A (aij ) 的特征值为 1 , 2 ,..., n，由多项式根与系数的关系，易得 (i) 1 2 ... n a11 a22 ... ann (ii) 1 2 ... n A
1 1 4 例 2.设a1 2 , a2 3 , a3 1 试用施密 1 1 0 特正交化法把上述向量组范正交化。 ∧ 规解：取b1 a1 1 1 1 [a 2 , b 1 ] 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 2 1 6 1 3 1 b1 [a3 , b1 ] [a3 , b2 ] b3 a3 b1 b2 2 2 b1 b2

5.1向量的内积

then β1 , β 2 ,L , β m 为正交组. 标准化过程
(α m , β 1 ) (α m , β 2 ) (α m , β m −1 ) βm = αm − β1 − β 2 −L − β m −1 , ( β1 , β1 ) ( β 2 ,β 2 ) ( β m −1 , β m −1 )
定义称 α = 模的性质
(α ,α ) =
2 2 a12 + a2 + L + an 为向量 α 的长度或模.
(1) k α = k α ;
(2) Cauchy- Schwarz inequality (α , β ) ≤ α β ; （3）三角不等式 α + β ≤ α + β ; (4) α =0 , 当且仅当 α = 0 时，等号成立. 证明(3) 对 ∀α , β ,∀ t ∈ R, 有(α + t β ,α + t β ) ≥ 0, ⇒ (α ,α + t β ) + ( t β ,α + t β ) ≥ 0 ,
( y, y ) = ( x, x ) = x .
正交变换为保角变换.
let y = Ax , y′ = Ax ′, AT A = E . 由性质1,2可知
( y , y′ ) ( x , x ′ )
y y′ = x x′
.
T
let y = Ax , y′ = Ax′, AT A = E .
性质2 正交变换为保模变换. let y = Ax , AT A = E .
T
then ( y , y ) = y y = ( Ax ) Ax ′ = x T ( AT A ) x = x T x = ( x , x ) .

向量的内积

[ , ]

0

§4.1 向量的内积
定义4：、为任意两个向量，若内积设
[ , ] 0
则称与正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交. ②

2 , 即 co s 0
.
§4.1 向量的内积
例1. 已知
称 [ , ] 为内积.
注：内积可用矩阵乘积表示为
[ , ] .
T
§4.1 向量的内积
内积的基本性质
1) 2) 3) [ , ] [ , ]; [ k , ] k [ , ]; [ , ] [ , ] [ , ]; [ , ] 0，当且仅当 0 时, [ , ] 0 .
T T
T
化成单位正交的向量组. 解：令 1 1 (1, 1, 1, 1)
2 2
[ 2 , 1 ] [ 1 , 1 ]
T
正交化
1 ( 2 , 2 , 2 , 2 )T
[ 3 , 2 ] [ 2 , 2 ]
3 3
[ 3 , 1 ] [ 1 , 1 ]
4)
§4.1 向量的内积
向量的长度
定义2
( x 1 , x 2 , , x n ) ,
T

[ , ]
x1 x 2 x n ,
2 2 2
称为向量的长度. 特别地，当 1时，称为单位向量.
1) 2)
0， 0 0 ；
1
2 ( 1, 1, 1, 1)
T
§4.1 向量的内积

线性代数§向量的内积

不同基下内积转换公式推导
不同基下内积转换公式
设α, β是向量空间V中的两个向量，在两组不同的基{e1, e2, ..., en}和{f1, f2, ..., fn}下的坐标分别为(x1, x2, ..., xn) 和(y1, y2, ..., yn)，则α和β的内积可以表示为∑(xi*yi)，其中i从1到n求和。这个公式可以用的情况。
分量表示法
定义
将向量表示为分量形式，通过分量间的运算计算内积。
公式
对于向量A = (a1, a2, ..., an)和B = (b1, b2, ..., bn)，其内积为A·B = (a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
子空间划分和基选择策略
子空间划分
设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V的加法和数乘也构成数域P上的线性空间，则称W是V的一个线性子空间或子空间。子空间的划分可以根据不同的维度和基进行。
基选择策略
在线性空间中，基的选择对于内积运算具有重要影响。通常选择正交基作为内积运算的基础，因为正交基具有良好的性质，如任意两个不同基向量的内积为零。
矩阵表示下内积计算简化方法
在矩阵表示下，两个向量的内积可以通过矩阵乘法简化计算。
具体地，若A和B是两个向量，则它们的内积可以表示为A^T * B，其中A^T是A的转置矩阵。
通过矩阵乘法，可以高效地计算多个向量间的内积。
特征值与特征向量对内积影响分析
特征值和特征向量是线性变换的重要性质，它们对向量的内积有重要影响。
夹角计算
通过内积可以计算两向量的夹角，即$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。

