2020年中考数学试题分类：相似三角形 含解析

2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的相似三角形问题例1：如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．图2此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4例2：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果BP BABQ BC=，那么510848tt=-．解得t＝1．②如果BP BCBQ BA=，那么588410tt=-．解得3241t=．图3 图4（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝45，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ． 当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．例3：如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14bb =-．解得843b =±Q 为(1,23+．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

2020年江西省赣州市于都县中考数学一轮测试：相似、三角函数一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A．1200米B．2400米C．400米D．1200米3．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．7．（3分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝．10．（3分）在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tan A＝．11．（3分）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的影子比第一次长．12．（3分）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．13．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是cm2．14．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，B的坐标是（6，4），那么点B′的坐标是．15．（3分）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．16．（3分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m ＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是．（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连接AD，DE．（2）与△BDE相似的三角形有．（直接写出答案）19．（6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．21．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在AD上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．23．（9分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）如图②，已知∠C＝90°，sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．25．（10分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2）．（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形；找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：选项A的图形是从茶壶上面看得到的图形．故选：A．2．（3分）如图，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（）A．1200米B．2400米C．400米D．1200米【分析】利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝∠α＝30°，AC＝1 200，∴AB＝2AC＝2 400（米）．故选：B．3．（3分）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．【解答】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：主视图有一层三个，另一层2个，即可得出答案．故选：A．4．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．【分析】作AD⊥BC，可得AD＝BD＝5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝5，BD＝5，∴AB＝＝＝5，∴cos∠B＝＝＝，故选：B．5．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sin A＝，tan B＝和a2+b2＝c2．∵sin A＝，设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x．∴tan B＝．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cos B＝sin（90°﹣B）＝sin A＝．又∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝＝，∴tan B＝＝＝．故选：A．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin ∠ACD转化为求sin B．【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD．∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故选：A．7．（3分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边分别是2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．故选：D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD＝2EF＝4∵BC＝5，CD＝3∴△BCD是直角三角形．∴tan C＝＝故选：B．二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AE＝3，BD＝4，则AC＝9．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，AE＝3，BD＝4，∴，∴CE＝6，∴AC＝AE+EC＝3+6＝9．故答案为：9．10．（3分）在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tan A＝1．【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，求出∠A＝∠B＝45°，从而求出角A 的正切值．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴tan A＝tan45°＝1，故答案为1．11．（3分）如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的影子比第一次长4米．【分析】利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差即可．【解答】解：第一次观察到的影子长为6×cot60°＝2（米）；第二次观察到的影子长为6×cot30°＝6（米）；所以两次观察到的影子长的差＝62＝4（米），故答案为4米．12．（3分）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．【分析】根据题意画出图形．根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD′的长，再运用三角函数的定义解答即可．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，则对角线BD＝．∴BD′＝BD＝．∴tan∠BAD’＝＝．13．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝14cm，∴AC＝7cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝7cm．故S△ACF＝×7×7＝（cm2）．故答案为：．14．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，B的坐标是（6，4），那么点B′的坐标是（3，2）或（﹣3，﹣2）．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【解答】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（﹣3，﹣2）．故答案为：（3，2）或（﹣3，﹣2）．15．（3分）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧．与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB＝60°，据此即可求解．【解答】解：连接AB，由图可知：OA＝0B，AO＝AB∴OA＝AB＝OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠AOB＝cos60°＝．故答案是：．16．（3分）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m ＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是①③④．（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）．【分析】点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化．【解答】解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m 最大，则m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；最小值为AB与底面重合，故n＝AB，故③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．三、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系．计算可得DE＝10（m）．【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE 的投影．（2）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵∠ABC＝∠DEF＝90°∴△ABC∽△DEF．∴，∴∴DE＝10（m）．说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．18．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°（1）只用直尺和圆规作图，首先在BC上截取BD＝AB，再作BD的中垂线，交AB于E，连接AD，DE．（2）与△BDE相似的三角形有△ADC、△ABC．