江苏省苏北四市(连、徐、淮、宿)2011届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案(word版)

江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案
2012年05月23日亲，很高兴访问《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》一文，也欢迎您访问店铺（）的高考频道，为您精心准备了2011高考数学日常练习的相关模拟考试试题内容！同时，我们正在加紧建设高考频道，我们全体编辑的努力全是为了您，希望您能在本次高考中能获得好的名次，以及考上满意的大学，也希望我们准备的《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》内容能帮助到您。

在即将到来的高考上助您一臂之力！加油，童鞋！
【店铺提供正确答案】。

2011年江苏省苏北四市高三第二次调研数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 复数z =(1+3i)i （i 是虚数单位），则z 的实部是________．2. 已知集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=________．3. 为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2:3:5的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 高校恰好抽出了6名志愿者，那么n ＝________．4. 已知直线l 1:ax −y +2a +1=0和l 2:2x −(a −1)y +2=0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a =________．5. 已知α为锐角，cosα=√55，则tan(π4+α)=________．6. 设a →，b →，c →是单位向量，且a →=b →+c →，则向量a →，b →的夹角等于________．7. 如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是________．8. 在区间[−5, 5]内随机地取出一个数a ，使得1∈{x|2x 2+ax −a 2>0}的概率为________． 9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinA =√3sinC ，B ＝30∘，b ＝2，则△ABC 的面积是________．10. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1, 2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是________．11. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长均等于1，且∠A 1AB =∠A 1AC =60∘，则该三棱柱的体积是________．12. 已知函数f(x)=mx 3+nx 2的图象在点(−1, 2)处的切线恰好与直线3x +y =0平行，若f(x)在区间[t, t +1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．13. 已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝9，ab +bc +ca ＝24，则b 的取值范围是________． 14. 已知函数f(x)=|x +1|+|x +2|+...+|x +2011|+|x −1|+|x −2|+...+|x −2011|(x ∈R)，且f(a 2−3a +2)=f(a −1)，则满足条件的所有整数a 的和是________．二、解答题（共9小题，满分130分）15. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)−cos(2x +π3)+2cos 2x ． （1）求f(π12)的值；（2）求f(x)的最大值及相应x 的值．16. 如图，在四棱锥E −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB =90∘，BE =BC ，F 为CE 的中点，求证： （1）AE // 平面BDF ；（2）平面BDF ⊥平面ACE ．17. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k >0)．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC =x(km)．（1）试将y 表示为x 的函数；（2）若a =1，且x =6时，y 取得最小值，试求b 的值． 18. 如图，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,32)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →⋅F 2N →=0．(1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n =pa n −2n ，n ∈N ∗，其中常数p >2． （1）证明：数列{a n +1}为等比数列； （2）若a 2=3，求数列{a n }的通项公式；（3）对于（2）中数列{a n }，若数列{b n }满足b n =log 2(a n +1)(n ∈N ∗)，在b k 与b k+1之间插入2k−1(k ∈N ∗)个2，得到一个新的数列{c n }，试问：是否存在正整数m ，使得数列{c n }的前m 项的和T m =2011？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 20. 已知函数f(x)=x 2−1，g(x)=a|x −1|．(1)若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数ℎ(x)=|f(x)|+g(x)在区间[−2, 2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．21. A 、选修4−1：几何证明选讲如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点，求证：∠DPB =∠DCP ． B ．选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =[122x ]的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C ．选修4−4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =ty =1+2t （t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系．D ．选修4−5：不等式选讲求函数y =√1−x +√4+2x 的最大值．22. 已知动圆P 过点F(0,14)且与直线y =−14相切．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．23. 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a(0<a <1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P(ξ＝i)(i ＝0, 1, 2, 3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．2011年江苏省苏北四市高三第二次调研数学试卷答案1. −32. {x|1≤x ≤2}3. 304. 13 5. −36. π3 7.4 8. 0.3 9. √310. (1,√5) 11. √24 12. [−2, −1] 13. [1, 5] 14. 615. 解：（1）f(π12)=sin(2×π12+π6)−cos(2×π12+π3)+2cos 2π12=sin π3−cos π2+1+cos π6=√32−0+1+√32=√3+1（2）∵ f(x)=sin(2x +π6)−cos(2x +π3)+2cos 2x=sin2xcos π6+cos2xsin π6−cos2xcos π3+sin2xsin π3+cos2x +1=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴ 当sin(2x +π6)=1时，f(x)max =2+1=3，此时，2x +π6=2kπ+π2，即x =kπ+π6(k ∈Z)，16. 证明：（1）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵ F 是EC 中点，由三角形中位线的性质可得 FG // AE ，∵ AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE // 平面BFD ．（2）∵ 平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABE =AB∴ BC ⊥平面ABE ，又∵ AE ⊂平面ABE ，∴ BC ⊥AE ， 又∵ AE ⊥BE ，BC ∩BE =B ，∴ AE ⊥平面BCE ，∴ AE ⊥BF ．在△BCE 中，BE =CB ，F 为CE 的中点，∴ BF ⊥CE ，AE ∩CE =E ，∴ BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ，∴ 平面BDF ⊥平面ACE ．