第二学期高等数学期末考试试卷3

高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。

答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。

答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。

答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。

答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590x y z四.（8分）设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解：令=u xy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R3L ：()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：Q xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。

课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。

课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ．0lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y yB xln ln ln .ln x xy yC y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则题 号（型）一 二 三 四 核分人 得 分 总分评卷人(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dzπθπθθθ-⎰⎰⎰210cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设22x y x y z+-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 . 4.已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数33233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。

高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题大题一二三四五 六七小题12345得分一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分， 把答案直接填在题中横线上 ）r rr rrr rrr1、已知向量 a 、 b 满足 a b0 ， a2， b2 ，则 a b．2、设 zx ln( xy) ，则3z．x y23、曲面 x 2 y 2z 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为．4、设 f ( x) 是周期为2 的周期函数，它在 [, ) 上的表达式为 f (x) x ，则 f ( x) 的傅里叶级数在 x3 处收敛于，在 x处收敛于．5、设 L 为连接 (1, 0) 与 (0,1) 两点的直线段，则(xy)ds．L※以下各题在答题纸上作答， 答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上： 姓名、学号、班级．二、解下列各题：5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）（本题共 1、求曲线2x 2 3y 2 z 2 91,2)z23x2y2在点 M 0 (1, 处的切线及法平面方程．2、求由曲面 z2x 2 2 y 2 及 z 6 x 2 y 2 所围成的立体体积．3、判定级数( 1)nlnn1 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n4、设 zf (xy, x) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求z , 2z ．yxx y5、计算曲面积分dS ,其中 是球面 x 2y 2z 2 a 2 被平面 zh (0 h a) 截出的顶部．z三、（本题满分 9 分） 抛物面 zx 2 y 2 被平面 x yz 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分 10 分）计算曲线积分( e x siny m dx ( e x cos y mx dy ，L其中 m 为常数， L 为由点 A(a,0) 至原点 O(0,0) 的上半圆周 x 2y 2ax (a 0) ．四、（本题满分 10 分）x n 求幂级数的收敛域及和函数．n 13n n五、（本题满分 10 分）计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy ，其中为曲面 z 1 x2y 2 ( z0) 的上侧．六、（本题满分 6分）设 f ( x) 为连续函数， f (0) a ， F (t )[ z f ( x2y2z2 )]dv ，其中t是由曲面 zx2y2t与 zt2x22所围成的闭区域，求lim F (t)y t 3 ．t 0-------------------------------------备注：①考试时间为 2 小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。

高等数学A （下册）期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =,2b =，则a b ⋅= —4．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ —1/（y ＊y ） ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ 1.414 ．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题:（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。

2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛4、设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 (本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、(本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z=与z =,求 3()lim t F t t +→． ———--——-———-—-—-——————-—-————--——-—-—备注：①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。

二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。

（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。

（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。

（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。

2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。

原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。

第二学期高等数学期末考试试卷及答案3第二学期高等数学期末考试试卷（B 卷）答案一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1,2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4、4-和7，则该向量的起点 A 的坐标为___________________________．2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?ac c b b a_____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=??yz_____________________________． 4. 设yx z =，则=yx z2___________________．5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时，25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='Lf ，350='K f 。