（直接写出答案）【分析】（1）先以B为圆心，BA为半径，作弧，再作BD的中垂线即可；（2）根据相似三角形的判定进行判断即可得到答案．【解答】解：（1）如图，以B为圆心，BA为半径，作弧交BC于D，作BD的中垂线交BA于E，连接AD、DE．（2）答案为：△ADC和△ABC．19．（6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】易得α越大，梯子顶端达到最大高度，利用70°正弦值可得最大高度AC．【解答】解：当α＝70°时，梯子顶端达到最大高度，（1分）∵sinα＝，（2分）∴AC＝sin70°×6＝0.94×6＝5.64，（2分）≈5.6（米）．答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米．（1分）四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于30度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）30；（2）由题意得：∠PBH＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABP＝90°，又∠APB＝45°，∴△P AB为等腰直角三角形，在直角△PHB中，PB＝＝＝20．在直角△PBA中，AB＝PB＝20≈34.6米．答：A，B两点间的距离是34.6米．21．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）【分析】（1）取OA的中点A′，OB的中点B′，OC的中点C′，然后顺次连接即可；（2）根据勾股定理列式求出AC、A′C′的长，再根据周长公式列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；（2）根据勾股定理，AC＝＝2，A′C′＝＝，所以，四边形AA′C′C的周长为：1++2+2＝3+3．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在AD上．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．【分析】（1）根据矩形的性质可知∠A＝∠D＝∠C＝90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE＝∠C＝90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF＝90°，得出∠ABF＝∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE，（2）已知sin∠DFE＝，设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2a，可得出CE ＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC＝tan∠EBF＝＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE，（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，∴设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，又由（1）△ABF∽△DFE，∴＝＝＝，∴tan∠EBF＝＝，tan∠EBC＝tan∠EBF＝．23．（9分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°＝，求出CD的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO＝AO，再代入数计算即可得到答案．【解答】解：（1）∵DE＝76厘米，∠CED＝60°，∴sin60°＝＝，∴CD＝38cm．（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO＝（38+x）厘米，AO＝（150+x）厘米，∵∠BAC＝30°，∴CO＝AO，38+x＝（150+x），解得：x＝150﹣76＝150﹣131.48≈18.5cm．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝1．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．（3）如图②，已知∠C＝90°，sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．则CE＝x．CD可求出，根据定义可求出答案．【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为：0＜sadA＜2．（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图．∵在Rt△ADE中，＝sin A＝，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．∴CE＝x．∴在Rt△CDE中，CD＝＝x．∴sad A＝＝＝．25．（10分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2）．（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．【分析】（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．（2）由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y＝x：9即可．（3）此题要采用分类讨论的思想，当CG＜BC时，当CG＝BC时，当CG＞BC 时分别得出即可．【解答】解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，∵∠H+∠HAC＝45°，∠HAC+∠CAG＝45°，∴∠H＝∠CAG，∵∠ACG＝∠B＝45°，∴△AGC∽△HAB，∴同理可得出：始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；故答案为：△HAB和△HGA．（2）∵△AGC∽△HAB，∴AC：HB＝GC：AB，即9：y＝x：9，∴y＝，∵AB＝AC＝9，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝9．答：y关于x的函数关系式为y＝．（3）①当CG＜BC时，∠GAC＝∠H＜∠HAG，∴AG＜GH，∵GH＜AH，∴AG＜CH＜GH，又∵AH＞AG，AH＞GH，此时，△AGH不可能是等腰三角形，②当CG＝BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，此时，GC＝，即x＝，③当CG＞BC时，由（1）△AGC∽△HGA，所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在GA＝AH，若GA＝AH，则AC＝CG，此时x＝9，如图（3），当CG＝BC时，注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，此时B，E，G重合，∠AGH＝∠GAH＝45°，所以△AGH为等腰三角形，所以CG＝9，综上所述，当x＝9或x＝或x＝9时，△AGH是等腰三角形．。

相似三角形专题一选择题1.在下列4×4的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中△ ABC 相似的三角形所在的网格图（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CH 、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．AB 2= AC 2+BC 2； B ．CH 2=AH ·HB ； C ．CM =12AB ； D ．CB =12AB ．3.如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=；④2AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）44．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C =△△，9AD =，那么BC 的长是（ ）（A ）4； （B ）6； （C ）213； （D ）310．5. 如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似的三角形有（ ） ( A)1对； (B)2对； ( C)3对； ( D)4对.6.如图，已知ABC △和DEF △，点E 在BC 边上，点A 在DE 边上，边EF 和边AC 交于点G ．如果AE =EC ，B AEG ∠=∠．那么添加下列一个条件后，仍无法判定DEF △与ABC △一定相似的是( )（A ）EF DE BC AB =； （B ）GEGFAE AD =； 图1 第4题图A D CB ACD B 第3题第2题（第6题图）AB C DEF O 第5题图第18题E D C BA （C ）EF EG AC AG =； （D ）EAEGEF ED =．二填空题7．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为 度．8．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个三角形的周长的比是9.在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 的延长线上，∠E=∠B ，AC=2，BC=3，CE=6，那么CD= ．10 .如果两个相似三角形的对应角平分线比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 cm ．11.如图，已知⊿ABC 中，P 是AB 上的一点，∠ACP =∠B ，AB=9，AC=6，那么AP= . 12.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上， ADE C ∠=∠，如果=2AE ，△ADE 的面积是4，四边形BCED 的面积是5，那么AB 的长是 ．13.如图,R t ΔA B C 中,∠A C B =900,C D ⊥A B ,A C =8,B C =6,则AD=__ _ 14.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果21==EC AE DB AD ，那么△ADE 与△ABC 面积的比是 ．15.已知等腰梯形的上、下两底长分别为4cm 和6cm ，将它的两腰分别延长交于一点，这个交点到上、下两底的距离之比为 ．16.△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上，AD ＝2，在AB 上找一点E ，使 △ADE 与△ABC 相似，则AE 的长为 ． 17.如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交边BC 于点D ，AD BD =，3=AB ，2=AC ，那么AD 的长是 _． 18.如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且AE=4ED ，且BE ⊥CE ，则AB:BC=______________.三解答题19．如图，已知AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BC AB BD ⋅=2，求证：∠ABD=∠DBC.E D C BA第12题BACD第14题A 第11题 B CP 第13题 第17题20. 已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．21如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 在边AD 上， CE 与BD 相交于点F ， AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．