全国中考数学真题分类汇编21：数学文化

2021全国中考真题分类汇编（圆）----与圆有关的计算一、选择题1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得，连接 AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C.D.2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB ＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O 为圆心，OA 为半径画圆；②在⊙O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；③作AB 的垂直平分线与⊙O 交于M ，N ；④作AP 的垂直平分线与⊙O 交于E ，F ．结论Ⅰ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O 上只有唯一的点P ，使得S 扇形FOM ＝S 扇形AOB ．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C ．Ⅰ不对Ⅱ对D ．Ⅰ对Ⅱ不对3. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）¶BC2π4πA ．4πB ．6πC ．8πD ．12π4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，AB ＝2，以B 为圆心、BC 长为半径画，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．2πD ．5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. 1 D. 6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）ABCD AE BC 32π+2π-52π-90︒A.C. D. 17. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）A.B.C. D.8.（2021•遂宁市） 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为CDF =15°，则阴影部分的面积为（ ）A.B. C.D.9. (2021•四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线于点Q ，绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）4π12150︒32π3π5π15π16π-16π-20π-20π-22y x =-+3y x =-+OPQ △A. B. C. D. 10.（2021•青海省）如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是（ ）A ．πm 2 B ．πm 2 C．πm 2 D ．πm 211. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是（ ）A ．B ．CD ． 12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（ ）13. （2021•云南省）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若0A ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）23π12π1116π2132πππ2πABCD ABCD S 1S 1S S .A 8π.B 4π.C 41.D 21A ．B ．πC ．D ．2π14.（2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A. B.C. D.16.（2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d ，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）A ．B ．，C ．，D ．ABC V D BC A AD AB AC E F π6π3π22π330cm 120︒5cm 10cm 15cm 20cm πd =8sin 22.5π≈︒d =4sin 22.5π≈︒d =8sin 22.5π≈︒d =4sin 22.5π≈︒17. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交AC 于点C ，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.B. C. D.二．填空题1. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）2. （2021•怀化市）如图，在⊙O 中，OA ＝3，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）3. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．4. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 25. （2021•山东省泰安市）若△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．Rt ABC V 90ACB ∠=︒AB =2BC =8π-4π-24π-14π-6. （2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．（圆周率用π表示）7. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B 、点C 为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为_________．8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 寸．9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C ，D ，延长交于点P ．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）13ABC 90A ∠=︒4BC =BC AB BCAC ,AC BD O e ,AC BD 120P ∠=︒O e 6cm »CDcmπ10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB＝12，则点B 经过的路径长度为_____．（结果保留π）11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．12. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P ，那么图中阴影部分的面积为 ．13. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 ．14. （2021•重庆市A ）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，∠CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．15. （2021•重庆市B ）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝12，BD ＝16，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）»BC16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E ，以C 为圆心、长为半径画弧交于点F ，则图中阴影部分的面积是_________．17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm 2．高是5cm ．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm 2；19.（2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O 的任意一条直经FC ，分别以F 、C 为圆心，以FO 的长为半径作弧，与⊙O 相交于点E 、A 和D 、B ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ，得到六边形ABCDEF ，则⊙O 的面积与阴影区域的面积的比值为 ；ABCD AB AC BCAC20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm ．22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．23. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，以OB 为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是 ．24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．25. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm ，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm ．26. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝2，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝60°，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．F C90AOB ∠=︒27. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm ，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm ．28. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．三、解答题1. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC 分别相切于点E ，F ，BO 平分∠ABC（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BE ＝AC ＝3，⊙O 的半径是1，求图中阴影部分的面积．2. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小．904cm（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）3.（2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．4.（2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示） ②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．5. （2021•襄阳市） 如图，直线经过上的点，直线与交于点和点P a ABC V O ABC V P ABC V 1h 2h 3h AP BP CP ()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△123h h h ++=a P a ABCDE P ABCDE 1h 2h 3h 4h 5h a 12345h h h h h ++++8tan 3611≈°11tan 548≈°O e A O e 4OA =AB O e B //BC OA AC πABCDEF ABCDG G AF G AB O e C BO O e F，与交于点，与交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求图中阴影部分面积．6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是 BE＝EM ； （2）求证：＝； （3）若AM ＝，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．7. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．（1）求证：；D OA O eE DC G OA OB =CA CB =AB O e //FC OA 6CD =PA PB O e A B AC O e OP O e D AB E //BC OP（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； （3）若，且的长．8. （2021•四川省达州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A ，B 重合），BC ，过点C 作CD ⊥AB ，点D 落在点E 处得△ACE ，AE 交⊙O 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC ＝15°，OA ＝2，求阴影部分面积．9.（2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.（1）求证：为⊙的切线；E OD OAPB 1sin 3BAC ∠=AD =PA AOB Rt ∆ABO ∠OAB ∠O OB BO C C OA O D AD AD O（2）若=2，求弧的长.10. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B 为圆心，长为半径作，交于点E ．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积．11. （2021•河北省）如图，⊙O 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n （n 为1～12的整数），过点A 7作⊙O 的切线交A 1A 11延长线于点P ．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A 7A 11，则A 7A 11和PA 1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA 7的值．OB CD ABCD //AD BC 90BAD ∠=︒CB CD =BD BA B eBD CD Be AB =60BCD ∠=︒C。

