数学中考真题分类角、相交线与平行线

相交线与平行线一.选择题1．（2012临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°考点：平行线的性质；直角三角形的性质。

解答：解：∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∵DB⊥BC，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．故选B．2．（2012张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）A．当∠1=∠2时，一定有a∥b B．当a∥b时，一定有∠1=∠2C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90° D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b考点：平行线的判定；平行线的性质。

解答：解：A．若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；3．（2012中考）如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，则∠2=（Ｂ）A．115°B．65°C．35°D．25°4．（2012山西）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（）A．35°B．40°C．45°D．50°考点：平行线的性质。

解答：解：∵∠CEF=140°，∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°，∵直线AB∥CD，∴∠A∠FED=40°．故选B．5．（2012潜江）如图，AB∥CD，∠A=48°，∠C=22°．则∠E等于（）6.（2012十堰）图，直线BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为（ Ｄ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．105° 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． 【专题】探究型．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1是△ABC 的外角，∠ABC=30°，∠BAC=75°，∴∠1=∠ABC+∠BAC=30°+75°=105°， ∵直线BD ∥EF ， ∴∠CEF=∠1=105°． 故选D ．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．7．（2012宜昌）如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C （∠ACB=90°）在直尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数等于（ ）8．（2012海南）小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n ，上，测得0120α∠=，则β∠的度数是【 】A ．450B ．550C ．650D ．750【答案】D 。

浙江省三年中考数学真题—中考数学真题部分分类汇总相交线与平行线一．选择题（共9小题）1．（2023•金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（）A．120°B．125°C．130°D．135°2．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°3．（2022•杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．（2021•台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°5．（2021•金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补6．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ7．（2021•湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．8．（2021•台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线9．（2021•金华）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）10．（2023•杭州）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝．11．（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．12．（2021•丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是．13．（2021•金华）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是．浙江省三年中考数学真题——中考数学试题分类汇总相交线与平行线参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2023•金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（）A．120°B．125°C．130°D．135°【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．【解答】解：∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∴∠5+∠2＝180°，∵∠2＝50°，∴∠5＝130°，∴∠4＝∠5＝130°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．2．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．3．（2022•杭州）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．【解答】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°，∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，∴∠D＝30°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝30°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．4．（2021•台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】B【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质和三角形内角和定理得出答案．【解答】解：方法1：如图，∵∠1＝47°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝92°，∵矩形对边平行，∴∠5＝∠3＝92°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．方法2：如图，作矩形两边的平行线，∵矩形对边平行，∴∠3＝∠1＝47°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣47°＝43°∴∠2＝∠4＝43°．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5．（2021•金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．6．（2021•杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【考点】垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．7．（2021•湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．【考点】几何体的展开图．【专题】投影与视图；应用意识．【答案】A【分析】由平面图形的折叠及长方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：该长方体表面展开图可能是选项A．故选：A．【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．8．（2021•台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【考点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】A【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，故选：A．【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．9．（2021•金华）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（）A．B．C．D．【考点】几何体的展开图．【专题】探究型；空间观念．【答案】D【分析】直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成．【解答】解：选项A、B、C均可能是该直棱柱展开图，不符合题意，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，故选：D．【点评】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．二．填空题（共4小题）10．（2023•杭州）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝90°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【答案】90°．【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠ADE＝28°，由三角形外角的性质得到∠A＝∠ACF﹣∠B ＝118°﹣28°＝90°．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝28°，∵∠ACF＝∠A+∠B，∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出∠B的度数，由三角形外角的性质即可求出∠A的度数．11．（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为140°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】140°．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．12．（2021•丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是133．【考点】七巧板；正方形的性质．【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识．【答案】133．【分析】如图2中，过点E 作EI ⊥FK 于I ，过点M 作MJ ⊥FK 于J ．想办法求出BM ，MJ ，FK 与CD 之间的距离，可得结论．【解答】解：如图2中，过点E 作EI ⊥FK 于I ，过点M 作MJ ⊥FK 于J ．由题意，△ABM ，△EFK 都是等腰直角三角形，AB ＝BM ＝2，EK ＝EF ＝2√2，FK ＝4，FK 与CD 之间的距离为1，∵EI ⊥FK ，∴KI ＝IF ，∴EI =12FK ＝2，∵MJ ∥EI ，∴MJ EI =FM EF =23， ∴MJ =43，∵AB ∥CD ，∴AB 与CD 之间的距离＝2+43+1=133，故答案为：133【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（2021•金华）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是(−√24−14,12+√24)．【考点】七巧板；坐标与图形性质．【专题】平面直角坐标系；几何图形；推理能力．【答案】(−√24−14,12+√24)．【分析】如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,根据点A的横坐标为1，构建方程求出a,解直角三角形求出FJ,KT,可得结论．【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,∴AH＝DH＝a,∴OH＝4a,∵点A的横坐标为1，∴4a＝1,∴a=1 4 ,在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a=1 2 ,∴PQ=√2PF=√22,∵FK⊥PQ,∴PK＝KQ,∴FK＝PK＝QK=√24 ,∵KJ=14，PT＝1+(√22−12)=12+√22,∴FJ=√24+14,KT＝PT﹣PK=12+√22−√24=12+√24,∴F(−√24−14,12+√24)．故答案为：(−√24−14,12+√24)．【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解七巧板的特征，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考创新题型．结束。

（角、相交线与平行线）(试卷满分150 分，考试时间120 分钟 )一、选择题 (本题共 10 小题，每小题 4 分，满分40 分 )每一个小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号内．每一小题：选对得 4 分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0 分。

1．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）。

Ａ．相等Ｂ．互补Ｃ．相等或互补Ｄ．相等且互补2．已知∠ AOB=30°，自∠ AOB 的顶点 O 引射线 OC，若∠ AOC : ∠ AOB=4 : 3，则∠ BOC 等于（）。

Ａ． 10°Ｂ．40°Ｃ．70°Ｄ．10°或 70°3．一个角等于它的补角的 5 倍，那么这个角的补角的余角是（）。

Ａ． 30°Ｂ．60°Ｃ．45°Ｄ．以上答案都不对4．用一副三角板可以作出大于0°而小于 180 °的角的个数（）。

A ． 5个B． 10个C． 11个D．以上都不对5．已知三条直线a,b,c，下列命题中错误的是（）Ａ．如果a∥ b,b∥c,那么 a∥ cB ．如果C．如果D ．如果a⊥ b,b⊥ c,那么a⊥ b,b⊥ c,那么a⊥ b,a∥ c,那么a⊥ ca∥ cb⊥ c6．如果两条平行线被第三条直线所截得的则（）。

8 个角中，有一个角的度数已知，Ａ．只能求出其余 3 个角的度数 B ．能求出其余C．只能求出其余 6 个角的度数 D ．能求出其余7．若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（Ａ．一对同位角的平分线互相平行5 个角的度数7 个角的度数）。

B．一对内错角的平分线互相平行D．一对同旁内角的平分线互相平行8．下列说法，其中正确的是（）。

A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等；B．不相交的两条直线就是平行线；C．点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离；D．同位角相等，两直线平行。

订交线与平行线一、选择题1.如图，直线∥，直线与、都订交，假如∠1=50 °，那么∠ 2 的度数是（）A. 50 °B. 100C. 130°D. 150°【答案】 C【分析】：∵ a∥ b，∠ 1=50°，∴∠ 1=∠ 3=50°，∵∠ 2+∠ 3=180°，∴∠ 2=180°-∠ 1=180°-50 °=130°.故答案为： C.【剖析】此中将∠ 2 的邻补角记作∠3，利用平行线的性质与邻补角的意义即可求得∠ 2 的度数.2.如图，AB ∥ CD，且∠DEC=100°，∠ C=40°，则∠B 的大小是（）A. 30 °B. 40C. 50°D. 60°【答案】 B【分析】：∵∠ DEC=100°，∠ C=40°，∴∠ D=40°，又∵ AB ∥ CD，∴∠ B=∠ D=40°，故答案为： B ．【剖析】第一依据三角形的内角和得出∠ D 的度数，再依据二直线平行，内错角相等得出答案。

3.如图，若l 1∥l2，l3∥ l4，则图中与∠ 1互补的角有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】 D【分析】如图，∵ l 1∥l2，l3∥ l4，∵∠ 2=∠ 4，∠ 1+∠ 2=180°，又∵∠ 2=∠3，∠ 4= ∠5，∴与∠ 1 互补的角有∠ 2、∠ 3、∠ 4、∠ 5 共 4 个，故答案为： D.【剖析】依据二直线平行同位角相等，同旁内角互补得出∠2= ∠ 4，∠ 1+∠ 2=180°，再依据对顶角相等得出∠ 2=∠ 3，∠ 4=∠ 5，从而得出答案。

4.如图，直线，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】：∵∠ 1=42°，∠ BAC=78°，∴∠ ABC=60°，又∵ AD ∥ BC，∴∠ 2=∠ ABC=60°，故答案为： C．【剖析】第一依据三角形的内角和得出∠ABC 的度数，再依据二直线平行内错角相等即可得出答案。

中考数学复习线段、角、相交线和平行线一、考点分析1．直线、射线、线段2.角3.相交线4. 角的平分线与线段的垂直平分线5.平行线6.命题二、练习1. 一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是( )A．30° B．45° C．60° D．70°2. 下列命题中，属于真命题的是( )A．三点确定一个圆 B．圆内接四边形对角互余C．若a2＝b2，则a＝b D．若a3＝b3，则a＝b3. 如图，C，D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长等于( )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm4. 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD相交于点E，F，∠BEF的平分线与CD相交于点N.若∠1＝63°，则∠2＝( )A．64° B．63° C．60° D．54°5. 如图，与∠1是同旁内角的是( )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠56. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝0，则x2－2x＝0.它们的逆命题一定成立的有( )A．①②③④ B．①④ C．②④ D．②7. 如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2的大小是( )A．50° B．120° C．130° D．150°8. 如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是( )A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°9. 如图，已知∠1＝60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为( )A．70° B．100° C．110° D．120°10. 下列命题是真命题的是( )A．必然事件发生的概率等于0.5B．5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95 C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定D．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法11. 图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是____．,12. 如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是____．13. 如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝____．14. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝____．15. 一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是__________________．16. 如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1＝70°，求∠2的度数．17. 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图①，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图②，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图③，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想∠MON与α，β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．。

第二部分图形与几何19.线段、角、相交线与平行线知识过关1.直线、射线、线段(1)直线上一点和它____的部分叫做射线；直线上两点和它们____的部分叫做线段，这两点叫做线段的_______.(2)两点_____一条直线，两点之间线段最短，两点之间_____的长度，叫做两点间的距离.(3)线段的中点把线段_______等分.2.角(1)角：有_____端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条_____绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)余角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为余角._____或等角的余角相等.(3)补角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为补角._____或等角的补角相等.(4)一条射线把一个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.相交线(1)对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的_____延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角______.(2)垂直：在同一平面内，两条直线相交成90，叫做两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线.(3)垂直的性质：同一平面内，过一点_____一条直线与已知直线垂直，直线外一点和直线上所有点的连接中，_______最短.(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的_____的长度，叫做点到直线的距离.4.平行线(1)平行线：平面内，_______的两条直线叫做平行线.(2)平面内两条直线的位置关系:_________和_________.(3)平行公理：过直线外一点，有且______一条直线与已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______.(4)平行线的性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，_____相等，同旁内角_______.(5)平行线的判定：如果同位角相等，或______或______互补，那么两直线平行.5.命题的概念(1)命题：______的语句叫做命题.(2)命题的组成：命题由______和______两部分组成.(3)命题的形成：命题可以写成“如果.......,那么.......”的形式，以如果开头的部分是_____,以那么开头的部分是________.(4)命题的真假：_______的命题叫做真命题,______的命题叫做假命题.6.尺规作图(1)在几何里，把用没有刻度的____和____这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.(2)常见的五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；①作一个角等于已知角；①作一个角的平分线；①过一个点作已知直线的垂线；①作线段的垂直平分线.➢考点过关考点1 线段长度的有关计算例1已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC＝．考点2对顶角、邻补角的相关计算如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠BOE，若∠AOC＝α，则∠COE 的度数为（）A．3αB．120°−43αC．90°D．120°−13α考点3平行线的性质例3如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝54°，则∠2等于（）A．108°B．117°C．126°D．54°考点4平行线的判定与性质综合例4如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点B是直线HD、GE之间的一点．（1）过点B作BF∥GE，试说明：∠ABC＝∠HAB+∠BCG；（2）如图2，RC平分∠BCG，BM∥CR，BN平分∠ABC，当∠HAB＝40°时，点C在直线AB右侧运动的过程中，∠NBM的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明理由．考点5命题的真假例5下列结论中，正确的有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等；④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点6尺规作图例6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．➢真题演练1.如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（）A．50°B．75°C．60°D．55°2．如图，OC、OD为∠AOB内的两条射线，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠COD，若∠COD ＝10°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（）A．15°B．35°C．40°D．55°4．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中不正确的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED=12CD•OE5．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．内错角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．一个角的补角一定是钝角6．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线7.如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6cm，DB＝4cm，则CD的长度为______cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．9．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝10，则DE＝．10．如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．11．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．12．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝°．➢课后练习1．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．22°B．33°C．44°D．55°2．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（）A．45°B．60°C．73°D．90°4．如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61°B．60°C．59°D．58°5．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到CB．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C ．两点确定一条直线D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法中错误的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线相交，有且只有一个交点D ．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．下列说法正确的是（ ）A ．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．不相交的两条直线叫做平行线C ．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行9．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若△CDB 的面积为12，△ADE 的面积为9，则四边形EDBC 的面积为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．2010．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD ＝∠DAB 的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS11．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，点D 为BC 的中点，点P 为AC 延长线上一动点（AD ≠DP ），点E 为AP 的中点，则AC−BP DE 的值是 ．12．如图，点D是线段AB上一点，点C是线段BD的中点，AB＝8，CD＝3，则线段AD长为．13.如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围．14．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．15．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．➢冲击A+在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．。