（1）求证：△DFE ∽△DAB ； （2）求线段CF 的长．22.如图， 在AH ABC 中，∆是BC 边上的高，矩形DEFG 内接于ABC ∆（即点G F E D 、、、都在ABC ∆的边上），6,18==AH BC ，矩形DEFG 的周长是20． ACDEBBCD AEF求：DEFG S 矩形的值．23．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10,BC=16，点P 、D 分别在边BC 、AC 上， BP=12，∠APD=∠B ，求CD 的长.24.如图：在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，E 是斜边AB 延长 线上一点，且∠ECB=∠BCD （1）求证：⊿ECB ∽⊿EAC ；（2）若AC=，AB=5cm ，求BE 的长.EDBCA相似三角形专题 参考答案一、1、B ，2、D ，3、C ，4、C ，5、C ，6、C二、7、70， 8、1:2 9、4 10、40 11、4，12、3 13、6.4 14、1:9 15 、2：3 16、23或38 17、5103 18、2:5． 三、19、证明Rt△DBC ∽△ABD Rt20、(1)证明∽△ADB △BDE ；(2)由DB=DC 可得DC 2=DE*DA ，可证∽△ADC △CDE 21、(1)由AD//BC 可得21==BF DF BC DE ，∴31=BD DF ,得DF=2, ∴BD DEAD DF =再由BDA EDF ∠=∠可证 (2)由1的结论可求EF=2.5,再可得CF=2EF=522、设AH 与DG 相交于M ，由∽△ABC △ADG 可得AHAMBC DG =可算出DE=4,DG=6 S=2423、证∽△PBA △DCP 可得ABCPBP CD =可得CD=4.8 24、1、证A BCD ECB ∠=∠=∠2、由勾股定理可求BC=5 ,由1的结论可得21===AE EC EC BE AC BC ,可得41=AE BE ，得BE=35。

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

2020年中考数学试题分类汇编之10相似三角形一、选择题1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．1032．（2020哈尔滨）（3分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )A ．AE EFEC CD= B ．EF EGCD AB= C ．AF BGFD GC= D ．CG AFBC AD= 3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A. 四边形NPMQB. 四边形NPMRC. 四边形NHMQD. 四边形NHMR4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AD＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，当A ′B ′恰好经过点D 时，△B ′CD 为等腰三角形，若BB ′＝2，则AA ′＝（ ）A ．B ．2C ．D ．5.（2020无锡）如图，等边ABC ∆的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =，有下列结论：①CP 与QD 可能相等；②ΔAQD 与BCP ∆可能相似；③四边形PCDQ 面积的最大值为；④四边形PCDQ 周长的最小值为3+．其中，正确结论的序号为（ ）A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③6.（2020重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）B. 2C. 4D.7.（2020重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ∶OD=1∶2， 则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D.1∶58.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b 为2米，则a 约为（ ）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米9．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3410．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．3011．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ） A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种12．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO 的顶点A 在函数y =k x（x ＞0）的图象上，∠ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．1813．（3分）（2020•荆门）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝2√3，D 为BC 的中点，AE =14AB ，则△EBD 的面积为（ ）A ．3√34B ．3√38C ．√34D ．√3814．（2020山西）（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似15．（2020浙江温州）（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A ．14B ．15C ．8√3D ．6√516．（2020海南）（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF ＝AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40二、填空题17．（2020广州）如图7，正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ''，AB '，AC '分别交对角线BD 于点E ，F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为 * ．图7FB'E C'DCBA18.（2020河南）如图，在边长为的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．19.(2020苏州）.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________．20.（2020乐山）把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AFAC=_________．21.（2020无锡）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且2DB AD =，3AE EC =连接BE ，CD ，相交于点O ，则ABO ∆面积最大值为__________．22．（2020上海）（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 7 米．23．（2020吉林）（3分）如图，AB ∥CD ∥EF ．若＝，BD ＝5，则DF ＝ 10 ．24．（2020吉林）（3分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE 的面积为．25．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，点A 落在点A '处，连接A B '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4cos 5A =，则A F BF '= 13．26．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中：①BF CE =； ②AEM DEM ∠=∠；③AE CE -=； ④2222DE DF DM +=；⑤若AE 平分BAC ∠，则:EF BF ； ⑥CF DM BM DE =，正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）27．（2020山西）（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为．解：如图，过点F 作FH ⊥AC 于H ．28．（2020四川眉山）（4分）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若△ABD 的周长为26，则DE 的长为．29．（2020浙江温州）（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD ，为了估测场地大小，在笔直的河岸l 上依次取点E ，F ，N ，使AE ⊥l ，BF ⊥l ，点N ，A ，B 在同一直线上．在F 点观测A 点后，沿FN 方向走到M 点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米，∠ANE ＝45°，则场地的边AB 为 15√2 米，BC 为 20√2 米．三、解答题30．(2020杭州)（8分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ． （2）设AF FC=12，①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．31．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，=．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF ABAE AD=．⊥；（1）求证：BD EC（2）若1AB=，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EG DG-=．32．（2020成都）（4分）如图，在矩形ABCD中，4BC=，E，F分别为AB，AB=，3CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C⊥于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2运动，连接PQ，过点B作BH PQ倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为线段DH长度的最小值为．33.（2020福建）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．34.（2020河北）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．35.（2020江西） 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD ∆，Rt ACE ∆，Rt BCF ∆，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD ∆，ACE ∆，BCF ∆，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 的面积.36．(2020苏州）.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．37．（2020南京）（9分）如图，在ABC ∆和△A B C '''中，D 、D '分别是AB 、A B ''上一点，AD A D AB A B ''=''．（1）当CD AC AB C D A C A B ==''''''时，求证ABC ∆∽△A B C ''． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD AC BC C D A C B C ==''''''时，判断ABC ∆与△A B C '''是否相似，并说明理由．