2021年中考数学试题分类汇编（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年中考数学试题分类汇编--数与式一、选择题:1. (邵阳市) 的相反数为( )2. (仙桃市) 的绝对值是( )A. B. C. D. 3．(宜昌市)如果a与2互为倒数，则下列结论正确的为( ).(A)a＝ (B)a＝－2 (C)a＝－(D)a＝24．(福州市)-2的相反效是( )A.2B.-2C.D.-5．(杭州市)已知与互为倒数，则满足条件的实数的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．36．(北京市)－5的相反数是( )A、5B、－5C、D、7．(贵阳市)的绝对值等于（）（A）（B）（C）（D）8、(济宁市)的相反数是（）A. B.5 C. D.9．(海南省)计算2-3的结果是( )A．5 B．-5 C．1 D．-110. (济宁市)能被下列数整除的是（）A. 3B.5C.7D.911．(杭州市)( )A．－2 B．0 C．1 D．212．(长春市)计算的值是（）（A）1．（B）．（C）2．（D）．13．(绍兴卷)冬季的一天，室内温度是8℃，室外温度是－2℃，则室内外温度相差( )A、4℃B、6℃C、10℃D、16℃14. (荆门市)点A在数轴上表示+2,从点A沿数轴向左平移3个单位到点B,则点B所表示的实数是( )(A)3 (B)-1 (C)5 (D)-1或3.15. (仙桃市)吸烟有害健康.5月31日是世界无烟日，今年世界无烟日来临之际，中国国家卫生部公布了我国吸烟的人数约为3.5亿，占世界吸烟人数的.用科学记数法表示全世界吸烟人数约为( )A. B. C. D. 16．(宜昌市)宜昌市。

全等三角形(包括命题)一、选择题1．(2021年四川资阳,第6题3分)以下命题中,真命题是()A．一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C．对角线垂直的梯形是等腰梯形D．对角线相等的菱形是正方形考点：命题与定理．分析：利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、有可能是等腰梯形,故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形,故错误；D、正确,应选D．点评：此题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解特殊四边形的判定定理,难度不大．2. (2021•毕节地区,第5题3分)以下表达正确的选项是( )D 、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ,应选项错误． 应选C ．点评：此题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件 ,属于根本定理的应用 ,较为简单．3． (2021·台湾 ,第9题3分 )如图 ,坐标平面上 ,△ABC 与△DEF 全等 ,其中A 、B 、C 的对应顶点分别为D 、E 、F ,且AB ＝BC ＝5．假设A 点的坐标为(﹣3 ,1) ,B 、C 两点在方程式y ＝﹣3的图形上 ,D 、E 两点在y 轴上 ,那么F 点到y 轴的距离为何 ?( )A ．2B ．3C ．4D ．5分析：如图 ,作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ．由AB ＝BC ,△ABC ≌△DEF ,就可以得出△AKC ≌△CHA ≌△DPF ,就可以得出结论．解：如图 ,作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ． ∴∠DPF ＝∠AKC ＝∠CHA ＝90°． ∵AB ＝BC , ∴∠BAC ＝∠BC A ． 在△AKC 和△CHA 中 .⎩⎪⎨⎪⎧∠AKC ＝∠CHA AC ＝CA ∠BAC ＝∠BCA ．∴△AKC ≌△CHA (ASA ) , ∴KC ＝H A ．∵B 、C 两点在方程式y ＝﹣3的图形上 ,且A 点的坐标为(﹣3 ,1) , ∴AH ＝4． ∴KC ＝4．∵△ABC ≌△DEF ,∴∠BAC ＝∠EDF ,AC ＝DF ． 在△AKC 和△DPF 中 ,⎩⎪⎨⎪⎧∠AKC ＝∠DPF ∠BAC ＝∠EDF AC ＝DF ． ∴△AKC ≌△DPF (AAS ) , ∴KC ＝PF ＝4． 应选C ．点评：此题考查了坐标与图象的性质的运用 ,垂直的性质的运用 ,全等三角形的判定及性质的运用 ,等腰三角形的性质的运用 ,解答时证明三角形全等是关键．4. (2021•益阳 ,第7题 ,4分 )如图 ,平行四边形ABCD 中 ,E ,F 是对角线BD 上的两点 ,如果添加一个条件使△ABE ≌△CDF ,那么添加的条件是 ( )(第1题图 )A ． A E =CFB ． B E =FDC ． B F =DED ． ∠1 =∠2考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定． 分析： 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可． 解答：解：A 、当AE =CF 无法得出△ABE ≌△CDF ,故此选项符合题意； B 、当BE =FD ,∵平行四边形ABCD 中 ,∴AB =CD ,∠ABE =∠CDF ,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF (SAS ) ,故此选项错误；C、当BF =ED ,∴BE =DF ,∵平行四边形ABCD中,∴AB =CD ,∠ABE =∠CDF ,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF (SAS ) ,故此选项错误；D、当∠1 =∠2 ,∵平行四边形ABCD中,∴AB =CD ,∠ABE =∠CDF ,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF (ASA ) ,故此选项错误；应选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．5. (2021年江苏南京,第6题,2分)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(﹣2 ,1 ) ,点C的纵坐标是4 ,那么B、C两点的坐标分别是()(第2题图)A．(,3 )、(﹣,4 ) B．(,3 )、(﹣,4 )C．(,)、(﹣,4 ) D．(,)、(﹣,4 )考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质 .分析：首|先过点A作AD⊥x轴于点D ,过点B作BE⊥x轴于点E ,过点C作CF∥y轴,过点A作AF∥x轴,交点为F ,易得△CAF≌△BOE ,△AOD∽△OBE ,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案．解答：过点A作AD⊥x轴于点D ,过点B作BE⊥x轴于点E ,过点C作CF∥y轴,过点A作AF∥x轴,交点为F ,∵四边形AOBC是矩形,∴AC∥OB ,AC =OB ,∴∠CAF =∠BOE ,在△ACF和△OBE中,,∴△CAF≌△BOE (AAS ) ,∴BE =CF =4﹣1 =3 ,∵∠AOD +∠BOE =∠BOE +∠OBE =90° ,∴∠AOD =∠OBE ,∵∠ADO =∠OEB =90° ,∴△AOD∽△OBE ,∴,即, ∴OE =,即点B (,3 ) ,∴AF =OE =,∴点C的横坐标为：﹣(2﹣) =﹣,∴点D (﹣,4 )．应选B．点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用．6. (2021•扬州,第8题,3分)如图,在四边形ABCD中,AB =AD=6 ,AB⊥BC ,AD⊥CD ,∠BAD =60° ,点M、N分别在AB、AD边上,假设AM：MB =AN：ND =1：2 ,那么tan∠MCN = ()(第3题图)A．B．C．D．﹣2考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理专题：计算题．分析：连接AC ,通过三角形全等,求得∠BAC =30° ,从而求得BC的长,然后根据勾股定理求得CM的长,连接MN ,过M点作ME⊥ON于E ,那么△MNA是等边三角形求得MN =2 ,设NF =x ,表示出CF ,根据勾股定理即可求得MF ,然后求得tan∠MCN．解答：解：∵AB =AD =6 ,AM：MB =AN：ND =1：2 ,∴AM =AN =2 ,BM =DN =4 ,连接MN ,连接AC ,∵AB⊥BC ,AD⊥CD ,∠BAD =60°在Rt△ABC与Rt△ADC中,,∴Rt△ABC≌Rt△ADC (LH )∴∠BAC =∠DAC =∠BAD =30° ,MC =NC ,∴BC =AC ,∴AC2 =BC2 +AB2 ,即(2BC )2 =BC2 +AB2 ,3BC2 =AB2 ,∴BC =2,在Rt△BMC中,CM ===2．∵AN =AM ,∠MAN =60° ,∴△MAN是等边三角形,∴MN =AM =AN =2 ,过M点作ME⊥ON于E ,设NE =x ,那么CE =2﹣x ,∴MN2﹣NE2 =MC2﹣EC2 ,即4﹣x2 = (2)2﹣(2﹣x )2 ,解得：x =,∴EC =2﹣=,∴ME ==,∴tan∠MCN ==应选A．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理以及解直角三角函数,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．7．(2021年山东泰安,第16题3分)将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置,其中∠ACB =∠CED =90° ,∠A =45° ,∠D =30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1 ,如图② ,连接D1B ,那么∠E1D1B的度数为()A．10°B．20°C．7.5°D．15°分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE =60° ,旋转的性质可得∠BCE1 =15° ,然后求出∠BCD1 =45° ,从而得到∠BCD1 =∠A ,利用"边角边〞证明△ABC和△D1CB全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C =∠ABC =45° ,再根据∠E1D1B =∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．解：∵∠CED =90° ,∠D =30° ,∴∠DCE =60° ,∵△DCE绕点C顺时针旋转15° ,∴∠BCE1 =15° ,∴∠BCD1 =60°﹣15° =45° ,∴∠BCD1 =∠A ,在△ABC和△D1CB中,,∴△ABC≌△D1CB (SAS ) ,∴∠BD1C =∠ABC =45° ,∴∠E1D1B =∠BD1C﹣∠CD1E1 =45°﹣30° =15°．应选D．点评：此题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．二.填空题1．(2021•新疆,第14题5分)如图,Rt△ABC中,∠ABC =90° ,DE垂直平分AC ,垂足为O ,AD∥BC ,且AB =3 ,BC =4 ,那么AD的长为．考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AC的长,再根据DE垂直平分AC得出OA的长,根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA ,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：解：∵Rt△ABC中,∠ABC =90° ,AB =3 ,BC =4 ,∴AC ===5 ,∵DE垂直平分AC ,垂足为O ,∴OA =AC =,∠AOD =∠B =90° ,∵AD∥BC ,∴∠A =∠C ,∴△AOD∽△CBA ,∴=,即=,解得AD =．故答案为：．点评：此题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2. (2021•毕节地区,第20题5分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC =90° ,AB =3 ,AC =5 ,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B′处,那么BE的长为．考点：翻折变换(折叠问题)分析：利用勾股定理求出BC =4 ,设BE =x ,那么CE =4﹣x ,在Rt△B'EC中,利用勾股定理解出x的值即可．解答：解：BC ==4 ,由折叠的性质得：BE =BE′ ,AB =AB′ ,设BE =x ,那么B′E =x ,CE =4﹣x ,B′C =AC﹣AB′ =AC﹣AB =2 ,在Rt△B′EC中,B′E2 +B′C2 =EC2 ,即x2 +22 = (4﹣x )2 ,解得：x =．故答案为：．点评：此题考查了翻折变换的知识,解答此题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式．3. (2021•武汉,第16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD =4 ,CD =3 ,∠ABC =∠ACB=∠ADC =45° ,那么BD的长为．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形分析：根据等式的性质,可得∠BAD与∠CAD′的关系,根据SAS ,可得△BAD与△CAD′的关系,根据全等三角形的性质,可得BD与CD′的关系,根据勾股定理,可得答案．解答：解：作AD′⊥AD ,AD′ =AD ,连接CD′ ,DD′ ,如图：,∵∠BAC +∠CAD =∠DAD′ +∠CAD ,即∠BAD =∠CAD′ ,在△BAD与△CAD′中,,∴△BAD≌△CAD′ (SAS ) ,∴BD =CD′．∠DAD′ =90°由勾股定理得DD′=,∠D′DA +∠ADC =90°由勾股定理得CD′ =,∴BD =CD′ =,故答案为：．