数学问题杂谈 (34)

初中数学常见问题解答1. 什么是代数方程？代数方程是指包含有一个或多个未知数的等式，其中未知数在方程中被表示为字母或符号。

代数方程是研究数学关系的重要工具，它们在数学和实际生活中都有广泛应用。

2. 如何解一元一次方程？一元一次方程是指只包含一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0。

解一元一次方程的方法是移项、合并同类项，最后将未知数的系数提取出来，从而得到未知数的值。

3. 如何解一元二次方程？一元二次方程是指包含一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0。

解一元二次方程的方法可以使用因式分解、完成平方、配方法或求根公式。

根据方程的特点和已有的知识，选择合适的方法进行求解。

4. 什么是等差数列和等比数列？等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列，常用形式为a，a+d，a+2d，…，其中a为首项，d为公差。

等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列，常用形式为a，ar，ar^2，…，其中a为首项，r为公比。

5. 如何求解等差数列和等比数列的通项公式？对于等差数列，通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

对于等比数列，通项公式可以表示为an = a1 * r^(n - 1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。

6. 如何求解平方根和立方根？要求解一个数的平方根，可以使用开平方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

求解一个数的立方根，可以使用开立方运算，即找到一个数，使得它的立方等于给定的数。

在计算时，可以使用计算器或近似的方法来获得结果。

7. 什么是概率？概率是描述事件发生可能性的度量方式，其取值范围在0到1之间。

概率为0意味着事件不可能发生，概率为1意味着事件肯定会发生。

概率可以通过计数方法、频率方法或几何方法来计算。

8. 如何计算百分数和比率？百分数是指将数值表示为百分数的形式，即数值乘以100，并在后面加上百分号。

数学知识问答数学知识是我们日常生活中必不可少的一部分，它贯穿于各个领域，并为我们提供了解决问题的工具和思维方式。

在这篇文章中，我们将回答一些与数学知识相关的常见问题。

Q1: 什么是平方根？A1: 平方根是数学中一个重要的概念。

对于一个非负实数x，如果有一个非负实数y，使得y的平方等于x，那么y就被称为x的平方根。

Q2: 什么是质数？A2: 质数是指大于1的整数中，除了1和自身外没有其他约数的数。

例如，2、3、5、7等都是质数，而4、6、8等是非质数。

Q3: 如何判断一个数是否是质数？A3: 判断一个数是否是质数有多种方法，其中一种常用的方法是试除法。

首先，我们可以将该数除以2到根号n之间的每个整数，如果能整除，则该数不是质数；如果无法整除，则该数可能是质数。

Q4: 什么是最大公约数和最小公倍数？A4: 最大公约数是指两个或多个整数中能够整除这些整数的最大正数。

最小公倍数是指两个或多个整数中能够被这些整数整除的最小正数。

Q5: 如何求两个数的最大公约数和最小公倍数？A5: 求两个数的最大公约数可以使用辗转相除法，将两个数中较大的数除以较小的数，再将除数与余数继续相除，直到余数为零为止，此时除数就是最大公约数。

求两个数的最小公倍数可以使用最大公约数的性质来计算，最小公倍数等于两数之积除以最大公约数。

Q6: 什么是比例和比例式？A6: 比例是指两个或多个数量之间的比较关系，可以表示为a:b或a/b。

比例式是由两个或多个比例构成的等式。

Q7: 如何解决比例问题？A7: 解决比例问题通常有两种常用的方法：等比例法和单位量法。

等比例法是通过设置一个未知数，并设置等式来解决问题，而单位量法则是通过将已知量和未知量转化为相同的单位进行计算。

Q8: 什么是平均数？A8: 平均数是指一组数值的总和除以这些数值的个数所得到的值。

平均数可以分为算术平均数、几何平均数和调和平均数等多种类型。

Q9: 如何求一组数的平均数？A9: 求一组数的平均数可以将这些数相加，然后除以数的个数即可。

数学问题解答在解答数学问题时，我们常常需要运用一定的方法和技巧，下面将介绍一些常见的数学问题解答方法，帮助你更好地理解和应用数学知识。

一、代数问题解答代数问题是数学中常见的一种问题类型，它可以通过建立方程或者利用代数运算来解决。

1. 建立方程：当遇到等式关系时，可以通过建立方程将问题转化为代数问题。

例如：某数的三倍与另外一个数的和等于12，求这两个数分别是多少？首先设被求的两个数分别为x和y，根据题意可以得到方程3x + y = 12.2. 利用代数运算：代数运算是解决代数问题的基本方法之一，通过灵活运用加减乘除、整除余数、因式分解、多项式展开等运算法则，可以简化问题的推导过程。