38（2020湖北武汉）.问题背景：如图（1），已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE ∽； 尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，AC 与DE 相交于点F ．点D 在BC 边上，AD BD =求DF CF的值；拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD ︒∠=∠=，90BDC ︒∠=，4AB =，AC =AD 的长．39．（2020宁夏）（6分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 以点O 为位似中心，位似比为1：2的△A 2B 2C 2．40．（2020四川眉山）（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．①求tan∠DBE的值；②求DF的长．41．（2020山东泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？是．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．42．（2020浙江宁波）（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．43．（2020浙江温州）（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF 上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=24 5．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP ＝DF 时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系．②连结PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的x 的值．2020年中考数学试题分类汇编之10相似三角形四、选择题1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．103 解：直线123////l l l ，∴AB DE BC EF=， 5AB =，6BC =，4EF =，∴564DE =， 103DE ∴=， 选：D ．2．（2020哈尔滨）（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是ABC ∆D BC AD E AC E //EF BC AD F E //EG AB BC G ()A． B ． C ． D ． 解：，， ，， ， 故选：．3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A. 四边形NPMQB. 四边形NPMRC. 四边形NHMQD. 四边形NHMR解：如图所示，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ ．故选：A4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，当A ′B ′恰好经过点D 时，△B ′CD 为等腰三角形，若BB ′＝2，则AA ′＝（ ）AE EF EC CD =EF EG CD AB =AF BG FD GC =CG AF BC AD =//EF BC ∴AF AE FD EC =//EG AB ∴AE BG EC GC =∴AF BG FD GC=CA．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，DE＝AB＝2，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴△A′CA∽△B′CB，∴＝，∵△B′CD为等腰三角形，∴△B′CD为等腰直角三角形，∴CD＝B′C，设B′C＝BC＝x，则CD＝x，CE＝x﹣2，∵CD2＝CE2+DE2，∴（x）2＝（x﹣2）2+（2）2，∴x＝4（负值舍去），∴BC＝4，∴AC＝＝2，∴＝，∴A′A＝，故选：A．5.（2020无锡）如图，等边ABC ∆的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =，有下列结论：①CP 与QD 可能相等；②ΔAQD 与BCP ∆可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为16；④四边形PCDQ周长的最小值为32+．其中，正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③ 解：①∵线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =， ∴QD P AP C ≤＜,∴CP 与QD 不可能相等，则①错误；②设AQ x =， ∵12PQ =，3AB =， ∴13-=2.52AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， 假设ΔAQD 与BCP ∆相似，∵∠A=∠B=60°， ∴AD AQ BP BC =，即121332x x =--， 从而得到22530x x -+=，解得1x =或 1.5x =（经检验是原方程的根），又 2.5x ≤≤0，∴解得的1x =或 1.5x =符合题意，即ΔAQD 与BCP ∆可能相似，则②正确；③如图，过P 作PE ⊥BC 于E ，过F 作DF ⊥AB 于F ，设AQ x =， 由12PQ =，3AB =，得13-=2.52AQ ≤≤0，即 2.5x ≤≤0， ∴132PB x =--，∵∠B=60°，∴132P x E --=⎫⎪⎝⎭，∵12AD =，∠A =60°，∴1224DF =⨯=,则1115332222PBCSBC PE x x ⎫⎫=⨯=⨯--=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1122DAQSAQ DF x x =⨯=⨯=， ∴四边形PCDQ 面积为：15322ABC PBC DAQSS Sx x x ⎫--=⨯-=⎪⎝⎭, 又∵ 2.5x ≤≤0，∴当 2.5x =时，四边形PCDQ ，即四边形PCDQ ， 则③正确；④如图，作点D 关于直线AB 的对称点D 1，连接D D 1，与AB 相交于点Q ，再将D 1Q 沿着AB 向B 端平移PQ 个单位长度，即平移12个单位长度，得到D 2P ，与AB 相交于点P ，连接PC ，∴D 1Q=DQ=D 2P ，11212AD D D AD ===，且∠AD 1D 2=120°，此时四边形PCDQ 的周长为：2CP DQ CD PQ CD CD PQ +++=++，其值最小，∴∠D 1AD 2=30°，∠D 2A D=90°，22AD =，∴根据股股定理可得，22CD =，∴四边形PCDQ 的周长为：2113322CP DQ CD PQ CD CD PQ ⎛⎫+++=++=-+= ⎪⎝⎭则④错误，所以可得②③正确，故选：D ．6.（2020重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）B. 2C. 4D. 解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，而A （1，2），C （3，1）， ∴D （2，4），F （6，2），OFE DCBA∴DF故选：D ．7.（2020重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ∶OD=1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D.1∶5 .答案C.8.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为（ ）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米答案：A9．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠AFB ＝∠FBC ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠G ， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBG ， ∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠DFG＝∠G ，a b b a∴AB ＝CD ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，∴CG ＝CD +DG ＝3k ， ∵AB ∥DG ，∴△ABE ∽△CGE ， ∴BE EG=AB CG=2k 3k=23，故选：C ．10．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30解：设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ，∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，∵AD 是△ABC 的高，∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形，∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60，∴AN ＝60﹣x ， ∴＝，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20． 故选：B ．11．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ） A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种解：长120cm 的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm 的木条不能作为一边， 设从120cm 的木条上截下两段长分别为xcm ，ycm （x +y ≤120）， 由于长60cm 的木条不能与75cm 的一边对应，否则x 、y 有大于120cm ，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则x75=y120=60100，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则x75=y100=60120，解得：x＝37.5，y＝50．答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．故选：B．12．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO的顶点A在函数y=k x（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9B．12C．15D．18解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM =12，ANAO=13，∴S△ANQS△AMP =14，∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ =14，∴S△ANQ＝1，∵1S△AOB =（ANAO）2=19，∴S△AOB＝9，∴k＝2S△AOB＝18，故选：D．13．（3分）（2020•荆门）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2√3，D为BC的中点，AE=14AB，则△EBD的面积为（）A ．3√34B ．3√38C ．√34D ．√38解：连接AD ，作EF ⊥BC 于F ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∠B ＝∠C ＝30° 在Rt △ABD 中，BD =12BC =√3，∠B ＝30°，∴AB =BDcos30°=√3√32=2，∴AD =12AB =1，∵AE =14AB ，∴BE AB=34，∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD=BE AB，∴EF 1=34∴EF =34， ∴S △BDE =12×BD ×EF =12×√3×34=3√38，选：B ．