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,勾股定理,作出全等图形是解题关键．4. (2021•泰州,第16题,3分)如图,正方向ABCD的边长为3cm ,E为CD边上一点,∠DAE =30° ,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．假设PQ=AE ,那么AP等于1或2cm．(第1题图)考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形,过P作PN⊥BC ,交BC于点N ,由ABCD为正方形,得到AD =DC =PN ,在直角三角形ADE中,利用锐角三角函数定义求出DE的长,进而利用勾股定理求出AE的长,根据M为AE中点求出AM的长,利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等,利用全等三角形对应边,对应角相等得到DE =NQ ,∠DAE =∠NPQ =30° ,再由PN与DC平行,得到∠PF A =∠DEA =60° ,进而得到PM垂直于AE ,在直角三角形APM中,根据AM的长,利用锐角三角函数定义求出AP的长,再利用对称性确定出AP′的长即可．解答：解：根据题意画出图形,过P作PN⊥BC ,交BC于点N ,∵四边形ABCD为正方形,∴AD =DC =PN ,在Rt△ADE中,∠DAE =30° ,AD =3cm ,∴tan30° =,即DE =cm ,根据勾股定理得：AE ==2cm ,∵M为AE的中点,∴AM =AE =cm ,在Rt△ADE和Rt△PNQ中,,∴Rt△ADE≌Rt△PNQ (HL ) ,∴DE =NQ ,∠DAE =∠NPQ =30° ,∵PN∥DC ,∴∠PF A =∠DEA =60° ,∴∠PMF =90° ,即PM⊥AF ,在Rt△AMP中,∠MAP =30° ,cos30° =,∴AP ===2cm；由对称性得到AP′ =DP =AD﹣AP =3﹣2 =1cm ,综上,AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．三.解答题1．(2021年四川资阳,第23题11分)如图,直线l1∥l2 ,线段AB在直线l1上,BC垂直于l1交l2于点C ,且AB =BC ,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线分别交l2、l1于点D、E (点A、E位于点B的两侧) ,满足BP =BE ,连接AP、CE．(1 )求证：△ABP≌△CBE；(2 )连结AD、BD ,BD与AP相交于点F．如图2．①当=2时,求证：AP⊥BD；②当=n (n＞1 )时,设△P AD的面积为S1 ,△PCE的面积为S2 ,求的值．考点：相似形综合题．分析：(1 )求出∠ABP =∠CBE ,根据SAS推出即可；(2 )①延长AP交CE于点H ,求出AP⊥CE ,证出△CPD∽△BPE ,推出DP =PE ,求出平行四边形BDCE ,推出CE∥BD即可；②分别用S表示出△P AD和△PCE的面积,代入求出即可．解答：(1 )证明：∵BC⊥直线l1 ,∴∠ABP =∠CBE ,在△ABP和△CBE中∴△ABP≌△CBE (SAS )；(2 )①证明：延长AP交CE于点H ,∵△ABP≌△CBE ,∴∠P AB =∠ECB ,∴∠P AB +∠AEE =∠ECB +∠AEH =90° ,∴AP⊥CE ,∵=2 ,即P为BC的中点,直线l1∥直线l2 , ∴△CPD∽△BPE ,∴==,∴DP =PE ,∴四边形BDCE是平行四边形,∴CE∥BD ,∵AP⊥CE ,∴AP⊥BD；②解：∵=N∴BC =n•BP ,∴CP = (n﹣1 )•BP ,∵CD∥BE ,∴△CPD∽△BPE ,∴==n﹣1 ,即S2 = (n﹣1 )S ,∵S△P AB =S△BCE =n•S ,∴△P AE = (n +1 )•S ,∵==n﹣1 ,∴S1 = (n +1 ) (n﹣1 )•S ,∴==n +1．点评：此题考查了平行四边形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,主要考查了学生的推理能力,题目比拟好,有一定的难度．2．(2021•新疆,第20题10分)如图,△ABC ,按如下步骤作图：①分别以A ,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于P ,Q两点；②作直线PQ ,分别交AB ,AC于点E ,D ,连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F ,连接AF．(1 )求证：△AED≌△CFD；(2 )求证：四边形AECF是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图-根本作图．分析：(1 )由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线,从而得到AE =CE ,AD =CD ,然后根据CF∥AB得到∠EAC =∠FCA ,∠CFD =∠AED ,利用ASA证得两三角形全等即可；(2 )根据全等得到AE =CF ,然后根据EF为线段AC的垂直平分线,得到EC =EA ,FC=F A ,从而得到EC =EA =FC =F A ,利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．解答：解：(1 )由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线,∴AE =CE ,AD =CD ,∵CF∥AB∴∠EAC =∠FCA ,∠CFD =∠AED ,在△AED与△CFD中,,∴△AED≌△CFD；(2 )∵△AED≌△CFD ,∴AE =CF ,∵EF为线段AC的垂直平分线,∴EC =EA ,FC =F A ,∴EC =EA =FC =F A ,∴四边形AECF为菱形．点评：此题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及根本作图,解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．3 ．(2021年云南省,第16题5分)如图,在△ABC和△ABD中,AC与BD相交于点E ,AD =BC ,∠DAB =∠CBA ,求证：AC =B D．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据"SAS〞可证明△ADB≌△BAC ,由全等三角形的性质即可证明AC =B D．解答：证明：在△ADB和△BAC中,,∴△ADB≌△BAC (SAS ) ,∴AC =B D．点评：此题考查了全等三角形的判定和性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件．4．(2021•温州,第18题8分)如图,在所给方格纸中,每个小正方形边长都是1 ,标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处) ,请按要求将图甲,图乙中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．(1 )图甲中的格点正方形ABCD；(2 )图乙中的格点平行四边形ABC D．注：图甲,图乙在答题卡上,分割线画成实线．考点：作图-应用与设计作图．分析：(1 )利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可；(2 )利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可．解答：解：(1 )如图甲所示：(2 )如图乙所示：点评：此题主要考查了应用设计与作图,利用网格结合三角形各边长得出符合题意的图形是解题关键．5．(2021•舟山,第20题8分)：如图,在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD ,BC于E ,F两点,连结BE ,DF．(1 )求证：△DOE≌△BOF．(2 )当∠DOE等于多少度时,四边形BFED为菱形?请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定分析：(1 )利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF (ASA )；(2 )首|先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用垂直平分线的性质得出BE =ED ,即可得出答案．解答：(1 )证明：∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,∴BO =DO ,∠EDB =∠FBO ,在△EOD和△FOB中,∴△DOE≌△BOF (ASA )；(2 )解：当∠DOE =90°时,四边形BFED为菱形,理由：∵△DOE≌△BOF ,∴BF =DE ,又∵BF∥DE ,∴四边形EBFD是平行四边形,∵BO =DO ,∠EOD =90° ,∴EB =DE ,∴四边形BFED为菱形．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识,得出BE =DE是解题关键．6. (2021•武汉,第19题6分)如图,AC和BD相交于点O ,OA =OC ,OB =O D．求证：DC∥A B．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定专题：证明题．分析：根据边角边定理求证△ODC≌△OBA ,可得∠C =∠A (或者∠D=∠B ) ,即可证明DC∥A B．解答：证明：∵在△ODC和△OBA中,∵,∴△ODC≌△OBA (SAS ) ,∴∠C =∠A (或者∠D =∠B ) (全等三角形对应角相等) ,∴DC∥AB (内错角相等,两直线平行)．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和平行线的判定的理解和掌握,解答此题的关键是利用边角边定理求证△ODC≌△OB A．7. (2021•邵阳,第21题8分)如图,点A、F、E、C在同一直线上,AB∥CD ,∠ABE =∠CDF ,AF =CE．(1 )从图中任找两组全等三角形；(2 )从(1 )中任选一组进行证明．考点：全等三角形的判定分析：(1 )根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF ,△AFD≌△CEB；(2 )根据AB∥CD可得∠1 =∠2 ,根据AF =CE可得AE =FC ,然后再证明△ABE≌△CDF即可．解答：解：(1 )△ABE≌△CDF ,△AFD≌△CEB；(2 )∵AB∥CD ,∴∠1 =∠2 ,∵AF =CE ,∴AF +EF =CE +EF ,即AE =FC ,在△ABE和△CDF中,,∴△ABE≌△CDF (AAS )．点评：此题主要考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,假设有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．8．(2021·台湾,第29题分)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90° ,且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．分析：根据∠BCE＝∠ACD＝90° ,可得∠3＝∠5 ,又根据∠BAE＝∠1＋∠2＝90° ,∠2＋∠D ＝90° ,可得∠1＝∠D ,继而根据AAS可判定△ABC≌△DE C．解：∵∠BCE＝∠ACD＝90° ,∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5 ,∴∠3＝∠5 ,在△ACD 中 ,∠ACD ＝90° ,∴∠2＋∠D ＝90° ,∵∠BAE ＝∠1＋∠2＝90° ,∴∠1＝∠D ,在△ABC 和△DEC 中 ,⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠D∠3＝∠5 BC ＝CE ． ∴△ABC ≌△DEC (AAS )．点评：此题考查了全等的判定方法 ,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等 ,判定两个三角形全等时 ,必须有边的参与 ,假设有两边一角对应相等时 ,角必须是两边的夹角．9. (2021·云南昆明 ,第16题5分 )：如图 ,点A 、B 、C 、D 在同一条直线上 ,AB =CD ,AE ∥CF ,且AE =CF .求证：∠E =∠F考点： 全等三角形的判定与性质．分析： 首|先根据AE ∥CF ,可得∠A =∠C , ,结合AB =CD ,AE =CF .可知证明出△ABE ≌△CDF ,即可得到∠E =∠F．解答： 证明：∵AE ∥CF ,∴∠A =∠C ,∵在△ABE 和△CDF 中 ,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF AE C A CD AB∴△ABE ≌△CDF (SAS ) ,∴∠E =∠F点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识 ,解答此题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质,此题根底题,比拟简单．10. (2021•湘潭,第20题)如图,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F ,假设AD =3 ,BD =6．(1 )求证：△EDF≌△CBF；(2 )求∠EB C．(第20题图)考点：翻折变换(折叠问题)；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：(1 )首|先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE =BC ,∠E =∠C =90° ,对顶角∠DFE =∠BFC ,利用AAS可判定△DEF≌△BCF；(2 )在Rt△ABD中,根据AD =3 ,BD =6 ,可得出∠ABD =30° ,然后利用折叠的性质可得∠DBE =30° ,继而可求得∠EBC的度数．解答：(1 )证明：由折叠的性质可得：DE =BC ,∠E =∠C =90° ,在△DEF和△BCF中,,∴△DEF≌△BCF (AAS )；(2 )解：在Rt△ABD中,∵AD =3 ,BD =6 ,∴∠ABD =30° ,由折叠的性质可得；∠DBE =∠ABD =30° ,∴∠EBC =90°﹣30°﹣30° =30°．