向量的内积的概念25页PPT

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3
动脑思考 探索新知
如图，设有两个非零向量a， b，作 OA a，
A
a OB b，由射线OA与OB所形成的的角叫做向量
a与向量b的夹角，记作<a，b>．
O
b
B
两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b
的内积，记作a·b， 即 a·b＝|a||b|cos<a，b>
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13
巩固知识 典型例题
例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)； (2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)．
解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥ b． (2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2， 所以a与b不垂直．
F
O
s
没有产生位移，没有做功，水平方向
图7—21
上产生的位移为s，即 3
W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100×2 ·10＝500 3 ．
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2
动脑思考 探索新知
W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100×23 ·10＝500 3 ． 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
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16
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
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17
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.3Ａ组（必做）
教材习题７.3Ｂ组（选做） 实践调查：试着编写一道关于向量

2.3 向量的内积
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例1 解
2.3 向量的内积
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 解
2.3 向量的内积
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以验证，向量的内积满足下面的运算规律：
2.3 向量的内积
2.3 向量的内积
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
7.如图所示,某中等职业学校 物流服务与管理专业学生进行 “装卸搬运作业”,用T形叉车把 重400N的货物从仓库出库区搬运 至20m外的装载点.若拉力F的大 小为150N,方向与水平线成45°角, 求拉力F所做的功.
2.3 向量的内积
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.3 向量的内积
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
再见
例3 解
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.3 向量的内积
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.3 向量的内积
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.3 向量的内积
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
由内积定义可知： 零向量与任一向量的内积为0，即0 ·a=0.
2.3 向量的内积
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.3 向量的内积

所以 ∙ = ( + )( − ) =
故 ⊥ ,
即菱形的对角线互相垂直.

−

= 0,
课堂小结
3.3
/作业布置/
P86，练习1./2./5./7.
闻过而终礼,知耻而后勇。
感谢观看
分析问题及解决问题能力；
情感目标
核心素养
通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
通过思考、讨论等活动，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等
核心素养．
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
问题思考
（2）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略
，也不能用“×”代替.
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
读一读
美国数学物理学家吉布斯把内积称作“点积”，并
记作 ∙ ，这种记法使用至今．
活动 3
巩固练习Байду номын сангаас提升素养
由上可知，功是一个数量，它由力和位移两个向量来确
定．由此我们可以思考：两个向量之间是否存在一种新的运
算呢？
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
特别提示
（1） ∙ 的结果是一个实数，可以是正数、负数
和零．
试一试：
用向量内积的定义证明这四个性质.
活动 3
巩固练习，提升素养
例3 如图所示，证明菱形的对角线互相垂直．

x y x y . 性质2 当x与y正交时 ，
2 2 2
5 向量空间的正交基
n R 我们仅讨论实数域上的n维向量空间 .
n n n维向量空间 R 的基： R 中任意n个线性无关
向量1，2， ，n .
R 的正交基: 若1 , 2 ,, n是向量空间R n的一组基, 且1 , 2 , , n是两两正交的非零向量 组, 则称1 , 2 ,, n是
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 . 0 3 1 3 1 1 再把它们单位化，取 1 1 1 1 b1 b2 e1 2 , e2 1 , 6 3 b1 b2 1 1 1 1 b3 e3 0 . 2 b3 1 e1 , e2 , e3即合所求.
称 xT y为向量x 与 y的内积 , 记作（ x, y） .
内积的运算性质
其中 x, y, z 为n维向量, 为实数 :
(1) ( x, y) ( y, x );
( 2) (x, y) ( x, y);
( 3) ( x y, z ) ( x, z ) ( y, z );
准正交化.
若a1 , a2 ,, ar 为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ， ( a2 , b1 ) b2 a2 b1 , ( b1 , b1 )
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )

投影法
通过向量的分解，将复杂的问题转化为简单的内积运算。
向量分解法
向量的内积与向量的模的关系
CATALOGUE
03
VS
向量$overset{longrightarrow}{a}$的模定义为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}$，其中$a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$是向量$overset{longrightarrow}{a}$的分量。
《向量的内积的概念》ppt课件
目录
CATALOGUE
向量的内积定义向量的内积运算向量的内积与向量的模的关系向量的内积的应用
向量的内积定义
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01
向量的内积是两个向量之间的一种数量关系，通过点乘运算得到。
总结词
向量的内积定义为两个向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$的点乘，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$，计算公式为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
点乘的性质：$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \left| \overset{\longrightarrow}{a} \right| \cdot \left| \overset{\longrightarrow}{b} \right| \cdot \cos\theta$，其中$\theta$是向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$之间的夹角。

是a在方向e单位向量上的内射影则存在唯一的实数使得这个实命题17向量a在方向e单位向量上的分量定义18若向量其中是单位向量向量a的这种分解是唯一的我们表示向量我们用命题18设e为一个单位向量则对任意向114115证明建立直角标架由图117oppnnmzeyexeopmp所以是a在方向e上的内射影从而得op这说明就是a的第一个直角坐标于是据向量和的坐标等于对应坐标的和便得到
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明 知，
a OM OP PN NM
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才 成立！
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a

+
1
+
2
3 0.
1 0
它的基础解系为
1
0 , 1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取 a2 1,
a3
2
[ [
1, 1,
2]
1]
1
.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
a2
1 0 , 1
a3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
4、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则称A为正交矩阵.
定理 证明
A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都是单位向量且两两正交．
a11
AT
A
E
a12 L
a21
a22 L
L L L
an1 a11 an2 a21 L L
a12
a22 L
L L L
201
由于
0 1 2 0, 所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
112
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 , 因而 A 可对角化 .
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 + 13
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2 3 1 . 把 1代入 A E x 0 , 解之得基础解系 (1,1,1)T ,
内积的运算性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
(1) [x, y] [y, x]; (2) [x, y] [x, y]; (3) [x + y, z] [x, z] + [y, z];

当两个向量的夹角为钝角时， $\cos\langle\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}\rangle < 0$， $\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} < 0$
当两个向量的夹角为直角时， $\cos\langle\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}\rangle = 0$， $\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = 0$
内积的运算律
分配律 结合律 交换律
内积的化简
$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}| \cdot \cos\langle\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}{b}\rangle$
04
平面向量内积的代数应用
展开式定理的应用
展开式定理
应用
数量积的应用
数量积定义
应用
数量积在解析几何、物理学和工程学 中都有广泛的应用，例如计算向量的 长度、角度以及解决力学问题等。
向量的模长的计算
向量模长定义
计算方法
05
平面向量内积的物理应用
描述力矩

a 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) a 2 , ( 1 , 1 , 0 , 4 ) a 3 , ( 3 , 5 , 1 , 1 ) 正交规范化.
解 先正交化，取
b 1 a 1 1 ,1 ,1 ,1 b2 a1 2, 1 ,((0 ab,124 ,,bb 11)) b1 1 1 41 ,1 ,1 ,1 0 , 2 , 1 ,3
(1) (x,y)(y,x); (2) (x, y) (x, y);
( 3 )(x y ,z ) (x ,z ) (y ,z );
(4 )x (,x ) 0 ,当且 x 0 时 仅 (x ,有 x 当 ) 0 .
二、向量的长度及性质
定义4.5 令 xx1,x2, ,xnT
x(x ,x )x 1 2x 2 2 x n 2,
4
9 4
.
9 9
9
4 9
4 9
7 9
解
111 2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的第一列和第二列，
由于 11 21 211 31 20, 所以它不是正交矩阵．
1 8 4
2
9 8
9 1
9 4
9 9
9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9
8
8 9 1
4
9 4
1 2
0 1
.
e1,e2,e3即合所. 求
例４ 已知 a11 1,求一组非 a2,零 a3,使 向 a1,a量 2, 1
a3两两.正交 解 a2,a3应满足 a1 Tx方 0,程 即
x1x2x30. 它的基础解系为
1 0
1 0 ,2 1 .