14．（2020山西）（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）A ．图形的平移B ．图形的旋转C ．图形的轴对称D ．图形的相似选：D ．15．（2020浙江温州）（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A ．14B ．15C ．8√3D ．6√5解：如图，连接EC ，CH ．设AB 交CR 于J ．∵四边形ACDE ，四边形BCJHD 都是正方形， ∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°， ∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE +∠ACB +∠BCH ＝180°，∠ACB +∠BCI ＝90° ∴B ，C ，H 共线，A ，C ，I 共线， ∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ， ∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴PC CQ=CE CH=EP HQ=12，∵PQ ＝15，∴PC ＝5，CQ ＝10， ∵EC ：CH ＝1：2，∴AC ：BC ＝1：2，设AC ＝a ，BC ＝2a ， ∵PQ ⊥CRCR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ， ∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 是平行四边形，∴AB ＝CQ ＝10， ∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴5a 2＝100， ∴a ＝2√2（负根已经舍弃）， ∴AC ＝2√5，BC ＝4√5，∵12•AC •BC =12•AB •CJ ， ∴CJ =2√5×4√510=4，∵JR ＝AF ＝AB ＝10，∴CR ＝CJ +JR ＝14， 故选：A ．16．（2020海南）（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，若EF ＝AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25B ．30C ．35D ．40解：过点G 作GN ⊥AD 于N ，延长NG 交BC 于M ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∵EF ＝AD ，∴EF ＝BC ， ∵AD ∥BC ，NG ⊥AD ， ∴△EFG ∽△CBG ，GM ⊥BC ， ∴GN ：GM ＝EF ：BC ＝1：2， 又∵MN ＝BC ＝6， ∴GN ＝2，GM ＝4， ∴S △BCG ＝×10×4＝20，∴S △EFG ＝×5×2＝5，S 矩形ABCD ＝6×10＝60， ∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C ．五、填空题17．（2020广州）如图7，正方形ABCD 中，△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ''，AB '，AC '分别交对角线BD 于点E ，F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为 * ．【答案】16. 提示：由△EAF ∽△EDA,得到：EF EAEA ED=,所以：2EA EF ED =,∴EF ED ⋅=1618.（2020河南）如图，在边长为的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，连接,,EC FD 点,G H 分别是,EC FD 的中点，连接GH ，则GH 的长度为__________．【答案】1【详解】过E 作EP DC ⊥，过G 作GQ DC ⊥，过H 作HR BC ⊥，垂足分别为P ，R ，R ，HR 与GQ 相交于I ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD DC BC ====图7FB'E C'DCBA90A ADC ∴∠=∠=︒，∴四边形AEPD 是矩形，∴EP AD == ∵点E ，F 分别是AB ，BC 边的中点，∴12PC DC ==12FC BC == EP DC ⊥，GQ DC ⊥，GQ EP ∴//∵点G 是EC 的中点，GQ ∴是EPC ∆的中位线，12GQ EP ∴==，同理可求：HR =，由作图可知四边形HIQP 是矩形， 又HP=12FC ，HI=12HR=12PC ， 而FC=PC ， ∴ HI HP =，∴四边形HIQP 是正方形，∴2IQ HP ==，∴22GI GQ IQ HI =-=== HIG ∴∆是等腰直角三角形，1GH ∴==故答案为：1．19.(2020苏州）.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________．【答案】14 5解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴AOE∽CDE，∴AO OECD DE=，∴424 34nn-=-，解得：145n=，故答案：145．20.（2020乐山）把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE 交AC 于点F ．则AF AC=_________．解:连接CE ，设CD=2x ，在RtΔACD 和RtΔABC 中，∠BAC=∠CAD=30º，∴∠D=60º，AD=4x ，=， BC=12AC，3=x ， ∵点E 为AD 的中点， ∴CE=AE=DE=12AD =2x ， ∴ΔCED 为等边三角形，∴∠CED=60º，∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD ，∴AB ∥CE ，∴AF BF CF EF=， 在ΔBAE 中，∵∠BAE=∠CAD=30º ∴AF 平分∠BAE ，∴3322AB BF x AE EF x ===， ∴32AF BF CF EF ==， ∴35AF AC =， 故答案为：35.21.（2020无锡）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值Rt ABC ∆90ACB ∠=︒4AB =D E AB AC 2DB AD =3AE EC =BE CD O ABO ∆为__________．解：如图1，作DG ∥AC ，交BE 于点G ，∴，∵ , ∴ ∵ ∴∴ ∵AB=4 ∴ ∴若面积最大，则面积最大， 如图2，当点△ABC 为等腰直角三角形时，面积最大，为，∴ 面积最大值为+故答案为：22．（2020上海）（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口,BDG BAE ODG OCE △∽△△∽△2,3DG BD AE AB ==∴13CE AE =221DG CE ==ODG OCE △∽△=2DG OD CE OC =23OD CD =23ABO ABC S S =△△ABO ABC ABC 142=42⨯⨯ABO 284=33⨯83B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为7米．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC＝7（米），答：井深AC为7米．23．（2020吉林）（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．24．（2020吉林）（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE 的面积为，则四边形DBCE的面积为．解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE 的面积为， ∴△ABC 的面积为2，∴四边形DBCE 的面积＝2﹣＝， 故答案为：．25．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点E 在AC 边上．将A ∠沿直线BE 翻折，点A 落在点A '处，连接AB '，交AC 于点F ．若A E AE '⊥，4cos 5A =，则A F BF '= 13．【解答】解：90C ∠=︒，4cos 5A =， ∴45AC AB =，设4AC x =，5AB x =，则3BC x =， AE AE ⊥'，90AEA ∴∠'=︒，//A E BC '，由于折叠，(36090)2135A EB AEB ∴∠'=∠=-÷=︒，且△A EF BCF '∆∽，45BEC ∴∠=︒，即BCE ∆为等腰直角三角形，3EC x ∴=，AE AC EC x A E ∴=-=='， ∴133A E A F x BC BF x ''===， 故答案为：13． 26．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在Rt ABC ∆中，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中： ①BF CE =；②AEM DEM ∠=∠；③AE CE -=；④2222DE DF DM +=；⑤若AE 平分BAC ∠，则:EF BF ；⑥CF DM BM DE =，正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）解：90ACB ∠=︒，90BCF ACE ∴∠+∠=︒，90BCF CBF ∠+∠=︒，ACE CBF ∴∠=∠，又90BFD AEC ∠=︒=∠，AC BC =，()BCF CAE AAS ∴∆≅∆，BF CE ∴=，故①正确；由全等可得：AE CF =，BF CE =，AE CE CF CE EF ∴-===，连接FM ，CM ，点M 是AB 中点，12CM AB BM AM ∴===，CM AB ⊥， 在BDF ∆和CDM ∆中，BFD CMD ∠=∠，BDF CDM ∠=∠，DBF DCM ∴∠=∠，又BM CM =，BF CE =，()BFM CEM SAS ∴∆≅∆，FM EM ∴=，BMF CME ∠=∠，90BMC ∠=︒，90EMF ∴∠=︒，即EMF ∆为等腰直角三角形，EF AE CE ∴=-，故③正确，45MEF MFE ∠=∠=︒，90AEC ∠=︒，45MEF AEM ∴∠=∠=︒，故②正确，设AE 与CM 交于点N ，连接DN ，DMF NME ∠=∠，FM EM =，45DFM DEM AEM ∠=∠=∠=︒，()DFM NEM ASA ∴∆≅∆，DF EN ∴=，DM MN =，DMN ∴∆为等腰直角三角形，2DN DM∴=，而90DEA∠=︒，22222DE DF DN DM∴+==，故④正确；AC BC=，90ACB∠=︒，45CAB∴∠=︒，AE平分BAC∠，22.5DAE CAE∴∠=∠=︒，67.5ADE∠=︒，45DEM∠=︒，67.5EMD∴∠=︒，即DE EM=，AE AE=，AED AEC∠=∠，DAE CAE∠=∠，()ADE ACE ASA∴∆≅∆，DE CE∴=，MEF∆为等腰直角三角形，2EF EM∴=，∴22EF EF EF EMBF CE DE====，故⑤正确；CDM ADE∠=∠，90CMD AED∠=∠=︒，CDM ADE∴∆∽，∴CD CM DMAD AE DE==，BM CM=，AE CF=，∴，，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．27．（2020山西）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为．