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八年级数学精讲——第三章：图形的平移与旋转【基础知识】1．平移的定义与规律（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，•这样的图形运动称为平移．关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（2）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（3）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3．图案的分析与设计首先找到图中的基本图案，然后分析其图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成的，我们主要遇到的变换有：轴对称、平移、旋转．在相似形一章里还会学到图形的放大与缩小等．【典例剖析】1、请你完成下列问题．图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，•竖直方向的边长均为b）；在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；（1）（2）（3）在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，•从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_____，S2=_______，S3=_______；（3）联想与探索如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．2、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，试说明△AMN的周长为2．3、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边- 1 - / 8- 2 - / 8长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为 度．4、如图，已知ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=o ，直角EPF ∠的顶点P 是BC中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF=②APE CPF ∠=∠③EPF△是等腰直角三角形④EF AP=⑤12AEPFABC S S =四边形△；当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有5、如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且68PA PB ==，，10PC =．若将PAC△绕点A 逆时针旋转后，得到P AB '△，则点P 与点P '之间的距离为 ，APB ∠=第4题 第5题变式：△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP /重合，如果AP=3，那么线段P P /的长是多少？6、如图，ABC△中，90301B C AB ∠=∠==o o ，，，将ABC △绕顶点A 旋转180o ，点C 落在C '处，则CC '的长为 。
成都百分师资教育VIP教育辅导第三章图形的平移与旋转【主要知识点】1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 .平移不改变图形和，改变了图形的；经过平移，对应点所连的线段且，对应角。
注意：1.平移有两个要素：（1）；（2）；2.图像上每点都沿同一方向移动的距离，这个距离是指对应点之间线段的长度；3.平移前后两图形是的。
2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为 . 这点定点称为，转动的角称为。
旋转不改变图形的和，改变了图形的；经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是；对应点到旋转中心的相等。
注意：1.旋转中心在旋转过程中保持不动；2.图形的旋转是由，和所决定的（也称为旋转的三要素）； 3．作平移图与旋转图。
（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的距离，连接关键点）【经典例题】例1、如图，正方形ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE旋转后得到△CBF．（1）指出旋转中心及旋转的角度；（2）判断AE与CF的位置关系；（3）如果正方形的面积是18cm2，△BCF的面积是5cm2，问四边形AECD的面积是多少？例2、如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数.例3、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．例4、如图，正方形纸片ABCD和正方形EFGH边长都是1，点E是正方形ABCD的中心，在正方形EFGH绕着点E旋转过程中，（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。
例5、操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．例6、如图（1），已知△ABC是边长为2的等边三角形，D,E,F分别为AB,AC,BC边上的中点，连接DE,DF,EF.将△ADE向下平移，使得A点与C点重合，将△BDF向右平移，使得B点与C点重合，（如图2）。
第05讲图形的平移与旋转知识梳理要点一、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．要点二、旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.要点三、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形的形状与大小不变.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点四、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点五、中心对称和中心对称图形1.中心对称图形：把一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心．要点诠释：（1）中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.2.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：要点六、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P（x，y）关于原点的对称点P'坐标为P'（−x，−y），反之也成立.例题讲解类型一：生活中的平移现象1．下列现象属于数学中的平移的是（B）A．树叶从树上随风飘落B．升降电梯由一楼升到顶楼C．汽车方向盘的转动D．“神舟”号卫星绕地球运动2．中国上海世博会吉祥物的名字叫“海宝”，意即“四海之宝”．通过平移，可将图中的吉祥物“海宝”平移到图（B）A．B．C．D．类型二：平移的性质3．