中考数学常考易错点角、相交线与平行线专题练习试题合集（含答案解析）易错清单1.平行线的性质.【例1】(2014·湖北襄阳)如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于().A.35°B.45°C.55°D.65°【解析】利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°,然后利用平行线的性质得到∠1=∠A=35°.【答案】∵BC⊥AE,∴∠ACB=90°.∴∠A+∠B=90°.又∵∠B=55°,∴∠A=35°.又CD∥AB,∴∠1=∠A=35°.【误区纠错】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数.【例2】(2014·广东梅州)如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是().A.15°B.20°C.25°D.30°【解析】根据两直线平行,内错角相等求出∠3,再求解即可.【答案】∵直尺的两边平行,∠1=20°,∴∠3=∠1=20°.∴∠2=45°-20°=25°.【误区纠错】误认为∠1与∠2是内错角来解题.【例3】(2014·湖北孝感)如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数().A.46°B.44°C.36°D.22°【解析】根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.【答案】∵l1∥l2,∴∠3=∠1=44°.∵l3⊥l4,∴∠2=90°-∠3=90°-44°=46°.故选A.【误区纠错】本题考查了平行线的性质,垂线的定义,要熟记性质并准确识图.例外识别∠3与∠1是同位角很重要.2.平行线的判定.【例4】(2014·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足,则a,b平行.【解析】根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时,a∥b.其他合理答案亦可.【答案】∵∠1=∠2,∴a∥b(同位角相等两直线平行).故可填∠1=∠2.【误区纠错】分不清三线八角,以及平行线的判定方法是解题的误区,本题属条件开放性题.名师点拨1.能记住点、线、面的概念.2.能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.3.能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质.4.掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用.5.会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别.6.掌握平行的概念,会进行平行线的判断.7.能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离.提分策略1.直线平行与垂直的判定及简单应用.计算角度问题时,要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用.【例1】如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为.【解析】由∠1=155°,可求得∠BCD=∠CDE=25°,最后求∠B=65°.【答案】65°2.平行线的性质和判定的应用.主要理解和掌握:(1)平行线的性质;(2)平行线的判定.【例2】如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.【解析】①∠APC=∠PAB+∠PCD;②∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD);③∠APC=∠PAB-∠PCD;④∠APC=∠PCD-∠PAB.如证明①∠APC=∠PAB+∠PCD.证明:过点P作PE∥AB,所以∠A=∠APE.又因为AB∥CD,所以PE∥CD.所以∠C=∠CPE.所以∠A+∠C=∠APE+∠CPE.所以∠APC=∠PAB+∠PCD.同理可证明其他的结论.专项训练一、选择题1.(2014·四川峨眉山二模)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠CPB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是().A.45°B.70°C.55°D.110°(第1题)(第2题)2.(2014·北京平谷区模拟)如图,AB∥CD,O为CD上一点,且∠AOB=90°.若∠B=33°,则∠AOC的度数是().A.33°B.60°C.67°D.57°3.(2014·山东日照模拟)将一副三角板按图中的方式叠放,则∠α等于().A.75°B.60°C.45°D.30°(第3题)(第4题)4.(2013·广东广州海珠区毕业班综合调研)如图,∠1与∠2是同位角,若∠2=65°,则∠1的大小是().A.25°B.65°C.115°D.不能确定5.(2013·浙江温州一模)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AB=6,DE=3,则BC的长为().A.9B.6C.4D.3(第5题)(第6题)6.(2012·湖北荆门东宝区模拟)如图,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3等于().A.100°B.60°C.40°D.20°二、填空题7.(2014·广东模拟)将三角板ABC按下图放置,使其三个顶点分别落在三条平行直线上,其中∠CAB=90°,且CF恰好平分∠ACB.若∠CBA=40°,则∠DAC的度数是.(第7题)(第8题)8.(2014·河南鹿邑一模)如图,∠1=∠2,∠3=40°.则∠4= .9.(2014·湖北鄂州二模)如图AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3= .(第9题)(第10题)10.(2013·湖北孝感模拟)如图,直线AB,CD相交于点E,EF⊥AB于点E,若∠CEF=59°,则∠AED的度数为.三、解答题11.(2014·河南安阳模拟)已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:(1)如图(1),当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD= ;(2)如图(2),当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD= ;(3)如图(3),当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.(第11题)参考答案与解析1.C[解析]2.D[解析]∠AOC=90°-33°=57°.3.A[解析]∠α=45°+(90°-60°)=75°.4.D[解析]两直线平行同位角相等,如果不能确定两直线是平行线则不能确定同位角之间的关系.5.A[解析]首先利用平行线判定两三角形相似,然后利用相似三角形对应边的比等于相似比求得线段BC的长即可.6.A[解析]∠3=∠1+∠2=100°.8.140°[解析]∠4=180°-∠3=140°.9.60°[解析]∠3=180°-(∠1+180°-∠2)=60°.10.149°[解析]∵EF⊥AB于点E,∠CEF=59°,∴∠AEC=90°-∠CEF=90°-59°=31°.∴∠AED=180°-∠AEC=180°-31°=149°.11.(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE.∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a.∴△CDE为等边三角形.∴CE=CD.如图(1),当点E,A,C不在一条直线上时,有CD=CE<AE+AC=a+b;如图(2),当点E,A,C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CD=a+b.此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°,∴∠ACB=120°.因此当∠ACB=120°时,CD有最大值a+b.(第11题)。