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质,以及全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全等是关键．11. (2021•株洲,第22题,8分)如图,在Rt△ABC中,∠C =90° ,∠A的平分线交BC于点E ,EF⊥AB于点F ,点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF )．(1 )求证：△ACE≌△AFE；(2 )求tan∠CAE的值．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义分析：(1 )根据角的平分线的性质可求得CE =EF ,然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等．(2 )由△ACE≌△AFE ,得出AC =AF ,CE =EF ,设BF =m ,那么AC =2m ,AF =2m ,AB=3m ,根据勾股定理可求得,tan∠B ==,CE =EF =,在RT△ACE中,tan∠CAE ===；解答：(1 )证明：∵AE是∠BAC的平分线,EC⊥AC ,EF⊥AF ,∴CE =EF ,在Rt△ACE与Rt△AFE中,,∴Rt△ACE≌Rt△AFE (HL )；(2 )解：由(1 )可知△ACE≌△AFE ,∴AC =AF ,CE =EF ,设BF =m ,那么AC =2m ,AF =2m ,AB =3m ,∴BC ===m ,∴在RT△ABC中,tan∠B ===,在RT△EFB中,EF =BF•tan∠B =,∴CE =EF =,在RT△ACE中,tan∠CAE ===；∴tan∠CAE =．点评：此题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形,根据条件表示出线段的值是解此题的关键．12. (2021年江苏南京,第27题)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即"SAS〞、"ASA〞、"AAS〞、"SSS〞)和直角三角形全等的判定方法(即"HL〞)后,我们继续对"两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等〞的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,然后,对∠B进行分类,可分为"∠B是直角、钝角、锐角〞三种情况进行探究．(第3题图)【深入探究】第|一种情况：当∠B是直角时,△ABC≌△DEF．(1 )如图① ,在△ABC和△DEF ,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E =90° ,根据HL,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF．(2 )如图② ,在△ABC和△DEF ,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B、∠E都是钝角,求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等．(3 )在△ABC和△DEF ,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF ,使△DEF和△ABC不全等．(不写作法,保存作图痕迹)(4 )∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF ?请直接写出结论：在△ABC和△DEF中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B、∠E都是锐角,假设∠B≥∠A,那么△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定与性质分析：(1 )根据直角三角形全等的方法"HL〞证明；(2 )过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G ,过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H ,根据等角的补角相等求出∠CBG =∠FEH ,再利用"角角边〞证明△CBG和△FEH全等,根据全等三角形对应边相等可得CG =FH ,再利用"HL〞证明Rt△ACG和Rt△DFH 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠A =∠D ,然后利用"角角边〞证明△ABC和△DEF全等；(3 )以点C为圆心,以AC长为半径画弧,与AB相交于点D ,E与B重合,F与C重合,得到△DEF与△ABC不全等；(4 )根据三种情况结论,∠B不小于∠A即可．解答：(1 )解：HL；(2 )证明：如图,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G ,过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H ,∵∠B =∠E ,且∠B、∠E都是钝角,∴180°﹣∠B =180°﹣∠E ,即∠CBG =∠FEH ,在△CBG和△FEH中,,∴△CBG≌△FEH (AAS ) ,∴CG =FH ,在Rt△ACG和Rt△DFH中,,∴Rt△ACG≌Rt△DFH (HL ) ,∴∠A =∠D ,在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF (AAS )；(3 )解：如图,△DEF和△ABC不全等；(4 )解：假设∠B≥∠A ,那么△ABC≌△DEF．故答案为：(1 )HL；(4 )∠B≥∠A．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质,应用与设计作图,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键,阅读量较大,审题要认真仔细．13. (2021•扬州,第28题,12分)矩形ABCD的一条边AD =8 ,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处．(第4题图)(1 )如图1 ,折痕与边BC交于点O ,连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②假设△OCP与△PDA的面积比为1：4 ,求边AB的长；(2 )假设图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数；(3 )如图2 ,,擦去折痕AO、线段OP ,连结BP．动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合) ,动点N在线段AB的延长线上,且BN =PM ,连结MN交PB于点F ,作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?假设变化,说明理由；假设不变,求出线段EF的长度．考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值．专题：综合题；动点型；探究型．分析：(1 )只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似,然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系,然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长,从而求出AB长．(2 )由DP =DC =AB =AP及∠D =90° ,利用三角函数即可求出∠DAP的度数,进而求出∠OAB的度数．(3 )由边相等常常联想到全等,但BN与PM所在的三角形并不全等,且这两条线段的位置很不协调,可通过作平行线构造全等,然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半,只需求出PB长就可以求出EF长．解答：解：(1 )如图1 ,①∵四边形ABCD是矩形,∴AD =BC ,DC =AB ,∠DAB =∠B =∠C =∠D =90°．由折叠可得：AP =AB ,PO =BO ,∠P AO =∠BAO．∠APO =∠B．∴∠APO =90°．∴∠APD =90°﹣∠CPO =∠PO C．∵∠D =∠C ,∠APD =∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4 ,∴====．∴PD =2OC ,P A =2OP ,DA =2CP．∵AD =8 ,∴CP =4 ,BC =8．设OP =x ,那么OB =x ,CO =8﹣x．在Rt△PCO中,∵∠C =90° ,CP =4 ,OP =x ,CO =8﹣x ,∴x2 = (8﹣x )2 +42．解得：x =5．∴AB =AP =2OP =10．∴边AB的长为10．(2 )如图1 ,∵P是CD边的中点,∴DP =D C．∵DC =AB ,AB =AP ,∴DP =AP．∵∠D =90° ,∴sin∠DAP ==．∴∠DAP =30°．∵∠DAB =90° ,∠P AO =∠BAO ,∠DAP =30° , ∴∠OAB =30°．∴∠OAB的度数为30°．(3 )作MQ∥AN ,交PB于点Q ,如图2．∵AP =AB ,MQ∥AN ,∴∠APB =∠ABP ,∠ABP =∠MQP．∴∠APB =∠MQP．∴MP =MQ．∵MP =MQ ,ME⊥PQ ,∴PE =EQ =PQ．∵BN =PM ,MP =MQ ,∴BN =QM．∵MQ∥AN ,∴∠QMF =∠BNF．在△MFQ和△NFB中,．∴△MFQ≌△NF B．∴QF =BF．∴QF =Q B．∴EF =EQ +QF =PQ +QB =P B．由(1 )中的结论可得：PC =4 ,BC =8 ,∠C =90°．∴PB ==4．∴EF =PB =2．∴在(1 )的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2．点评：此题是一道运动变化类的题目,考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,综合性比拟强,而添加适当的辅助线是解决最|后一个问题的关键．14. (2021•德州,第23题10分)问题背景：如图1：在四边形ABC中,AB =AD ,∠BAD =120° ,∠B =∠ADC =90°．E ,F分别是BC ,CD 上的点．且∠EAF =60°．探究图中线段BE ,EF ,FD之间的数量关系．小|王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G．使DG =BE．连结AG ,先证明△ABE≌△ADG ,再证明△AEF≌△AGF ,可得出结论,他的结论应是EF =BE +DF；探索延伸：如图2 ,假设在四边形ABCD中,AB =AD ,∠B +∠D =180°．E ,F分别是BC ,CD上的点,且∠EAF =∠BAD ,上述结论是否仍然成立,并说明理由；实际应用：如图3 ,在某次军|事演习中,舰艇甲在指挥中|心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中|心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中|心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进小时后,指挥中|心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ,F处,且两舰艇之间的夹角为70° ,试求此时两舰艇之间的距离．考点：全等三角形的判定与性质．分析：问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G ,使DG =BE ,连接AG ,根据同角的补角相等求出∠B =∠ADG ,然后利用"边角边〞证明△ABE和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE =AG ,∠BAE =∠DAG ,再求出∠EAF =∠GAF ,然后利用"边角边〞证明△AEF和△GAF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF =GF ,然后求解即可；实际应用：连接EF ,延长AE、BF相交于点C ,然后求出∠EAF =∠AOB ,判断出符合探索延伸的条件,再根据探索延伸的结论解答即可．解答：解：问题背景：EF =BE +DF；探索延伸：EF =BE +DF仍然成立．证明如下：如图,延长FD到G ,使DG =BE ,连接AG ,∵∠B +∠ADC =180° ,∠ADC +∠ADG =180° ,∴∠B =∠ADG ,在△ABE和△ADG中,,∴△ABE≌△ADG (SAS ) ,∴AE =AG ,∠BAE =∠DAG ,∵∠EAF =∠BAD ,∴∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF =∠BAD﹣∠EAF =∠EAF ,∴∠EAF =∠GAF ,在△AEF和△GAF中,,∴△AEF≌△GAF (SAS ) ,∴EF =FG ,∵FG =DG +DF =BE +DF ,∴EF =BE +DF；实际应用：如图,连接EF ,延长AE、BF相交于点C ,∵∠AOB =30° +90° + (90°﹣70° ) =140° ,∠EOF =70° ,∴∠EAF =∠AOB ,又∵OA =OB ,∠OAC +∠OBC = (90°﹣30° ) + (70° +50° ) =180° ,∴符合探索延伸中的条件,∴结论EF =AE +BF成立,即EF =1.5× (60 +80 ) =210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质,读懂问题背景的求解思路,作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键,也是此题的难点．15．(2021年山东泰安,第27题)如图,∠ABC =90° ,D、E分别在BC、AC上,AD⊥DE ,且AD =DE ,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M．(1 )求证：∠FMC =∠FCM；(2 )AD与MC垂直吗?并说明理由．分析：(1 )根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE ,DF =AF =EF ,进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM (AAS ) ,即可得出答案；(2 )由(1 )知,∠MFC =90° ,FD =EF ,FM =FC ,即可得出∠FDE =∠FMC =45° ,即可理由平行线的判定得出答案．(1 )证明：∵△ADE是等腰直角三角形,F是AE中点,∴DF⊥AE ,DF =AF =EF ,又∵∠ABC =90° ,∠DCF ,∠AMF都与∠MAC互余,∴∠DCF =∠AMF ,在△DFC和△AFM中,,∴△DFC≌△AFM (AAS ) ,∴CF =MF ,∴∠FMC =∠FCM；(2 )AD⊥MC ,理由：由(1 )知,∠MFC =90° ,FD =EF ,FM =FC ,∴∠FDE =∠FMC =45° ,∴DE∥CM ,∴AD⊥M C．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质,得出∠DCF =∠AMF是解题关键．。