如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距离为（A）（第3题）（第4题）A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm4．如图，将周长为12的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为16．5．如图，两个直角三角形重叠在一起，将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③BD＝CH；④∠C＝∠BHD；⑤阴影部分的面积为6cm2．其中正确的是（A）A．①②③④⑤B．②③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤6．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．（1）试说明AE∥BC．（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．【解答】解：（1）∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∵∠B＝∠E，∴∠BAE+∠B＝180°，∴AE∥BC；（2）如图2，过D作DF∥AE交AB于F，∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∵∠E＝75°，∴∠EDF＝105°，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ＝90°，∴∠FDQ＝360°−105°−90°＝165°，∴∠DPQ+∠QDP＝165°，∴∠Q＝180°−165°＝15°．7．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）直线OC与AB有何位置关系？请说明理由．（2）求∠EOB的度数；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）AB∥OC，理由如下：∵CB∥OA，∴∠ABC+∠OAB＝180°，∵∠C＝∠OAB＝100°，∴∠C+∠ABC＝180，∴AB∥OC；（2）∵CB∥OA，∠C＝100°，∴∠AOC＝80°，又∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，∴∠EOB＝∠BOF+∠EOF=12（∠AOF+∠COF）=12×80°＝40°；（3）存在，∵在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE=14∠AOC=14×80°＝20°，∴∠OEC＝180°−∠C−∠COE＝180°−100°−20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．类型三：坐标与平移8．在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（−5，2）、N（1，−4），将线段MN向上移动3个单位，向左移动2个单位平移后，点M，N的对应坐标为（C）A．（−5，1），（0，−5）B．（−4，2），（1，−3）C．（−7，5），（−1，−1）D．（−5，0），（1，−5）9．坐标平面内，将点A（a，1）向右平移两个单位长度后恰好与点B（−4，b）关于原点对称，则a+b的值为（D）A．5B．−5C．3D．110．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（D）（第10题）（第11题）A．（1，3）B．（5，1）C．（1，3）或（3，5）D．（1，3）或（5，1）11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为6√3，则点B′的坐标为（C）A．（8√3，−4√3）B．（8，−4√3）C．（8√3，−4）D．（8，−4）类型四：旋转的性质12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为（C）（第12题）（第13题）A．√13B．4C．2√5D．513．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D 重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则点AC的长度为（D）A．5B．6C．√26D．√4114．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（C）A．50°B．55°C．60°D．65°15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°．（1）写出点A，B的对应点；（2）求∠AOB'和∠A'OB的度数．【解答】解：（1）∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴点A的对应点A'，点B的对应点B'；（2）∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠AOA'＝∠BOB'＝45°，∴∠AOB'＝30°，∠A'OB＝60°．16．如图，P是等边△ABC内的一点，且P A＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数；（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）连结PQ，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△P AB绕点B逆时针旋转得到的，∴△QCB≌△P AB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4；（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC ＝∠BPQ +∠QPC ＝60°+90°＝150°； （3）如图2，过点C 作CH ⊥BP ，交BP 的延长线于H ，∵∠BPC ＝150°，∴∠CPH ＝30°，∴CH =12PC =32，PH =√3HC =3√32， ∴BH ＝4+3√32，∴BC 2＝BH 2+CH 2=94+（4+3√32）2＝25+12√3， ∵S △ABC =√34BC 2，∴S △ABC =√34（25+12√3）=25√34+9． 17．已知△ABC 为等边三角形．（1）如图，P 为△ABC 外一点，∠BPC ＝120°，连接P A ，PB ，PC ，求证：PB +PC ＝P A ； （2）如图，P 为△ABC 内一点，若P A ＝12，PB ＝5，PC ＝13，求∠APB 的度数．