17. 解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为kax 2，点C 受B 污染源污染程度为kb(18−x)2， 其中k 为比例系数，且k >0． 从而点C 处受污染程度y =ka x 2+kb(18−x)2．（2）因为a =1，所以，y =k x 2+kb (18−x)2，y ′=k[−2x 3+2b(18−x)3]， 令y′=0，得x =1+√b3，又此时x =6，解得b =8，经验证符合题意． 所以，污染源B 的污染强度b 的值为8． 18. 解：(1)∵ e =c a=12，且过点P(1,32)，∴ {1a 2+94b 2=1a =2c a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设点M(4, y 1)，N(4, y 2)， 则F 1M →=(5,y 1)，F 2N →=(3,y 2)， ∵ F 1M →⋅F 2N →=15+y 1y 2=0， ∴ y 1y 2=−15，又∵ MN =|y 2−y 1|=|−15y 1−y 1|=15|y 1|+|y 1|≥2√15，∴ MN 的最小值为2√15． (3)圆心C 的坐标为(4,y 1+y 22)，半径r =|y 2−y 1|2．∴ 圆C 的方程为(x −4)2+(y −y 1+y 22)2=(y 2−y 1)24，整理得：x 2+y 2−8x −(y 1+y 2)y +16+y 1y 2=0， ∵ y 1y 2=−15，∴ x 2+y 2−8x −(y 1+y 2)y +1=0 令y =0，得x 2−8x +1=0，∴ x =4±√15，∴ 圆C 过定点(4±√15，0)． 19. 解：（1）∵ 2S n =pa n −2n ，∴ 2S n+1=pa n+1−2(n +1)，∴ 2a n+1=pa n+1−pa n −2， ∴ a n+1=p p−2a n +2p−2，∴ a n+1+1=p p−2(a n +1)，∵ 2a 1=pa 1−2，∴ a 1=2p−2>0，∴ a 1+1>0 ∴a n+1+1a n +1=pp−2≠0，∴ 数列{a n +1}为等比数列．（2）由（1）知a n +1=(pp−2)n ，∴ a n =(pp−2)n −1 又∵ a 2=3，∴ pp−2×pp−2−1=3，∴ p =4，∴ a n =2n −1（3）由（2）得b n=log22n，即b n=n，(n∈N∗)，数列C n中，b k（含b k项）前的所有项的和是：(1+2+3+⋯+k)+(20+21+22+⋯+ 2k−2)×2=k(k+1)2+2k−2当k=10时，其和是55+210−2=1077<2011当k=11时，其和是66+211−2=2112>2011又因为2011−1077=934=467×2，是2的倍数，所以当m=10+(1+2+22++28)+467=988时，T m=2011，所以存在m=988使得T m=2011．20. 解：(1)方程|f(x)|=g(x)，即|x2−1|=a|x−1|，变形得|x−1|(|x+1|−a)=0，显然，x=1已是该方程的根，从而原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，有且仅有一个等于1的解或无解，由此得a<0．(2)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立，即(x2−1)≥a|x−1|(∗)对x∈R恒成立，①当x=1时，(∗)显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，(∗)可变形为a≤x2−1|x−1|，令φ(x)=x 2−1|x−1|={x+1(x>1),−(x+1)(x<1),因为当x>1时，φ(x)>2，当x<1时，φ(x)>−2，所以φ(x)>−2，故此时a≤−2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤−2．(3)因为ℎ(x)=|f(x)|+g(x)=|x2−1|+a|x−1|={x2+ax−a−1(x≥1),−x2−ax+a+1(−1≤x<1),x2−ax+a−1(x<−1),当a2>1，即a>2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, 1]上递减，在[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，经比较，此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3．当0≤a2≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a+3．当−1≤a2<0，即−2≤a<0时，结合图形可知ℎ(x)在[−2, −1]，[−a2，1]上递减，在[−1,−a2]，[1, 2]上递增，且ℎ(−2)=3a+3，ℎ(2)=a+3，ℎ(−a2)=a24+a+1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a+3．当−32≤a2<−1，即−3≤a<−2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,a2]，[1,−a2]上递减，在[a 2，1]，[−a2，2]上递增，且ℎ(−2)=3a +3<0，ℎ(2)=a +3≥0，ℎ(1)=0，经比较，知此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a +3．当a2<−32，即a <−3时，结合图形可知ℎ(x)在[a2, 1]，[−a2,2]上递增，在[−2,a2]，[1, −a2]上递减，且ℎ(−2)=3a +3，ℎ(2)=a +3，ℎ(1)=0， 故此时ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为ℎ(1)=0．综上所述，当a ≥0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为3a +3； 当−3≤a <0时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为a +3； 当a <−3时，ℎ(x)在[−2, 2]上的最大值为0．21. 解：A ．因为PA 与圆相切于A ，所以，DA 2=DB ⋅DC ，因为D 为PA 中点，所以，DP =DA ，所以，DP 2=DB ⋅DC ，即PD DC=DB PD． 因为∠BDP =∠PDC ，所以，△BDP ∽△PDC ，所以，∠DPB =∠DCP ．B ．矩阵M 的特征多项式为f(λ)=|λ−1,−2−2,λ−x|=(λ−1)(λ−x)−4因为λ1=3方程f(λ)=0的一根，所以x =1， 由(λ−1)(λ−1)−4=0得λ2=−1，设λ2=−1对应的一个特征向量为α=[xy ]， 则{−2x −2y =0−2x −2y =0得x =−y ，令x =1，则y =−1， 所以矩阵M 的另一个特征值为−1，对应的一个特征向量为α=[1−1]C ．消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y =2x +1；ρ=2√2(sinθ+π4)即ρ=2(sinθ+cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ)，得⊙C 的直角坐标方程为：(x −1)2+(x −1)2=2，圆心C 到直线l 的距离d =|2−1+1|√22+12=2√55<√2，所以，直线l 和⊙C 相交．D ．因为y =√1−x +√4+2x =(√1−x, √2+x)•(1, √2)，由|a →⋅b →|≤|a →|⋅|b →| 求得 ∴ y 的最大值为3，当且仅当两个向量共线时，即1√1−x=√2√2+x时取“=”号，即当x =0时，y max =3．22. 解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为x 2=y（2）证明：设A(x 1, x 12)，B(x 2, x 22)，∵ y =x 2， ∴ y′=2x ，∴ AN ，BN 的斜率分别为2x 1，2x 2，故AN 的方程为y −x 12=2x 1(x −x 1)，BN 的方程为y −x 22=2x 2(x −x 2)即{y =2x 1x −x 12y =2x 2x −x 22，两式相减，得x =x 1+x 22， ∴ M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴23. P(ξ)是“ξ个人命中，3−ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ=0)=C 10(1−12)C 20(1−a)2=12(1−a)2，P(ξ=1)=C 11⋅12C 20(1−a)2+C 10(1−12)C 21a(1−a)=12(1−a 2)，P(ξ=2)=C 11⋅12C 21a(1−a)+C 10(1−12)C 22a 2=12(2a −a 2)，P(ξ=3)=C 11⋅12C 22a 2=a 22．所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×12(1−a)2+1×12(1−a 2)+2×12(2a −a 2)+3×a 22=4a+12．P(ξ=1)−P(ξ=0)=12[(1−a 2)−(1−a)2]=a(1−a)，P(ξ=1)−P(ξ=2)=12[(1−a 2)−(2a −a 2)]=1−2a 2，P(ξ=1)−P(ξ=3)=12[(1−a 2)−a 2]=1−2a 22．由{ a(1−a)≥01−2a2≥01−2a 22≥0 和0<a <1，得0<a ≤12，即a 的取值范围是(0,12]．。

