两角和与差的余弦正弦正切基础练习

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。

6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。

7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。

8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。

9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.45解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17B.16C.57D.56解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α＝12－131＋12×13＝17，故选A. 答案 A4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.118B.1718C.89D.29解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B.答案 B5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 答案 22考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)(2016·合肥模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α.答案 (1)D (2)cos α【训练1】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________.(2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)原式＝4cos 24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，因为54π<4<32π，所以cos 4<0，且sin 4<cos 4， 所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4. (2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α. 答案 (1)－2sin 4 (2)12cos 2α 考点二 三角函数式的求值【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 解析 (1)原式＝(2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°)·2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝sin 2α1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43.cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin 2α＝725.所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝－2875.(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0， 又α∈(0，π)，∴0<α<π2， 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案 (1)6 (2)－2875 (3)－3π4【训练2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3D.22－1(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α的值为________.(3)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314(0<β<α<π2)，则tan 2α＝________，β＝________.解析 (1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.(2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，得32sin α＋32cos α＝－435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.又－π2<α<0，所以－π3<α＋π6<π6， 于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝33－410.(3)∵cos α＝17，0<α<π2， ∴sin α＝437，tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∴sin(α－β)＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3. 答案 (1)C (2)33－410 (3)－8347 π3考点三 三角变换的简单应用【例3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量. (1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值.解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A ) ＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34. 又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.【训练3】 (2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值.解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4， 所以α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()A.－32 B.32 C.－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是()A.－1B.0C.1D.2 解析原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.答案 D3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝()A.－31010 B.31010 C.－35 D.35解析因为α是第二象限角，且tan α＝－1 3，所以sin α＝1010，cosα＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C.答案 C4.(2017·河南六市联考)设a＝12cos 2°－32sin 2°，b＝2tan 14°1－tan214°，c＝1－cos 50°2，则有()A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c＜a＜b.答案 D5.(2016·肇庆三模)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. 答案 D 二、填空题6.(2016·石家庄模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79.答案 －797.(2017·南昌一中月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________. 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.答案 －33658.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________. 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝－247. 答案 －247三、解答题9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1).(1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值； (2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值. 解 (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0，所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13. (2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，|a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0.又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin θ＝35，cos θ＝45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 10.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值.解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tanβ＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1.又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·云南统一检测)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎪⎫－23π9＝( ) A.－18 B.－116 C.116 D.18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°· cos 40°·cos 80°＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. 答案 A 12.(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A.[－2，1]B.[－1，2]C.[－1，1]D.[1，2]解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.答案 C13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案 2－15614.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式.(2)求S 的最大值及相应的θ角.解 (1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则四边形QEDP 为矩形.由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ·PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33·sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)由(1)得S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36， 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 当θ＝π6时，S max ＝36(m 2).。

两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。

20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。

第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A.12B.32C. 3D. 2 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C2.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是 ( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4 解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|， ∵5π4＜4＜3π2，∴cos4＜0，sin4＜cos4. ∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4. 答案：D3．(2010·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，∴tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)．又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：14.sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 ( )A.725 B.1425 C.1625 D.1925解析：∵sin(π4－x )＝35∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325. ∴(cos x －sin x )2＝1－sin2x ＝1825， ∴sin2x ＝725. 答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为 ( ) A.22＋36 B.22－36 C ．－22＋36 D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13， ∴cos(α＋π12)＝－223， ∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cos π3－sin(α＋π12)sin π3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．解：(1)法一：因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin[⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 法二：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.7.已知A 、B ( ) A.5π4 B.7π4 C.5π4或7π4 D.9π4解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：B8．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于 ( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾，∴C ＝30°. 答案：A9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sin α ＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×123.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π20＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.10.(2010·晋城模拟)已知向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.14解析：a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14. 答案：B11．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为________．解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sin α＋12cos α) ＝－45答案：－4512．(文)已知点M (1＋cos2x,1)，N (1，3sin2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM ON(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求f (x )在[0，π2]上的最小值．解：(1)依题意得：O M ＝(1＋cos2x,1)，O N＝(1，3sin2x ＋a )， ∴y ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a .∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈[0，π2]，则(2x ＋π6)∈[π6，7π6，∴－12sin(2x ＋π6)≤1，此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1， y min ＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)．(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)∵a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22， ① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14， ② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2α－β＜π2由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎨⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12， ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286 ＝4±73.。

两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是 （ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）A ．3π B ．4π C ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 ．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ． 答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ． 答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ． 答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。

两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： C (),cos()αβαβ--= ； C (),cos()αβαβ++= S (),sin()αβαβ--= ； S (),sin()αβαβ++= ． T (),tan()αβαβ++= 由T ()αβ+可得公式变形tan tan αβ+= T (),tan()αβαβ--=由T ()αβ-可得公式变形得：tan tan αβ-= 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2:sin 2S ________________；2:tan 2T ________________。

2:cos 2C ________________=________________=________________；四．【基础题达标】 1．12cos312sinππ-=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80° =4．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=5.313sin 253sin 223sin 163sin +的值等于 6．12cos312sinππ-=7．化简：x x sin 6cos 2-= 8．若51cos sin =+θθ，则θ2sin 的值 9．81cos sin =x x 且24ππ<<x ，则=-x x sin cos 10．),0(πθ∈，θθsin 1sin 1--+=11．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值为 12．.若223tan 1tan 1+=-+αα，则=-αα2cos 2sin 113．50tan 10tan 350tan 10tan ++=14．化简：15tan 115tan 1-+=15．已知cos （6πα-）+sin α76)πα+的值是考点一： 运用公式求值、求角问题【例1】 (1)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α－β)的值． (2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (3)已知π2＜β＜α＜34π，sin(α－β)＝1213，cos(α＋β) =－35，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【训练1】已知βα,是锐角且1010sin ,55sin ==βα，求βα+【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．考点二： 公式的变形应用【例2】已知：)tan(βα+=βtan 2。

一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-求值：（1） 15cos （2）20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8）29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （－α） ＝sin α．（2）已知sin θ＝，且θ为第二象限角，求cos （θ－）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4.已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值. 5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7：如何求x x y sin cos 2321-=的最大值和最小值？8.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值. 二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒（2）1cos 2x x（3cos x x +（422x x 二、证明：)4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x 3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )． A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )． 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )． 4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15B.14C.13D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( ) A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( )A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若s in(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318 B.1322 C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α＝_______. 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝_________. 6． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝1617，求cos(α＋β)的值．。