初二图形的平移与旋转提高同步讲义

个性化教学辅导教案学科：数学年级：八年级任课教师：授课时间：2018 年春季班第1周教学课题图形的平移与旋转教学目标1、平移图形中对应点的连线、对应角、对应线段对的关系，2、直角坐标系中平移图形点的坐标变化规律3、旋转的定义，旋转的三要素，会根据要求画旋转图形，4、对应点、对应角、对应线段的关系。

教学重难点重点:平移图形与旋转图形中对应点、对应线段、对应角的关系；难点:图形的平移与旋转的性质的运用。

教学过程知识点：1.平移的定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的移动称为平移，平移不改变图形的形状和大小；只改变图形的位置。

2.平移的性质：一个图形和它经过平移得到的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。

3.点A（x,y）向上（下）平移a个单位，右（左）平移b个单位后对应点的坐标A’（byax±±,）（沿正方向加，负方向减）4.旋转三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角5.旋转的性质：一个图形和他经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

例1.如图所示，通过平移，△ABC的顶点A移到点D，画出平移后的图形，并找出图中所有平行且相等的线段．例2.如图．将三角形ABC沿着从B到D的方向平移后得到三角形EDF，若AB=8cm，AE=6cm，CE=2cm．（1）写出点A、B、C的对应点；（2）写出平移的距离是多少？（3）求线段BD、DE、EF的长度例3.（1）通过平移把点A（2，-3）移到点A′（4，-2），按同样的平移方式，点B（3，1）移到点B′，则点B′的坐标是_____．（2）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5例4.如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（-2，5）B（-5，-2），C（3，3）．将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′．(1)在图中画出第二次平移之后的图形△A′B′C′；（2）如果将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．例5.如图，将△ABC绕某点顺时针旋转得到△AED，（1）旋转中心是点；（2）经过旋转，点B,C分别移动到的位置；（3）对应线段：线段BC与线段，线段AB与线段，线段AC与线段；（4）对应角是：；（5）旋转角是：；（6）若旋转角是60°，线段AB=3，则BE= 。

图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【例5】 如图，等边△ABC 的边长为31225+=a ，点P 是△ABC 内的一点，且PA 2+PB 2＝PC 2，若PC=5，求PA 、PB 的长． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 题设条件满足勾股关系PA 2+PB 2＝PC 2的三边PA 、PB 、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a ，AB=b ，则CD 的长为 ．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( ) A ．12- B ．22C ．lD ．21 (2002年荆州市中考题)5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ． 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (2003年江苏省苏州市中考题)6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCD d=8，则BE的长为( ) A．2 B．3 C．3 D．22 (2004年武汉市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年河北省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．(绍兴市中考题)12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC<AD+ACC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( )A ．5B ．13C ．5D ．6 (2004年武汉市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ． 15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ． (1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形； (2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．(江苏省连云港市中考题)。

第三章图形的平移与旋转一、知识概要一、平移定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

性质：平移丽后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等, 对应角相等。

(平移的概念与性质)例、如图，由11个面积为6的等边三角形按下列方式排列，它们都冇一边在同一直线上，每个三角形底边的屮点恰为下一个三如形的一个顶点.(1)请说-•说该图案的形成过程；(2)由这11个三角形所盖住的平面区域的面积是.3、作图平移作图的依据是平移的性质：1、平移后的图形人小和形状完全相同，即对应线段平行且相等，对应角相等。

2、平移后对应点所连接的线段平行且相等。

一、根据“平移后对应点所连的线段平行且相等”作平移后图形。

1、已知原图位置和平移的方向及距离，作平移后图形。

例1：如图1,图形扇形OAB按箭头所示方向平移2cm,作出平移后的图形。

R图1【分析】:解：如图，分别过0、A、B点作与箭头所示方向相同的一组平行线段OP、AC、BD, H0P=AC=BD=2cm,连接0A、0B,作弧AB,就得到扇形OAB平移后的图形。

2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。

例2：如图2,平移小旗，使小旗上的点P平移到点A,作出平移后的小旗。

【分析】：解：如图，连接PA,分别过Q、R、S作线段QB、RC、SD,使QB〃RC〃SD〃PA,且QB二RC=SD二PA=2cm,连接AB、AC、BC、CD,得到平移后的小旗。