2024年中考数学真题汇编专题17 几何图形初步及相交线、平行线+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A．60︒B．50︒C．40︒D．30︒2．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A．B．C．D．∠的大3．（2024·北京·中考真题）如图，直线AB和CD相交于点O，OE OC∠=︒，则EOBAOC⊥，若58小为（）A．29︒B．32︒C．45︒D．58︒4．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒5．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，若64EFD ∠=︒，则BEF ∠的大小是（ ）A ．136︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒6．（2024·湖北·中考真题）如图，直线AB CD ∥，已知1120∠=︒，则2∠=（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒7．（2024·陕西·中考真题）如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30︒角的三角尺和直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒9．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含30︒的三角尺拼接在一起，则ACE ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒10．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）A．B．C．D．11．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（）A．吉如意B．意吉如C．吉意如D．意如吉12．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”）A．校B．安C．平D．园13．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．湿B．地C．之D．都14．（2024·江西·中考真题）如图是43的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种15．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）A ．三棱锥B ．圆锥C ．三棱柱D ．长方体16．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥17．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB CD ，则1∠的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒18．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒19．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线AB CD ∥，点E 在直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G ，则图中与AEF ∠互补的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒21．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒22．（2024·重庆·中考真题）如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．125︒23．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOMB ∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB = 24．（2024·青海·中考真题）如图，一个弯曲管道AB CD ，120ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．30︒C ．60︒D ．150︒25．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（ ）A ．54oB ．60C ．70D ．7226．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（ ）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．120︒27．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）A ．热B ．爱C ．中D ．国28．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A 最远的点是（ ）A ．B 点 B ．C 点 C ．D 点 D ．E 点29．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含30︒角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若145∠=︒，则2∠=（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒30．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若155∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒31．（2024·甘肃·中考真题）若55A ∠=︒，则A ∠的补角为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．115︒D ．125︒32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，,AD BC AB AC ⊥∥，若135.8∠=，则B ∠的度数是（ ）A ．3548'︒B ．5512'︒C ．5412'︒D ．5452'︒二、填空题33．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．34．（2024·广西·中考真题）已知1∠与2∠为对顶角，135∠=︒，则2∠= °．35．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a b ，若171∠=︒，则2∠的度数为 ．36．（2024·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠= ．37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠= ︒．38．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=︒，则ABI ∠= ．39．（2024·河北·中考真题）如图，ABC 的面积为2，AD 为BC 边上的中线，点A ，1C ，2C ，3C 是线段4CC 的五等分点，点A ，1D ，2D 是线段3DD 的四等分点，点A 是线段1BB 的中点．（1）11AC D △的面积为 ；（2）143B C D △的面积为 ．三、解答题40．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出AD AB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）2024年中考数学真题汇编专题17 几何图形初步及相交线、平行线+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（ ）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒ 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，50BAC ∠=︒，AB CD ∥，∴150BAC ∠=∠=︒，故选：B ．2．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C ．3．（2024·北京·中考真题）如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒ 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．根据OE OC ⊥得到90COE ∠=︒，再由平角180AOB ∠=︒即可求解．【详解】解：∵OE OC ⊥，∴90COE ∠=︒，∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，∴180905832EOB ∠=︒−︒−=︒，故选：B ．4．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用30︒乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是30︒，根据时针与分针相距的份数，可得答案．【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30260︒⨯=︒，故选：C ．5．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，若64EFD ∠=︒，则BEF ∠的大小是（ ）A ．136︒B ．64︒C ．116︒D ．128︒ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴180BEF EFD ∠+∠=︒，∵64EFD ∠=︒，∴116180EFD BEF ∠︒∠==︒−，故选：C ．6．（2024·湖北·中考真题）如图，直线AB CD ∥，已知1120∠=︒，则2∠=（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据同旁内角互补，1120∠=︒，求出结果即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴12180∠+∠=︒，∵1120∠=︒，∴218012060∠=︒−︒=︒， 故选：B ．7．（2024·陕西·中考真题）如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到35C ∠=︒，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．【详解】AB DC ∥，180B C ∠+∠=︒∴，145B ∠=︒，18035C B ∴∠=︒−∠=︒，∥Q BC DE ，35D C ∴∠=∠=︒．故选B ．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30︒角的三角尺和直尺如图放置，若150∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒由题意得3150∠=∠=︒，590∠=∴2418090390∠=∠=︒−︒−∠=︒故选：B ．9．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含30︒的三角尺拼接在一起，则ACE ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意知，AC DE ∥，根据ACE E ∠=∠，求解作答即可．【详解】解：由题意知，AC DE ∥，∴60ACE E ∠=∠=︒，故选：C ． 10．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键．由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．故选：D ．11．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A 、B 、C 处依次写上的字可以是（ ）A ．吉 如 意B ．意 吉 如C ．吉 意 如D ．意 如 吉【答案】A 【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案．【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥，∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故选A12．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（）A．校B．安C．平D．园【答案】A【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，故选：A．13．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．湿B．地C．之D．都【答案】C【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解．【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得：“盐”的对面是“之”，“地”的对面是“都”，“湿”的对面是“城”，故选C．14．（2024·江西·中考真题）如图是43的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】B【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．【详解】解：如图所示：共有2种方法，故选：B．15．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体【答案】C【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键．根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴该几何体是三棱柱，故选：C ．16．（2024·河北·中考真题）如图，AD与BC交于点O，ABO和CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．17．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含30︒角的三角尺和木工角尺（CD ⊥DE ）按如图方式摆放，若AB CD ，则1∠的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒ 【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，由ABCD ，可得60CDB ∠=︒，即可求解．【详解】∵AB CD ， ∴60CDB ∠=︒， ∵CD ⊥DE ，则90CDE ∠=︒，∴118030CDB CDE ∠=︒−∠−∠=︒，故选：A ．18．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒ 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出60BAD ∠=︒，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键【详解】解：∵AB CD ，2120∠=︒，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵165∠=︒，∴3180155BAD ∠=︒−∠−∠=︒，故选：B19．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线AB CD ∥，点E 在直线AB 上，射线EF 交直线CD 于点G ，则图中与AEF ∠互补的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出180AEF CGE +∠=︒∠，得出结合对顶角的性质180AEF DGF ∠+∠=︒，根据邻补角的定义得出180AEF BEG ∠+∠=︒，即可求出中与AEF ∠互补的角，即可求解．【详解】解∶∵AB CD ∥，∴180AEF CGE +∠=︒∠，∵CGE DGF ∠=∠，∴180AEF DGF ∠+∠=︒，又180AEF BEG ∠+∠=︒，∴图中与AEF ∠互补的角有CGE ∠，DGF ∠，BEG ∠，共3个．故选∶C ．20．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒ DE GF ，450=∠=︒故选：B ．21．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒−︒=︒,故选：C ．22．（2024·重庆·中考真题）如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．125︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出3∠，然后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，∵1125∠=︒，∴3180155∠=︒−∠=︒，∵AB CD ∥，∴2355∠=∠=︒，故选：C ．23．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOMB ∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB = 180，根据平行线分线段成比例得出AOM ∠180一定成立，故的中点，24．（2024·青海·中考真题）如图，一个弯曲管道AB CD ，120ABC ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．30︒C ．60︒D ．150︒【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果．【详解】AB CD180ABC BCD ∴∠+∠=︒120ABC ∠=︒60BCD ∴∠=︒ 故选：C25．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（ ）A ．54oB ．60C ．70D ．7226．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（ ）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．120︒【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得3230∠=∠=︒，根据1180345∠=︒−∠−︒即可求解．【详解】解：如图所示：∠=∠=︒由题意得：3230∠=︒−∠−︒=︒∴1180345105故选：B．27．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（）A．热B．爱C．中D．国28．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（）A．B点B．C点C．D点D．E点【答案】B【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解．【详解】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点A距离最远的顶点是C，故选：B．29．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含30︒角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若145∠=︒，则2∠=（）A．10︒B．15︒C．20︒D．30︒【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性∠=︒，再根据平角的定义求解，即可解题．质得到3135【详解】解：如图，∠=︒，直角三角板位于两条平行线间且145∴∠=︒，3135又直角三角板含30︒角，∴︒−∠−∠=︒，1802330∴∠=︒，215故选：B．30．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒ 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到3155∠=∠=︒，再利用平角的定义即可求出2∠的度数.【详解】解：如图，∵155∠=︒，ABCD∴3155∠=∠=︒， ∴21802335∠=︒−∠−∠=︒，故选：B31．（2024·甘肃·中考真题）若55A ∠=︒，则A ∠的补角为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．115︒D ．125︒32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，,AD BC AB AC ⊥∥，若135.8∠=，则B ∠的度数是（ ）A ．3548'︒B ．5512'︒C ．5412'︒D ．5452'︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出125.8BAD ∠=︒，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可．【详解】解∶∵AB AC ⊥，135.8∠=，∴19035.8125.8BAD BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=°，∴18054.25412B BAD '∠=︒−∠=︒=︒，故选∶C ．二、填空题33．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．34．（2024·广西·中考真题）已知1∠与2∠为对顶角，135∠=︒，则2∠= °． 【答案】35【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．【详解】解：∵1∠与2∠为对顶角，135∠=︒， ∴2135∠=∠=︒．故答案为：35．35．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a b ，若171∠=︒，则2∠的度数为 ．∵a b ，171∠=︒，∴1371∠=∠=︒，∴21803109∠=︒−∠=︒；故答案为：109︒36．（2024·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠= ．【答案】120︒/120度【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义．根据两直线平行同位角相等得到1360∠=∠=︒，再根据平角的定义得到23180∠+∠=︒，从而可计算出2∠．【详解】解：如图，a b ∥，1360∴∠=∠=︒，而23180∠+∠=︒，218060120∴∠=︒−︒=︒，故答案为：120︒．37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，AB CD ∥，33C ∠=︒，OC OE =．则A ∠= ︒．【答案】66【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得33E C ∠=∠=︒，根据三角形的外角的性质可得66DOE ∠=︒，根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵OC OE =，33C ∠=︒，∴33E C ∠=∠=︒，∴66DOE E C ∠=∠+∠=︒，∵AB CD ∥，∴66A DOE =∠=︒∠，故答案为：66．38．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=︒，则ABI ∠= ．【答案】50︒/50度【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为120︒，即120EFA FAB ∠=∠=︒，则可求得GFA ∠的度数，根据平行线的性质可求得FAH ∠的度数，进而可求出HAB ∠的度数，再根据三角形内角和定理即可求出ABI ∠的度数． 【详解】解：∵正六边形的内角和(62)180720=−⨯=︒， 每个内角为：7206120︒÷=︒，120EFA FAB ∴∠=∠=︒， 20EFG ∠=︒，12020100GFA ∴∠=︒−︒=︒， AH FG ∥，180G FAH FA ∠=︒∴∠+，180********GFA FAH =︒−∠=︒−︒=︒∴∠， 1208040HAB FA FAH B ∴∠=∠−︒−︒=︒∠=，BI AH ⊥，90BIA ∴∠=︒，904050ABI ∴∠=︒−︒=︒．故答案为：50︒．39．（2024·河北·中考真题）如图，ABC 的面积为2，AD 为BC 边上的中线，点A ，1C ，2C ，3C 是线段4CC 的五等分点，点A ，1D ，2D 是线段3DD 的四等分点，点A 是线段1BB 的中点．（1）11AC D △的面积为 ； （2）143B C D △的面积为 ． ，证明()11SAS AC D ACD ≌）证明()11SAS AB D ABD ≌三点共线，得11112AB D AC D S △△+=，继而得出113AB D =△，证明3C AD △99CAD S ==△，推出S △【详解】解：（1）连接11B D 、1B ∵ABC 的面积为ABD S S △=∵点A ，1C ，1AC AC =和ACD 中，CAD ， ∴()11SAS AC D ACD ≌111AC D ACD S S ==△△，∠11AC D △的面积为1，故答案为：1；）在11AB D 和△1AB AD BAD AD =∠∴()11SAS AB D ABD ≌111AB D ABD S S ==△△，∠180BDA CDA ∠+∠=︒1111180B D A C D A ∠+∠=和ACD 中，3AD AD，3C ∠CAD △，332233C AD CADS AC SAC ⎫==⎪⎭33C AD =△1AC C =【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．三、解答题40．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB=），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1图2图3(1)直接写出ADAB的值；(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）【答案】(1)2；(2)C；∴所用卡纸总费用为：⨯+⨯+⨯=（元）．202533158。

2024中考数学全国真题分类卷第十二讲角、相交线与平行线命题点1直线和线段1.(2023柳州)如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是()第1题图A.①B.②C.③D.④2.(2023桂林)如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝________cm.第2题图命题点2角与角平分线3.(2023安徽)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝()第3题图A.α－90°B.α－45°C.180°－αD.270°－α4.(2023株洲)如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝________度．第4题图命题点3相交线类型一相交线及相交线求角度5.(2023青海省卷)数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线).从左至右依次表示()第5题图A.同旁内角、同位角、内错角B.同位角、内错角、对顶角C.对顶角、同位角、同旁内角D.同位角、内错角、同旁内角6.(2023北京)如图，利用工具测量角，则∠1的大小为()第6题图A.30°B.60°C.120°D.150°7.(2023河南)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1＝54°，则∠2的度数为()第7题图A.26°B.36°C.44°D.54°类型二垂线及垂直平分线8.(2022杭州)如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则()第8题图A.PT≥2PQB.PT≤2PQC.PT≥PQD.PT≤PQ9.(2023青海省卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是________．第9题图命题点4平行线的判定10.(2023郴州)如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能．．判定直线c∥d的是()第10题图A.∠3＝∠4B.∠1＋∠5＝180°C.∠1＝∠2D.∠1＝∠4命题点5平行线性质求角度类型一直接利用平行线性质求角度11.(2023滨州)如图，在弯形管道ABCD中，若AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，则∠BCD的大小为()第11题图A.58°B.68°C.78°D.122°12.(2023陕西)如图，AB∥CD，BC∥EF.若∠1＝58°，则∠2的大小为()第12题图A.120°B.122°C.132°D.148°13.(2023海南)如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形．．．．．，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是()第13题图A.80°B.100°C.120°D.140°类型二平行线性质与判定结合14.(2023新疆)如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝()第14题图A.20°B.30°C.40°D.50°15.(新考法)·结合方案考查平行线的性质及三角形内角和定理(2023河北)要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案(如图①和图②)：第15题图对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是()A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行C.Ⅰ、Ⅱ都可行D.Ⅰ、Ⅱ都不可行类型三与直角三角板结合16.(2023山西)如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°，直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为()第16题图A.100°B.120°C.135°D.150°17.(2023扬州)将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND ＝________°.第17题图命题点6命题18.(2023岳阳)下列命题是真命题的是()A.对顶角相等B.平行四边形的对角线互相垂直C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形参考答案与解析1.B2.4【解析】∵点C是线段AB的中点，AC＝2cm，∴AB＝2×2＝4cm.3.C【解析】如解图，由题意知，∠1＝90°＋∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α－90°，∵∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－(α－90°)＝180°－α.第3题解图4.155.D6.A7.B8.C【解析】∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连接PT，∴PT≥PQ.9.40°【解析】∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠EAC.∵∠B＝90°，∠BAE ＝10°，∴2∠C＝∠AEB＝90°－10°＝80°，∴∠C＝40°.10.C【解析】∠1＝∠2，内错角相等，则直线a∥b，不能判定直线c∥d.11.A【解析】∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵∠ABC＝122°，∴∠BCD＝180°－∠ABC＝180°－122°＝58°.12.B【解析】如解图，∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝58°，又∵BC∥EF，∴∠4＝180°－∠3＝180°－58°＝122°，∴∠2＝∠4＝122°.第12题解图13.B【解析】∵∠1＝140°，∴∠AFE＝40°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠FEB ＝∠A＋∠AFE＝100°，∵m∥n，∴∠2＝∠FEB＝100°.14.D【解析】∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，∴∠C＝∠D＝50°.15.C【解析】设直线AB与直线CD交于点P，对于方案Ⅰ：∵∠HEN＝∠CFG，∴MN∥CD，∴∠P＝∠AEM；对于方案Ⅱ：∵∠P＋∠AEF＋∠CFG＝180°，∴∠P＝180°－∠AEF－∠CFG，故方案Ⅰ，Ⅱ都可行．16.B【解析】∵DE∥CB，∴∠DAC＝∠C＝90°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＋30°＝120°.17.105【解析】在Rt△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°.在Rt△DEF中，∠E＝60°，∠EDF＝90°，∴∠F＝30°，∵EF∥BC，∴∠FDB＝∠F＝30°，∴∠BND＝180°－45°－30°＝105°.18.A【解析】对顶角相等，是真命题；平行四边形的对角线互相平分，故原命题是假命题；三角形的内心是它的三条角平分线的交点，故原命题是假命题；三角分别相等的两个三角形相似，故原命题是假命题．。

