下载文档原格式
高中数学备课教案概率与统计中的期望与方差高中数学备课教案主题：概率与统计中的期望与方差导语：概率与统计是数学中的一个重要分支，它帮助我们理解随机事件的发生规律，并能够对未知事件进行预测。
在本次备课教案中，我们将重点关注概率与统计中的期望与方差，深入探讨其概念、计算方法和实际应用。
1. 期望的概念和计算方法1.1 期望的定义期望是一种统计指标，常用于衡量一个随机变量的平均取值水平。
1.2 期望的计算方法（这里可以根据教学需要，结合具体题型讲述计算方法，例如离散型随机变量的期望计算公式、连续型随机变量的期望计算公式等）1.3 期望的实际应用（这里可以介绍期望在实际问题中的应用，如游戏中的期望值、股票投资中的期望收益等）2. 方差的概念和计算方法2.1 方差的定义方差是衡量一个随机变量的取值偏离其期望值的程度。
2.2 方差的计算方法（这里可以介绍方差的计算公式及其推导过程，例如离散型随机变量的方差计算公式、连续型随机变量的方差计算公式等）2.3 方差的实际应用（这里可以介绍方差在实际问题中的应用，如风险评估中的方差、品质控制中的方差等）3. 期望与方差的联系3.1 期望与方差的关系期望和方差是概率与统计中两个重要的概念，它们在一定程度上反映了随机事件的特征。
3.2 期望和方差的计算方法比较（这里可以比较期望和方差的计算方法，分析它们的异同点，并结合具体例题进行讲解）3.3 期望与方差的实例分析（这里可以通过一个具体的实例，让学生理解期望和方差的联系和应用，如某种产品销售量的期望和方差，通过分析期望和方差可以得到该产品的销售趋势等）结语：概率与统计中的期望和方差是数学中重要的概念和工具，在实际应用中具有广泛的意义。
通过本节课的学习，学生将深入了解期望和方差的概念和计算方法，并能够将其运用到实际问题中。
希望本教案能够帮助学生更好地掌握概率与统计中的期望和方差知识，并提升他们的数学思维能力和应用能力。
期望与方差公式汇总
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们是用来衡量随机变量分布特征的两个重要指标。
期望是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的期望值，即随机变量取值的期望值。
期望的计算公式为：E(X)=∑xP(X)，其中x表示随机变量的取值，P(X)表示随机变量取值x
的概率。
方差是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的变异程度，即随机变量取值的变异程度。
方差的计算公式为：D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)，其中x表示随机变量的取值，E(X)表示随机
变量的期望值，P(X)表示随机变量取值x的概率。
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们可以帮助我们了解随机变量的分布特征。
期望与方差的计算公式分别为E(X)=∑xP(X)和D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)。
数学期望与方差的关系_理解数学期望与方差之间的群关系随机变量的数学期望与方差是高考的重要考点, 也是学习数学的难点。
你知道两者之间的关系吗?下面就由店铺和你说说吧。
数学期望与方差的关系方差指一组数据中每个元素间的离散程度,方差小则离散程度小,反之则大.期望值指一个人对某目标能够实现的概率估计,即：一个人对目标估计可以实现,这时概率为最大(P=1);反之,估计完全不可能实现,这时概率为最小(p=0).因此,期望(值)也可以叫做期望概率.一个人对目标实现可能性估计的依据是过去的经验,以判断一定行为能够导致某种结果或满足某种需要的概率.什么是数学期望在概率论和统计学中，数学期望(mean)(或均值，亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
(换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
) 公式X1,X2,X3，……，Xn为这离散型随机变量，p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3)，……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)什么是方差方差的概念与计算公式，例1 两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50 E(X)=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y)=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载期望-方差公式-方差和期望公式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容期望与方差的相关公式-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量可能取值为（=1，2，3 ，…），其分布列为（=1，2，3，…），则当<时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=，如果=，则数学期望不存在。
定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C 。
（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。
（3）。
方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
期望、方差、正态分布 期望、方差知识回顾：1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 特别提醒：1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np4.方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…．5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+； 若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒：1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 正态分布知识回顾：1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(222)(∈=--x ex f x σμσπ的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线．三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 时位于最高点．③当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．注意: 当1,0==σμ时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R ,21)(22∈=-x e x f x π．相应的曲线称为标准正态曲线．2. 正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； 当0μ=时得到标准正态分布密度函数：()()221,,26xf x e x π-=∈-∞+∞.3.正态曲线的性质：① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③ 曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④ 曲线与x 轴之间的面积为1；4. σμ,是参数σμ,是参数的意义:① 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
第五讲：离散型随机变量的分布列一：基础知识归纳1、试验与随机试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验．一个试验如果满足下述条件：①可以在相同的情形下重复进行；②实验的可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪个结果。
它就称为一个随机试验。