二、根据“平移后对应线段平行且相等”作平移后图形。

1、已知原图形位置和平移后一边的位置（一对对应边），作平移图形。

例3：如图3, ZABC的边AB经过平移到了PD,作出/ABC平移后的图形。

【分析】：解法1：分别过点P、点D作AC、BC的平行线，两线相交与点E,则/PDE就是所求作的三和形。

解法2:2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。

例4：如图3, ZABC的顶点A经过平移到了点P,作出/ABC平移后的图形。

《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【要点梳理】要点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小．2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．要点诠释：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．3. 平移与坐标变换：(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．(2)图形的平移平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．要点诠释：（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．要点二、旋转变换1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.要点诠释：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.（2）旋转的角度一般小于360°.（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）２．旋转变换的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.３．旋转作图步骤：①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.要点三、中心对称与图案设计1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．要点诠释：中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.要点诠释：中心对称作图步骤：①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.3.图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．【典型例题】类型一、平移变换1. 阅读理解题．（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角．【思路点拨】（3）画出图形，根据图形得出即可；（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；（5）把n=2013代入求出即可．【答案与解析】解：（3）如图有12对不同的对顶角，故答案为：12．（4）有n（n-1）对不同的对顶角，故答案为：n（n-1）；（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，故答案为：4050156．【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律．举一反三：【变式】（2019·莒县模拟）如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（）．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C2．（2019春•召陵区期中）如图①，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1= ，S2= ，S3= ；（3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你求出空白部分表示的草地面积是多少？（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？【思路点拨】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可．（2）结合图形，根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可看作是以a﹣1为长，b为宽的长方形的面积．（3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以a﹣2米为长，b米为宽的长方形，根据长方形的面积可得小路部分所占的面积．（4）结合图形可知，小路部分所占的面积=a米为长，b米为宽的长方形的面积﹣a米为长，1米为宽的长方形的面积﹣2米为长，b米为宽的长方形的面积+2米为长，1米为宽的长方形的面积．【答案与解析】解：（1）画图如下：（2）S1=ab﹣b，S=ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab﹣b方案：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；2、将左侧的草地向右平移一个单位；3、得到一个新的矩形理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b．其水平方向的长变成了a﹣1，所以草地的面积就是：b（a﹣1）=ab﹣b．（3）∵小路任何地方的水平宽度都是2个单位，∴空白部分表示的草地面积是（a﹣2）b；（4）∵小路任何地方的宽度都是1个单位，∴空白部分表示的草地面积是ab﹣a﹣2b+2．【总结升华】本题主要考查了利用平移设计图案，用到的知识点是矩形的性质和平移的性质，能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键．举一反三：【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）．A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定【答案】B.四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．类型二、旋转变换3．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．【思路点拨】（1）根据图形特点即可得到答案；（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．【答案与解析】解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．证明：延长AF交BE于M，∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OB，∴∠AOB=∠BOC=90°，在△AOF和△BOE中∴△AOF≌△BOE（SAS），∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，∵∠EBO+∠OEB=90°，∴∠FAO+∠OEB=90°，∴∠AME=90°，∴AF⊥BE，即AF=BE，AF⊥BE．（3）成立；证明：延长EB 交AF 于N ， ∵正方形ABCD ，∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC ，∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°， ∴∠ABF=∠BCE ， ∵AB=BC ，BF=CE ， ∴△ABF ≌△BCE ，∴AF=BE ，∠F=∠E ，∠FAB=∠EBC ， ∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°， ∴∠E+∠FAB=45°，∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°， ∴∠ANE=180°-90°=90°， ∴AF ⊥BE ，即AF=BE ，AF ⊥BE ．【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．