如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________6. 交换积分顺序，有()=??--221,y y ydx y x f dy_____________________________．7. 设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________．8. -p 级数∑∞=11n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．10. 对于微分方程x e y y y -=+'+''23，利用待定系数法求其特解*y 时，应设其特解=*y ______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）．答案： 1. ()0,3,2-A ；2. 23-； 3. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -； 4. ()x y x y ln 11+-； 5. 2750单位； 6.()()----+1111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ；7. 02u u -； 8. 1>p ； 9.213sin 61C x C x x ++-； 10. xAxe y -=*．二．（本题满分8分）求过点()3,2,10-P ，且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．解：所求直线l 过点()3,2,10-P ，设其方向向量为s，由于l 平行于平面12=+z x 和23=-z y ，所以其方向向量s 同时垂直于向量{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n ．因此，方向向量s可取为，k j i kj i s n s++-=-=?=32310201 ．从而所求直线方程为:13221-=-=-+z y x ．三．（本题满分8分）设函数??=x y x z F x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试求zu z y u y x u x+??+??．解：-??? ??'+??? ??-??? ??'+??? ??=??-22211,,,x y x y xz F x x z x y x z F x x y x zF kx x u kkk ??'-??? ??'-??? ??=---x y xz F yx x y x z F zx x y xz F kxk k k ,,,22121'=???? ??'=??-x y x z F x x x y x z F x y u k k ,1,212'=???? ??'=??-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以， zz y u y x u x+??+?? ??'-??? ??'-??? ???=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kxx k k k ,,,22121'?+??? ??'?+--x y xz F x z x y x z F xy k k ,,1121=x y x z F kx k , 四．（本题满分8分）计算二重积分??≤++=42222y x y xdxdy e I 的值．解：作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，则有==≤++220422222rdr e d dxdy eI r y x y x πθ()1212422-=?=e e rππ．五．（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为: 2835325)3,5(22=?-?+=c （万）六．（本题满分10分）⑴. 将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数；⑵. 指出该幂级数的收敛域；⑶. 求级数()()∑∞=--1121n nn n 的和．解：⑴. 因为()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<="" p="" ，且00arctan="，所以，"> =+∞=∞=+-=-=??? ??-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x而 ()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x所以， ()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n nnn n nx nxn x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n n n n nx n xn ()∑∞=+??+-+-=222211211n n n x n n ()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数()()()∑∞=+++-02222121n n n x n n 的收敛域为[]1,1-．⑶. 令1=x ，则有()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n n n n n n n n ()()-=+-?==2ln 214211ln 1arctan 12122πf2ln 2-=π．七．（本题满分10分）求微分方程()1ln ln +=+'x x y x y x 的通解．解：该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+' 因此，()x x x P ln 1=， ()xx x Q ln 1ln +=．代入一阶线性微分方程的求解公式，有+?+?=?-C dx e x x e y dx x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln ??+?+=C x d x x x x ln ln 1ln ln 1 ()()C dx x x ++=1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以，原方程的通解为 ()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八．（本题满分10分）讨论级数()∑∞=+-11ln1n nnn 的绝对收敛性与条件收敛性．解：⑴. 因为级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 为交错级数，nn u n 1ln+=．由于， ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列{}n u 单调减少而且01 lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n ．因此由Leibniz 判别法知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 收敛．⑵. 讨论级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n ．其前n 项部分和为∑=+=nk n k k s 11ln ()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()∞→+=1ln n ()∞→n所以，级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n 发散．综上所述知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 条件收敛．九．（本题满分8分）设函数()u f 具有二阶连续的导函数，而且()y e f z xsin =满足方程z e yzx z x 22222=??+??，试求函数()u f ．解：设y e u x sin =，则有()y e u f x z x s i n '=??，()y e u f yz x cos '=?? 所以，()()y e u f y e u f x z xx sin sin 2222'+''=??()()y e u f y e u f xzx x s i n c o s 2222'-''=?? 代入方程 z e yz x z x22222=??+??，得，()()()()z e y e u f y e u f y e u f y e u f x x x x x 22222sin cos sin sin ='-''+'+''即，()()xx e u f e u f 22=''由此得微分方程 ()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程，得其通解为 ()uueC e C u f -+=21 （1C 与2C 为任意常数）此即为所求函数．。

高数高等数学A（下册）期末考试试题、填空题：（本题共5小题，每小题4分,满分20分，把答案直接填在题中横线上）r r r r r r r r r1、已知向量a、b满足a b 0, a 2, b 2,则ab .32、设z xln（xy）,贝U ---- 2x y2 23、曲面x y z 9在点（1,2, 4）处的切平面万程为 .4、设f（x）是周期为2的周期函数，它在［,）上的表达式为f（x） x,则f（x）的傅里叶级数在x 3处收敛于,在x 处收敛于.5、设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则L（x y）ds .※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.・1!■■■■■・ MM ■・・・・・■■■■■ ■ ■・・・■:■»■■■■■、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）C 2 c 2 2 c... 2x 3y z 9» j ....... .. ..1、求曲线2 2 2在点M0 （1, 1,2）处的切线及法平面方程.z 3x y.. 2 2 一 2 2 一2、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 1 一3、判定级数（1）n ln --- 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x .......... z z4、设z f （xy,—） sin y ,其中f具有二阶连续偏导数，求一, ------- -y x x ydS 2 2 2 25、计算曲面积分——，其中是球面x y z a被平面z h （0 h a）截出的顶部.z、（本题满分9分）抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分Je x siny m)dx (e x cosy mx)dy ,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).四、(本题满分10分)n求哥级数4—的收敛域及和函数.n i 3 n五、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,2 2其中为曲面z 1 x y (z 0)的上侧.六、(本题满分6分)设f(x)为连续函数，f (0) a, F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t是由曲面z xx y2t与z t2x2y2所围成的闭区域，求lim F(t ) t3备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面不得带走试卷。

高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。

2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。

3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。

5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。

3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。

5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。

2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。

4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。