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第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
第二章 波函数和薛定谔方程微观粒子波性 如何描述 波函数 薛定谔方程光子 E hv ω== h p n k λ==粒子 由E 、P Evh =h p λ==平面波的频率和波矢都是不随时间或位置改变自由粒子的能量和动量 对应∴自由粒子用平面波表示 ()()i p r E i k rAe Ae ωπψ--==如粒子受到随时间或位置而变化的力场的作用，它的能量和动量不再是常量，这时粒子就不能用平面波描写而必须用较复杂的波函数来描写。
波函数是一个复数如何理解波函数的意义。
不同看法以电子为例1．波是由粒子组成的。
粒子是基本的波只是大量粒子分布密度的变化有点象纵波，密、疏、密、疏集体行为干涉衍射是由因密度波的叠加实验 电子束强度减弱，弱到一个一个地发射长时间后有干涉象 单粒子就有波动性夸大了粒子性2． 认为粒子是由波所组成。
即粒子是de-Broglie 波在空间有限区域中的物质波包。
粒子的实质是波，波包真空色散特性决定包波必然扩散 估算10-8cm 1Å经过10-6S 会扩散到103cm 夸大了波动性 到底电子是什么？波函数是什么？上两种看法现在波认为不对的是对粒子波函数的不正确理解，人们所普通接受的观点为：电子 即不是粒子也不是波确切地说不是经典粒子，也不是经典的波，但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动两重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波。
经典物理中 粒子 有质量 坐标 轨道仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念从来没有无限精确地为实验证实过，所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视。
同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道无必然联系。
波 在经典物理中总是意味着某种实际的物理量在空间分布作周期性的变化，而更重要的是呈现出干涉与衍射现象。
干涉衍射的本质在于波的相干叠加性并不一定要求与某种实际的物理量在空间分布联系在一起。
Born （1926年提出几率波的概念） 基本原理不是经典物理波那样代表秆么实在的物理量的波动只不过是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已，为了阐明这个概念，分析一个比较简单的电子双缝衍射实验。
第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)粒子波性如何描述 波函数 薛定谔方程光子E hv ω== h p n k λ==粒子Ev h = h p λ==平面波的频率和波矢都是不随时间或位置改变与自由粒子的能量和动量都是不随时间或位置改变对应 ∴自由粒子用平面波表示：()()i p r Et i k r t AeAeωψ--==如粒子受到随时间或位置而变化的力场的作用 ?它的能量和动量不再是常量，这时粒子就不能用平面波描写而必须用较复杂的波函数来描写。
波函数是一个复数如何理解波函数的意义 ?不同看法 争论很大 以电子为例1．波是由粒子组成的粒子是基本的波只是大量粒子分布密度的变化有点象纵波，密、疏、密、疏集体行为干涉衍射是由因密度波的叠加实验 电子束强度减弱，弱到一个一个地发射长时间后有干涉象 单个粒子就有波动性 ——〉夸大了粒子性 2 认为粒子是由波所组成即粒子是de-Broglie 波在空间有限区域中的物质波包 粒子的实质是波波包真空色散特性决定包波必然扩散估算10-8cm 1Å经过10-6S 会扩散到103cm夸大了波动性到底电子是什么？波函数是什么？人们所普通接受的观点为电子即不是粒子也不是波->确切地说不是经典粒子，也不是经典的波但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动两重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波怎么理解？分析经典物理中粒子有确定的质量坐标轨道仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念，从来没有无限精确地为实验证实过所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道无必然联系分析经典物理中的波在经典物理中总是意味着某种实际的物理量在空间分布作周期性的变化而更重要的是呈现出干涉与衍射现象干涉衍射的本质在于波的相干叠加性并不一定要求与某种实际的物理量在空间分布联系在一起。