4.如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接 EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转角得到△E 1OF 1(如图2)． (1)探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明； (2)当＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE 1＝BF 1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边； (2)要证△AOE 1为直角三角形，就要考虑证∠E 1AO ＝90°. 【答案与解析】解：(1)AE 1＝BF 1，证明如下：∵O 为正方形ABCD 的中心，∴OA＝OB ＝OD.∴OE＝OF . ∵△E 1OF 1是△EOF 绕点O 逆时针旋转角得到，∴OE 1＝OF 1. ∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E 1OA ＝900－∠F 1OA ＝∠F 1OB.在△E 1OA 和△F 1OB 中，， ∴△E 1OA≌△F 1OB （SAS ）.ααα1111OE OF E OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ AE 1＝BF 1.(2)取OE 1中点G ，连接AG.∵∠AOD＝900，＝30° ，∴ ∠E 1OA ＝900－＝60°.∵OE 1＝2OA ，∴OA＝OG ，∴ ∠E 1OA ＝∠AGO＝∠OAG＝60°. ∴ AG＝GE 1，∴∠GAE 1＝∠GE 1A ＝30°.∴ ∠E 1AO ＝90°.∴△AOE 1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】在等边三角形ABC 中有一点P ，已知PC ＝2, PA ＝4，PB ＝APB ＝.【答案】90°类型三、中心对称与图形设计5.如图，方格纸中四边形ABCD 的四个顶点均在格点上，将四边形ABCD 向右平移5格得到四边形A 1B 1C 1D 1．再将四边形A 1B 1C 1D 1，绕点A 逆时针旋转180°，得到四边形A 1B 2C 2D 2． （1）在方格纸中画出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 1B 2C 2D 2．（2）四边形ABCD 与四边形A 1B 2C 2D 2．是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心；若不成中心对称，请说明理由．αα【思路点拨】（1）首先把各个顶点平移，以及作出对称点，然后顺次连接各个对称点即可作出对称图形；（2）观察所作图形，对称点连线的交点就是对称中心．【答案与解析】解：（1）（2）两个图形关于点O对称中心．【总结升华】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．举一反三：【变式】（罗平县校级期末）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，①写出A、B、C的坐标．②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1．【答案】解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）；②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1），如图所示：6.如图，这两幅图是怎样利用旋转、平移或轴对称进行设计的？你能依照其中的图案自己设计一个图案吗？【答案与解析】解：（1）答案不惟一，可以看作是一个小正方形图案连续平移48次，平移前后所有的图形共同组成的图案．（2）答案不唯一，可以看作是一组竖条线组成的等腰直角三角形，以直角顶点为中心、按同一个方向分别旋转，旋转前后的四个图形共同组成的图案．【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同． 举一反三：【变式】下列图形中，能通过某个基本图形平移得到的是（ ）．A. B.C. D.【答案】D.《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是（）.A ．经过两次翻折（对称轴平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的B ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的C ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D．经过几次翻折（对称轴有偶数条且平行）后的图形可以看作是经过一次平移得到的 2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）.①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角． A ．①②④B ．①②③ C．②③④ D ．①③④3.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（）.A B C D4.（2019·株洲）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C 顺时针方向旋转后得到△A ’B ’C’，若点B ’恰好落在线段AB 上，AC 、A ’B ’交于点O ，则∠COA ’的度数是（）90180270、、(1) (2)A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5.如图,把矩形纸条沿同时折叠，两点恰好落在边的点处， 若，，，则矩形的边长为（ ）. A.20 B.22 C.24 D.30第4题 第5题6．如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼 成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）. A ．2 B ．4 C ．8 D ．107. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，，将Rt △ABC 绕A 点按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是（ ）.A.B. C. D.18.如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE. 过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，ABCD EF GH ，B C ，AD P 90FPH =∠8PF =6PH =ABCD BC 6π3π16π+．下列结论：①△APD≌△AEB ；②点B 到直线AE ；③EB ⊥ED ；④S △APD +S△APB；⑤S 正方形ABCD ．其中正确结论的序号是（ ）． A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤二、填空题10.在Rt ABC 中，∠A <∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度.第9题 第10题 第12题11.（2019•大连）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点C 和点E 是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= ．14. 如图所示，可以看作是一个基本图形经过 次旋转得到的；每次旋转了 度．∆∆15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝，BC 的中点为D ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ．在旋转过程中，DG 的最大值是 .16.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系. （1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a ＝_________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n 的代数式表示）.