相交线与平行线一.选择题1．（2019•浙江宁波•4分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED ＝70°．【解答】解：设AB与直线n交于点E，则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．又直线m∥n，∴∠2＝∠AED＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．2（2019•湖北十堰•3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．50°B．45°C．40°D．30°【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1．【解答】解：∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∵∠1＝50°，∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，∵直线a∥b，∴∠1＝∠3＝40°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．3 （2019•湖北天门•3分）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝70°，∴∠DOB＝110°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．4 （2019•湖北孝感•3分）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1＝∠CAB＝70°，∵BC⊥l3交l1于点B，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．5. （2019•湖南衡阳•3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，∴∠FED＝50°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠FED＝50°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED的度数是解题关键．6 （2019•江苏苏州•3分）如图，已知直线//，分别交于点A B，．若a b，直线c与直线a b∠=o，则2154∠=（）A ．126oB ．134oC ．136oD ．144oa【分析】考察平行线的性质，简单题型【解答】根据对顶角相等得到1354∠=∠=o根据两直线平行，同旁内角互补得到32180∠+∠=o所以218054126∠=-=o o o故选Aa7. （2019•山东省滨州市 •3分）如图，AB ∥CD ，∠FGB ＝154°，FG 平分∠EFD ，则∠AEF 的度数等于（ ）A ．26°B ．52°C ．54°D ．77°【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质，得到∠GFD 的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠FGB +∠GFD ＝180°，∴∠GFD ＝180°﹣∠FGB ＝26°，∵FG 平分∠EFD ，∴∠EFD ＝2∠GFD ＝52°，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝52°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．8. （2019•山东省济宁市•3分）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．75°【考点】平行线的性质【分析】首先证明a∥b，推出∠4＝∠5，求出∠5即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠5＝180°﹣∠3＝55°，∴∠4＝55°，故选：C．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9（2019▪广西池河▪3分）如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【分析】根据同位角相等，两直线平行即可求解．【解答】解：如果∠2＝∠1＝120°，那么a∥b．所以要使a∥b，则∠2的大小是120°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．10.(2019，山西，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）A.30°B.35°C.40°D.45°【解析】∵AB=AC且∠A=30°，∴∠ACB=75°.在△ADE中：∠1=∠A+∠3，∴∠3=115°∵a∥b，∴∠3=∠2+∠ACB，∴∠2=40°11.（2019，山东淄博，4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】根据平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．【解答】解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，故选：C．【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．12. （2019•湖南长沙•3分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1＝80°，∴∠3＝100°，∵AB∥CD，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．13. （2019•湖南邵阳•3分）如图，已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截，下列等式一定成立的是（）A．∠l＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180°D．∠1+∠4＝180°【分析】由三线八角以及平行线的性质可知，A，B，C成立的条件题目并没有提供，而D选项中邻补角的和为180°一定正确．【解答】解：∠1与∠2是同为角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角，由平行线的性质可知，选项A，B，C成立的条件为l1∥l2时，而∠1与∠4是邻补角，故D正确．故选：D．【点评】本题考查三线八角的识别及平行线的性质和邻补角的概念．本题属于基础题，难度不大．14（2019•湖南湘西州•4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．40°B．90°C．50°D．100°【分析】根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据平角的定义即可得到∠3的度数．【解答】解：∵a∥b，∵∠2＝40°，∴∠3＝90°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．15 （2019•湖南湘西州•4分）下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．相等的两个角是对顶角D．圆内接四边形对角相等【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；即可得出答案．【解答】解：A/同旁内角相等，两直线平行；假命题；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C．相等的两个角是对顶角；假命题；D．圆内接四边形对角相等；假命题；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；要熟练掌握．15. （2019•湖南岳阳•3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．【解答】解：∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝50°，∴∠ABE ＝∠EBC ＝25°，∵BE ∥DC ，∴∠EBC ＝∠C ＝25°．故选：B ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出∠EBC ＝25°是解题关键．16 （2019•甘肃•3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（ ）A ．48°B ．78°C ．92°D ．102°【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°， ∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．17. （2019•广东深圳•3分）如图，已知AB l 1，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ）A.∠1=∠4B.∠1=∠5C.∠2=∠3D.∠1=∠3【答案】B【解析】两直线平行，同位角相等，即∠2=∠3.故选B.18. （2019•广西贵港•3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出＝，从而可求出CD的长度．【解答】解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，设AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y，∴＝，∴CD＝2，故选：C．二.填空题1（2019•南京•2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b．【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．故答案为：∠1+∠3＝180°．【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．2 （2019•广东•4分）如图，已知a∥b，∠l=75°，则∠2 =________．【答案】105°【解析】180°-75°=105°.【考点】平行线的性质3 （2019•广西贵港•3分）如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝142°．【分析】如图，利用平行线的性质得到∠2＝∠3，利用互补求出∠3，从而得到∠2的度数．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣38°＝142°．故答案为142°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．三.解答题1. （2019•湖北天门•8分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE ≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中，，∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2. （2019•湖北天门•10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y 关于t的函数解析式（由时间＝路程÷速度可得出t的取值范围）；（2）将PQ＝3代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQ∥OP可得出△BDQ∽△ODP，利用相似三角形的性质结合OB＝10可求出OD ＝6，由CB∥OA可得出∠DOF＝∠OBC，在Rt△OBC中可求出sin∠OBC及cos∠OBC 的值，由OF＝OD•cos∠OBC，DF＝OD•sin∠OBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，整理，得：5t2﹣16t+11＝0，解得：t1＝1，t2＝．（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝6，BC＝8，∴OB＝＝10．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴＝＝＝，∴OD＝6．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OB C．在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝6×＝，∴点D的坐标为（，），∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ＝3时t 的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．3. （2019•湖北武汉•8分）如图，点A.B.C.D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．【分析】根据平行线的性质可得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E＝∠F．【解答】解：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，∵∠A＝∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．4. （2019•湖南衡阳•8分）如图，点A.B.C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．。

一、选择题1. 数与代数- 实数的运算- 代数式的化简- 分式的运算- 根据方程求未知数- 解不等式及不等式组- 函数的性质与应用2. 几何与图形- 直线、射线、线段的概念及性质- 角的概念及性质- 平行线、相交线、垂直线的判定- 四边形、多边形的概念及性质- 圆的概念及性质- 三角形的概念及性质，如三角形全等、相似3. 统计与概率- 数据的收集、整理、描述- 平均数、中位数、众数的计算- 概率的基本概念及计算- 事件的相互关系及概率的运算二、填空题1. 数与代数- 实数的性质及运算- 代数式的化简及求值 - 分式的化简及运算- 根据方程求未知数- 解不等式及不等式组2. 几何与图形- 几何图形的性质及判定 - 几何图形的变换- 几何问题的解决方法 - 圆的相关计算3. 统计与概率- 数据的描述及分析- 概率的计算与应用三、解答题1. 数与代数- 复杂方程的求解- 函数问题及实际应用 - 代数问题的综合应用 - 函数与几何的结合问题2. 几何与图形- 几何图形的证明- 几何问题的解决方法 - 几何图形的应用- 几何问题的综合应用3. 统计与概率- 统计数据的分析及处理- 概率的计算与应用- 统计与概率的实际问题四、实验题1. 数与代数- 使用计算器进行计算- 利用计算机软件进行数据处理2. 几何与图形- 利用计算机软件绘制几何图形- 利用计算机软件进行几何问题的探究3. 统计与概率- 利用计算机软件进行数据分析- 利用计算机软件进行概率问题的探究五、应用题1. 数与代数- 生活、生产、科技等领域的实际问题 - 经济、金融、物理等领域的实际问题2. 几何与图形- 建筑设计、城市规划等领域的实际问题 - 物理实验、天文观测等领域的实际问题3. 统计与概率- 社会调查、市场分析等领域的实际问题- 医学研究、生物统计等领域的实际问题总结：中考数学试卷题目分类汇总涵盖了数与代数、几何与图形、统计与概率三个主要模块，旨在考查学生对数学知识的掌握程度、应用能力及创新思维。

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 线段【命题规律】主要考查：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线这两个基本事实．【命题预测】与图形的变换中立体图形的侧面展开结合，求两点之间的最短距离，另外也会与对称性结合，考查两线段和的最小值．1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A. 垂线段最短B. 经过一点有无数条直线C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 两点之间，线段最短1. D第1题图第2题图2. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条2. D【解析】AD是点A到直线BC的距离；BA是点B到直线AC的距离；BD是点B到直线AD的距离；CA是点C到直线AB的距离；CD是点C到直线AD的距离，共5条，故答案为D.命题点2 角、余角、补角及角平分线【命题规律】主要考查：①角度的计算(度分秒之间的互化)；②余角、补角的计算；③角平分线的性质．【命题预测】角、余角、补角及角平分线等基本概念是图形认识的基础，应给予重视．3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )3. B4. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．4. 3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.5. 1.45°＝________′.5. 87【解析】∵1°＝60′，∴0.45°＝27′，∴1.45°＝87′.6. 已知∠A＝100°，那么∠A的补角为________度．6. 80【解析】用180度减去已知角，就得这个角的补角．即∠A的补角为：180°－100°＝80°.命题点3 相交线与平行线【命题规律】考查形式：①三线八角中同位角、内错角、同旁内角的识别或计算，有时综合对顶角、邻补角求角度；②综合角平分线、垂线求角度；③综合三角形的相关知识求角度；④根据角的关系判断两直线的关系．【命题预测】平行线性质是认识图形的基础知识，也是全国命题的潮流和方向．7. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角7. B【解析】根据相交线的性质及角的定义可知∠1与∠2的位置关系为内错角，故选B.第7题图第8题图第9题图8. 如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°8. B【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＋∠4＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠2＝180°－∠1＝70°，故本题选B.9. 如图，在下列条件中，不能．．判定直线a与b平行的是( )A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠3＝∠5D. ∠3＋∠4＝180°9. C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵∠1＝∠2，即同位角相等，两直线平行，∴a∥b √B∵∠2＝∠3，即内错角相等，两直线平行，∴a∥b √∵∠3、∠5既不是a与b被第三直线所截的同位角，也不是内错角，×C∴∠3＝∠5，不能够判定a与b平行D∵∠3＋∠4＝180°，即同旁内角互补，两直线平行，∴a∥b √10. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10. B 【解析】如解图，∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－50°＝40°，由平行线性质得∠2＝∠3＝40°.11. 如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A . 50°B . 40°C . 45°D . 25°11. B 【解析】∵EF ⊥BD ，∠1＝50°，∴∠D ＝90°－50°＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠D ＝40°.第10题图 第11题图 第12题图 第13题图12. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( )A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPGD . ∠DNG ＝∠AME12. D 【解析】A.两直线平行，同位角相等，∴∠EMB ＝∠END ；B.两直线平行，内错角相等，∴∠BMN ＝∠MNC ；C.两直线平行，同位角相等，∴∠CNH ＝∠APH ，又∠BPG ＝∠APH ，∴∠CNH ＝∠BPG ；D.∠DNG 和∠AME 无法推导数量关系，故不一定相等，答案为D.13. 如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝________°.13. 75 【解析】如解图，过点P 作PH ∥a ∥b ，∴∠FPH ＝∠1，∠EPH ＝∠2，又∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPF ＝∠EPH ＋∠HPF ＝30°＋45°＝75°.命题点4 命 题【命题概况】命题考查的知识点比较多，一般几个知识点结合考查，考查形式有：①下面说法错误(正确)的是；②写出命题…的逆命题；③能说明…是假命题的反例．【命题趋势】命题为新课标新增内容，考查知识比较综合，是全国命题点之一．14. (2016宁波)能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( )A . a ＝－2B . a ＝13C . a ＝1D . a ＝ 214. A 【解析】由于一个正数的绝对值是它本身，它的相反数是一个负数，所以当a ＝13，1，2时，|a |>－a 总是成立，当a ＝－2时，|－2|＝2＝－(－2)，此时|a |＝－a ，故本题选A.15. 写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题．．．：________________________． 15. 如果3a ＝3b ，那么a ＝b 【解析】命题由条件和结论构成，则其逆命题只需将原来命题的条件和结论互换即可，即将结论作为条件，将条件作为结论. ∵命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ，”中条件为“如果a ＝b ”，结论为“那么3a ＝3b ”，∴其逆命题为“如果3a ＝3b ，那么a ＝b ”．中考冲刺集训一、选择题1. 如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°第1题图第2题图第3题图2. 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( )A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′二、填空题4. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝________.第4题图第5题图第6题图5. 如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1＝30°，则∠2＝________．6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB＝75°，则∠PNM等于________度．7. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.第7题图第8题图第9题图8. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________．9.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________．答案与解析：1. B【解析】∵DA⊥AC，∠ADC＝35°，∴∠ACD＝90°－∠ADC＝90°－35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故选B.2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝12∠CAB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠AED＋∠EAB＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAB＝180°－65°＝115°.3. B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC＝∠ODE，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOE，∴∠ODE＝∠AOE＝37°36′，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOE＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.4. 50°5. 30°6. 307. 72【解析】∵CD∥AB，∴∠CBA＝∠1＝54°，∠ABD＋∠CDB＝180°，∵CB平分∠ABD，∴∠DBC＝∠CBA＝54°，∴∠CDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠2＝∠CDB＝72°.8. 15°【解析】由两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠AFE＝30°，∠C＝∠CFE，由∠AFC＝15°，可得∠CFE＝∠C＝∠AFE－∠AFC＝15°.第9题解图9. 2【解析】如解图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∠AOB＝2∠AOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PE＝12PC＝2，∴PD＝PE＝2.。