苏北四市（连云港、徐州、淮安、宿迁）2011届高三年级第二次调研考试数 学 试 题 2011年3月31日试卷 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.若iia -+1（i 是虚数单位）是是实数，则实数a 的值是 . 2.已知集合{}{},02,12<-=>=x x x B x x A 则=⋃B A .3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[]30,15内的人数为 .4.在如图所示的流程图中，输出的结果是 .5.若以连续掷两次骰子得到的点数n m ,分别为点P 的横、纵坐标，则点P 在圆1622=+y x 内的概率为 .6.在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x 下，则22)1(y x +-的最小值为 .7.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的一个定点，从P 在摩天轮最低点好似开始计时，则16分钟后P 点距地面的高度为 .8.已知集合{}{},0),(,1),(222>≤+=≤+=r r y x y x B y x y x A 若点A y x ∈),(是点B y x ∈),(的必要条件，则r 的最大值是 .9.已知点),2,0(A 抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,准线为l ，线段FA 交抛物线与点B ,过B 作l 的垂线，垂足为M ,若,MF AM ⊥则=p .10.若函数,0,20,2)(⎪⎩⎪⎨⎧<-<=-x x x f xx 则函数))((x f f y =的值域是 . 11.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，2,4,1===⊥CC BC AC BC AC ,若用平行于三棱柱111C B A ABC -的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几B112.已知椭圆B A y x ,,12422=+是其左、右顶点，动点M 满足AB MB ⊥,连接AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点B A ,的定点Q ,以MP 为直径的圆经过直线MQ BP ,的交点，则点Q 的坐标为 .13.在ABC ∆中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,两点，设)0(,≠==xy y x ，则y x +4的最小值是 .14.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 .二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为43π，2=OB 设θ=∠AOB ,)43,2(ππθ∈.(1)用θ表示;OA (2)求⋅的最小值.16.如图，已知四面ABCD 的四个面均为锐角三角形，E 、F 、G 、H 分别为边DA CD BC AB ,,,上的点，//BD 平面,EFGH 且FG EF =.(1)求证：//HG 平面ABC ;(2)请在面ABD 内过点E 作一条线段垂直于AC ,并给出证明.B17.如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切与点)1,0(，且被x 轴分成的两段弧之长比为1:2，过点),0(t H 的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O . (1)求圆C 的方程；(2)当1=t 时，求出直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围.18.心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x 天后的存留量441+=x y ；若在)4(>t t 天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存储量2y 随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为),0()4(2<+a t a存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时此刻为“二次复习最佳时机点”.（1）若5,1=-=t a ，求“二次最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a 的取值范围.(天)19.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设k a a a ,3,1是公比q 的等比数列{}n b 的前三项. (1)若2,71==a k .（ⅰ）求数列{}n n b a 的前n 项和n T ；（ⅱ）将数列{}n a 中与{}n b 相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为n S ，求),2(23211212*----∈≥⋅+-N n n S n n n n 的值；（2）若存在*∈>N m k m ,使得m k a a a a ,,,31成等比数列，求证：k 为奇数.20. 已知波函数R a ax x x f x x x x f x ax x f ∈+=++=+=,221)(,ln 953461)(,ln )(22212. (1) 求证：函数)(x f 在点))(,(e f e 处的切线恒过定点，并求出定点坐标； (2) 若)()(2x f x f <在区间),1(+∞上恒成立，求a 的取值范围； (3) 当32=a 时，求证：在区间),1(+∞上，满足)()()(21x f x g x f <<恒成立的函数)(x g 有无穷多个.苏北四市（连云港、徐州、淮安、宿迁）2011届高三年级第三次调研考试数 学 试 题 试卷 Ⅱ21.【选做题】在下面A,B,C,D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分. A.选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作圆的切线，切点为A ,过A 作OM AP ⊥于P . (1) 求证：2OA OP OM =⋅;(2) N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ,且交圆O 于B 点.过B 点的切线交直线ON 于K ,求证：90=∠OKM .B.选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎢⎣⎡=c M 1 ⎥⎦⎤2b 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321e . （1）求矩阵M ;（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程.C.选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为23)4s in(=-πθρ.（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆1916:22=+y x C 上一点，求P 到直线l 的距离的最大值.D.选修4—5：不等式选讲z y x ,,)()()()(2222333y x z z x y z y x z y x +++++≥++22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧面与底面垂直，,,11AC AB AC AB AA ⊥===P N M ,,分别是111,,B A BC CC 的中点.