例如：(2x + 3)^2的展开式为4x^2 + 12x + 9.二、几何问题解答几何问题需要运用几何知识和几何推理方法来解答。

下面介绍两种常见的几何问题解答方法。

1. 利用几何定理：几何定理是几何问题解答的重要依据，例如勾股定理、相似三角形定理等。

当遇到几何问题时，首先要分析题目中给出的几何条件，然后运用相应的几何定理来解决问题。

2. 利用几何推理：几何推理是通过逻辑推理方法解答几何问题的重要手段，包括反证法、推广法、归纳法等。

通过分析图形特点、构造辅助线、运用几何定理和几何推理方法，可以解决各种几何问题。

三、概率问题解答概率问题是与随机事件相关的问题，需要通过计算概率来解决。

下面介绍两种常见的概率问题解答方法。

1. 利用频率法：频率法是通过实际试验进行统计，计算事件发生的频率来估计概率的方法。

例如：掷一颗均匀的骰子，出现奇数的概率是多少？通过掷骰子多次，记录下奇数出现的次数，然后计算频率就可以得到概率的近似值。

2. 利用计数法：计数法是通过数学计数的方法来计算概率的方法。

例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，得到黑桃的概率是多少？通过计算黑桃牌的数量与总牌数的比值，就可以得到概率的精确值。

四、函数问题解答函数问题是数学中常见的一类问题，需要通过给定的函数关系求解特定的未知量。

勾股定理中的数学问题(分类整理版)
勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是代数几何中的重要定理
之一。

它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

简介
勾股定理得名自古希腊数学家毕达哥拉斯。

他的发现是在直角
三角形中，边长为a和b的两个直角边，斜边的长度为c，有如下
关系式成立：
a^2 + b^2 = c^2
这一定理在数学、物理和工程学等领域有广泛的应用。