2021全国中考真题分类汇编（方程与不等式）----方程与不等式（组）的综合应用（含不定方程）一、选择题1. （2021•重庆市A ）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y +-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A. 5B. 8C. 12D. 15 【答案】B【解析】【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a +<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和．【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥， 解不等式②得，5+2a x > 不等式组的解集为：6x ≥562a +∴< 7a ∴< 解分式方程238211y a y y y+-+=--得 238211y a y y y +--=-- 2(38)2(1)y a y y ∴+--=- 整理得5=2a y +，10,y -≠ 则51,2a +≠ 3,a ∴≠- 分式方程的解是正整数，502a +∴> 5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数，∴整数a 的值为-1, 1, 3, 5, 11358∴-+++=故选：B ．2. （2021•重庆市B ）关于x 的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣3 D ．﹣2【分析】由关于y 的一元一次不等式组有解得到a 的取值范围，再由关于x 的分式方程+1＝的解为正数得到a 的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定a 的整数解，结论可求．【解答】解：关于x 的分式方程+1＝的解为x ＝． ∵关于x 的分式方程+1＝的解为正数，∴a +4＞0．∴a ＞﹣4．∵关于x 的分式方程+1＝有可能产生增根2， ∴． ∴a ≠﹣1．解关于y 的一元一次不等式组得：．∵关于y的一元一次不等式组有解，∴a﹣2＜0．∴a＜2．综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1．∵a为整数，∴a＝﹣3或﹣2或0或1．∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣5．故选：A．3.（2021•山东省聊城市）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（）A. ﹣1≤x＜5B. ﹣1＜x≤1C. ﹣1≤x＜1D. ﹣1＜x≤5【答案】A【解析】【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，∵﹣3＜a≤3，∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，故选A．二．填空题1.（2021•江苏省苏州市）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为0＜x＜．【分析】由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，根据k＝﹣2＜0可得，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．【解答】解：由2x+y＝1得y＝﹣4x+1，根据0＜y＜3可知，当y＝0时，x取得最大值，当y ＝1时，x 取得最小值，所以0＜x ＜．故答案为：0＜x ＜．2. （2021•遂宁市） 已知关于x ，y 的二元一次方程组235453x y a x y a +=⎧⎨+=+⎩满足0x y ->，则a 的取值范围是____．【答案】1a >．【解析】【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a 的代数式表示出x y -，再根据0x y ->，即可求得a 的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：235423x y a x y a +=⎧⎨+=+⎩①② ①-②，得33x y a -=-∵0x y ->∴330a ->，解得1a >，故答案为：1a >．3. （2021•重庆市A ）某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115，B 、C 饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A 饮料单价上调20%且A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，则A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________． 【答案】910【解析】【分析】设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x ，A种饮料的单价y ． B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%，总销售额为m ，可求A 饮料销售额为3xy+115m ，B 饮料的销售额为91210xy m +，C 饮料销售额：171420xy m +，可求=15m xy ，六月份A 种预计的销售额4xy ，六月份预计的销售数量103x ，A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比103:3x x 计算即可 【详解】解：某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A 饮料的数量为3x ，销售B 种饮料的数量2x, 销售C 种饮料的数量4x ， A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A 种饮料的单价y ． B 、C 两种饮料的单价分别为2y 、y ．六月份A 饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m ，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115 A 饮料销售额为3xy+115m ， A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，B 饮料的销售额为31913=215210xy m xy m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B 饮料的销售额增加部分为3134215xy m xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴C 饮料增加的销售额为131342215xy m xy ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴C 饮料销售额：13117134+42215420xy m xy xy xy m ⎡⎤⎛⎫+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴191171315210420xy m xy m xy m m +++++= ∴=15m xy六月份A 种预计的销售额1315415xy xy xy +⨯=， 六月份预计的销售数量()1041+20%y 3xy x ÷= ∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比1093:9:10=310x x =故答案为9 104.（2021•重庆市B）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为155元．【分析】根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．【解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，∴B盒中有多接口优盘10×＝5（个），蓝牙耳机有5×＝3（个），迷你音响有10﹣5﹣3＝2（个），设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，由题知：，∵①×2﹣②得：a+b＝45，②×2﹣①×3得：b+c＝55，∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），故答案为：155．5.（2021•北京市）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．【答案】 ①. 2∶3 ②.12【解析】【分析】设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得()41253x x +=-+，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为()()421233m n ++=++，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得： ()41253x x +=-+，解得：2x =，∴分配到B 生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给A 生产线分配了()2m +吨原材料，给B 生产线分配了()3n +吨原材料，∵加工时间相同，∴()()421233m n ++=++，解得：12m n =， ∴12m n =； 故答案为2:3，12． 三、解答题1.（2021•湖北省荆州市）已知：a 是不等式5（a ﹣2）+8＜6（a ﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x 的方程x 2+2ax +a +1＝0．【分析】解不等式5（a ﹣2）+8＜6（a ﹣1）+7，得a ＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a ＝﹣2代入方程x 2﹣4x ﹣1＝0．利用配方法解方程即可．【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，∴最小整数解为﹣2，将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，配方，得（x﹣2）2＝5．直接开平方，得x﹣2＝±．解得x1＝2+，x2＝2﹣．2.（2021•长沙市）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？【答案】（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．2.（2021•河北省）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A 品牌球最多有几个．【分析】（1）解嘉嘉所列的方程可得出x的值，由x的值不为整数，即可得出淇淇的说法不正确；（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，根据B品牌球比A品牌球至少多28个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）嘉嘉所列方程为101﹣x＝2x，解得：x＝33，又∵x为整数，∴x＝33不合题意，∴淇淇的说法不正确．（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，依题意得：101﹣x﹣x≥28，解得：x≤36，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36．答：A品牌球最多有36个．3.（2021•四川省成都市）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？【分析】（1）每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，根据“每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A 型点位每天处理生活垃圾37吨，每个B型点位每天处理生活垃圾30吨，根据题意列出不等式：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．【解答】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：12（x+7）+10x＝920，解得：x＝38，答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨），《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B 型点位每天处理生活垃圾38﹣8＝30（吨），根据题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，解得y≥，∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3，答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．4.（2021•四川省广元市）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的23．学校有哪几种购买方案？（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．