(1)求证：AM PN ⊥;(2)若直线MB 与平面PMN 所成的角为θ，求θsin 的值. 23．（本小题满分10分） 已知数列{}n a 中，对于任意n n n a a a N n 34,3-=∈*.（1）求证：若,1>n a 则11>+n a ； （2）若存在正整数m ，使得1=m a ，求证： （ⅰ）1≤m a ； （ⅱ）1132cos -=m k a π（其中Z k ∈）(参考公式：αααcos 3cos 43cos 3-=).苏北四市（连云港、徐州、淮安、宿迁）2011届高三年级第三次调研考试数学参考答案及评分标准一、填空题： 1．1-； 2．}{x x >；3．100； 4. 60； 5．92； 67．14； 8．2； 9； 10．11(1,)(,1)22-- ； 11．24； 12．(0,0)； 13．94； 14．162（或者65536）． 二、解答题:15. (1)在△ABC 中，因为2OB =，θπθπππ-=--=∠=∠434,4ABO BAO ，， 由正弦定理，得sin sin4OB OA ABOp =Ð，……………………………………3分 3sin()4OAp q -，所以 3sin()4OA p q =-. ……………6分 注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB 方程求得2(sin cos)OA q q =+或)4OA πθ=+也得分.(2)由(1)得3||||cos sin()cos 4OA OBOA OB p q q q ?鬃-?uu r uu u ruu r uu u r ，…………………8分2(sin 2cos2)2θθ=++)24θπ=++， …………………10分因为3(,),24p p q Î所以572(,)444p p pq +?， 所以当3242p p q +=，即58pq =时，OA OB ×uu r uu u r 的最小值为2-14分16. （1）因为BD //平面EFGH ，BDC EFGH FG =平面平面，所以BD //FG ．同理BD //EH ，又因为EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以HG //EF ，又HG ABC ⊄平面，所以HGABC 平面． ……………………………………………………6分（2）在ABC 平面内过点E 作EP AC ⊥，且交AC 于P 点，在ACD 平面内过点P 作PQ AC ⊥，且交AD 于Q 点，连结EQ ，则EQ 即为所求线段．………………………………………………10分 证明如下：EP AC AC EPQ PQ AC EQ AC EQ EPQ EP PQ P ⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭平面平面…………………………………14分17解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上， 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为21:，得23ACB π∠=， 所以2CA CB ==，圆心C 的坐标为(2,1)-，所以圆C 的方程为：22(2)(1)4x y ++-=． ………………………………4分 （2）当1t =时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为1y mx =+，由221(2)(1)4y mx x y =+⎧⎨++-=⎩得01x y =⎧⎨=⎩或22241411x m m m y m -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 不妨令222441(,),(0,1)11m m M N m m --+++， 因为以MN 为直径的圆恰好经过(0,0)O ，所以2222244141(,)(0,1)0111m m m m OM ON m m m m --+-+⋅=⋅==+++，解得2m =，所以所求直线l方程为(21y x =+或(21y x =+．………………………………10分（3）设直线MO 的方程为y kx =，2，解之得34k ≤，同理得，134k-≤，解之得43k ≤-或>0k ． 由（2）知，=0k 也满足题意． 所以k 的取值范围是43(,][0,]34-∞-． ………………………………………14分18. 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y ，由题意知，228()(4)(4)4a y x t t t t =-+>++ ………………………………2分 所以21284()(4)(4)44a y y y x t t t t x =-=-+->+++ ……………………4分(1) 当1,5a t =-=时，184(5)y x -=-+-(4)41x -+=-+≤1-+5=，当且仅当 14x = 时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天． ………………10分 (2) 284()(4)44a y x t t t x =-+-+++22(4)48(4)(4)44(4)a x a t t x t t -++=--+-++++≤84at --+， …………………………………………14分 当且仅当4)4(244)4()4(2-+-=+=++-t ax x t x a 即 时取等号，由题意t t a>-+-4)4(2，所以 40a -<<． ………………16分注：使用求导方法可以得到相应得分.19．⑴ 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =， 又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a d q b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， ……………………………4分 ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯； ………6分② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---.所以211212321n n n n S -----+⋅=-． ………………………10分 ⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===. 因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ， ………………………………………………12分又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ， ……13分所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-， …………………………………14分 因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，即3-k 为偶数，所以k 为奇数. ……………………………………16分20. (1)因为1()2f x ax x '=+ ，所以()f x 在点(e,(e))f 处的切线的斜率为12k ae e=+， 所以()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为21(2)()1y ae x e ae e=+-++ ，……2分整理得11(2)()22e y ae x e -=+-，所以切线恒过定点1(,)22e ． ………4分(2) 令x ax x a x f x f x p ln 2)21()()()(22+--=-=<0，对(1,)x ∈+∞恒成立，因为21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x--+---'=--+== （*）………………………………………………………………6分 令()0p x '=，得极值点1x 1=，2121x a =-， ①当112a <<时，有1x x 12=>，即1a 21<<时，在（2x ，+∞）上有()0p x '>，此时)(x p 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈2((),)p x +∞，不合题意；②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，)(x p 在区间(1,)+∞上，有)(x p ∈((1),)p +∞，也不合题意； …………………………………………… 8分③当12a ≤时，有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0p x '<， 从而)(x p 在区间(1,)+∞上是减函数；要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a p 12a ⇒≥-， 所以1122a -≤≤．综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……………………………………………12分 (3)当23a =时，221214514()ln ,()63923f x x x x f x x x =++=+记22115()()ln ,(1,)39y f x f x x x x =-=-∈+∞．因为225650x x y -'=-=>，所以21()()y f x f x =-在(1,)+∞上为增函数，所以21211()()(1)(1)3f x f x f f ->-=， ………………………………14分设11()(),(01)3R x f x λλ=+<<, 则12()()()f x R x f x <<, 所以在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个． ………………………………………………………………16分数学附加题答案与评分标准21．A 选修4-l ：几何证明选讲证明：（1）因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥，又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，2OA OM OP =．…………4分 （2）因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥，同（1），有2OB ON OK =， 又OB OA =，所以OP OM ON OK =，即ON OMOP OK=，又NOP MOK =∠∠， 所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN ==∠∠． …………………………10分 B ．选修4—2 矩阵与变换解：（1）由已知1283122b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即238,2612b c +=+=，2,3b c ==， 所以1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦; …………………………4分（2）设曲线上任一点P (,)x y ，P 在M 作用下对应点///(,)P x y ，则//1232x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即{//232x x y y x y=+=+，解之得////234y x x x y y ⎛-= - =⎝，代入225841x xy y ++=得222x y ''+=， 即曲线225841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程是222x y +=．………10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos θθ-=即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=； ……………4分（2）P 为椭圆221169x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[02)α∈π,，则P 到直线l的距离d ==4cos 5ϕ=所以当cos()1αϕ+=时，d………………………………10分 D ．选修4－5：不等式选讲 因为2220x y xy +≥≥，所以()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+， ………………………………4分 同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+三式相加即可得()()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++所以()()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++ ………………10分 22．解：（1）建立如图所示直角坐标系，则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)C ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,1(0,1,1)C , 1(,0,1)2P ,1(0,1,)2M ,11(,,0)22N ,1(0,,1)2=-,AM 1(0,1,)2=, 因为⋅11001(1)022=⨯+⨯+-⨯=,所以AM PN ⊥． (4)（2）设平面PMN 的一个法向量为1111(,,)n x y z =,1(0,,1)2NP =-,111(,,)222NM =-,则1100n NP n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒1111110,21110.222y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令12y =，得11z =，13x =所以1(3,2,1)n =． …………………………………………………6分 又1(1,1,)2MB =--，所以1112sin 342||||2n MB n MB θ⋅===⨯． ……………………10分23．证明：⑴因为1n a >，3143n n n a a a +=-所以2311143(43)1n n n n n a a a a a +++=-=->． ……………………2分 ⑵① 假设11a >，则232111143(43)1a a a a a =-=->若1k a >，则2311143(43)1k k k k ka a a a a +++=-=->．所以当1||1a >时，有*||1()n a n N >∈，这与已知1m a =矛盾，所以11a ≤. ………………………………………………………6分 ②由①可知，存在θ，使得1cos a θ=．则324cos 3cos cos3a θθθ=-=假设 n k =时，有1cos3n n a θ-=即1cos3k k a θ-=则()()33111434cos33cos3cos3k k k k k k a a a θθθ--+=-=-=所以对任意*n N ∈,1cos3n n a θ-=，则1cos3m m a θ-==1，132m k θπ-=，其中k Z ∈即123m k πθ-=， 所以112cos 3m k a π-= (其中k 为整数). ……………………………10分。