三、解答题②线段BF 和DE 之间有何数量关系？并证明．18.阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR 沿着边长为整数的正n （n ＞3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”．例如：如图2，边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB…连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”．操作：如图3，如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数k= 时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR的“三角形回归”．猜想：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正n（n＞3）边形的边连续转动，（1）连续转动的次数k= 时，第一次出现P的“点回归”；（2）连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR的“三角形回归”；（3）第一次同时出现P的“点回归”与△PQR的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k与正多边形的边数n之间的关系．19.（2019春•凉山州期末）如图，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是A（2，1），且边AB、CD与x轴平行，边AD、BC与x轴平行，点B、C的坐标分别为B（a，1），C（a，c），且a、c满足关系式c=++3．（1）求B、C、D三点的坐标；（2）怎样平移，才能使A点与原点重合？平移后点B、C、D的对应分别为B1C1D1，求四边形OB1C1D1的面积；（3）平移后在x轴上是否存在点P，连接PD，使S△COP=S四边形OBCD？若存在这样的点P，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．20. 如图，P 是等边三角形ABC 中的一点，PA ＝2，PB ＝，PC ＝4，求BC 边得长是多少？【答案与解析】一．选择题 1．【答案】B.【解析】A 、多次平移相当于一次平移，故正确；B 、必须是对称轴有偶数条且平行时，才可以看作是原图形经过一次平移得到的，故错误；C 、一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换，故正确；D 、对称轴有偶数条且平行时，可以看作是原图形经过一次平移得到的，故正确．故选B ． 2．【答案】A. 3．【答案】B. 4．【答案】B.【解析】解：由题意知：∠A=90°-50°=40°，由旋转性质可知：∴BC=B C′，∴∠B=∠BB ’C=50°，∵∠BB ′C =∠A +∠ACB ’=40°+∠ACB ’， ∴∠ACB ’=10°，∴∠COA ’=∠AOB ’=∠OB ’C+∠ACB ’=∠B+∠ACB ’=60°． 故选B ．5．【答案】C.【解析】Rt △PHF 中，有FH=10，则矩形ABCD 的边BC 长为PF+FH+HC=8+10+6=24，故选C ． 6．【答案】B.【解析】阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4． 故选B ．7. 【答案】B.【解析】阴影部分的面积等于扇形DAB 的面积，首先利用勾股定理即可求得AB 的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．8.【答案】D.【解析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB ，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF；32B⑤在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积；④S △APD +S △APB = S △AP E +S △EPB ＝． 二．填空题 9．【答案】X ；180°.【解析】观察图形中Z 点对应点的位置是图A 绕旋转中心X 按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X ；180°．10．【答案】30°.【解析】解法一、在Rt △ABC 中，∠A ＜∠B∵CM 是斜边AB 上的中线， ∴CM=AM ， ∴∠A=∠ACM ，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处 设∠A=∠ACM=x 度， ∴∠A+∠ACM=∠CMB ， ∴∠CMB=2x ，如果CD 恰好与AB 垂直 在Rt △CMG 中， ∠MCG+∠CMB=90° 即3x=90° x=30°则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30° 根据CM=MD ，得到∠D=∠MCD=30°=∠A ∠A 等于30°．解法二、∵CM 平分∠ACD ， ∴∠ACM=∠MCD∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90° ∴∠A=∠BCD∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30° ∴∠A=30°11．．12．【答案】A ，45.【解析】∵正方形ABCD 经过顺时针旋转后得到正方形AEFG ，∴旋转中心为点A ，旋转角为∠CAD ，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，∴旋转角为45°．故答案为：A，45．13.【答案】50°．14．【答案】3；90．【解析】如图所示的图形可以看作按照逆时针（或顺时针）旋转3次，且每次旋转了90°而成的．故答案是：3；90．15．【答案】6．【解析】如图，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG＝4，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．16．【答案】（1）a=2，（2）3n+1．【解析】根据正半轴上的整数与圆周上的数字建立的这种对应关系可以发现：圆周上了数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组012；345；678…分别对应.三.解答题17．【解析】解：操作：3，5．猜想：（1）第一次点回归，连续转动的次数都是3次，故填3；（2）第一次出现△PQR 的“三角形回归”，连续转动的次数就是多边形的边数，故填n ；（3）当n 不是3的倍数时，k=3n ，当n 是3的倍数时，k=n ．19.【解析】 解：（1）由题意得，a ﹣6≥0且6﹣a≥0，所以，a≥6且a≤6， 所以，a=6， c=3，所以，点B （6，1），C （6，3），∵长方形ABCD 的边AB 、CD 与x 轴平行，边AD 、BC 与x 轴平行， ∴点D （2，3）；（2）∵平移后A 点与原点重合，∴平移规律为向左2个单位，向下1个单位， ∴B 1（4，0），C 1（4，2），D 1（0，2）； （3）平移后点C 到x 轴的距离为2，∵S △COP =S 四边形OBCD ， ∴×OP×2=4×2，解得OP=8，若点P 在点O 的左边，则点P 的坐标为（﹣8，0）， 若点P 在点O 的右边，则点P 的坐标为（8，0）． 综上所述，存在点P （﹣8，0）或（8，0）． 20.【解析】解：如图，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°得△BCQ ，连接PQ ．再过B 作CQ 的延长线的垂线BD ，垂足为D ，∴BQ=PB=PQB =60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PQ=PB=QPC=60°.在△PCQ 中，∵CQ=PA ＝2，，PQ=PC=4， ∴CQ 2+ PQ 2＝PC 2， ∴∠PQC=90°，∴∠CQB=∠PQB+∠PQC=150°， ∴∠BQD=30°. 在Rt △BQD 中，BD ＝，QD ＝3，则CD ＝5. 在Rt △BCD 中，BC .12BQ =。