3 认为正确的理解 ---〉几率波Born（1926年提出几率波的概念）基本原理不是经典物理波那样代表什么实在的物理量的波动是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已为了阐明这个概念，分析一个比较简单的电子双缝衍射实验 实验结果和分析结果:电子一个一个地通过(大量同时通过略)①开始屏上出现一个一个的感光点，反映出粒子性②时间不长时，似平是毫无规律的分布③时间再长，点子数目增多，逐渐形成衍射图样，反映出波动性分析:图样反映出感光的强度r 处强度 正比r 感光点数目 r 处出现电子的数目 r 处电子出现在r 处的几率 注意电子是一个一个发现的，r 处的几乎是每个电子出在的几率一个被经常问的问题到底电子从那个孔穿过 ?外行 几率波的含义经典轨道概念量子力学的方法已不同 无确定坐标,轨道 观测 确定从哪里过不观测 几率幅 -> 不确定 -> 更深的理解？？ 可能到哲学层次如知道了粒子的波函数，由波函数可给出了粒子在空间任意一点出现的几率()r ψ2()r ψ 以坐标为自变量，空间测到的几率 更深的意义将不断学到讨论 从经典粒子到量子力学的粒子的波动性几率波，有何认识？ 到现在粒子出现问题上①仍然保留了粒子的颗粒性②不能用坐标能量等经典中，能量等是坐标的函数，描述状态量子力学已不一样。
以后知道许多物理量不在同时确定③对粒子或电子到底是什么没有更深地发展 对粒子或电子怎么样有更深的发展波函数的几个特点及相关数学表示式：2()r ψ1、几率密度2*(,)(,)(,)r t r t r t φφφ= 总几率为1 在空间各处出现的几率只决于相对几率， 在描写出现几率上函数的振幅改变不影响分布，所以可乘以系数使总几率为1在d τ空间，几率密度正比与 2(,)(,)(,)dw r t r t c r t d ωφτ==几率正比与2(,)(,)dw r t c r t d φτ= 直接系坐标中2(,,,)(,,,)dw x y z t c x y z t dxdydz φ=空间区域,,x x dx y y dy z z dz →+→+→+对有限空间 v 几率2*(,)(,)(,)VVc r td c r t r t d φτφφτ=⎰⎰对整个空间:总几率为 1 ,即:2*(,)(,)(,)1c r t d c r t r t d φτφφτ∞∞==⎰⎰所以 21(,)c c r t d φτ∞=⎰归一化波函数(,)(,)r t r t ψ=几率密度2*(,)(,)(,)r t r t r t φφφ=绝对几率2(,)Vr t d ψτ⎰2*(,)(,)(,)1r t d r t r t d ψτψψτ∞∞==⎰⎰不能归一的，相对几率率度有意义例如： 平面波 2、还可以乘一相位因子i eδ波函数 (,)(,)i r t r t e δφψ→ 几率密度2*()((,))(,)i i r r t e r t e δδφψψ= *(,)(,)i i r t r t ee δδψψ-= 2()r ψ= 3、以其它量为自标量 （表象，力学量的求法） 4、N 粒子体系，波函数 12(,,,,)i n r r r r t ψ以下表达式的意义 ？212(,,,,)i n r r r r t ψ体系在3 x n 维空间中的几率密度21212(,,,,)i n n r r r r t d d d ψτττ第1个粒子在空间 111r r dr →+中的几率第i 个粒子在空间 i i i r r dr →+中的几率第n 个粒子在空间 n n n r r dr →+中的几率2.2 态的叠加原理上节 用波函数来描述微观粒子的量子状态, 经典物理中坐标，动量等概念，叫法被沿用， 但性质或意义发生了变化物理最有许多可能值，每个可能值各以一定的几率出现例一粒子，波函数为()r ψ则在小体积元d τ[点（x 、y 、z ）邻域体元d τ内]中的几率*()()r r d ψψτ测量该粒子的位置，会得到不同的值，这些值以一定的几率出现。