向量的内积

向量的内积
内积也被称之为“点积”，是两个向量之间的一种预算法则。

内积是指接受在实数R上的两个向量并返回到一个统一的实数值标量的一种二元算法，它也代表着欧几里面空间的标准内积值。

在我们的日常生活中，其实内积的应用是非常广泛的，比如在摄像机上的运用。

我们可以利用内积来准确判断出一个多边形是背朝摄像机还是面朝摄像机，这里还运用到一个小的知识点，就是向量的点积与它们夹角的余弦是成正比的，我们将多边形和摄像机放于聚光灯下，根据内积就可以准确测试出光照效果，如果得到的内积值越大，代表着夹角越小，从而判断出多边形物体距离光照的轴线是非常近的，光照最强，反之亦然。

在物理应用上，内积可以用来计算“功”和“合力”的数值，假设一个b为单位的矢量值，那内积代表着a在方向b上的投影数值，所以就给出了力在这个方向上的分解。

我们可以用这个思路来分解“功”，功是力和位移的内积，如果两个矢量点之间的积大于0，代表他们的方向越近，反之亦然。

高等代数课件-§3 向量的内积

是a在方向e单位向量上的内射影则存在唯一的实数使得这个实命题17向量a在方向e单位向量上的分量定义18若向量其中是单位向量向量a的这种分解是唯一的我们表示向量我们用命题18设e为一个单位向量则对任意向114115证明建立直角标架由图117oppnnmzeyexeopmp所以是a在方向e上的内射影从而得op这说明就是a的第一个直角坐标于是据向量和的坐标等于对应坐标的和便得到
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的方向余弦.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明知，
a OM OP PN NM
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才成立！
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a

1.7 向量的内积

b , 注： || b || cos Prja || a || cos Prjb a,
b
a b || a || || b || cos a, b
= (a , a , a ), = (b , b , b ) a b 1 2 3 1 2 3
例证明: 平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.
b
2 2 证： || a b || (a b ) (a b ) ( a b ) a a a b b a b b 2 2 a 2a b b
2 2 2 2 2 a1 a2 a3 b12 b2 b3
(a1 b1 )2 (a2 b2 )2 (a3 b3 )2 2(a1b1 a2b2 a3b3 )
注：内积运算 (*, *) 满足以下运算规律
1 , , ; 2 , , ,
a b || a |||| b || cos .
由余弦定理可知证 b 2 || a b || 2 2 || a || || b || 2 || a |||| b || cos 2 2 2 2 || a |||| b || cos || a || || b || || a b ||
P
A
B
C
例
如图, 证明三角形的余弦定理
b

c
a
|| c ||2 = || a ||2 + || b ||2 2 || a || || b || cos 证
|| c ||2 = || a b ||2 = (a b) (a b)

向量的内积

2T n
E，
T n
T
n1
nT 2
nTn
即
iT
j
ij
1，i 0，i
j j
(i ，j 1，2，，n) ．
1.3 正交矩阵与正交变换
定义 7 若 P 为正交矩阵，则 y Px 称为正交变换， P 称为正交变换矩阵．
性质 1 正交变换保持向量的内积和长度不变．证明设 y Px 为正交变换，对任意 n 维向量1 ，2 ，记 1 P1 ，2 P2 ，则 [1 ，2 ] 1T2 1T PT P2 1T E2 1T2 [1 ，2 ]，
e1
||
1 1
||
，e2
2 || 2
， ||
，er
r || r
， ||
1.2 正交向量组与标准正交基
1
1
1
例1
设 1
1 ，2
2
，
3
4
，试用施密特正交化的方法将该向量组化为标准正交组．
1
3
9
解易知1 ，2 ，3 是线性无关的．先将1 ，2 ，3 正交化，令 1 1 ；
2
2
[1 [1
y1
[x ，y] xT y
(x1 ，x2 ，
，xn )
y2
．
yn
容易验证内积有下列运算性质：
（1）[x ，y] [ y ，x] ；
（2）[ x ，y] [x ， y] [x ，y]；
其中 x，y，z 为任意 n 维向量， R ．
（3）[x y ，z] [x ，z] [ y ，z]；
3 3
1 6
2 1
，则
e1
，e2
，e3