图形初步、相交线、平行线(20题)一、选择题1.假设一个角为，那么它的补角的度数为〔〕A.B. C. D.【答案】C【解析】一个角为，那么它的补角的度数为:故答案为：C.【分析】根据补角的定义，假设两个角之和为2.如图，直线a，b被直线c所截，那么∠180°，那么这两个角互为补角，即可求解。

1的同位角是〔〕A. ∠2B. ∠3C. ∠4D. ∠5【答案】C【解析】解：∵直线a，b被直线c所截，∴∠1的同位角是∠故答案为：C【分析】两条直线被第三条直线所截，位于两条直线的同一侧，形的角是同位角，即可得出答案。

3.如图，直线AB∥CD，那么以下结论正确的选项是〔〕4第三条直线的同旁，呈“F〞A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠1+∠3=180°D. ∠3+∠4=180°D【解析】：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故答案为：D．【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出∠3+∠5=180°，根据对顶角相等及等量代换得出∠3+∠4=180°，4.如图是正方体的外表展开图，那么与“前〞字相对的字是〔〕A. 认B.真C.复D.习【答案】B【解析】观察正方形的展开图，可得出与“前〞字相对的字是“真〞.【分析】观察正方形的展开图，可得出答案。

5.如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，以下摆放方式中与互余的是〔〕A. 图①B.图②C.图③D.图④【答案】A【解析】：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；图④，∠α+∠β=180°，互补．故答案为：A．【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．6.如图，直线被所截，且，那么以下结论中正确的选项是()A. B.C. D.【答案】B【解析】：∵a∥b，∴∠3=∠4.故答案为：B.【分析】根据两直线平行，同位角相等，由此即可得出答案.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，假设∠A＝35°,∠C＝24°,那么∠D的度数是〔〕。

2024成都中考数学复习专题线、角、相交线与平行线(含命题)基础题1. (2022柳州)如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是()A. ①B. ②C. ③D. ④第1题图2. 如图，点P在△ABC的AB边上从点A向点B移动，当S△APC＝S△BPC时，则CP是△ABC 的()第2题图A. 高B. 角平分线C. 中线D. 中位线3. (2023兰州改编)如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝()第3题图A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°4. (2023临沂)在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是()A. 相交B. 相交且垂直C. 平行D. 不能确定5. (2023广西)如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是( )第5题图A. 160°B. 150°C. 140°D. 130°6. 已知m ＋2n n ＝157(mn ≠0)，则n m值为( ) A. 2 B. 5 C. 7 D. 277. 如图，AB ∥CD ，E 是直线AB 上一点，且∠DEF ＝150°，若∠BEF ＝4∠BED ，则∠D 的度数为( )A. 28°B. 30°C. 35°D. 25°第7题图8. (2023金华)如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是( )第8题图A. 120°B. 125°C. 130°D. 135°9. (2023绥化)将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为( )第9题图A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°10. (2023恩施州)将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m ∥n ，∠1＝20°，则∠2＝( )A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°第10题图11. (2023深圳改编)如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD ＝50°，则∠ACB＝()第11题图A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°12. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若BF∶FC＝2∶3，AB＝15，则BD＝()A. 6B. 9C. 10D. 12第12题图13. (2023达州改编)命题“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”是________命题(填“真”或“假”)．14. (2023烟台)一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为________．第14题图15. (2023乐山)如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD 的度数为________．第15题图16. 如图，已知直线l1∥l2，点A，B分别在直线l1，l2上，点P是直线l1，l2间一点，连接P A，PB. 若∠1＝∠2＝130°，则∠APB＝________°.第16题图17. (2023北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥C D.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则BEEC的值为________．第17题图18. (2023台州)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．第18题图拔高题19. (2023徐州)如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝________°.第19题图20. (2023达州)如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______cm.(结果保留根号)第20题图参考答案与解析1. B2. C3. B 【解析】由题图可得∠AOC ＝50°，∴∠BOD ＝50°.4. C 【解析】∵l ⊥m ，n ⊥m ，∴l ∥n .5. D 【解析】∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∴AC ∥BD ，∴∠B ＝∠A ＝130°.6. C 【解析】∵m ＋2n n ＝157 ，∴7m ＋14n ＝15n ，∴7m ＝n ，∴n m＝7. 7. B 【解析】∵∠BEF ＝4∠BED ，∴5∠BED ＝∠DEF ＝150°，∴∠BED ＝30°.∵AB ∥CD ，∴∠D ＝∠BED ＝30°.8. C 【解析】如解图，∵∠1＝∠3＝50°，∴a ∥b .∵∠2＝50°，∴∠2＝∠5＝50°，∴∠4＝180°－∠5＝130°.第8题解图9. C 【解析】∵两条直线平行，∠1＝25°，∴∠3＋45°＝∠1＋90°，∴∠3＝45°＋∠1＝45°＋25°＝70°.10. A 【解析】如解图，作l ∥m ，∵m ∥n ，∴l ∥m ∥n ，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＋∠2＝∠4＋∠3＝60°，∴∠2＝60°－20°＝40°.第10题解图11. A 【解析】∵DE ∥AB ，∠ABD ＝50°，∴∠D ＝∠ABD ＝50°.∵∠DEF ＝120°，且∠DEF 是△DCE 的外角，∴∠DCE ＝∠DEF －∠D ＝70°，∴∠ACB ＝∠DCE ＝70°.12. B 【解析】∵EF ∥AB ，BF ∶FC ＝2∶3，∴BF FC ＝AE EC ＝23 ，∴AC EC ＝53.∵DE ∥BC ，∴AB BD ＝AC EC ，∴15BD ＝53，∴BD ＝9. 13. 真14. 78° 【解析】如解图，由题意得AB ∥CD ，∴∠2＝∠BCD .∵∠1＝102°，∴∠BCD ＝78°，∴∠2＝78°.第14题解图15. 20° 【解析】∵点O 在直线AB 上，∴∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－∠AOC＝180°－140°＝40°.∵OD 为∠BOC 的平分线，∴∠BOD ＝12 ∠BOC ＝12×40°＝20°，∴∠BOD ＝20°.16. 100 【解析】如解图，过点P 作l 1的平行线PQ ，∵l 1∥l 2∥PQ ，则∠1＋∠APQ ＝∠2＋∠QPB ＝180°，∵∠1＝∠2＝130°，∴∠APQ ＝∠QPB ＝180°－130°＝50°，∴∠APB ＝∠APQ ＋∠QPB ＝50°＋50°＝100°.第16题解图17. 32 【解析】∵AB ∥EF ∥CD ，∴BE EC ＝AF FD ＝AO ＋OF FD.∵AO ＝2，OF ＝1，FD ＝2，∴BE EC ＝2＋12 ＝32. 18. 140° 【解析】如解图，由折叠的性质得∠1＝∠3＝20°，由题意得AB ∥CD ，∴∠4＝∠1＋∠3＝40°，∴∠2＝180°－∠4＝140°.第18题解图19. 55 【解析】∵DE ∥BC ，∠BDE ＝120°，∴∠B ＝180°－∠BDE ＝60°，同理∠A ＝65°.∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝55°. 20. (805 －160) 【解析】由题得，弦AB ＝80 cm ，点C 是靠近点B 的黄金分割点，设BC＝x ，则AC ＝80－x ，∴80－x 80 ＝5－12，解得x ＝120－405 .∵点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴设AD ＝y ，则BD ＝80－y ，∴80－y 80 ＝5－12，解得y ＝120－405 ，∴支撑点C ，D 之间的距离为80－x －y ＝80－120＋405 －120＋405 ＝(805 －160)cm.。