【解答】证明：（1）如图1，延长BP 至点E ，使得PE ＝PC ，连接CE ， ∵∠BPC ＝120°，PE ＝PC ，∴∠CPE ＝60°，∴△CPE 为等边三角形， ∴CP ＝PE ＝CE ，∠PCE ＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠BCA ＝60°，∴∠ACB ＝∠ECP ，∴∠ACB +∠BCP ＝∠ECP +∠BCP ，即：∠ACP ＝∠BCE ， 在△ACP 和△BCE 中，{AC =BC∠ACP =∠BCE PE =PC，∴△ACP ≌△BCE （SAS ），∴AP ＝BE ，∵BE ＝BP +PE ＝BP +PC ，∴PB +PC ＝P A ； （2）如图2，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP '，连接PP '， 由旋转知，△APB ≌△CP ′B ，∴∠BP A ＝∠BP ′C ，P ′B ＝PB ＝5，P ′C ＝P A ＝12，∠PBP '＝∠ABC ＝60°， 又∵P ′B ＝PB ＝5，∴△PBP ′是等边三角形，∴∠PP ′B ＝60°，PP ′＝5， 在△PP ′C 中，PC ＝13，PP ′＝5，P ′C ＝12，∴PC 2＝PP ′2+P ′C 2， 即∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠BP ′C ＝60°+90°＝150°．类型五：中心对称图形18．（2020秋•南昌期中）下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ A ）A．B．C．D．19．（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（C）A．B．C．D．20．点P（2a+1，4）与P'（1，3b−1）关于原点对称，则2a+b＝（C）A．3B．−2C．−3D．221．在平面直角坐标系中，点P（−1，m2+1）关于原点对称点在（D）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限类型六：简单的图案设计22．如图，四边形ABCD是轴对称图形，对角线BD所在的直线是它的对称轴，∠A＝∠C＝90°，AB≠AD，若把这个轴对称图形沿对角线BD剪开成两个三角形后，再把这两个三角形的一边完全重合在一起，重新拼成一个中心对称图形，则拼法共有（D）A．0种B．1种C．2种D．3种23．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【解答】解：①如图1所示：②如图2所示：24．如图，由5个全等的正方形组成的图案，请按下列要求画图：（1）在图案（1）中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形．（2）在图案（2）中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形．（3）在图案（3）中添加1个正方形，使它既成轴对称图形，又成中心对称图形．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示．课后作业一．选择题（共5小题）1．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ C ）A ．B ．C ．D ．2．如图，△ABC 沿射线BC 方向平移到△DEF （点E 在线段BC 上），如果BC ＝8cm ，EC ＝5cm ，那么平移距离为（ A ）(第2题)(第3题)A ．3cmB ．5cmC ．8cmD ．13cm3．如图，△OCD 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD ＝90°，则∠BOC 的度数是（ B ） A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°4．如图，四边形ABCD 中，∠DAB ＝30°，连接AC ，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 的对应点与点D 重合，得到△EBD ，若AB ＝5，AD ＝4，则点AC 的长度为（ D ）A ．5B ．6C ．√26D ．√415．在 Rt △ABC 中，AC ＝BC ，点D 为AB 中点．∠GDH ＝90°，∠GDH 绕点D 旋转，DG ，DH 分别与边AC ，BC 交于E ，F 两点．下列结论①AE +BF =√22AB ，②AE 2+BF 2＝EF 2，③S 四边形CEDF =12S △ABC ， ④△DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ D ）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④二．填空题（共5小题）6．如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为2．（第6题）（第8题）7．已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间距离相等．小明将此两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48．若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度m，则此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度为43n+m．（用含m，n的式子表示）8．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是20°．9．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝10，EN＝4，则DM＝6．10．如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+4√3，其中正确的结论是①②③④．三．解答题（共4小题）11．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，边BC＝12cm，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝5cm，GC＝4cm，请求出图中阴影部分的面积．【解答】解：∵把△ABC向下平移至△DEF，∴BC＝EF＝12cm，△ABC≌△DEF，∴阴影部分面积＝梯形BGFE的面积，∵GC＝4cm，∴BG＝12−4＝8cm，∴阴影部分面积=12×（8+12）×5＝50cm2．12．如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，AD，（1）求证：△BCO≌△ACD．（2）若∠BOC＝150°，OB＝8，OC＝6，求△AOD的面积．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴∠ACB＝∠OCD，∴∠BCO＝∠ACD，在△BCO和△ACD中，{CB=CA∠BCO=∠ACDCO=CD，∴△BCO≌△ACD（SAS）．（2）解：∵△BCO≌△ACD，∴BO＝AD＝8，∠BOC＝∠ADC＝150°，∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△ODC是等边三角形，∴OD＝OB＝6，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°−60°＝90°，∴S△ADO=12•AD•DO＝24．13．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点．【解答】14．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【解答】解：（1）③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD=√2OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．。