使用方法
快速计算和验证一个三角形是否满足勾股定理，可以使用下列
方法之一：
1. 验证：将三边的长度代入定理的关系式，检查等式是否成立。

2. 推导：已知两个边的长度，可以通过关系式求解第三边的长度。

3. 应用：可以使用这一定理解决各种三角形问题，例如计算三角形的周长、面积或角度。

数学问题
在勾股定理的应用中，涉及到许多有趣的数学问题。

以下是一些常见的数学问题分类：
1. 求解直角三角形的边长
问题：已知一个直角三角形的斜边长度为5，其中一条直角边的长度为3，求另一条直角边的长度。

2. 寻找特殊直角三角形
问题：找到一个直角三角形，其中所有边的长度都是整数。

3. 探索勾股数
问题：寻找满足勾股定理的整数解。

4. 应用于几何问题
问题：使用勾股定理解决几何问题，如计算三角形的面积或寻找角的度量。

总结
勾股定理是数学中的重要定理，可以解决许多与直角三角形有关的问题。

了解如何使用和应用这一定理，有助于提高数学技能并解决实际问题。

数学问题解答数学问题在我们的学习中经常会遇到。

有时候我们会遇到一些困难，需要一个详细而准确的解答来引导我们。

在本文中，我将为您提供一些常见数学问题的解答，希望能为您解决疑惑。

*****一、加法与减法加法与减法是数学中最基础的运算之一。

当我们面对一些复杂的加减运算时，往往需要运用一些技巧。

首先，我们要理解加法和减法的运算规则。

当两个数相加时，我们将它们的数值相加，符号保持不变。

例如，2 + 3 = 5。

当两个数相减时，我们将被减数减去减数，符号保持不变。

例如，6 - 2 = 4。

其次，我们可以运用进位和借位的方式来简化计算。

当我们进行加法运算时，如果两个数的和超过了我们所使用的进位数，我们需要向左侧的更高位进位。

例如，7 + 9 = 16，我们将6留在个位上，进位1到十位。

对于减法运算，当我们减去一个较大的数时，我们需要向左侧的更高位借位。

例如，13 - 5 = 8，我们需要向十位借1，再进行减法运算。

*****二、乘法与除法乘法与除法是数学中另一种常见的运算。

当我们面对乘法和除法问题时，也可以运用一些技巧来简化计算。

首先，我们要熟练掌握乘法表。

乘法表可以帮助我们快速计算两个数的乘积。

例如，2乘以3等于6，我们可以在乘法表中找到相应的位置。

其次，当进行较大的乘法运算时，我们可以运用分配律的性质进行简化。

例如，4 × 25可以分解成4 × (20 + 5)，即4 × 20 + 4 × 5。

这样，我们可以更容易地计算乘法结果。

对于除法运算，在计算中我们要使用除法的定义。

例如，当我们计算12除以3时，我们要找到一个数，使其乘以3的结果等于12。

这个数是4，所以12 ÷ 3 = 4。

*****三、代数方程代数方程是数学中一个关键的概念。

当我们遇到代数方程时，我们需要运用一些解方程的方法来求解未知数的值。

首先，我们要学会使用逆运算。

当方程中存在加法或减法时，我们可以运用减法的逆运算来化简等式。

初中数学分类讨论问题经典题例析（代数部分）山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406） 张荣建一、 因为大多数运算公式和运算性质的成立都具有一定条件，所以，在运用公式和性质时要针对成立的条件分类讨论经典题1、已知k cb a bc a a c b =+=+=+，求k 的值。

分析：运用等比性质时，要注意性质成立的条件：a+b+c ≠0,所以求k 值时须分a+b+c ≠0和a+b+c=0两种情况进行讨论。

解：当a+b+c=0时， b+c=-a ，a+c=-b ，a+b=-c ，∴k=-1当a+b+c ≠0时，k= 2=+++++++cb a b ac a c b 。

经典题2、已知xy=3,求yx y x y x +的值。

分析：x x =2的条件是x ≥0，当x ＜0，x x -=2，所以，化简二次根式时一定要考虑未知字母的正负。

解： xy=3，x 与y 同号，当x ＞0，y ＞0时，y x y x y x +=322==+xy yxy y x xy x ，当x ＜0，y ＜0时，y x y x y x +=322-=-=-+-xy yxy y x xy x 。

经典题3、已知16)3(22+--x m x 是完全平方式，求50142+-m m 的值。

分析：22b ax x ++是完全平方式的条件是a =±2b ，16)3(22+--x m x 是完全平方式，所以8)3(2±=--m ，∴m=7或m= -1，当m=7时，50142+-m m =()1172=+-m ，当m= - 1时，50142+-m m =1+15+50=65。

经典题4、若0223422⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--x x x x ，则x= 。

分析：10=a 的条件是a ≠0,若1222=--x x ，解得1,321-==x x ，所以要针对1321-==x x 和分别讨论34x 2+-x 是否为0，最后确定x 的取值。