波粒二象性还导致别一个基本原理，态叠加原理 或说二象性（波性）通过态叠加原理表现出来 首先来看动量分布几率()r ψ给出在处 r找到粒子的几率密度2()r ψ∞哪么进一步词其他力学量如何分布？例如，动量p,321()(2)i p r p r e ψπ=完全自由粒子，动量确定，坐标不确定，无限大空间一般来说，()r ψ是一个波色，由多种平面单色波叠加而成,即含有各种波长（频率或动量）的分波即数学上任何波函数可写成如下形式3()()()p r c p r dp ψψ=⎰321()(2)i p r p r e ψπ=3321()()(2)i p r C p r edr ψπ-=⎰不连续时是什么形式？上两式为Fourier 变换()r ψ和 ()c p 相互完全确定如何理解？ ()r ψ和 ()c p 相互完全确定（1）一个东西两种描述 两种表象()r ψ以坐标为函数给出空间几率分布 坐标表象()C p以动量为函数给出动量几率分布 动量表象2()C p 表示力显为的几率密度由以上知表示的量子态 动量不确定按一定几乎分布现在就有一个问题：一个粒了的状态已用 ()r ψ完全确定下来，测到粒子动量时，动量又有一定的几率分布，如何理解有时出现1p有时出现2p ？应理解为 态的叠加假设体系处于1()r ψ描述的状态下，测量某力学量A,得1a体系处于2()r ψ描述的状态下，测量某力学量A,得2a则1122c c ψψψ=+也是体系的可能状态 （c 为任意复数）在该态上测量力学量A 有时出现1a 有时出现2a出现的几率分别为21c22c 称 1122c c ψψψ=+是 1()r ψ 和 2()r ψ的叠加态 1()r ψ和 2()r ψ 是力学量A 的本征态 （有确定值）非本征态叠加原理依然成立1122c c ψψψ=+的几率密度221122()r c c ψψψ=+1122*****1122()()c c c c ψψψψ=++ 22****112212121212c c c c c c ψψψψψψ=+++干涉，衍射的实质在于波的叠加波的叠加出现出现干涉，衍射图样的根源 在于叠加中的交叉相的出现进一步理解叠加原理（与经典光学对比）经典物理中 相互垂直的线性偏振光1E 2E叠加后在空间中 1122E c E c E =+强度相等时 c1=c2量子力学中电磁场不能被无限分割，是由光量子组成任何测量光强的装置，只能一个一个地测到整光子，我们可以认为一个偏振光束中，每一个光了处于一定的偏振态1()r ψ2()r ψ1122c c ψψψ=+1211=+c1=c2量子力学中态的叠加数形式上与经典波叠加相同，但物理意上有根本的差异各种力学量几率的大小量子力学中态的叠加数形式上与经典波叠加相同，但物理意上有根本的差异 经典物理 光强或振幅的平方 量子力学 各种力学量的几率 经典物理 光分成两束 两束之间的干涉量子力学 光子的两个态的叠加，干涉是自己与自己干涉，自己可能态的干涉决不是两个光子的互相干涉误解 光子分成数目各一半的两束，然后一束中的光子与另一束中的光子干涉2.3 薛定谔方程一个微观粒子的量子态用波函数 ()r ψ描述，波函数确定后，粒子的任何一个力学量的平均值以及它取各种可能测值的几率完全确定。
下一步，核心的问题要解决量子态 ()r ψ怎样随时间变化，及在各种具体情况下如何求出波函数薛定谔在1926年提出的波动方程成功地 1923 德布罗意 抽出物质波 1926年初 薛定谔提出方程1926年后期 M.Born 提出波函数的几率解释 经典物理中质点在某一时刻 t 0 状态已知后，由质点的运动学方程就可以求出任一时刻质点的状态。
牛顿运动方程 思路相同 量子力学中 t 0 时状态已知，以后时刻粒子的状态也要由一个方程来决定。
薛方程 薛方程是一个基本公设，不是由其他公设导出，更不是由经典理论导出。
它的正确性由它导出的结论和实验是否符合来检验回想经典物理很多理论的产生也一样如此——用的多了，成功的次数多了，就承认了，就是“真理”了 建立方程，必满三个条件①必须是含有时间微商的微分方程②方程是线性的 态迭加原理要求1()r ψ ， 2()r ψ是方程的解（可能状态）1122c c ψψψ=+ 也应是其解（可能状态）③方程的系数不包含状态参量如动量、能量等 系数如含状态参量，则方程只能为某些状态（如具有确定能量、动量的状态）所满足，而不能为各种可能态所满足，即不是普遍方程。
现来建立(寻找)满足上述条件的方程。
先对波函数已知的自由粒子得出方程, 再推广到一般情况。