中考数学专题复习《相交线与平行线》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．解答题（共15小题）1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°）一块三角板CDE中∠CED＝90°∠CDE＝30°将三角板CDE如图所示放置使顶点C落在OB边上经过点D作直线MN∥OB交OA 边于点M且点M在点D的左侧．（1）如图若CE∥OA∠NDE＝45°则α＝°（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F①如图当DF∥OA且α＝60°时试说明：CE∥OA②如图当CE∥OA保持不变时试求出∠OFD与α之间的数量关系．2．如图（1）AB∥CD猜想∠BPD与∠B∠D的数量关系并说明理由．①读下列过程并填写理由．解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．理由：过点P作EF∥AB．∴∠B+∠BPE＝180°．（）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线的作法）．∴CD∥EF．（）∴∠EPD+∠CDP＝180°．∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．②仿照上面的解题方法观察图（2）已知AB∥CD猜想图中的∠BPD与∠B∠D的数量关系并说明理由．③观察图（3）和图（4）已知AB∥CD直接写出图中的∠BPD与∠B∠D的数量关系不必说明理由．3．如图1 将一副直角三角板放在同一条直线AB上其中∠ONM＝30°∠OCD＝45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置使得点O与点N重合CD与MN相交于点E则∠CEN＝°．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转使一边OD在∠MON的内部如图3 且OD恰好平分∠MON CD与NM相交于点E求∠CEN的度数（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周在旋转的过程中当边OC 旋转°时边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）4．问题探究：如图①已知AB∥CD我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②过点E作EF∥AB把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和然后分别证明∠BEF＝∠B∠DEF＝∠D．李思同学：如图③过点B作BF∥DE则∠E＝∠EBF再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路写出证明过程（2）请按李思同学的思路写出证明过程问题迁移：（3）如图④已知AB∥CD EF平分∠AEC FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F请直接写出∠F的度数．5．如图由线段AB AM CM CD组成的图形像∑称为“∑形BAMCD”．（1）如图 1 ∑形BAMCD中若AB∥CD∠AMC＝60°则∠A+∠C ＝°（2）如图2 连接∑形BAMCD中B D两点若∠ABD+∠BDC＝160°∠AMC＝α试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系并说明理由（3）如图3 在（2）的条件下当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．6．如图1 E点在BC上∠A＝∠D∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD（2）如图2 AB∥CD BG平分∠ABE与∠EDF的平分线交于H点若∠DEB比∠DHB大60°求∠DEB的度数．（3）在（1）的结论下保持（2）中所求的∠DEB的度数不变如图3 BM平分∠EBK DN平分∠CDE作BP∥DN则∠PBM的度数是否改变？若不变请求值若改变请说明理由．7．如图点D点E分别在△ABC边AB AC上∠CBD＝∠CDB DE∥BC∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°（2）如图②如果∠ACD的平分线与AB交于G点∠BGC＝50°求∠DEC的度数．（3）如图③如果H点是BC边上的一个动点（不与B C重合）AH交DC于M点∠CAH的平分线AI交DF于N点当H点在BC上运动时∠DEC+∠DMH∠ANF的值是否发生变化？如果变化说明理由如果不变试求出其值．8．已知直线AB∥CD点E F分别在直线AB CD上点P是直线AB与CD外一点连接PE PF．（1）如图1 若∠AEP＝45°∠DFP＝105°求∠EPF的度数（2）如图2 过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N若∠M与3∠N互补试探索直线EP与直线FN 的位置关系并说明理由（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．9．实验证明平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图一束光线m射到平面镜上被a反射到平面镜b上又被b镜反射若被b 反射出的光线n与光线m平行且∠1＝50°则∠2＝°∠3＝°（2）在（1）中若∠1＝55°则∠3＝°若∠1＝40°则∠3＝°（3）由（1）（2）请你猜想：当两平面镜a b的夹角∠3＝°时可以使任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a b的两次反射后入射光线m与反射光线n平行请说明理由．10．如图已知直线l1∥l2l3l4和l1l2分别交于点A B C D点P在直线l3或l4上且不与点A B C D重合．记∠AEP＝∠1 ∠PFB＝∠2 ∠EPF＝∠3．（1）若点P在图（1）位置时求证：∠3＝∠1+∠2（2）若点P在图（2）位置时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系（3）若点P在图（3）位置时写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系并给予证明（4）若点P在C D两点外侧运动时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系．11．当光线经过镜面反射时入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①图②中都有∠1＝∠2 ∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①若α＝90°判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系并说明理由．（2）如图②若90°＜α＜180°入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系并说明理由．（3）如图③若α＝120°设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°）已知入射光线EF从镜面AB开始反射经过n（n为正整数且n≤3）次反射当第n次反射光线与入射光线EF平行时请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）12．已知：直线a∥b点A和点B是直线a上的点点C和点D是直线b上的点连接AD BC设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下若AD⊥BC求∠ABE+∠CDE的度数（2）在如图2所示的情形下若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF与DF交于点F当∠ABC＝64°∠ADC＝72°时求∠BFD的度数（3）如图3 当点B在点A的右侧时若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF DF 交于点F设∠ABC＝α∠ADC＝β用含有αβ的代数式表示∠BFD的补角．13．如图1 AB∥CD E为AB上一点点P在线段CE上且PD∥CF．（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE（2）如图2 在线段CF上取点H使∠HPF＝∠HFP若CD平分∠ECF PQ平分∠EPH∠HPQ+∠AEC＝90°试判断PF与EF的大小关系．14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．（1）若∠DCE＝45°则∠ACB的度数为（2）若∠ACB＝140°求∠DCE的度数（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在请直接写出∠ACE的值若不存在请说明理由．15．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1 光线a从空气中射入水中再从水中射入空气中形成光线b根据光学知识有∠1＝∠2 ∠3＝∠4 请判断光线a与光线b是否平行并说明理由（2）如图2 直线EF上有两点A C分别引两条射线AB CD．已知∠BAF＝150°∠DCF＝80°射线AB CD分别绕点A点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动设时间为t秒当射线CD转动一周时两条射线同时停止．则当直线CD与直线AB互相垂直时t＝秒．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°）一块三角板CDE中∠CED＝90°∠CDE＝30°将三角板CDE如图所示放置使顶点C落在OB边上经过点D作直线MN∥OB交OA 边于点M且点M在点D的左侧．（1）如图若CE∥OA∠NDE＝45°则α＝45°（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F①如图当DF∥OA且α＝60°时试说明：CE∥OA②如图当CE∥OA保持不变时试求出∠OFD与α之间的数量关系．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）45（2）①证明过程见解答②150°−12α．【分析】（1）过点E作EF∥MN根据MN∥OB可得EF∥OB根据平行线的性质可得∠AOB＝45°（2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明CE∥OA②当CE∥OA保持不变时总有∠ECB＝α在直角三角形DCE中∠DCE＝60°可得∠DCB＝60°+α根据MN∥OB和角平分线定义即可求出∠OFD与α之间的数量关系．【解答】解：（1）如图过点E作EF∥MN∴∠DEF＝∠NDE＝45°∵∠CED＝90°∴∠FEC＝45°∵MN∥OB∴EF∥OB∴∠BCE＝∠FCE＝45°∵AO∥CE∴∠AOB＝∠ECB＝45°则α＝45°故答案为：45（2）①∵DF∥OA∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°∵MN∥OB∴∠MDF＝∠DFC∵DF平分∠MDC∴∠CDF＝∠MDF＝60°在直角三角形DCE中∠DCE＝60°∴∠CDF＝∠DCE∴CE∥DF∵DF∥OA∴CE∥OA②∵当CE∥OA保持不变时总有∠ECB＝α在直角三角形DCE中∠DCE＝60°∴∠DCB＝60°+α∵MN∥OB∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α且∠DFC＝∠MDF ∵DF平分∠MDC∴∠DFC=∠MDF=30°+1 2α∴∠OFD=180°−∠DFC=180°−(30°+12α)=150°−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．2．如图（1）AB∥CD猜想∠BPD与∠B∠D的数量关系并说明理由．①读下列过程并填写理由．解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．理由：过点P作EF∥AB．∴∠B+∠BPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线的作法）．∴CD∥EF．（平行线公理的推论）∴∠EPD+∠CDP＝180°．∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．②仿照上面的解题方法观察图（2）已知AB∥CD猜想图中的∠BPD与∠B∠D 的数量关系并说明理由．③观察图（3）和图（4）已知AB∥CD直接写出图中的∠BPD与∠B∠D的数量关系不必说明理由．【考点】平行线的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】①根据平行线的性质得到的∠B+∠BPE＝180°∠EPD+∠CDP＝180°．等量代换即可得到结论②首先过点P作PE∥AB由AB∥CD可得PE∥AB∥CD根据两直线平行内错角相等即可得∠1＝∠B∠2＝∠D则可求得∠BPD＝∠B+∠D．③由AB∥CD根据两直线平行内错角相等与三角形外角的性质即可求得∠BPD与∠B∠D的关系．【解答】解：①猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．理由：过点P作EF∥AB．∴∠B+∠BPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线的作法）．∴CD∥EF．（平行线公理的推论）∴∠EPD+∠CDP＝180°．∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．故答案为：两直线平行同旁内角互补平行线公理的推论②∠BPD＝∠B+∠D．理由：如图2 过点P作PE∥AB∵AB∥CD∴PE∥AB∥CD∴∠1＝∠B∠2＝∠D∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D③如图（3）：∠BPD＝∠D﹣∠B．理由：∵AB∥CD∴∠1＝∠D∵∠1＝∠B+∠P∴∠D＝∠B+∠P即∠BPD＝∠D﹣∠B如图（4）：∠BPD＝∠B﹣∠D．理由：∵AB∥CD∴∠1＝∠B∵∠1＝∠D+∠P∴∠B＝∠D+∠P即∠BPD＝∠B﹣∠D．【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大解题的关键是注意掌握两直线平行内错角相等定理的应用注意辅助线的作法．3．如图1 将一副直角三角板放在同一条直线AB上其中∠ONM＝30°∠OCD＝45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置使得点O与点N重合CD与MN相交于点E则∠CEN＝105°．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转使一边OD在∠MON的内部如图3 且OD恰好平分∠MON CD与NM相交于点E求∠CEN的度数（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周在旋转的过程中当边OC 旋转75或255°时边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）【考点】平行线的判定平移的性质．【专题】常规题型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）在△CEN中依据三角形的内角和定理求解即可（2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB 再根据两直线平行同旁内角互补求解即可（3）当CD在AB上方时CD∥MN设OM与CD相交于F根据两直线平行同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD即可得解当CD在AB的下方时CD∥MN设直线OM与CD相交于F根据两直线平行内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF再求出旋转角即可．【解答】解：（1）∵∠ECN＝45°∠ENC＝30°∴∠CEN＝105°．故答案为：105°．（2）∵OD平分∠MON∴∠DON=12∠MON=12×90°＝45°∴∠DON＝∠D＝45°∴CD∥AB∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°．（3）如图1 CD在AB上方时设OM与CD相交于F ∵CD∥MN∴∠OFD＝∠M＝60°在△ODF中∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD＝180°﹣45°﹣60°＝75°当CD在AB的下方时设直线OM与CD相交于F∵CD∥MN∴∠DFO＝∠M＝60°在△DOF中∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°∴旋转角为75°+180°＝255°综上所述当边OC旋转75°或255°时边CD恰好与边MN平行．故答案为：75或255．【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内角和定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质直角三角形两锐角互余的性质熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．4．问题探究：如图①已知AB∥CD我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②过点E作EF∥AB把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和然后分别证明∠BEF＝∠B∠DEF＝∠D．李思同学：如图③过点B作BF∥DE则∠E＝∠EBF再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路写出证明过程（2）请按李思同学的思路写出证明过程问题迁移：（3）如图④已知AB∥CD EF平分∠AEC FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F请直接写出∠F的度数．【考点】平行线的性质．【专题】线段角相交线与平行线三角形推理能力．【答案】（1）（2）证明见解析部分．（3）36°．【分析】（1）如图②中过点E作EF∥AB利用平行线的性质证明即可．（2）如图③中过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．（3）设∠AEF＝∠CEF＝x∠CDF＝∠EDF＝y则∠F＝x+y根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°构建方程求出x+y可得结论．【解答】解：（1）如图②中过点E作EF∥AB∵AB∥CD EF∥AB∴AB∥EF∥CD∴∠B＝∠BEF∠D＝∠DEF∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．（2）如图③中过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．∵DE∥FG∴∠EDC＝∠G∠DEB＝∠EBF∵AB∥CG∴∠G＝∠ABF∴∠EDC＝∠ABF∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．（3）如图④中∵EF平分∠AEC FD平分∠EDC∴∠AEF＝∠CEF∠CDF＝∠EDF设∠AEF＝∠CEF＝x∠CDF＝∠EDF＝y则∠F＝x+y ∵∠CED＝3∠F∴∠CED＝3x+3y∵AB∥CD∴∠BED＝∠CDE＝2y∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°∴5x+5y＝180°∴x+y＝36°∴∠F＝36°．【点评】本题考查平行线的性质平角的性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线利用平行线的性质解决问题．5．如图由线段AB AM CM CD组成的图形像∑称为“∑形BAMCD”．（1）如图1 ∑形BAMCD中若AB∥CD∠AMC＝60°则∠A+∠C＝60°（2）如图2 连接∑形BAMCD中B D两点若∠ABD+∠BDC＝160°∠AMC＝α试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系并说明理由（3）如图3 在（2）的条件下当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．【考点】平行线的性质．【专题】线段角相交线与平行线三角形推理能力．【答案】（1）60°（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°（3）∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠BAM﹣∠MCD＝20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．【分析】（1）过M作MN∥AB利用平行线的性质计算可求求解（2）过A点作AP∥CD交BD于点P利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°结合（1）的结论可求解（3）可分两种情况：当D C位于AM两侧时当D C位于AM同侧时利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．【解答】解：（1）过M作MN∥AB∵AB∥CD∴AB∥MN∥CD∴∠AMN＝∠A∠MCD＝∠C∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°故答案为：60°（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．理由：过A点作AP∥CD交BD于点P∴∠APB＝∠D∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°∠B+∠D＝160°∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°由（1）可得∠AMC＝∠P AM+∠MCD∵∠AMC＝α∴∠P AM+∠MCD＝α∴∠BAM+∠MCD＝α+20°（3）如图当D C位于AM两侧时∵∠ABD+∠BDC＝160°∠CDM+∠BDC＝180°∴∠CDM﹣∠ABD＝20°∵∠AMQ＝∠B+∠BAM∠CMQ＝∠MCD+∠CDM∠AMC＝α∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°当A C M三点共线时∠AMC＝α＝0°∴∠BAM﹣∠MCD＝20°当D C位于AM同侧时∵∠ABD+∠BDC＝160°∠CDM+∠BDC＝180°∴∠CDM﹣∠ABD＝20°∵∠AMO＝∠B+∠BAM∠CMO＝∠MCD+∠CDM∠AMC＝α∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．综上∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．【点评】本题主要考查平行线的性质三角形外角的性质三角形的内角和定理掌握平行线的性质是解题的关键．6．如图1 E点在BC上∠A＝∠D∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD（2）如图2 AB∥CD BG平分∠ABE与∠EDF的平分线交于H点若∠DEB比∠DHB大60°求∠DEB的度数．（3）在（1）的结论下保持（2）中所求的∠DEB的度数不变如图3 BM平分∠EBK DN平分∠CDE作BP∥DN则∠PBM的度数是否改变？若不变请求值若改变请说明理由．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题线段角相交线与平行线运算能力推理能力．【答案】（1）证明过程请看解答（2）100°（3）40°．（1）如图1 延长DE交AB于点F根据∠ACB+∠BED＝180°∠CED+∠BED 【分析】＝180°可得∠ACB＝∠CED所以AC∥DF可得∠A＝∠DFB又∠A＝∠D进而可得结论（2）如图2 作EM∥CD HN∥CD根据AB∥CD可得AB∥EM∥HN∥CD根据平行线的性质得角之间的关系再根据∠DEB比∠DHB大60°列出等式即可求∠DEB 的度数（3）如图3 过点E作ES∥CD设直线DF和直线BP相交于点G根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．【解答】（1）证明：如图1 延长DE交AB于点F∵∠ACB+∠BED＝180°∠CED+∠BED＝180°∴∠ACB＝∠CED∴AC∥DF∴∠A＝∠DFB∵∠A＝∠D∴∠DFB＝∠D∴AB ∥CD（2）如图2 作EM ∥CD HN ∥CD∵AB ∥CD∴AB ∥EM ∥HN ∥CD∴∠1+∠EDF ＝180° ∠MEB ＝∠ABE∵BG 平分∠ABE∴∠ABG =12∠ABE∵AB ∥HN∴∠2＝∠ABG∵CF ∥HN∴∠2+∠β＝∠3∴12∠ABE +∠β＝∠3 ∵DH 平分∠EDF∴∠3=12∠EDF∴12∠ABE +∠β=12∠EDF ∴∠β=12（∠EDF ﹣∠ABE ）∴∠EDF ﹣∠ABE ＝2∠β设∠DEB ＝∠α∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β∵∠DEB比∠DHB大60°∴∠α﹣60°＝∠β∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）解得∠α＝100°∴∠DEB的度数为100°（3）∠PBM的度数不变理由如下：如图3 过点E作ES∥CD设直线DF和直线BP相交于点G∵BM平分∠EBK DN平分∠CDE∴∠EBM＝∠MBK=12∠EBK∠CDN＝∠EDN=12∠CDE∵ES∥CD AB∥CD∴ES∥AB∥CD∴∠DES＝∠CDE∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK ∠G＝∠PBK由（2）可知：∠DEB＝100°∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°∴∠EBK﹣∠CDE＝80°∵BP∥DN∴∠CDN＝∠G∴∠PBK＝∠G＝∠CDN=12∠CDE∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK=12∠EBK−12∠CDE=12（∠EBK﹣∠CDE）=12×80°＝40°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．7．如图点D点E分别在△ABC边AB AC上∠CBD＝∠CDB DE∥BC∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°（2）如图②如果∠ACD的平分线与AB交于G点∠BGC＝50°求∠DEC的度数．（3）如图③如果H点是BC边上的一个动点（不与B C重合）AH交DC于M点∠CAH的平分线AI交DF于N点当H点在BC上运动时∠DEC+∠DMH∠ANF的值是否发生变化？如果变化说明理由如果不变试求出其值．【考点】平行线的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据DE∥BC得到∠EDB+∠DBC＝180°再利用角平分线的性质即可解答（2）根据FD⊥AB∠BGC＝50°得到∠DHG＝40°利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD＝40°再根据DF平分∠EDC CG平分∠ACD得到∠EDC＝2∠FDC∠ACD＝2∠HCD得到∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°利用三角形内角和为180°∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．（3）不变根据∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN）∠ANF＝∠ADF+∠DAN即可解答．【解答】解：（1）如图1∵DE∥BC∴∠EDB+∠DBC＝180°∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC＝180°∵∠CDB＝∠DBC∠EDF＝∠FDC∴2∠FDC+2∠CDB＝180°∴∠FDC+∠CDB＝90°∴FD⊥BD∴∠DBF+DFB＝90°．（2）如图2∵∠BGC＝50°FD⊥BD∴∠DHG＝40°∴∠FDC+∠HCD＝40°∵DF平分∠EDC CG平分∠ACD∴∠EDC＝2∠FDC∠ACD＝2∠HCD∴∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．（3）不变如图3∵∠DMH +∠DEC ＝2（∠ADF +∠DAN ） ∠ANF ＝∠ADF +∠DAN∴∠DEC+∠DMH ∠ANF =2(∠ADF+∠DAN)∠ADF+∠DAN =2．【点评】本题考查了平行线的性质 三角形角平分线 外角的性质 三角形内角和定理 解决本题的关键是利用三角形的角平分线 外角得到角之间的关系．8．已知 直线AB ∥CD 点E F 分别在直线AB CD 上 点P 是直线AB 与CD 外一点 连接PE PF ．（1）如图1 若∠AEP ＝45° ∠DFP ＝105° 求∠EPF 的度数（2）如图2 过点E 作∠AEP 的角平分线EM 交FP 的延长线于点M ∠DFP 的角平分线FN 交EM 的反向延长线交于点N 若∠M 与3∠N 互补 试探索直线EP 与直线FN 的位置关系 并说明理由（3）若点P 在直线AB 的上方且不在直线EF 上 作∠DFP 的角平分线FN 交∠AEP 的角平分线EM 所在直线于点N 请直接写出∠EPF 与∠ENF 的数量关系．【考点】平行线的性质 余角和补角．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）120°（2）EP∥FN理由见解析（3）∠EPF+2∠ENF＝180°或∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【分析】（1）过P作PQ∥AB根据平行线的性质可得∠EPF＝120°（2）EP∥FN根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠4＝2∠1＝∠AEP进而可得结论（3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可．【解答】解：（1）如图过P作PQ∥AB∵AB∥CD∴PQ∥CD∴∠QPE＝∠AEP＝45°∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．故∠EPF＝120°（2）EP∥FN如图理由：∵EM平分∠AEP FN平分∠MFD∴∠AEP＝2∠1 ∠MFD＝2∠3由（1）得∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4）∵AB∥CD∴∠3＝∠4由三角形外角的性质可得∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1∵∠M与3∠N互补∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°整理得∠4＝2∠1＝∠AEP∴EP∥FN（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图∵AB∥CD∴∠CFH＝∠EHF∠EKF＝∠DFK∵FN平分∠DFP ME平分∠AEP∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN由外角的性质得∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF∴∠EPF+2∠ENF＝180°．②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图∵AB∥CD∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN由外角的性质得∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°由（1）得∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【点评】本题考查平行线判定和性质角平分线的定义三角形外角与内角的关系根据题意理清各角之间的关系是解题关键．9．实验证明平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图一束光线m射到平面镜上被a反射到平面镜b上又被b镜反射若被b 反射出的光线n与光线m平行且∠1＝50°则∠2＝100°∠3＝90°（2）在（1）中若∠1＝55°则∠3＝90°若∠1＝40°则∠3＝90°（3）由（1）（2）请你猜想：当两平面镜a b的夹角∠3＝90°时可以使任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a b的两次反射后入射光线m与反射光线n 平行请说明理由．【考点】平行线的判定与性质三角形内角和定理．【专题】跨学科．【答案】见试题解答内容【分析】根据入射角与反射角相等可得∠1＝∠4 ∠5＝∠6．（1）根据邻补角的定义可得∠7＝80°根据m∥n所以∠2＝100°∠5＝40°根据三角形内角和为180°即可求出答案（2）结合题（1）可得∠3的度数都是90°（3）证明m∥n由∠3＝90°证得∠2与∠7互补即可．【解答】解：（1）100°90°．∵入射角与反射角相等即∠1＝∠4 ∠5＝∠6根据邻补角的定义可得∠7＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°根据m∥n所以∠2＝180°﹣∠7＝100°所以∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°根据三角形内角和为180°所以∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°（2）90°90°．由（1）可得∠3的度数都是90°（3）90°（2分）理由：因为∠3＝90°所以∠4+∠5＝90°又由题意知∠1＝∠4 ∠5＝∠6所以∠2+∠7＝180°﹣（∠5+∠6）+180°﹣（∠1+∠4）＝360°﹣2∠4﹣2∠5＝360°﹣2（∠4+∠5）＝180°．由同旁内角互补两直线平行可知：m∥n．【点评】本题是数学知识与物理知识的有机结合充分体现了各学科之间的渗透性．10．如图已知直线l1∥l2l3l4和l1l2分别交于点A B C D点P在直线l3或l4上且不与点A B C D重合．记∠AEP＝∠1 ∠PFB＝∠2 ∠EPF＝∠3．（1）若点P在图（1）位置时求证：∠3＝∠1+∠2（2）若点P在图（2）位置时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系（3）若点P在图（3）位置时写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系并给予证明（4）若点P在C D两点外侧运动时请直接写出∠1 ∠2 ∠3之间的关系．【考点】平行线的性质三角形的外角性质．【专题】证明题探究型．【答案】见试题解答内容【分析】此题四个小题的解题思路是一致的过P作直线l1l2的平行线利用平行线的性质得到和∠1 ∠2相等的角然后结合这些等角和∠3的位置关系来得出∠1 ∠2 ∠3的数量关系．【解答】解：（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2由两直线平行内错角相等可得：∠1＝∠QPE∠2＝∠QPF∵∠3＝∠QPE+∠QPF∴∠3＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1证明：过P作直线PQ∥l1∥l2则：∠1＝∠QPE∠2＝∠QPF∵∠3＝∠QPF﹣∠QPE∴∠3＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．证明：过P作PQ∥l1∥l2同（1）可证得：∠3＝∠CEP+∠DFP∵∠CEP+∠1＝180°∠DFP+∠2＝180°∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2＝360°即∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．（4）过P作PQ∥l1∥l2①当P在C点上方时同（2）可证：∠3＝∠DFP﹣∠CEP∵∠CEP+∠1＝180°∠DFP+∠2＝180°∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1＝0即∠3＝∠1﹣∠2．②当P在D点下方时∠3＝∠2﹣∠1 解法同上．综上可知：当P在C点上方时∠3＝∠1﹣∠2 当P在D点下方时∠3＝∠2﹣∠1．【点评】此题主要考查的是平行线的性质能够正确地作出辅助线是解决问题的关键．11．当光线经过镜面反射时入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①图②中都有∠1＝∠2 ∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①若α＝90°判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系并说明理由．（2）如图②若90°＜α＜180°入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系并说明理由．（3）如图③若α＝120°设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°）已知入射光线EF从镜面AB开始反射经过n（n为正整数且n≤3）次反射当第n次反射光线与入射光线EF平行时请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）【考点】平行线的性质列代数式．【专题】综合题压轴题分类讨论线段角相交线与平行线几何直观运算能力推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）在△BEG中∠2+∠3+α＝180°α＝90°可得∠2+∠3＝90°根据入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等可得∠FEG+∠EGH＝180°进而可得EF∥GH（2）在△BEG中∠2+∠3+α＝180°可得∠2+∠3＝180°﹣α根据入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等可得∠MEG＝2∠2 ∠MGE＝2∠3 在△MEG中∠MEG+∠MGE+β＝180°可得α与β的数量关系（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时根据入射光线反射光线与镜面所夹的角对应相等及△GCH内角和可得γ＝90°+m．②当n＝2时如果在BC边反射后与EF 平行则α＝90°与题意不符则只能在CD边反射后与EF平行根据三角形外角定义可得∠G＝γ﹣60°由EF∥HK且由（1）的结论可得γ＝150°．【解答】解：（1）EF∥GH理由如下：在△BEG中∠2+∠3+α＝180°α＝90°∴∠2+∠3＝90°∵∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°∵∠1+∠2+∠FEG＝180°∠3+∠4+∠EGH＝180°∴∠FEG+∠EGH＝180°∴EF∥GH（2）β＝2α﹣180°理由如下：在△BEG中∠2+∠3+α＝180°∴∠2+∠3＝180°﹣α∵∠1＝∠2 ∠1＝∠MEB∴∠2＝∠MEB∴∠MEG＝2∠2同理可得∠MGE＝2∠3在△MEG中∠MEG+∠MGE+β＝180°∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°（3）90°+m或150°．理由如下：①当n＝3时如图所示：∵∠BEG＝∠1＝m∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m）∵EF∥HK∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°则∠GHK＝120°则∠GHC＝30°由△GCH内角和得γ＝90°+m．②当n＝2时如果在BC边反射后与EF平行则α＝90°与题意不符则只能在CD边反射后与EF平行如图所示：根据三角形外角定义得∠G＝γ﹣60°由EF∥HK且由（1）的结论可得∠G＝γ﹣60°＝90°则γ＝150°．综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．【点评】本题考查了平行线的性质列代数式解决本题的关键是掌握平行线的性质注意分类讨论思想的利用．12．已知：直线a∥b点A和点B是直线a上的点点C和点D是直线b上的点连接AD BC设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下若AD⊥BC求∠ABE+∠CDE的度数（2）在如图2所示的情形下若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF与DF交于点F当∠ABC＝64°∠ADC＝72°时求∠BFD的度数（3）如图3 当点B在点A的右侧时若BF平分∠ABC DF平分∠ADC且BF DF 交于点F设∠ABC＝α∠ADC＝β用含有αβ的代数式表示∠BFD的补角．【考点】平行线的性质余角和补角垂线．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）∠BED＝90°（2）∠BFD＝68°（3）∠BFD的补角=12α−12β．【分析】（1）过点E作EG∥AB根据a∥b可得EG∥CD得∠ABE+∠CDE＝∠BED ＝90°（2）过点F作FH∥AB结合（1）的方法根据BF平分∠ABC DF平分∠ADC即可求∠BFD的度数（3）过点F作FH∥AB结合（1）的方法根据BF平分∠ABC DF平分∠ADC设∠ABC＝α∠ADC＝β即可用含有αβ的代数式表示∠BFD的补角．【解答】解：（1）过点E作EG∥AB∵a∥b∴EG∥CD∴∠ABE＝∠BEG∠CDE＝∠DEG∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED∵AD⊥BC∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°（2）如图过点F作FH∥AB∵a∥b∴FH∥CD∴∠ABF＝∠BFH∠CDF＝∠DFH∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH∵BF平分∠ABC DF平分∠ADC∠ABC＝64°∠ADC＝72°∴∠ABF=12∠ABC＝32°∠CDF=12∠ADC＝36°∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°（3）如图过点F作FH∥AB∵a∥b∴FQ∥CD∴∠ABF+∠BFQ＝180°∠CDF＝∠DFQ∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC DF平分∠ADC∠ABC＝α∠ADC＝β∴∠ABF=12∠ABC=12α∠CDF=12∠ADC=12β∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°−12α+12β∴∠BFD的补角=12α−12β．【点评】本题考查了平行线的性质角平分线定义解决本题的关键是掌握平行线的性质．13．如图1 AB∥CD E为AB上一点点P在线段CE上且PD∥CF．（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE（2）如图2 在线段CF上取点H使∠HPF＝∠HFP若CD平分∠ECF PQ平分∠EPH∠HPQ+∠AEC＝90°试判断PF与EF的大小关系．【考点】平行线的性质．【专题】线段角相交线与平行线推理能力．【答案】（1）证明过程详见解答（2）PF＜EF．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEC＝∠ECD∠PDC＝∠DCF然后根据外角的性质即可证得结论（2）设∠ECD＝∠FCD＝α则∠ECF＝2α设∠HPF＝∠HFP＝β根据平行线的性质可推出∠EPD＝∠ECF＝2α∠FPD＝∠PFH＝β∠AEC＝∠ECD＝α从而得出∠EPH＝2α+2β根据已知条件∠HPQ+∠AEC＝90°可得出2α+β＝90°进一步得出结果．【解答】（1）证明：∵AB∥CD∴∠AEC＝∠ECD∵PD∥CF∴∠PDC＝∠DCF∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF（2）∵CD平分∠ECF∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD设∠ECD＝∠FCD＝α则∠ECF＝2α设∠HPF＝∠HFP＝β∵PD∥CF∴∠EPD＝∠ECF＝2α∠FPD＝∠PFH＝β∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β∵PQ平分∠EPH∴∠HPQ=12∠EPH=12(2α+2β)=α+β∵AB∥CD∴∠AEC＝∠ECD＝α∵∠HPQ+∠AEC＝90°∴（α+β）+α＝90°∴2α+β＝90°∴∠EPF+∠HFP＝90°∴∠EPF＝∠CPF＝90°∴PF＜EF．【点评】本题主要考查了平行线的性质角平分线的定义等知识解决问题的关键是设参数简明地表达角之间数量关系．14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．（1）若∠DCE＝45°则∠ACB的度数为135°（2）若∠ACB＝140°求∠DCE的度数（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在请直接写出∠ACE的值若不存在请说明理由．【考点】平行线的判定余角和补角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数求得∠ACE的度数再根据∠BCE求得∠ACB的度数（2）根据∠BCE和∠ACB的度数求得∠ACE的度数再根据∠ACD求得∠DCE的度数（3）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°进行计算即可得出结论（4）当∠ACE＝30°时CB∥AD时根据平行线的判定即可解决问题【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案为：135°（2）∵∠ACB＝140°∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°（4）30°理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°∴∠ACE＝∠DCB＝30°∴∠D＝∠DCB＝30°∴CB∥AD．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质解题时注意分类讨论思想的运用分类时注意不能重复也不能遗漏．15．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1 光线a从空气中射入水中再从水中射入空气中形成光线b根据光学知识有∠1＝∠2 ∠3＝∠4 请判断光线a与光线b是否平行并说明理由（2）如图2 直线EF上有两点A C分别引两条射线AB CD．已知∠BAF＝150°∠DCF＝80°射线AB CD分别绕点A点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动设时间为t秒当射线CD转动一周时两条射线同时停止．则当直线CD与直线AB互。