【解析】【分析】（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的23”列出不等式组，求解即可；（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，200150(20)35502(20)3x x x x +-≤⎧⎪⎨>-⎪⎩解得，811x <≤∵x 是整数，∴x =9，10或11∴20-x =12，10或9故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）设学校购买篮球x 个，购买足球（20-x ）个，在甲商场花费：[200150(20)500]90%500(452750)x x x +--⨯+=+元；在乙商场花费：[200150(20)2000]80%2000(402800)x x x +--⨯+=+元； ∴要使学校到甲商场花费最少，则有：452750402800x x ++＜解得，10x ＜∵811x <≤，且x 是整数，∴x =9,即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．5. （2021•泸州市）某运输公司有A 、B 两种货车，3辆A 货车与2辆B 货车一次可以运货90吨，5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A 、B 两种货车将全部货物一次运完(A 、B 两种货车均满载)，其中每辆A 货车一次运货花费500元，每辆B 货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．【答案】（1）1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A 型车8辆，B 型车2辆；方案2：租用A 型车5辆，B 型车6辆；方案3：租用A 型车2辆，B 型车10辆；租用A 型车8辆，B 型车2辆最少．【解析】【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：3290 54160x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2015 xy=⎧⎨=⎩，答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得：20m+15n=190，即3834n m-=，又∵m，n均为正整数，∴82mn=⎧⎨=⎩或56mn=⎧⎨=⎩或210mn=⎧⎨=⎩，∴共有3种运输方案，方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．方案1所需费用：500⨯8+400⨯2=4800(元)；方案2所需费用：500⨯5+400⨯6=4900(元)；方案3所需费用：500⨯2+400⨯10=5000(元)；∵4800＜4900＜5000，∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．6．（2021•四川省眉山市）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，依题意得：＝2×，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣30＝90．答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，依题意得：90m+60(200﹣m)≤15500，解得：m≤．又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为116．答：学校最多可以购买116个篮球．.7.（2021•江苏省无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x 元，则二等奖奖品单价为3x 元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x 的值，再将其代入4x ，3x 中即可求出结论；（2）设购买一等奖奖品m 件，二等奖奖品n 件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数且4≤m ≤10，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x 元，则二等奖奖品单价为3x 元， 依题意得：+＝25，解得：x ＝15，经检验，x ＝15是原方程的解，且符合题意，∴4x ＝60，3x ＝45．答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．（2）设购买一等奖奖品m 件，二等奖奖品n 件，依题意得：60m +45n ＝1275，∴n ＝． ∵m ，n 均为正整数，且4≤m ≤10， ∴或或，∴共有3种购买方案，方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．8. （2021•呼和浩特市）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A 品牌足球共花费2880元，B 品牌足球共花费2400元，且购买A 品牌足球数量是B 品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A 品牌比B 品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A 、B 两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A 品牌比去年提高了5%，B 品牌比去年降低了10%，如果今年购买A 、B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B 品牌足球？解：设去年A 足球售价为x 元/个，则B 足球售价为()12x +元/个由题意得：288032400212x x =⋅+ 9612012x x =+ ()9612120x x += ∴48x =经检验，48x =是原分式方程的解且符合题意∴A 足球售价为48元/个，B 足球售价为60元/个设今年购进B 足球的个数为a 个，则有1(50)48(15%)60(110%)(28802400)2a a -⨯⨯++⨯⨯-≤+⨯ ∴50.45050.4542640a a ⨯-+≤3.6120a ≤1003a ≤ ∴最多可购进33个B 足球9. （2021•内蒙古通辽市）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x +6）元/桶，根据数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液（300﹣m ）桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，设所需资金总额为w 元，根据所需资金总额＝甲种消毒液的批发价×购进数量+乙种消毒液的批发价×购进数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x +6）元/桶， 依题意得：＝，解得：x ＝24，经检验，x ＝24是原方程的解，且符合题意，∴x +6＝30．答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液（300﹣m ）桶，依题意得：m ≥（300﹣m ），解得：m ≥75．设所需资金总额为w 元，则w ＝20m +15（300﹣m ）＝5m +4500，∵5＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m ＝75时，w 取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．10. （2021•辽宁省本溪市）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元． （1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．【解析】【分析】（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意可得：413552225x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得3525x y =⎧⎨=⎩， 答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意可得： ()3525401100a a +-≤，解得10a ≤，∴最多能购买手绘纪念册10本．11. （2021•湖南省常德市）某汽车贸易公司销售A 、B 两种型号的新能源汽车，A 型车进货价格为每台12万元，B 型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A 型车和5台B 型车，可获利3.1万元，销售1台A 型车和2台B 型车，可获利1.3万元．（1）求销售一台A 型、一台B 型新能源汽车的利润各是多少万元？（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A 、B 两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A 型新能源汽车多少台？【答案】（1）销售每台A 型车的利润为0.3万元，每台B 型车的利润为0.5万元；（2）最少需要采购A 型新能源汽车10台．【解析】【分析】（1）设每台A 型车的利润为x 万元，每台B 型车的利润为y 万元，根据题意中的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）先求出每台A 型车和每台B 型车的采购价，根据“用不超过300万元资金，采购A 、B 两种新能源汽车共22台”列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设每台A 型车的利润为x 万元，每台B 型车的利润为y 万元，根据题意得， 25 3.12 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得，0.30.5x y =⎧⎨=⎩答：销售每台A 型车的利润为0.3万元，每台B 型车的利润为0.5万元；（2）因为每台A 型车的采购价为：12万元，每台B 型车的采购价为：15万元，设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，根据题意得，+⨯-≤m m1215(22)300∴-≤-m330,m≥解得，10∵m是整数，∴m的最小整数值为10，即，最少需要采购A型新能源汽车10台．。

数学文化一、选择题1. （乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。

问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ） ()A 1,11 ()B 7,53 ()C 7,61 ()D 6,50 【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设人数x 人，物价y 钱.⎩⎨⎧=+=-y x yx 4738解得：⎩⎨⎧==537y x ，故选B.2.（重庆市）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，依题意，得：．故选：A ．3. （山东省德州市）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为（ ）A. {y −x =4.5y −12x =1B. {x −y =4.5y −12x =1C. {x −y =4.512x −y =1D. {y −x =4.512x −y =1【考点】二元一次方程组的解法与应用、数学文化 【解答】解：设绳长x 尺，长木为y 尺，依题意得，故选：B ．4. （湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（ ） A ．5x ﹣45＝7x ﹣3 B ．5x +45＝7x +3 C ．＝D ．＝【考点】一元一次方程的应用 【解答】解：设合伙人数为x 人， 依题意，得：5x +45＝7x +3． 故选：B ．5. （湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p ＝，那么三角形的面积为S ＝．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则△ABC 的面积为（ ）A ．6B ．6C ．18D ．【考点】二次根式的应用【解答】解：∵a ＝7，b ＝5，c ＝6． ∴p ＝＝9，∴△ABC 的面积S ＝＝6；故选：A ．6．（福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） A ．x +2x +4x ＝34685 B ．x +2x +3x ＝34685 C ．x +2x +2x ＝34685D ．x +12x +14x ＝34685【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解答】解：设他第一天读x 个字，根据题意可得：x +2x +4x ＝34685，故选：A ．7．（吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ）A ．{9x +11=y 6x +16=y B ．{9x −11=y6x −16=yC ．{9x +11=y 6x −16=yD ．{9x −11=y 6x +16=y【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解答】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为： {9x −11=y 6x +16=y ． 故选：D ．8．（甘肃兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ） A ．{5x +6y =15x −y =6y −x B ．{6x +5y =15x +y =6y +xC ．{5x +6y =14x +y =5y +xD ．{6x +5y =14x −y =5y −x【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解答】解：由题意可得， {5x +6y =14x +y =5y +x ， 故选：C ．9．