第一讲图形的平移一、【基础知识精讲】1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形的形状和大小。

2．平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

3．平移的条件：确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的方向和平移的距离。

4．“以局部带整体”的平移作图法：在作图过程中，通过确定几个关键点平移后的位置，得到原图形平移后的图形。

二、【例题精讲】例1如图所示，△ABC中，∠A＝50°,∠B＝70°．如果将△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为△DEF，请你在图中找出平行且相等的两条线段，并且求∠DFE是多少度．例2 如图，△ACD通过平移得到△CBE，你能找出图中的等量关系吗？例3如图，正方形ABCD的对角线交点O移到了O′的位置，你能做出此正方形平移后的图形吗？例4 如图，经过平移，△ABC 的顶点A 移到了点D ，请作出平移后的三角形。

例5如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A’B’C’的位置。

（1）若平移距离为3，求△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积； （2）若平移距离为x （04x ≤≤ ），设△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积y ，写出y 与x 的关系式。

三、【同步练习】 A 组一、选择题1.下列现象是数学中的平移的是（ ） A.冰化成水 B.电梯由一楼升到二楼 C.导弹击中目标后爆炸 D.卫星绕地球运动2.将图形平移，下列结论错误的是（ ） A.对应线段相等 B.对应角相等 C.对应点所连的线段互相平分 D.对应点所连的线段相等3.将△ABC 平移到△DEF ，不能确定△DEF 位置的是（ ） A.已知平移的方向 B.已知点A 的对应点D 的位置 C.已知边AB 的对应边DE 的位置 D.已知∠A 的对应角∠D 的位置二、填空题4.火车在笔直的铁路上行驶，可以看作是数学中的_______现象.5.线段AB 沿和它垂直的方向平移到A ′B ′，则线段AB 和线段A ′B ′的关系是______.6.△ABC平移到△DEF的位置，则△DEF和△ABC的关系是_______.7.平行四边形ABCD平移到四边形A′B′C′D′的位置，那么四边形A′B′C′D′是__ _四边形.8.平移只改变图形的_______，而不改变图形的_______.三、解答题9. 经过平移，△ABC的边AB平移到了A′B′,作出平移后的三角形，你能给出几种作法？你认为哪种方法更简便？请用其中一种方法作出平移后的三角形.10．请将图中的“小鱼”向左平移5格.11．请欣赏下面的图形4，它是由若干个体积相等的正方体拼成的.你能用平移分析这个图形是如何形成的吗？第二讲图形的旋转一、【基础知识精讲】1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。