2021中考数学分类汇编相交线与平行线含答案一、选择题1.(2021·广东省)如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=40°，则∠2的大小是（）A. 40°B. 60°C. 70°D. 80°2.(2021·贵州省遵义市)如图，已知直线a∥b，c为截线，若∠1=60°，则∠2的度数是（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.(2021·广西壮族自治区桂林市)如图，直线a，b相交于点O，∠1=110°，则∠2的度数是（）A. 70°B. 90°C. 110°D. 130°4.(2021·贵州省毕节市)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A.70°B. 75°C. 80°D. 85°5.(2021·山东省淄博市)如图，直线a∥b，∠1=130°，则∠2等于（）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°6.(2021·辽宁省大连市)如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A=40°，则∠C的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 90°7.(2021·浙江省台州市)一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=47°，则∠2=（）A. 40°B. 43°C. 45°D. 47°8.(2021·湖北省襄阳市)如图，a∥b，AC⊥b，垂足为C，∠A=40°，则∠1等于（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°9.(2021·内蒙古自治区包头市)如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4等于（）A.80°B. 70°C. 60°D. 50°10.(2021·山东省济宁市)如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B=72°28′，那么∠D的度数是（）A. 72°28′B. 101°28′C. 107°32′D. 127°32′11.(2021·四川省达州市)如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=40°时，∠DCN的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°12.(2021·湖南省长沙市)如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为（）A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°13.(2021·四川省资阳市)如图，已知直线m∥n，∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数为（）A.80°B. 70°C. 60°D. 50°14.(2021·四川省眉山市)如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1=48°，则∠2的度数为（）A. 42°B. 48°C. 52°D. 60°15.(2021·浙江省金华市)某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线l1，l2，l3，l4.若∠1=∠2，则∠3=∠4.请完成下面的说理过程.解：已知∠1=∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2.再根据（※），得∠3=∠4.A. 两直线平行，内错角相等B. 内错角相等，两直线平行C. 两直线平行，同位角相等D. 两直线平行，同旁内角互补16.(2021·山东省临沂市)如图，在AB∥CD中，∠AEC=40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°17.(2021·北京市)如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为（）A.30°B. 40°C. 50°D. 60°18.(2021·云南省)如图，直线c与直线a、b都相交.若a∥b，∠1=55°，则∠2=（）A. 60°B. 55°C. 50°D. 45°19.(2021·湖北省十堰市)如图，直线AB∥CD，∠1=55°，∠2=32°，则∠3=（）A. 87°B. 23°C. 67°D. 90°20.(2021·湖北省随州市)如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=45°，则∠2为（）A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°二、填空题21.(2021·辽宁省阜新市)如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为______°．22.(2021·湖南省湘潭市)如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1=130°，则∠2为______ 度.23.(2021·广西壮族自治区桂林市)如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ______ ∠2时，a∥b.（用“＞”，“＜”或“=”填空）24.(2021·广东省广州市)如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为______ .25.(2021·江苏省泰州市)如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB=100°，∠EHD=80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转______ °.26.(2021·湖南省湘西土家族苗族自治州)如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1=20°，则∠2的度数是______ .27.(2021·湖南省益阳市)如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD=______ 度.28.(2021·江苏省常州市)如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE∥AB，则∠AED= ______ °.29.(2021·广西壮族自治区贵港市)如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B=26°，则∠1的度数是______ .30.(2021·湖南省张家界市)如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2=64°，则∠3= ______ .31.(2021·广西壮族自治区柳州市)如图，直线a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是______ °.32.(2021·吉林省长春市)将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为______ 度.33.(2021·内蒙古自治区通辽市)一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为______．34.(2021·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，已知AE∥BC，∠BAC=100°，∠DAE=50°，则∠C= ______ .35.(2021·广东省)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=110°，则∠B= ______ ．参考答案1.D2.B3.C4.B5.C6.B7.B8.C9.B10.C11.B12.A13.B14.A15.C16.B17.A18.B19.A20.A21.6022.5023.=24.33°25.2026.40°27.6028.10029.52°30.58°31.6032.7533.105°34.30°35.70°第11页，共11页。