5.1向量的内积

任何非零向量都可化为单位向量:
||
||
1
例如,把向量 1 单位化:
1
||||= 12 12 12 3
1 1
|| ||
1 3
1 1
1 1
3
3
是单位向量.
3
引入许瓦兹不等式:
对任意向量,,有 , .
定义3 非零n维向量与的夹角, 规定
为
, arccos
[ , ]
或者说,n阶矩阵A为正交矩阵A的列(行) 向量组构成向量空间Rn的一个正交规范基.
例3 问矩阵
1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
P
2 1
2
0
2 1
2
0
2 0 1
2
0
1
2 2
是否是正交阵?
解: 方法一: ∵PP =E P为正交矩阵
方法二: P 的行向量是单位向量, P 的行向量两两正交. P为正交矩阵
(0≤, ≤)
|| || || ||
例如,求向量=(1,2,2,3)与=(3,1,5,1)的夹角
cos [ , ] 18 2
|| || || || 3 2 6 2
4
三、向量的正交性及其性质
若[,]=0, , , 则称与正交
(或互相垂直).
2
注: (1) [,]=0a1b1+a2b2++anbn=0
记Y
y1 y2
P csions
sin cos
X
x1 x2
则Y PX (其中P是正交矩阵）
26
返回
定义7 若P为正交阵,则线性变换Y=PX称为正交变换.

线性代数第19讲向量的内积

实现光照模型、纹理映射等技术。
思考题：向量内积的性质推导与证明
推导与证明
向量内积具有一些重要的性质，如对称性、正定性、交换律等。这些性质可以通过向量的定义和代数运算规则进行推导和证明。
思考题
请根据向量的定义和代数运算规则，推导向量内积的对称性和正定性，并解释其几何意义。同时，请思考向量内积在解决实际问题中的应用，并给出相应的实例。
分配性
$(lambdamathbf{u}
+
mumathbf{v}) cdot mathbf{w}
= lambda(mathbf{u} cdot
mathbf{w}) + mu(mathbf{v}
cdot mathbf{w})$。
向量内积与欧几里得范数的关系
向量内积与欧几里得范数的关系
对于任意向量$mathbf{u}$，有$|mathbf{u}|^2 = mathbf{u} cdot mathbf{u}$，其中$|cdot|$表示欧几里得范数。
可以用来计算向量在单位向量上的投影长度，即向量内积的长度。
向量内积的长度和角度解释
总结词
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。
详细描述
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。具体来说，对于任意两个向量A和B，它们的夹角 θthetaθ可以通过计算A·B∣A∣∣B∣arccos(frac{A cdot B}{|A| |B|})∣A∣∣B∣arccos(∣A∣∣B∣A⋅B)得到。其中，A⋅B A cdot B A⋅B表示向量A和B的内积，∣A∣ |A|∣A∣和∣B∣ |B|∣B∣分别表示向量A和B的模长。
正交性
如果两个向量正交，则它们的内积为0。反之，如果两个非零向量的内积为0，则这两个向量正交。

5.1向量的内积

3 Leabharlann 3 是单位向量是单位向量. 3
定义3 非零n维向量的夹角〈 定义非零维向量α与β的夹角〈α,β 〉规定为 [α , β ] 〈α , β 〉 = arccos (0≤〈α,β 〉≤π) ≤ || α || ⋅ || β || 例如,求向量例如求向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角与的夹角
M α r X = 0 ′
则方程组的一个基础解系正交单位化即可. 则方程组的一个基础解系正交单位化即可
正交矩阵定义6 阶方阵,若 ′ 则称A为定义设A为n阶方阵若A′A=E,则称为正为阶方阵则称交矩阵. 交矩阵正交矩阵性质: 正交矩阵性质 (1)A为正交矩阵⇔A−1=A′ 为正交矩阵⇔ 为正交矩阵 ′ (2)A为正交矩阵⇔AA′=E 为正交矩阵⇔ ′ 为正交矩阵 (3)A为正交矩阵⇒|A|=±1 为正交矩阵⇒ 为正交矩阵 ± (4)A为正交矩阵⇒A′,A−1,A*也是正交矩阵为正交矩阵⇒ ′ 为正交矩阵也是正交矩阵 (5)若A,B均为阶正交矩阵⇒AB与BA也是均为n阶正交矩阵若均为阶正交矩阵⇒ 与也是正交矩阵. 正交矩阵
引入许瓦兹不等式引入许瓦兹不等式: 许瓦兹不等式对任意向量α,β,有[α,β]≤||α||⋅||β|| 有 ≤ ⋅ ∵||α+β||2 =[α+β,α+β] =[α,α]+2[α,β]+[β,β] ≤||α||2+2||α||⋅||β||+||β||2 ⋅ =(||α||+||β||)2
当||α||=1时,称α为单位向量时称为单位向量.
α 都可化为单位向量: 任何非零向量α都可化为单位向量 || α ||

5-1预备知识：向量的内积

量组为正交向量组．
３正交向量组的性质
定理1
若n维向量1,
2
,,
是一组两两
r
正交的
非零向量,则 1, 2 ,, r 线性无关.
证明设有 1,2 ,,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1 9
8
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
例６验证矩阵
1 1 1 1
2 1
一、内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
称x, y为向量 x与 y的内积 .
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列向量,内积可用矩阵记号表示为 :
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,

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