初中数学中常见的代数问题解析代数是数学中的一个重要分支，也是初中数学学科中的重点内容之一。

在学习代数的过程中，会遇到很多常见的代数问题。

本文将对这些常见的代数问题进行解析，帮助初中生更好地理解和掌握代数知识。

一、一元一次方程1. 问题描述：已知一个一元一次方程，求解方程的根。

解析：一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

求解方程的根可以通过移项、合并同类项以及化简等方法，得到x的值。

2. 问题描述：已知一元一次方程的根，求解方程的系数。

解析：已知一元一次方程的根x，可以将该根代入方程，然后根据方程的形式，得到系数的值。

二、一元二次方程1. 问题描述：已知一个一元二次方程，求解方程的根。

解析：一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

求解方程的根可以通过公式法、配方法或因式分解等方法，得到方程的解。

2. 问题描述：已知一元二次方程的根，求解方程的系数。

解析：已知一元二次方程的根x₁和x₂，可以利用韦达定理，通过根与系数之间的关系，得到方程的系数。

三、代数式的化简1. 问题描述：已知一个复杂的代数式，化简该代数式。

解析：化简代数式的关键是运用数学中的基本运算法则和代数运算法则，如合并同类项、分配率、乘法法则等，将代数式化简为最简形式。

四、函数与方程1. 问题描述：已知一个函数，求解函数的零点。

解析：函数的零点即函数图象与x轴的交点，也就是函数的根。

求解函数的零点可以通过解方程f(x) = 0来实现。

2. 问题描述：已知一个函数，求解函数的最值。

解析：求解函数的最值需要首先找到函数的极值点，然后通过比较函数在极值点和区间端点的函数值，得到函数的最值。

五、不等式1. 问题描述：已知一个不等式，求解不等式的解集。

解析：求解不等式的解集需要根据不等式的性质和已知条件，通过变形和化简等方法，得到不等式的解集。

六、代数方程组1. 问题描述：已知一个代数方程组，求解方程组的解集。

常见数学问题解答常见的数学问题和疑惑数学作为一门基础学科，在我们的学习生活中扮演着重要的角色。

然而，常常有一些数学问题和疑惑困扰着我们。

本文将解答一些常见的数学问题和疑惑，帮助读者更好地理解数学知识。

一、为什么除以0是没有意义的？在数学中，当我们进行除法运算时，我们将一个数除以另一个数得到一个商。

然而，当我们试图用0去除一个数时，结果就会变得模糊不清。

为什么呢？假设我们有一个数a，我们想要用0去除它，即a ÷ 0。

我们可以假设存在一个数x，使得0 * x =a。

但是，这个假设不成立，因为0与任何数相乘得到的结果都是0。

因此，我们无法找到一个确切的数x来满足等式0 * x =a。

这也就是为什么除以0是没有意义的。

数学上，我们称这种情况为“除以0的结果为无穷大”。

二、为什么分母不能为0？在分式中，分母表示我们将某个数分成多少份。

然而，当我们把一个数分成0份时，这个概念就变得没有意义了。

假设我们有一个分数a/b，其中b表示分母。

如果b等于0，那么我们试图将a分成0份。

但是，仔细思考一下，我们会发现没有任何一种情况下我们能够把一个数分成0份。

因此，分母为0是没有意义的，数学上称之为“分母不能为0”。

三、为什么负数乘以负数得到正数？在初学数学的时候，我们知道两个正数相乘得到正数，两个负数相乘得到负数。

但是为什么负数乘以负数得到正数呢？假设我们有两个负数a和b，我们知道它们的乘积为ab。

现在，我们来考虑一个简单的例子，-2乘以-3，即-2 * -3。

根据之前的规律，我们知道这个结果应该是一个正数。

我们可以通过纸上计算来理解这个现象。

我们知道-2表示向左移动两个单位，而-3表示向左移动三个单位。

那么，我们把-2 * -3理解为“向左移动两个单位再向左移动三个单位”，这就相当于向左移动5个单位。

而向左移动5个单位，实际上就是向右移动5个单位，也就是正数5。

因此，负数乘以负数得到正数是根据数学定义和规律得出的。

目录1.前言 (1)2.利用整除性判别法解决整除问题 (1)2.1能被2k或5k整除的判别法 (1)2.2割尾判别法 (2)3.利用整除的基本性质解题 (5)4.最大公因数 (7)5.抽屉原理在数论中的应用 (9)6.致谢 (12)7.参考文献 (14)中学数学中与初等数论相关的几个问题陈琴 (指导老师: 左可正)(湖北师范学院 数学系 湖北 黄石 435002)1.前言在中学数学中，整数是特殊常用的一类数.而初等数论是研究整数的性质的、与算术有密切关系的一门学科，可以说初等数论是算术的延续.初等数论问题更是数学竞赛试题多发区.而对于整除性质和抽屉原理的考察一直是中学数学竞赛中应用范围最广的核心内容,作为高中教师,有必要对这些知识进行系统的考查.2.利用整除性判别法解决整除问题一个数能不能被另一个数整除，虽然可以用长除法去判别，但当被除数位数较多时，那是很麻烦的。