第13讲角、相交线与平行线本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

知识点1 直线、射线、线段知识点2 余角、补角知识点3 相交线知识点4 角平分线的性质与断定知识点5 线段垂直平分线的性质与断定知识点6 平行线的性质与断定知识点7 命题知识点1 直线、射线、线段〔2021·〕知识点2 余角、补角〔2021·〕答案：A〔2021·〕假设一个角为65，那么它的补角的度数为〔〕A．25 B．35 C．115 D．125〔2021·黔东南〕35α∠=︒，那么α∠的补角为 度． 〔2021·〕〔2021·〕知识点3 相交线〔2021·〕如图，∠B 的同位角可以是〔 ▲ 〕A.∠1B.∠2C.∠3D.∠4 〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕知识点4 角平分线的性质与断定〔2021·〕〔2021·〕知识点5 线段垂直平分线的性质与断定〔2021·〕如图,在△ABC中,AC=10,BC=6,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,那么△BCE的周长是________.知识点6 平行线的性质与断定〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕如图2，直线a、b被直线c、d所截，且a∥b那么以下结论中正确的选项是〔〕A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．24180∠+∠=D ． 14180∠+∠= 〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕.如下图，直线//a b ，135∠=︒，290∠=︒，那么3∠的度数为〔 〕A ．125︒B ．135︒C ．145︒D ．155︒ 〔2021·〕答案：C〔2021·〕〔2021·黔东南〕4.如图，//AD BC ，30B ∠=︒，DB 平分ADE ∠，那么DEC ∠=〔 〕A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕答案：C〔2021·〕〔2021·〕以下图形中，根据AB∥CD，能得到∠1=∠2的是〔〕〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕〔2021·A卷〕如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数. 【解析】∵AB//CD，∠1=54°∴∠ABC=∠1=54°∵BC平分∠ABD∴∠DBC=∠ABC=54°∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=54°+54°=108°∵∠ABD+∠CDB=180°∴∠CDB=180°-∠ABD=72°∵∠2=∠CDB∴∠2=72°〔2021·B卷〕〔2021·〕〔2021·〕答案：B〔2021·〕如图，直线a ，b 被直线c 所截，a //b ，∠1=60°，那么∠2的度数是〔 B 〕A.120°B.60°C.45°D.30°〔2021·〕答案：C〔2021·〕3.如图，直线//a b ，等腰直角三角形的两个顶点分别落在直线a 、b 上，假设130∠=，那么2∠的度数是〔 〕A ．45B ．30C ．15D ．10〔2021·〕答案：C〔2021·〕答案：A〔2021·〕在平面内，将一个直角三角板按如下图摆放在一组平行线上；假设155∠=，那么2∠ 的度数是 〔 〕A.50°B.45°C.40° °〔2021·〕如图1，直线a //b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，∠B AC 的平分线交直线b 于点D ，假设∠1=50°，那么∠2的度数是〔 〕A. 50°B. 70°C. 80°D. 110° 〔2021·〕〔2021·仙桃〕如图，AD ∥BC ，∠C =30°，∠ADB ︰∠BDC =1︰2，那么∠DBC 的度数是A ．30°B ．36°C ．45°D ．50°〔2021·〕如图，直线//a b ，假设01140∠=，那么2∠= 度．〔2021·〕答案：〔2021·〕a∥,∠1=50°,∠2=30°,那么∠3的度数为( ) 〔2021·〕如图,直线b°°°°〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕答案：B〔2021·〕〔2021·〕答案：120 〔2021·〕〔2021·〕知识点7 命题 〔2021·〕〔2021·〕〔2021·〕用一组a ,b ,c 的值说明命题“假设＜b a ，那么＜bc ac 〞是错误的，这组值可以是=a ，=b ，=c 。