（湖南省长沙市）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（ ） A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −1【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解答】解：由题意可得， {y =x +4.50.5y =x −1， 故选：A ．10．（浙江省舟山市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ） A ．{4x +6y =383x +5y =48B ．{4y +6x=483y +5x =38 C ．{4x +6y =485x +3y =38D ．{4x +6y =483x +5y =38【考点】二元一次方程组的应用 【解答】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为：{4x +6y =483x +5y =38． 故选：D ．11．（浙江省宁波市）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和 【考点】勾股定理【解答】解：设直角三角形的斜边长为c ，较长直角边为b ，较短直角边为a ， 由勾股定理得，c 2＝a 2+b 2，阴影部分的面积＝c 2﹣b 2﹣a （c ﹣b ）＝a 2﹣ac +ab ＝a （a +b ﹣c ）， 较小两个正方形重叠部分的宽＝a ﹣（c ﹣b ），长＝a ， 则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C ． 二、填空题1. （上海市）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 ． 斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【考点】二元一次方程组的解法【解答】解：设1个大桶可以盛米x 斛，1个小桶可以盛米y 斛， 则{5x +y =3x +5y =2， 故5x +x +y +5y ＝5， 则x +y =56．答：1大桶加1小桶共盛56斛米． 故答案为：56．2. （辽宁省大连市）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu ，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，根据题意，可列方程组为 ． 【考点】二元一次方程组的应用【解答】解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛， 根据题意得：{5x +y =3x +5y =2，故答案为{5x +y =3x +5y =2．3．（江苏省南通市）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ． 【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设有x 个人共同买鸡，根据题意得： 9x ﹣11＝6x +16．故答案为：9x ﹣11＝6x +16．4．（湖南省株洲市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人． 【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：（100﹣60）t＝100，解得：t＝2.5，∴100t＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．5．（湖北省咸宁市）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．【解答】二元一次方程组的应用【考点】解：设木条长x尺，绳子长y尺，依题意，得：{x+4.5=y x−1=12y．故答案为：{x+4.5=y x−1=12y．6．（江苏省泰安市）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为____ ．【解答】由实际问题抽象出二元一次方程组【考点】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：{9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13，故答案为：{9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13．7．（宁夏自治区）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x ﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是．（只填序号）【解答】一元二次方程的应用【考点】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，据此易得x＝6．故答案为：②．8．（甘肃白银）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数6140 4040 10000 36000 806403109 2048 4979 18031 39699 出现“正面朝上”的次数频率0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5 （精确到0.1）．【解答】利用频率估计概率【考点】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．三、解答题1. （甘肃省）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【考点】一元一次方程的解法及应用【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．2．（湖北省黄石市）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【解答】一元一次方程的应用【考点】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得x：600＝100：60∴x＝1000∴1000﹣600﹣100＝300答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得y＝200+60y100∴y＝500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．。

中考数学重难考点突破——数学文化题型分类解析数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。

在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．考点1以数学名著为题材例1《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2 B．4＋2 2C．4＋4 2 D．6＋4 2例题分层分析(1)通过阅读，你知道“堑堵”是什么样的图形吗？(2)根据“堑堵”的定义，你能推断出该几何体的底面是什么图形？侧面又是什么图形？【解答】C[解析]依题意得，该几何体为三棱柱，且底面为等腰直角三角形，两直角边长均为2，高为2，所以其侧面积为S＝2×2＋2 2×2＝4＋4 2，故选C.[赏析] 该题以我国古代数学名著《九章算术》中所描述的特殊几何体“堑堵”为背景，是一道新概念信息的信息迁移题．试题以三视图为依托，在考查空间想象能力的同时传播数学文化．|针对训练|1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约()A．134石B．169石C．268石D．338石2．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为()A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)23．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图，则井深为()A ．1.25尺B ．57.5尺C ．6.25尺D ．56.5尺4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国目前已知最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈136L2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551135． 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x 、y 人，则可以列方程组为________．6． 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图Z11－11)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)7． 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S 矩形NFGD ＝S △ADC －(S △ANF ＋S △FGC)，S 矩形EBMF ＝S △ABC －(________＋________)．易知，S △ADC ＝S △ABC ，________＝________，________＝________．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF.8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．9． 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12()m2－n2，b ＝mn ，c ＝12()m2＋n2.其中m>n>0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．10．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．考点2以科技或数学时事为题材例2“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图Z2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是()图1图2A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d例题分层分析(1)根据题目所给的直观图，你发现“牟合方盖”有哪些特征？(2)“牟合方盖”的主视图和俯视图分别是什么？【解答】A[解析]当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且对角线为两条实线．故选A.[赏析]“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．试题从识“图”到想“图”，再到构“图”，要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”、“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在中考中考查，值得我们注意．|针对训练|11．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图3所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是()图3图412．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于________．图5 图613．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图Z11－6，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为________．14． 阅读理解：如图7①，⊙O 与直线a ，b 都相切．不论⊙O 如何转动，直线a ，b 之间的距离始终保持不变(等于⊙O 的直径)．我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图②是利用圆的这一特性的例子．将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．图7拓展应用：如图8①所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c ，d 间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c ，d 之间的距离等于2 cm ，则莱洛三角形的周长为________cm.图8考点3 以数学名人为题材例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n.记第n 个k 边形数为N(n ，k )(k≥3)， 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式．三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ，……可以推测，N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解答】1000[解析] 由N(n ，4)＝n 2，N(n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N(n ，k)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ， 于是N(n ，24)＝11n 2－10n ，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1000.|针对训练|15． 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项和(a ＋b)n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．(a ＋b)0…………… ①(a ＋b)1……………① ①(a ＋b)2…………① ② ①(a ＋b)3………① ③ ③ ①(a ＋b)4……① ④ ⑥ ④ ①(a ＋b)5…① ⑤ ⑩ ⑩ ⑤ ①…… ……根据“杨辉三角”请计算(a ＋b)20的展开式中第三项的系数为( )A ．2017B ．2016C ．191D ．19016． 