要判别一个正整数a 能否被另一个正整数d 整除，往往可变为只要找出另一（绝对值）较小的整数b ，而去判别b 能否被d 整除。

这个新的整数b 也就称为判别数。

要看一种整除判别法是否优越，就在于能否用较快的速度而得出很小的判别数。

因为判别数b 越小，就越容易判别能否被d 整除。

下面我将阐述两种判别法。

2.1能被2k 或5k 整除的判别法令整数01n a a a a =⋯(0<0a ≤9,0≤i a ≤9, i =1,2, ⋯,n). i a ∈N.因为210k k |,但k 2不整除110k -,故要判别a 是否能被k 2整除,就是要而且只要判别122n k n k n n a a a a -+-+-⋯能否被k 2整除.我们可以用一个例子来证实这个判别法.例1:试判别51024能否被16整除?解:显然16=42,故相当于来判别a 是否能被42整除.但1024=1000+24而321000∣,42不整除1000,故知以42除1000的余数为8,而8+24=32可被16整除,故知1651024∣.与能被2k 整除的道理一样,判别a 是否能被5k 整除,只需要看122n k n k n na a a a -+-+-⋯能否被5k 整除就行了.对不同的k 如何判别,现分述如下:(1) 当k =1时,即要判别a 是不是5的倍数,这时的充分必要条件是n a =0或5.(2) 当k =2时,即要判别a 是否能被25整除,这时只要看1n n a a -.而25∣1n n a a -的充分必要条件是1n n a a -=25,70,75或1n a -=n a =0.(3) 当k =3时, 即要判别a 是否能被125整除, 这时只要看a 的最右边三位数21n n n a a a --,而21n n n a a a --125∣的充分必要条件是21n n n a a a --=125,250,375,500,625,750,875或2n a -=1n a -=n a =0.(4) 当4k ≥时,要判别a 是否能被5k 整除,则可用“逐步约商”判别法.例2:试判别21401375能否被45整除.解:我们只需要判别1375能否被45整除就行了.75显然可以被25整除.现用“逐步约商”判别法.因为1375=25•55,即25除1375的商为55.而55不能被25整除.可见1375不整除45,从而21401375不整除45.2.2割尾判别法先给出一个定理:假定自然数011n k n k n a a a a a a ⋯--+=⋯,如果a 能被奇质数p 整除,则将a 的右端任意割去k 位(不妨设割去的k 位数不是p 的倍数,否则无讨论之必要),必存在唯一的正整数1m p <(只与p 和k 有关),使得a 的判别数10111()n k n k n b a a a m a a --+=⋯-⋯ (1)仍是p 的倍数.同时也存在唯一的正整数2m p <,使得a 的判别数20121()n k n k n b a a a m a a --+=⋯+⋯ (2)也是p 的倍数.下面我将对此定理作出证明.证明:我们只要就该定理中之(1)式证明就行了(因(2)式完全同理可证).事实上,由于从a 的尾部割去的k 位数1n k n a a -+⋯和p 互质,则可知同余方程1()n k n a a -+⋯x ≡01n k a a a -⋯(mod )p有唯一解.令它为1(mod )x m p ≡.于是该定理得到证明.对于p 的倍数a 割去k 位并按(1)式的要求而定出1m 后,由于1m 的唯一性,若a 不是p 的倍数,则按(1)式的要求作出的判别数1b 也一定不是p 的倍数.反过来,由1b 是否为p 的倍数也可判定a 是否为p 的倍数.而且对(2)式也可同理应用.为了进一步阐述割尾判别法,我们可以看一个例子:例3:试判别816751136124能否被7整除?解:我们用(1)式,割去3位或6位.割去3位时, 1m =1.割去6位时1m =6我们用长除法的形式来解出判别数由上述过程我们可以看出:割三位的方法经过三步得出的判别数为77,故可断定816751136124能被7整除;而割六位的方法只要一步就得出判别数7,故也能断定816751136124能被7整除.通过上面的例子我们应作几点说明:(1) 当将要判别的数割去1位,2位,3位,…时, 1m 是为多少是怎样知道的?确定方法是:当割去一位时,则可在7的倍数中取一简单的两位数(最好个位数为1).比如21.将21的个位数1割去,此时剩下一个2,而2减去1的2倍就等于零.而零显然可以被7整除.故此法可确定1m =2.当割去两位时,则可在7的倍数中取一简单的三位数.比如301.将301的右端两位数割去,此时剩下一个3,而3减去01的3倍就等于零.故此时可确定1m =3.同理可确定其它位数的1m ,这个1m 就叫做割尾判别法的“乘数”.它随割去的位数不同而异.(2) 在例3中很碰巧,经三步割三位后的判别法只有两位,经一步割6位数后得判别数只有一位.若有3位或3位以上,则应再割去1位或2位,就是说,有时判别一个数需要几种割尾法交错使用,直到得出最后的判别数是一位或两位为止.将例3加以推广,割尾法同样可以判定a被13,17,19整除.3.利用整除的基本性质解题整除是初等数论中最基本的内容之一，b︱a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq成立.因此这一标准作为我们讨论整除性质的基础.也为我们提供了解决整除问题的方法.即当我们无法用整除语言来叙述或讨论整除问题时，可以将其转化为我们很熟悉的等号问题.例4：证明3∣n（n+1）（2n+1），这里n是任意整数.证法一：根据题意，n可以写成n=3q+r，这里r=0，1，2，q为整数.