自由粒子波函数平面波，是所要建立方程的解()(,)i p r Et r t Aeψ-=①对上式对时间求偏微商 系数含能量E()(,)i p r Et ii A Ee E r t t ψψ-∂=-=-∂②对①对坐标求二次偏微商()222222(,)i p r Et xx Ap p e r t x ψψ-∂=-=-∂同样()222222(,)i p r Et yyAp p e r t y ψψ-∂=-=-∂()222222(,)i p r Et zz Ap p e r t z ψψ-∂=-=-∂以上三式相加222222222(,)(,)p r t r t x y z ψψψψψ∂∂∂++=∇=-∂∂∂③ 自有粒子的能量，动量关系式22p E μ=()(,)i p r Et ii A Ee E r t t ψψ-∂=-=-∂②比较②，③式 得222i t ψψμ∂=-∇∂ 这就是自由粒子的薛方程 线性？形式上分析一下②、③式可写成E i tψψ∂=∂ ②a()()()p p i i ψψ=-∇-∇③a又有 22122E p v μμ==E i t∂→∂ p i →-∇222i tψψμ-∂=∂∇形式上有对经典理论的继承和发展利用以上对应关系,得到一般情况下薛方程2(,)2p E U r t T V H μ=+=+= 哈密顿量做法：（1）上式两边乘以 (,)r t ψ（2）将式中各量做替换E i t∂→∂p i →-∇坐标不变22()2i U r tψψψμ∂=-∇+∂多粒子体系薛方程121(,)2Ni iN i ip p E U r r r μ=⋅=+∑2212Ni i ii U t ψψψμ=∂=-∇+∂∑i ii i i ip i i j kx y z ∂∂∂=-∇∇=++∂∂∂注意:(1)不是推导出，基本假设之一 (2)非相对论方程,相对论中22224o E C p C μ=+2222o E P C Cμ=+ 22222222()o C C tψμψ∂-=-∇+∂ Klein-Gordon 方程(3)波函数必定是复函数左边有系数i 右边如是实函数不含i 则不含理i2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律薛方程 --〉 波函数 --〉 状态随时间变化规律进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率怎样随时间变化设描写粒子状态的函数是()r ψ几率密度2*(,)(,)(,)(,)r t r t r t r t ωψψψ==几率密度随时间变化率是**t t tωψψψψ∂∂∂=+∂∂∂问题：右边的具体形式，明显的物理意义 或左边意义清楚，右边不清晰由薛方程22()2i U r t ψψψμ∂=-∇+∂E i t∂→∂21()2i U r t i ψψψμ∂=∇+∂p i →-∇取共轭*2**1()2i U r t i ψψψμ∂-=∇-∂ 代入**t t tωψψψψ∂∂∂=+∂∂∂*2*2**11()()22i i U r U r t i i ωψψψψψψψψμμ∂=∇+-∇⋅-⋅∂*22***()()22i i ψψψψψψψψμμ=∇-∇=∇⋅∇-∇令**()2i J ψψψψμ=∇-∇ 所以 0J tω∂+∇⋅=∂ 具有连续性方程形式 将上式对空间任意体积V 积分 VsA d V A d s∇⋅=⋅⎰⎰V V Vd d Jd t t ωτωττ∂∂==-∇⋅∂∂⎰⎰⎰ s J d s =-⋅⎰左边表示单位时间内体系V 中，粒子出现几率的变化（增加）右边J对S 的面积分，流入的几率几率守恒，粒子数守恒 J几率流密度矢量当V 趋于无限大，积分区域扩展到整个空间对平方可积波函数 (,)r t ψ，当r →∞时，则320rεψε-+>整个空间找到粒子的几率不随时间改变以粒子质量μ乘ω和J 则 以粒子质量 e 乘ω和J则2(,)e e r t ωμωψ==0e e J tω∂+∇⋅=∂ ee J J ωμωω(,)r t ψ有何意义？一个粒子，大量粒子 质量密度？ 质量流密度？电荷密度？ 电流密度？ 电流的概念是什么？经典一个电子电流如何理解？出现几率，还是电子弥散物质分布？波函数应满足哪些条件？(,)r t ψ电波函数的意义决定 （有限、连续、单值）几率ω单值 有限 ==〉(,)r t ψ单值 有限几率流J连续 ==〉波函数ψ 连续波函数的微商连续xψψ∂∇∂注意：在有限问题上，波函数和其微商在保持积分为可积的条件下可以趋于无限大 有限性真实含义2.5 定态薛定谔方程 一般情况下，薛定谔方程为其中势能部分：(,)U r t是时间和坐标的函数 ——〉势场变目前我们先讨论与时间无关的情况 如果(,)U r t不含时间（写为()U r ） ，薛方程的解可用分离变量法进行简化，即有以下形式的特解。