9的最大正整数n 的值为 。

江苏南京市2011届高三第二次模拟考试数学一、填空题（每题 5分，共70分）1、 已知复数 乙=3-4i , Z 2= 4 + bi （b € R , i 为虚数单位），若复数Z i *Z 2是纯虚数，则b 的 值为___________ 。

2 __________________________________________________2、 已知全集U = R , Z 是整数集，集合 A ={ x | x-x-6 > 0,x € R },则ZA QA 中元素的个数 为 。

3、 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形（第3题）4、某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重（单位kg ）。

所得数据都在区间［50,75］中，其频率分布直方图如图所示。

若图中从左到右的前 3个小组的频率之比为1 : 2: 3,则体重小于60 kg 的高三男生人数为 ____________ 。

（第 4题）5、 已知向量a,b 的夹角为120°，且| a | =3, | a | =1,则| a-2b | = _______________6、 下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是 __________ 。

（第 6 题）7、若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为 3，则M 到该抛物线焦点的距离为& 若直线y=kx-3与y=2Inx 曲线相切，则实数 K= ________________ 。

9、 已知函数 f （x ）=2sin （3 x+Y ）（ co >0）,若 f （ — ）=0, f （ — ）=2,则实数3 的最小值为 _ 。

3 2110、已知各项都为正数的等比数列 {a n }中，a 2*a 4=4, a 1+a 2+a 3=14,则满足a n +a n+1+a n+2>一动点，则当 AM+MC i 最小时，△ AMC i 的面积为11、3x 已知集合P= (x, y) | 4x 4y3y3 0 6, Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2< r 2(r>0),若“点 M12、€ P 堤“点M € Q”的必要条件, 则当 r 最大时ab 的值是如图，直三棱柱 ABC-AB i C i 中, AB=1, BC=2, AC= . 5，AA 1=3，M 为线段 BBi 上的13、14、(第12题)定义：若函数f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应的函数与 f(x)的值域相同，则称变换T 是f(x)的同值变换。

第3题图宿迁市2011届高三数学高考押题试卷（二）数学Ⅰ试题2011．5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.复数(i 1)i z =-对应复平面内的点位于第 象限.2.抛物线2:4C y x =上任意一点P 到直线:1l x =-的距离都等于P 到定点F 的距离，则定点F 的坐标为 .3.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾 驶员血液酒精浓度在20100mg ml 到80100mg ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80100mg ml （含80）以上时，属于醉酒驾车.据统计，2011年4月，江苏省查处酒后驾车和醉酒驾车 共2000人，如图，是对这2000人酒后驾车血液中 酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则 属于醉酒驾车的人数约为 .4.若命题“2,(1)1)(1)0R x a x a x a ∀∈+-+->”是真命题，则实数a 的取值范围是 .5.投掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数和能被5整除的概率是 .6.函数22()(1)ln e f x e x x x x=-++的最小值是 . 7.已知圆O 的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若对线段OP 的垂直平分线上任意一点Q (,)x y ，不等式1422≥+y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 .8.设变量x ，y 满足约束条件：3,1,23,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数()2x y z xy -=的取值集合为 ．9. 已知直角ABC ∆的三边长a b c ,,构成等比数列，则a b c ,,三个数中整数的个数最多有个 .10.两个集合{}1003,0,3,6,,A a =- 和{}10015,19,23,27,,B b = 都各有100个元素，且每个集合中的元素从小到大都组成等差数列，则集合A B 中元素的最大值为 .11.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=的渐近线在第一象限相交于点P ，点F 为椭圆的右焦点，O 为坐标原点.若2OPF π∠=，则椭圆的离心率为 .12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h = .13.已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ， 则=∠BAC cos ． 14.已知16a ≤≤，函数21()x a M x e-+=，1()x a N x e-+=， ()()()()()22M x N x M x N x f x +-=-在区间[]1,6上的最小值为e ，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分。

苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学I 试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则AB = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个 分数的方差为 ．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 ．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 ．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 ．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． （1）求角A 的值； （2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，3tan,44BAN BCNπ∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求,A B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试数学II(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点， 求证：AB ·BC=2AD ·BD ．B ．【选修4-2:矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a =，求实数a ，b 的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ρsin （θ一4π）=m （m ∈R ），圆C 的参数方程为（t 为参数）．当圆心C 到直线l 时，求m 的值。

盐城中学2011届高三年级第二次模拟考试数学试题数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．．1.设i 是虚数单位，则复数i 2)i 1(⋅+=z 所对应的点落在第 ▲ 象限. 2.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是 ▲ . 3.为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则n = ▲ .4.在等比数列{}n a 中，12236,12,n a a a a S +=+=为数列{}n a 的前n 项和，则22010log (2)S += ▲ .5.已知2cos()3cos()02x x ππ-+-=，则tan 2x = ▲ .6.右图是一个算法的流程图，最后输出的=x ▲ .7.设b a ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列条件中能推得b a ⊥的条件是 ▲ . （把你认为所有正确命题的序号都填上）①,α⊂a b ∥β，βα⊥；②βαβα⊥⊥⊥,,b a ； ③,α⊂a β⊥b ，α∥β；④α⊥a ，b ∥β，α∥β.8.若,x y 满足不等式组2201x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，则2x y +的取值范围是▲ .9.设F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点A 在抛物线上，O 为坐标原点，若120OFA ∠=，且8FO FA ⋅=-，则抛物线的焦点到准线的距离等于 ▲ .10.已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足2,CP CB CA =+则PA PB ⋅= ▲ .11.如右图，设矩形()ABCD AB CD >的周长为20，把ABC∆沿AC 折起来，AB 折过去后交DC 于点,F 设,AB x =则ADF ∆的面积最大时的x 的值为 ▲ .（第3题） C12.椭圆2212516x y +=的左，右焦点分别为12,,F F 弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆的周长为,π,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 则21||y y -= ▲ .13.已知函数32()f x x x =-在1x =处切线的斜率为b ，若()ln a g x b x x=-，且()g x 2x <在(1,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .14.设,a b 均为大于1的自然数，函数()(sin ),()cos ,f x a b x g x b x =+=+若存在实数m ，使得()(),f m g m =则a b +的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别为11,CC AA 的中点，AC BC ⊥,点F 在线段AB 上，且AF AB 4=．（Ⅰ）求证:D C BC 1⊥；（Ⅱ）若M 为线段BE 上一点，ME BE 4=求证：1//C D 平面1B FM ．16（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,sin .23C A B π-== （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设AC =求ABC ∆的面积.17．（本小题满分14分）第15题ABC1B1A1CD E F某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