解：如图，过点F作FH⊥AC于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，BM DMCF DE=CF DM BM DE∴=∵CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝，AD＝＝＝，∵FH∥EC，∴＝，∵EC＝EB＝2，∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，∵tan∠FCH＝＝，∴＝，∴k＝，∴FH＝，CH＝3﹣＝，∴CF＝＝＝，∴DF＝﹣＝，故答案为．28．（2020四川眉山）（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE的长为．解：∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∴∠AED＝90°，AE＝CE＝AC＝＝5，AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵△ABD的周长为26，∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，∵AB＝AC＝10，∴BC＝16，∠B＝∠C，∴∠B＝∠DAC，∴△ABC∽△DAC，∴＝，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝8，∴AM＝＝＝6，∴＝，∴DE＝，29．（2020浙江温州）（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM ＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为15√2米，BC为20√2米．【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，∵∠ANE＝45°，∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN，∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），∴AN＝25√2，BN＝10√2，∴AB＝AN﹣BN＝15√2（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，∴AE∥CH，∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，∴△AEF ∽△CHM ，∴CH HM =AE EF =2515=53， ∴设MH ＝3x ，CH ＝5x ，∴CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2，∵∠APB ＝∠ABC ＝∠CQB ＝90°，∴∠ABP +∠PAB ＝∠ABP +∠CBQ ＝90°，∴∠PAB ＝∠CBQ ，∴△APB ∽△BQC ，∴AP BQ =PB CQ ， ∴153x+2=155x−10，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20，∴BC ＝20√2，故答案为：15√2，20√2．六、解答题30．(2020杭州)（8分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ．（1）求证：△BDE ∽△EFC ．（2）设AF FC =12， ①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；（2）解：①∵EF ∥AB ，∴BE EC =AF FC =12，∵EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣BE ，∴BE 12−BE=12，解得：BE ＝4； ②∵AF FC =12，∴FC AC =23， ∵EF ∥AB ，∴△EFC ∽△BAC ，∴S △EFCS △ABC =（FC AC ）2＝（23）2=49， ∴S △ABC =94S △EFC =94×20＝45． 31．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，．与相交于点，与相交于点，．（1）求证：；（2）若，求的长；（3）如图2，连接，求证：．（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上，，又，，，，，即，故，（2）解：四边形是矩形，，，，，ABCD E BA AE AD =EC BD G AD F AF AB =BD EC ⊥1AB =AEAG EG DG -=ABCD E BA 90EAF DAB ∴∠=∠=︒AE AD =AF AB =()AEF ADB SAS ∴∆≅∆AEF ADB ∴∠=∠90GEB GBE ADB ABD ∴∠+∠=∠+∠=︒90EGB ∠=︒BD EC ⊥ABCD //AE CD ∴AEF DCF ∴∠=∠EAF CDF ∠=∠AEF DCF ∴∆∆∽， 即，设，则有，化简得，解得（舍去）， ． （3）如图，在线段上取点，使得，在与中，，，，，，，，为等腰直角三角形，．32．（2020成都）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．∴AE AF DC DF=AE DF AF DC =(0)AE AD a a ==>(1)1a a -=210a a --=a =AE ∴EG P EP DG =AEP ∆ADG ∆AE AD =AEP ADG ∠=∠EP DG =()AEP ADG SAS ∴∆≅∆AP AG ∴=EAP DAG ∠=∠90PAG PAD DAG PAD EAP DAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒PAG ∴∆EG DG EG EP PG ∴-=-=ABCD 4AB =3BC =E F AB CD P E EA A Q F FC C PQ B BH PQ ⊥H DH P Q P E A PQ DH EF PQ M BM BM O OH OD O ON CD ⊥N四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，， ， ，，，当点与重合时，的值最大，此时，，，，，，，，，，，，，故答案为．33.（2020福建）如图，C为线段AB 外一点．ABCD DF CF =AE EB =∴ADFE 3EF AD ∴==//FQ PE MFQ MEP ∴∆∆∽∴MF FQ ME PE=2PE FQ =2EM MF ∴=2EM ∴=1FM =P A PQ PM ==MQ PQ ∴=////MF ON BC MO OB =1FN CN ∴==3DN DF FN =+=1()22ON FM BC =+=OD ∴==BH PQ ⊥90BHM ∴∠=︒OM OB =1122OH BM ∴==DH OD OH -132DH ∴-DH ∴（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．解：（1）则四边形ABCD 就是所求作的四边形．（2）∵AB CD ∥，∴ABP CDP ∠=∠，BAP DCP ∠=∠，∴ABP CDP ∆∆∽，∴AB AP CD CP． ∵,M N 分别为AB ，CD 的中点，∴2AB AM =，2CD CN =，∴=AM AP CN CP． 连接MP ，NP ，又∵BAP DCP ∠=∠，∴∽∆∆APM CPN ，∴∠=∠APM CPN ，∵点P 在AC 上∴180∠+∠=︒APM CPM ，∴180∠+∠=︒CPN CPM ，∴,,M P N 三点在同一条直线上．34.（2020河北）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长． （1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ， ∴AP AD PQ AB AC BC==，的∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴23AP AB =， AE=2BC ·tan 3C =， 根据勾股定理可得AB=5， ∴2253AP MP AB +==， 解得MP=43； （3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35， ∴d=35PQ ， ∵AP=x+2， ∴25AP x PQ AB BC+==， ∴PQ=285x +⨯， ∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +， 当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335， 综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ②P 在BC 上时，K 与Q 重合时 CQ=CK=5-94=114， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B ∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y-4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．35.（2020江西） 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究： 1S 2S 3S类比探究（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形中，，，，点在上，，，求五边形的面积.【解析】（1） （2）成立；∵∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F ，∴△ABD ∽△CAE ∽△BCF. ∴∴∵△ABC 为直角三角形 ∴.∴，∴，∴成立. Rt ABC ∆BC ,,AB AC BC Rt ABD ∆Rt ACE ∆Rt BCF ∆123∠=∠=∠1S 2S 3S Rt ABC ∆BC ,,AB AC BC ABD ∆ACE ∆BCF ∆123∠=∠=∠D E F ∠=∠=∠ABCDE 105A E C ∠=∠=∠=90ABC ∠=AB =2DE =P AE 30ABP ∠=PE =ABCDE 123;S S S +=22122233,.S S AB AC S BC S BC ==221223.S S AB AC S BC ++=222AB AC BC +=1231S S S +=123S S S +=（3）过点A 作⊥BP 于点H.∵∠ABH=30°，AB=∴.∵∠BAP=105°，∴∠HAP=45°.∴∴，BP=BH+PH=∴.连接PD.∵，∴. ∴又∵∠E=∠BAP=105°，△ABP∽△EDP.∴∠EPD=∠APB=45°，.∴∠BPD=90°，∴连接BD.∴.∵tan ∠PBD=，∴∠PBD=30°.∵∠ABC=90°，∠ABC=30°，∴∠DBC=30°∵∠C=105°，∴△ABP ∽△EDP ∽△CBD.∴S △BCD =S △ABP +S△EDP =.∴S 五边形ABCDE =S △ABP +S △EDP +S △BCD +S △BPD36．(2020苏州）.如图，在矩形ABCD中，E 是BC 的中点，DFAE ⊥，垂足为F．AH 3,60AH BH BAH ==∠=︒AP =3(33222ABP BP AH S ∆⋅+===2PE ED ==PE ED AP AB ====.PEEDAP AB =BDPEBP AP ==1PD =213BPD ABP S S ∆∆=⋅==32BPD PB PDS ∆⋅===PD BP =31222+=2)3)7++=（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC ∥．∴AEB DAF ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒．∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽．解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽， ∴AB AE DF AD=． ∵4BC =，E 是BC 的中点， ∴114222BE BC ==⨯=． ∴在Rt ABE ∆中，AE == 又∵4AD BC ==，∴6DF =∴DF =37．（2020南京）（9分）如图，在和△中，、分别是、上一点，．ABC ∆A B C '''D D 'AB A B ''AD A D AB A B ''=''。