正如我们小学学过的圆锥体积公式V ＝13πr 2h(π表示圆周率，r 表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9 3π，则这个圆锥的高等于()A．5 3πB．5 3 C．3 3πD．3 317．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard point)由法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845－1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°.若Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，则EQ＋FQ的值为()A．5 B．4 C．3＋ 2 D．2＋ 218．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话(文字语言)表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图①，按此图分割的方法，可得到一个等式(符号语言)：1＝12＋122＋123＋…＋12n＋….图②也是一种无限分割：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将△ABC分成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn－2Cn－1Cn、….假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是__________．针对训练答案解析1.【答案】B[解析] 设这批米内夹谷约为x石，根据随机抽样事件的概率得x1534＝28254，解得x≈169.故选B.2.【答案】D[解析]如图，折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10－x，BC＝6, 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即x2＋62＝(10－x)2.3.【答案】B[解析]如图，由题意，得BC∥DE，从而△ABF∽△ADE，因此BFDE＝ABAD，即0.45＝55＋BD，解得BD＝57.5，所以井深为57.5尺．4.【答案】B[解析] 由题意知275L2h≈13πr2h，∴275L2≈13πr2，而L≈2πr，代入得π≈258.5.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝100，3x＋y3＝100[解析] 根据“大、小和尚共有100人”可得x ＋y ＝100；由“大和尚一人分3个”可知x 个大和尚共分得3x 个馒头，由“小和尚3人分一个”可知y 个小和尚共分得y3个馒头，根据“大、小和尚分100个馒头”可得3x ＋y3＝100，故可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100. 6.【答案】46[解析] 设这群人人数为x ，根据题意得7x ＋4＝9x －8，解得x ＝6，银子的数量为46两． 7.【答案】S △AEF ；S △CFM ；S △ANF ；S △AEF ；S △FGC ；S △CFM 8. 【答案】1.6[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6.解得x ＝1.6.9. 解：当n ＝1时，a ＝12(m 2－1)①，b ＝m②，c ＝12(m 2＋1)③， 因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：情况1：当a ＝5时，即12(m 2－1)＝5，解得m ＝±11(舍去)；情况2：当b ＝5时，即m ＝5，再将它分别代入①③得a ＝12×(52－1)＝12，c ＝12×(52＋1)＝13；情况3：当c ＝5时，即12(m 2＋1)＝5，m ＝±3，因m>0，所以m ＝3，把m ＝3分别代入①②得a ＝12×(32－1)＝4，b ＝3.综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4.10.解：设鸡有x 只，兔有y 只． 依题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝94，解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝12.答：鸡有23只，兔有12只． 11.【答案】C 12.【答案】45 [解析] 如图，∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，∴大正方形边长AD ＝5，小正方形的边长EF ＝1.设DE ＝AF ＝x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE 2＋DE 2＝AD 2，∴(x ＋1)2＋x 2＝52，解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝3，即DE ＝3，AE ＝3＋1＝4，∴cos θ＝cos ∠DAE ＝AE AD ＝45. 13.【答案】－3[解析] 根据题意可知正放表示正数，斜放表示负数，组合在一起表示相加，由正放2根，斜放5根组合在一起表示(＋2)＋(―5)＝－3. 14.【答案】2π[解析] 由题意知，莱洛三角形周长是半径为2，圆心角是60°的三段弧长的和，60π×2180×3＝2π.15.【答案】D[解析] 观察可得(a ＋b)n 的展开式中第三项的系数为n （n －1）2，因此，可得(a ＋b)20的展开式中第三项的系数为190.16.【答案】D[解析] 如图，∵圆锥的侧面展开图是个半圆，∴设这个半圆的半径为R ，则AC ＝R ，∴这个半圆的弧长为πR ，设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝πR ，得：R ＝2r ，∴AC ＝2r.由圆锥的母线AC ＝2r ，OC ＝r 得在Rt △AOC 中，h ＝AO ＝3r ，∵圆锥的体积等于9 3π，∴13πr2·3r ＝93π，∴r ＝3，h ＝AO ＝3r ＝33.17.【答案】D[解析] 因为Q 是△EDF 的布洛卡点，所以∠QDF ＝∠QFE ＝∠QED ，又因为∠QFD ＝45°－∠QFE ，∠QEF ＝45°－∠QED ，所以∠QFD ＝∠QEF ，所以△QDF ∽△QFE ，所以QF ∶EQ ＝DQ ∶QF ＝DF ∶EF ＝1∶2(△EDF 是等腰直角三角形)，所以DQ ∶QF ＝1∶2，其中DQ ＝1， 所以QF ＝2，且QF ∶EQ ＝1∶2，所以EQ ＝2，所以EQ ＋FQ ＝2＋ 2.故选D. 18.【答案】23＝32[1＋34＋(34)2＋(34)3＋…＋(34)n ＋…][解析] 根据三角形的面积来列出等式．由∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，可得三角形的面积为12×AC ×BC ＝12×2×2 3＝23.又因为三角形的面积可表示为n 个三角形的面积和，则可得到12×1×3＋12×32×32＋12×34×3 34＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＋…＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n＋….所以根据面积相等得2 3＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n＋…。

2020-2021全国中考数学圆与相似的综合中考真题分类汇总含详细答案一、相似1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？（2）若设AK=x，S EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．（3）x为何值时，S EFGH达到最大值．【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，∵BE+AE=AB，∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，∴当时，矩形EFGH为正方形（2）解：设AK=x，EH=24-x，∵EHGF为矩形，∴ = ，即EF= x，∴S EFGH=y= x•（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）（3）解：y=- x2+16x配方得：y= （x-12）2+96，∴当x=12时，S EFGH有最大值96【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。

（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。

（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。

2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，求PD的值，简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为________，最大值为________．【答案】（1）解：相等理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE；（2）解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：∵∠EAC=90°，∴CE= ，∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴，∴PD= ；若点B在AE上，如图2所示：∵∠BAD=90°，∴Rt△ABD中，BD= ，BE=AE﹣AB=2，∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，∴△BAD∽△BPE，∴，即，解得PB= ，∴PD=BD+PB= + = ，（3）1；7【解析】【解答】解：（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，在Rt△ACE中，CE= =4，在Rt△DAE中，DE= ，∵四边形ACPB是正方形，∴PC=AB=3，∴PE=3+4=7，在Rt△PDE中，PD= ，即旋转过程中线段PD的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=7，即旋转过程中线段PD的最大值为7．故答案为：1，7．【分析】（1）BD，CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE，根据等腰直角三角形的性质得出BA=CA，DA=EA，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等得出BD=CE；（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：首先根据勾股定理算出CE的长，然后判断出△PCD∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解得出PD的长；若点B在AE上，如图2所示：根据勾股定理算出BD的长，然后判断出△BAD∽△BPE，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解得出PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长；（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD 的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，根据勾股定理算出CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=3，进而得出PE的长，根据勾股定理算出PD 的长，即旋转过程中线段PD的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=7，即旋转过程中线段PD的最大值为7．3．书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……若这张矩形印刷用纸的短边长为a．（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD(AB BC)进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经过点B，得到折痕BG，求的值．（2）如图③，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是________.（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC ∠C 90°．∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B，∴∠CBE ∠FBE 45°，∴∠CBE ∠CEB 45°，∴BC CE a，BE ．∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，∴AB BE ，∴（2）解：根据题意和（1）中的结论，有AH BH ，．∴．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A ∠B 90°，∴△MAH∽△HBC，∴∠AHM ∠BCH．∵∠BCH ∠BHC 90°，∴∠AHM ∠BHC 90°，∴∠MHC 90°，∴HC⊥HM．（3）【解析】【解答】解：（3）如图④，根据题意知（1）中的结论，有BC=AD= a，AF=IG= a，NI=MP= a，OP= a，又∵∠C=∠ADE=90°, ∠BEC=∠AED,∴∆BCE≌∆ADE，∴S ∆BCE=S ∆ADE,同理可得，S ∆AFH=S ∆IGH, S ∆INQ=S ∆MPQ,∴四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC= ．【分析】（1）利用矩形的性质及第一次折叠使点C落在AB上的F处，可得出∠CBE=∠FBE=∠CEB=45°，可得出CE=BC，利用勾股定理可用含a的代数式求出BE的长，再根据第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，可用含a的代数式表示出AB的长，然后求出AB与BC的比值。