对r取不同值进行讨论，得出结论.证法二：根据整除定义，任何连续三个整数的乘积必是3的倍数.证法三: 根据n（n+1）（2n+1）,利用222112(1)(21),6n n n n++⋯+=++来证明.证法四：利用数学归纳法也可以证明.竞赛中关于数论的论证题主要是讨论整除的整除性和整数解，证明方法通常有：直接证明法，间接证明法（反证法）.例5：已知24∣62742ab,求a,b.由于24=3×8，而(3,8)=1,3和8都是特殊数，故本题往往习惯于利用整除特征加以解决.但利用整除特征解答有两个弊端,即(1)解题过程一般较烦琐;(2)若非特殊数无法解.可利用整除的因式分解法得出一般的解法.对于特殊数的整除规律要求能掌握其一般定理的证明，并熟记一些特殊数的整除规律，这对解题大有帮助.例如：1、一个整数被2整除的充要条件是它的末位为偶数.2、一个整数被3整除的充要条件是它的各位数字之和能被3整除.3、一个整数被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除.4、一个整数被5整除的充要条件是它的末位数字为0或5.5、一个整数被4，25整除的充要条件是它的末二位能被4，25整除.6、一个整数被8，125整除的充要条件是它的末三位能被8，125整除. 例6:证明:对于整数x 与y , 23x y +与95x +能同时被17整除或不可整除. 证:记23u x y =+, 95v x =+,则有3517v u x -=即3517v u x =+ (1)5317u v x =- (2)若对0,0x y z ∈, 017u |.其中00023u x y =+,由(1)知0173v |,其中00095v x y =+.又(17,3)=1,所以017v |.同理可证,对11,x y z ∈,117v |,其中11195v x y =+,则 117u |,其中11123u x y =+.证毕.【分析】将本题加以推广:用,ax by cx dy ++代替23x y +与95x y +.令,u ax by v cx dy =+=+.设0ad bc -≠消去y ,()a bdu bv ad bc x c d -=-=x .记a bs c d =.du bv sx =+,bv du sx =-若(,)(,)1d s b s ==,则对同样的,x y ,u 与v 同时被s 整除(或同时不被s 整除)若(,)(,)1,a s c s ==结论成立.例6中231795=-,而(3,17)(5,17)1-=-=,(2,17)(9,17)1-=-=.所以例4成立.例7: 1000!的末尾有几个零?解:考虑1000!的标准分解式中2与5这两个素数的指数,若1000!1225r r A =,A N ∈,A 不能被2与5整除,则1000!中末尾有r 个零, r 是1r 和2r 中较小者.在1,2,3, ⋯,1000中,有200个数能被5整除,在这200个数中,有40个能被25整除,在这40个数中,有8个能被35整除,在这8个数中,有1个能被45整除.不大于1000的自然数中没有能被5的5次幂或更高次幂整除的数.可见在1000!的标准分解式中,5的指数22004081249r =+++=.显然12r r >,所以249r =,即1000!的末尾有249个零.4.最大公因数和整除性一样，二个数的最大公约数实质上也是用等号来定义的，因此在解决此类问题是如果有必要的话可化为等式问题.最大公约数的性质中最重要的性质之一为：若a=bq+c ，则一定有（a ，b ）=（b ，c ），这就是求二个整数的最大公约数的理论根据.最小公倍数实际上与最大公因数为对偶命题.特别要指出的是a 和b 的公倍数是有无穷多个.所以一般地在无穷多个数中寻找一个最小数是很困难的，为此在定义中所有公倍数的最小的正整数.这一点实际上是应用自然数的最小自然数原理.即自然数的任何一个非空子集一定有一个最小自然数存在.最小公倍数的问题一般都可以通过以下式子转化为最大公因数的问题.两者的关系为,,a b N ∈ [,](,)ab a b a b = 例8：对于任意的非负整数n ，求形式为 228577n n +++=的一切数的最大公因子.在解答初等数论的习题中，如果我们把题目有关的概念，例如整除，最大公因子，互素等用等式表示出来，再经过这些等式的恒等变形，常常能够找到解题的方法.解:当0n =时, (1)22(1)17857k k +++++=;假设n k =时, 2215778k k +++|;当1n k =+时,(1)22(1)1221787788k k k k +++++++=+221221221227(78)8(87)7887k k k k k k ++++++=+++--21257(78647)k k q ++=-+212257(7877577)k k k q +++=-++221257[7(78)577]k k k q +++=-++57p = (,)p q N ∈故形为22278n n +++的一切数的最大公因子为57.例9:证明:若,a b N ∈,那么等差数列,2,3,a a a ⋯ba 中能被b 整除的项数等于a 与b 的最大公约数.证明:设(,)a b d=,于是,,,.(,)1a drb ds r s N r s==∈=.,2,3,a a a⋯ba被b整除之后为r s ,2rs,⋯()ds rs由于(,)1r s=.上式中各项为整数者的项数,仅为1s ,2s,⋯,dss中为整数的项数,所以共计d项,证毕.5.抽屉原理在数论中的应用抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