2020年中考数学专题 相似三角形综合（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（ ）A ．2aB ．a 22C ．3aD ． 2.根据下列条件，△ABC 和△111C B A 不相似的是（）A.∠A=68°，∠B=40°，∠A 1=68°，∠B 1=72°B.∠B=∠B 1，BC=2，BC:A 1 B 1= A B: B 1C 1C.AB=1，BC=2， CA=1.5，A 1 B 1=4， B 1 C 1 =8，D.AB=12，BC=15，CA=24，A 1 B 1=24，A 1 B 1=20，B 1 C 1 =25，A 1 C 1=32 3.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ） A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部C.只能选在原形的边上D.可以选择任意位置4.如图，AB ，CD 都是BD 的垂线，AB=4，CD=6，BD=14。

P 是BD 上一点，连接AP ，CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是（ ）A.2B.5.6C.12D.上述都有可能5.如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=32m ，窗户的下沿到教室地面的距离BC=1m （点M ，N ，CC 在同一直线上），则窗户的高CAA B CD a 3346.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE:EA=3:4，EF=3，则CD 的长为（ ）A.4B.7C.3D.127.如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD:DB = 3:5，那么CF ∶CB 等于（ ） A. 5:8 B. 3:8 C. 3:5 D.8.如图，如果点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则下列比例式正确的是（ ）A.AB ACAC BC= B.AB BC BC AC = C. AC BC BC AB = D. AC ABAB BC=9.如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E 、F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为12,,S S S ，若3S =，则12S S +的值为（）A.24B.12C.6D.3 10.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ） A.3:2 B.3:1 C.1:1 D.1:2 二、填空题（共有8道小题）11.如图，梯形ABCD 的对角线相交于O ，G 是BD 的中点．若AD = 3，BC = 9，则GOBG=A B C DE F A B C P A BCDE F E F A B CD12.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果， 那么 ．13.如图，正五边形ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’是位似图形，且相似比为21。

专题13 相似三角形一．选择题1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===，∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．2．（2022·广西贺州）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ，∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2022·广西梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积为18，故选：D ．【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解： AD BD ＝21，2,3AD AB ∴= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =， ∴DM BC =，而DM BC ∥，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，∴ABE CDE ∽，∴21ABE CDE C AB C CD ===△△．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x < ．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式；（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==，∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽，∴AB AM AP AB=，∵2AB =，AP x =，PM y =，∴22x y x -=，解得：4y x x=-，故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=，∴12DC DP AP AB ==，又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=，∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽，∴MF PF PM AB AP PB ==，∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，ADBC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，∵BC DF FH CD ∥∥，，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH =DF =8，CD =FH ，∴BH =4，∴BH =AE =4，又∵AE BC ∥，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB =HE ，∵EH FH EF +≥，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵MN PQ BC AE ∥∥，，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，∴EG =BC =12，∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠，同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，∴2TL =，∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴AL DK ∥，∴△ALO ∽△DKO ，∴2AL AO DK DO==，∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===，，∴42TF TL OL OK KF =+++=，∴EF ==故选C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，动点E 在AB 边上（与点A 、B 均不重合），点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接,AG DF ，若AF BE =，则下列结论错误的是（ ）A ．DF CE =B ．120BGC ∠=︒C ．2AF EG EC =⋅D ．AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ，即可判断C 项答案正确，由120BGC ∠=︒，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-（∠GCB +∠GBC ）=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE CE GE BE = ，∴2BE GE CE = ，∵AF BE =，∴2AF GE CE = ，故C 项答案正确，∵120BGC ∠=︒，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF AC ⊥，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得AG D 项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．10．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．11．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．245【答案】C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： ∥DE BC ，23AD DB =，2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =，62,3CE CE -∴= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°∴∠AOG ＝180°，∠BOH ＝180°，∴A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ，设OA =x ，则OB=1cos30OA x ==︒，∴OC=24cos303OB x x ==︒，∴OD=3cos30OC x ==︒，…∴OG=6x ，∴6OG OA =，∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵1AOB S = ，∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故选：C ．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．二．填空题13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm．【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明FEG FBM ∆∆ ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接,DF 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点，∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得，2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=，90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中，2,2FM x BM =+=，∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中，222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得，124,83x x ==-（舍去）∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．（2022·上海）如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．15．