两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件

新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝；cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin β(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .2.辅助角公式a sin α＋b cos α＝，其中sin φ＝，cos φ＝两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( )(3)公式tan(α＋β)＝ 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )√×××√∵α是第三象限角，2.计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)3.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . tan β＝tan[(α＋β)－α]T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一两角和与差的三角函数公式√教师备选√√两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.√题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形√√由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴sin γ＝sin β－sin α>0，即选项D 正确，C 错误.√∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tan C.延伸探究　若将本例(2)的条件改为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于√A.45°B.135°C.150°D.30°在△ABC中，因为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，所以tan C＝1，所以C＝45°.教师备选2 1.若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.跟踪训练2　(1)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝ (sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.b>a>c√C.c>a>bD.a>c>b由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，＝sin(56°－45°)＝sin 11°，所以a>c>b.4(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三角的变换问题√(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .－1∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)教师备选因为sin2α＋cos2α＝1，(2)求tan(α－β)的值.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).因此tan(α＋β)＝－2.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]因为α，β均为锐角，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)cos β＝ .则0<β－α<π，。