数学趣味问答数学是一门充满乐趣的学科，它不仅存在于我们生活中的方方面面，也是一种思维的训练工具。

接下来，我将为大家带来一些有趣的数学问答，希望能够让你们在玩乐中体会到数学的魅力。

问：两个理数相除，商是1，余数是0，被除数是什么？答：被除数是0。

因为任何数除以0都是无穷大或无穷小，所以这个问题是没有意义的。

问：把1至100这100个整数横着排成一行，删除1号位上的数，将2号位上的数放到最后，删除3号位上的数，将4号位上的数放到最后，依此类推，最后会剩下哪个数？答：最后剩下的数是37。

这个问题其实是经典的约瑟夫问题，通过不断删除和移动的操作，最后剩下的数总是素数。

问：如果A+B=C，那么A、B、C可以填入以下哪组数字？a) 3, 5, 7 b) 2, 3, 5 c) 4, 5, 9 d) 6, 7, 11答：正确答案是d) 6, 7, 11。

因为在自然数范围内，两个奇数相加总是得到一个偶数，而两个偶数相加总是得到一个偶数。

问：用1、3、5、7、9这5个数字，能组成多少个互不相同、三位数，且各位数字互不相同的数？答：可以组成60个不同的三位数。

第一位有5种选择，第二位有4种选择，第三位有3种选择，所以总共有5*4*3=60种组合。

问：两个数的和是95，差是33，这两个数分别是多少？答：这两个数分别是64和31。

设其中一个数为x，则另一个数为95-x。

根据题意，可以列出方程 x + (95-x) = 95，解得x = 64，因此另一个数为95-64=31。

问：某校有60人，其中男生占总数的三分之二，女生占总数的五分之一，男生和女生各有多少人？答：男生有40人，女生有20人。

根据题意，男生人数是总数的三分之二，即60 * (2/3) = 40，女生人数是总数的五分之一，即60 * (1/5) = 20。

问：在一个圆桌上坐着6个人，他们互相握手问好，问共有多少次握手？答：共有15次握手。

我们可以用组合数的思想来解答这个问题。