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《概率论与数理统计》复习提要
第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃
（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃
（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃
3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP
（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n
k k
n k k
A P A P 1
1
)()(
（n 可以取∞）
（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=
（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃
（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能
5．几何概率 6．条件概率
（1） 定义：若0)(>B P ，则)
()
()|(B P AB P B A P =
（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==
n
i i
i
B A P B P A P 1
)|()()(
（4） Bayes 公式： ∑==
n
i i
i
k k k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(
7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布
1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）
∑i
i
p
=1
（3）对任意R D ⊂，∑∈=
∈D
x i i
i p
D X P :)(
2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(
,0)(-=≥⎰
+∞
∞
dx x f x f ；
（2）⎰
=≤≤b
a
dx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P
3． 几个常用随机变量
名称与记号 分布列或密度
数学期望 方差
两点分布),1(p B p X P ==)1(，p q X P -===1)0(
p pq
二项式分布),(p n B
n k q p C k X P k n k k n ,2,1,0,)(===-，
np npq
Poisson 分布)(λP
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
λ
λ
几何分布)(p G
,2,1 ,)(1
===-k p q
k X P k
p
1
2p
q 均匀分布),(b a U
b x a a b x f ≤≤-= ,1
)(，
2b
a + 12
)(2
a b - 指数分布)(λE
0 ,)(≥=-x e x f x λλ
λ
1 2
1
λ
正态分布),(2
σμN
2
22)(
21)(σμσ
π--=
x e
x f
μ
2σ
4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质
（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=x
x i i
i p
x F :)(；
（6）对连续随机变量，⎰
∞
-=
x dt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =
5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2
σμN X ，则)(
)(σ
μ
-Φ=x x F ；
（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =
（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；
（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('
1
1
y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