2、随机变量：如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．3、离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定的次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．4、离散型随机变量的概率分布列及其性质：设离散型随机变量ξ可能取的值为小x1，x2，…x i，…，ξ取每一个值为随机变量ξ的概率分布，它具有以下性质：①P i≥0，i＝1，2，3，…；②P1+ P2+…＝1．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．5、二项分布：如果在第一次实验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复实验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=K)=C k k n-k，其中k＝0、1、2、3、…、n，．于是得到随机变量ξ的概率分布如下ξ的二项分布，记作ξ一B(n，P)．6、期望与方差①期望：若离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝x i)＝P i，i＝1，2，3，…，则称Eξ＝x1∙ P1 + x2∙ P2 +…+ x i∙ P i+…为ξ的数学期望或平均数、均值．特别地，若ξ～B(n，P)，则＝np．②方差：我们把(x1-Eξ)2+（x2- Eξ)2 +…+（x i - Eξ)2 +……叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差，记作Dξ，标准差是σξ=特别地，若ξ～B(n，P)，则Dξ＝npq．③性质：E(aξ+b)＝aEξ+b，D(aξ+b)＝a2D ξ(a、b为常数)．二：典例归类例1、投掷均匀硬币一次，随机变量为( )A、出现正面的次数B、出现正面或反面的次数C、掷硬币的次数D、出现正、反面次数之和牛刀小试1、下列变量是离散型随机变量还是连续型随机变量：①连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数η；②某工厂加工某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差ξ③投掷一个骰子，六面刻上数字1-6，所得的点数ξ2、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：①盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η；②从4张已编号(1号～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ；③离开天安门的距离ξ；④袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ3、某校为学生定做校服，规定凡身高不超过160 cm的学生交校服费80元．凡身高超过160cm的学生，身高每超出1 cm多交5元钱(不足1 cm时按1 cm计)．若学生应交的校服费为η，学生身高用ξ表示，试写出η与ξ之间的关系式．例2、一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，①如果每次取出的产品都不放回此批产品中，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布；②如果每次取出是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布，并求P(12≤ξ≤52)③如果次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布④如果每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布。
牛刀小试1分别求出随机变量η1＝12ξ，η2＝ξ2的分布列。
2、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量车的分布列？3将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中的最大个数记为ξ；求ξ的分布列？4、设某项试验的成功中是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ=0)=______5、某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下组练习．并且已知他射击—次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列？6、某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为5％(即每件为次品的概率)，现从一批产品中任意连续的取出2件，其中次品数ξ的概率分布是_____________；7、设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数ξ的概率分布例3、一名学生在军训中，练习射击项目，他命中目标的概率是13，共射击6次．①求这名学生在第3次射击时，首次命中目标的概率．②求这名学生在射击过程中，命中目标数ξ的期望．牛刀小试1、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望．2、设随机变量ξ具有分布列为P（ξ=k）=16（k=1，2，3，4，5，6)，求Eξ和E(2ξ+3)；3、把4个球随机地投入到4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ，Dξ4、设ξ∼（n,P）且Eξ=2.88，Dξ=1.44，求n，P例4、甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36．求：(1)甲独立解出该题的概率；(2)解出该题的人数ξ的数学期望．牛刀小试1、甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．2、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每上岗位至少有一名志愿者. （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列.3、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1，2，3，4)．现从袋中任取一球，若表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η=aξ-b，Eη＝1，Dη=11，试求a,b的值．4、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.5、为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(Ⅰ)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；(Ⅱ)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望.6、某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；( 2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望，1、①某路口一天经过的车辆数为ε；②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为ε；③一天之内的温度为ε；④某人一生中的身高为ε；⑤射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ε表示运动员在射击中的得分上述问题中的ε的离散型随机变量的是（ ） A ．①②③⑤ B ．①②④ C ．① D ．①②⑤2．若随机变量εA ．1B ．2 C ．3 D ．6 3．设某批产品合格率为43，不合格率为41，现对该产品进行测试，设第ε次首次测到正品，则P （ε=3）等于A ．)43()41(223⨯CB ．)41()43(223⨯C C ．)43()41(2⨯ D ．)41()43(2⨯4．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ε，则“ε>4”表示试验的结果为（ ）A ．第一枚为5点，第二枚为1点B ．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C ．第一枚为6点，第二枚为1点D ．第一枚为4点，第二枚为1点 5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ε表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于6123735C C C 的是（ ） A ．P （ε=2） B ．P （ε=3） C ．P （ε≤2） D ．P （ε≤3）6．若P （ε≤n ）=1-a ，P （ε≥m ）=1-b ，其中m<n ，则P （m ≤ε≤n ）等于（ ） A ．(1-a)(1-b) B ．1-a(1-b) C ．1-(a+b) D ．1-b(1-a) 7．随机变量ε则ε 8若η=2ε-3，则 9．抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ε，则P （ε>3）=_________10．一个口袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止没停止时总共取了ε次球，则P （ε=12）等于___________1．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。
假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为：（ ） A ．0.4 B ．1.2 C ．34.0 D ．0.62．已知ε～B(n ，p)，E ε=8，D ε=1.6，则n 与p 的值分别是（ ） A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 3．随机变量ε的分布列为则其期望等于（ ）A ．1B ．31C ．4.5D ．2.44．已知随机变量ε且η=2ε+3，则E η A ．53 B ．56 C ．521 D ．5125．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ε表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000A ．甲比乙质量好B ．乙比甲质量好C ．甲与乙质量相同D ．无法判定 6．卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元。