OEFM DCBA数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．{}2；2．2- ； 3．43-； 45．221169x y -=； 6．2π； 7．1,42-；8．5；9．8π； 10．16a -≤≤； 11．51630x y -+=； 12．27； 13． 213x x <->或；14．③④二、解答题：本大题共6小题，共90分…………………………………4分 ……………………………………8分(Ⅱ) ∵抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有17只，………………………………10分∴合格品的概率为17100%85%20⨯=． ……………………………………12分∴1000085%8500⨯=（只） ……………………………………13分答：根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格数为8500只． (14)分16．（Ⅰ）设AC BD O =，连OE ．由题意可得11,22===EM EF AC AO又∵EM AO ， ∴EOAM 为平行四边形，∴ .EO AM ……………… 4分⊂⊄EO EBD AM EBD 平面,平面∴AM EBD 平面 ……………………… 6分（Ⅱ）连DM ，BM ，MO,,AF AC EC AC AFEC ABCD ⊥⊥⊥平面平面,,,,AF ABCD EC ABCD AF AD EC DC ∴⊥⊥∴⊥⊥平面平面 ABCD 又为菱形,∴A D=DC ，∴DF=DE ． (5)39.95 40.01 39.99 39.97 40.03直径/mm8分又点M 是EF 的中点，∴DM EF ⊥ ……………………………………10分12,2BD AF DO BD AF MO =∴=== ∴45DM O ∠=︒，同理45BM O ∠=︒ D M B M ∴⊥又EF BM M =∴⊥DM BEF 平面 ………………………………………12分,DM EFD EFD BEF ⊂∴⊥平面平面平面． ……………………………14分17．（Ⅰ）A 、B 、C 成等差数列，2,B A C ∴=+又A B C π++=,3π=∴B ， (2)分由23-=⋅得，2332cos-=⋅πa c ，3=∴ac ① (4)分又由余弦定理得ac c a ac c a b -+=∴-+=222223,3cos 2π622=+∴c a ② (6)分由①、②得，32=+c a ……………………………………8分（Ⅱ）39,.44⎛⎫ ⎪⎝⎭18．（Ⅰ）直线1:2,l y =设1l l D D 交于点，则（）.l 的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，……2分2k ∴=反射光线2l 所在的直线方程为2y x -=-.40y --=.……4分已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)圆心C 在过点D 且与l垂直的直线上，8b ∴=+ ①…………………………6分 又圆心C 在过点A 且与1l垂直的直线上，a ∴=②，由①②得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩圆C 的半径r=3.故所求圆C的方程为22((1)9x y -++=. ………………………………………10分（Ⅱ）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，则000044,232y x y x -+==且12分得(B '-.固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，故PB PQ +的最小值为为3B C '-. …………………………………………………………14分1213y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩得1(),22P最小值33B C '-=. ………………………16分19．（Ⅰ）由题意得(1)(1)0f g -=，即l o g 22l o g (2)a at =+，解得2t =-．…………2分（Ⅱ）不等式f (x )≥g (x )恒成立，即12log a (x +1)≥log a (2x +t) (x ∈[0,15])恒成立，它等价于x +1≤2x +t (x ∈[0,15])，即t ≥x +1-2x (x ∈[0,15])恒成立．………………………6分令x +1＝u (x ∈[0,15])，则u ∈[1, 4]，21x u =-，x +1-2x ＝221172(1)2()48u u u --+=--+，当1u =时，x +1-2x 最大值为1， ∴t ≥1为实数t 的取值范围．……………………………………………………………………8分（Ⅲ）F (x )=2g (x )-f (x ) =4log a (2x +t ) - log a (x+1)4log a=．z (x ∈[0,15])，则z ∈[1, 2]，41x z =-，432(1)22z t t z z z -+-==+，z ∈[1, 2]，…………………………………10分 设32()2t p z z z -=+，z ∈[1, 2]，则222()6t p z z z-'=-．令()0p z '=，得z ． ∵[26,56]t ∈，∴[1,2]z =⊆，当1z ≤<()0p z '<2z <≤，()0p z '>．故34min 2[()]8()6t p z p -==，…………………………………………………………12分且()p z 的最大值只能在1z =或2z =处取得． 而(1)22p t t =+-=，2(2)161522t tp -=+=+， ∴(1)(2)152tp p -=-， 当2630t ≤≤时，(1)(2)p p ≤，max ()(2)152tp z p ==+， 当3056t <≤时，(1)(2)p p >，max ()(1)p z p t ==， ∴max 15, 2630,[()]2, 3056.tt p z t t ⎧+≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩…………………………………………………………14分∴当1a >时，342()4log [8()]6a t h t -=； 当01a <<时，4log (15), 2630,()24log , 3056.a a t t h t t t ⎧+≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩…………………………………………16分20.（Ⅰ）数表中第i +1行数依次所组成数列的通项为f (i +1,j ),则由题意可得 f (i +1,j+1)-f (i +1,j )=[f (i ,j +1)+f (i ,j +2)]-[f (i ,j )+f (i ,j +1)]=f (i ,j +2)-f (i ,j ),………………2分又数表中第i (1≤i ≤n -3)行的数依次成等差数列，设其公差为d ， 故f (i +1,j +1)- f (i +1,j )=f (i ,j +2)- f (i ,j )=2d 是与j 无关的常数，故第i +1行数依次所组成数列为等差数列，且其公差为2d ．……………………………………4分（Ⅱ）∵f (1,j )= 4j ，∴第 1行的数依次成等差数列，由（Ⅰ）可得第2行的数也依次成等差数列，依此类推，可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列． 设第i 行的公差为d i ，则d i+1=2d i ，故d i = d 1×2i -1=2i+1（易知f (n-1,2)- f (n -1,1)= 2n ）………6分∴f (i ,1)= f (i -1,1) +f (i -1,2) =2f (i-1,1) +2i =2[2f (i-2,1) +2i -1]+2i =22f (i-2,1) +2×2i = … =2i -1f (1,1) +(i -1)×2i=2i -1×4+(i -1)×2i =(i +1)×2 i ．…………………………10分［另法：由f (i ,1)= 2f (i-1,1) +2i ,得f (i ,1)2i = f (i -1,1)2i-1+1,故f (i ,1)2i = i +1,故f (i ,1)=(i +1)×2i］（Ⅲ）由f (i ,1) = (i +1)(a i -1)，可得a i =f (i ,1)i +1+1=2i +1， 11111111()(21)(21)22121i i i i i i i i b a a +++===-++++，…………………………………12分 令()2i g i =，则1111111()()2221212121ii i i i i i b g i ++=-⨯=-++++， 2231111111()()()212121212121n n n S +=-+-++-++++++11113213n +=-<+．…………………………………………………………………………………14分要使n S m >，即111321n m +->+，只要111132133n mm +-<-=+， ∵m ∈(14, 13)，∴10134m <-<，∴只要132113n m ++>-，即只要23log (1)113n m >---， ∴令λ=23log (1)13m--，则当n λ>时，都有n S m >．所以适合题设的一个函数为()2=x g x ．……………………………………………16分。