（2022·北京）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC =，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2022·江苏常州）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==，1115344DM AM AB ∴===，//BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==，345344DN AN AB ∴===，451530444MN DN DM ∴=-=-=，Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB ，如图所示：根据题意得：ABC DEF ∆∆ ，∴DE EF AB BC= ∵2DE =米， 1.2EF =米，7.2BC =米，∴2 1.2=7.2AB 解得：AB =12米．故答案为：12．【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．（2022·广东深圳）已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，90HED BCD ∠=∠=︒，从而得出////HE DC AB ，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．【详解】解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆ 是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，90HED BCD ∠=∠=︒，90EDC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，////HE DC AB ∴，,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠，ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AF EH EF AE AF ，AE =∴35=AF ∴=，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝_____．【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形，进而判断出△ABG ≌△BEH ，得出∠BAG =∠EBH ，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB ~△ABG ，求出OA OB ==△OBM ～△OAN ，求出BM =1，即可求出答案．【详解】解：∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22AF AD BE BC ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，AD =BC ，∴12AF BE AD ==，∴四边形ABEF 是矩形，由题意知，AD =2AB ，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝25BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴AG==∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OA OB ABAB BG AG==，即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴OB BM OA AN=，∵点N是AF的中点，∴1522AN AF==，52BM=，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴552tan48ANAMNAM∠===．故答案为：5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM 是解本题的关键．20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O 处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ，BD =11m ，则旗杆AB 的高度约为_________m ． 1.7≈）【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，即∠CDO =∠ABO =90°．由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°，这样可以得到△COD ∽△AOB ，然后利用对应边成比例就可以求出AB ．【详解】解：由题意知∠COD =∠AOB =60°，∠CDE =∠ABE =90°，∵CD =1.7m ，∴OD =60CD tan =︒≈1(m)，∴OB =11-1=10(m)，∴△COD ∽△AOB ．∴CD OD AB OB =，即1.7110AB =，∴AB =17(m)，答：旗杆AB 的高度约为17m ．故答案为：17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．【答案】6+【分析】如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明△BDP ∽△ADB ，得到62BP PD==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∵CE =BD =2，AB =AC =6，∴AE =4，∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∴BF =4，∴BE =又∵BD =CE ，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，又∵∠BDP =∠ADB ，∴△BDP ∽△ADB ，∴BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∴BP PD =∴AP AD AP =-=，∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为：6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出；【详解】解： 正方形ABCD 的面积为4，∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴A C ''==所求周长=；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．23．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE的长为___________．【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出CF EF =，根据90ACB ∠=︒，3AC BC ==，得出AB =CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BDCF AD=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出3BE =．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，DC DE =，∵DF ⊥BC ，∴CF EF =，∵90ACB ∠=︒，3AC BC ==，∴AB ===∵3BD BC ==，∴3AD =，设CF x =，则3BF x =-，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵DF BC ⊥，∴DF AC ，∴BF BDCF AD =，即3x x -=，解得：x =，∴226CE x ===-，∴3363BE CE =-=-+=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．24．（2022·江苏泰州）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作//DE BC ，OF BC OG AB ⊥⊥，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵//DE BC ，∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心，∴OBF OBE ∠=∠，∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =，同理，CD OD =，∴DE=CD+BE ，10AB ===∵O 为ABC ∆的内心，∴OF OD OG CD ===，∴BF BG AD AG==，∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图，作DE AB ⊥，由①知，4BE =，6AE =，∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．25．（2022·黑龙江绥化）如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ，22P K ，33P K ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA ⊥ ，11OPK ∴△是直角三角形，在11Rt OPK 中，60AOB ∠=︒，11OP =，12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ，22P K OA ⊥，1122PK P K ∴∥，2211OP K OPK ∴△∽△，222111P K OP PK OP ∴=，=221P K ∴，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……，11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =，∴点(1B ，∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD 中，AB =，对角线,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H '恰好落在BD 上，得到EFH '△若点F 为CD 的中点，则EGH '△的周长是_________．【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，得到BP =CQ ，从而证得BPE ≌EQF △，得到BE =EF ，再利用BC =F 为中点，求得BF ==BE EF ===，再求出2EO ==，再利用AB //FC ，求出ABH CFH △∽△21AH CH ==，求得216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，从而得到EH =AH -AE =1610233-=，再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===，求得EG OG =1， 过点F 作FM ⊥AC 于点M ，作FN ⊥OD 于点N ，求得FM =2，MH =23，FN =2，证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==，从而得到ON =2，NG =1，25133GH '=+=，从而得到答案．【详解】解：过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，∵AD //PQ ，∴AP =DQ ，BPQ CQE ∠=∠，∴BP =CQ ，∵45ACD ∠=︒，∴BP =CQ =EQ ，∵EF ⊥BE ，∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠，在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △，∴BE =EF ，又∵BC AB ==F 为中点，∴CF =∴BF ==∴BE EF ===，又∵4BO ==，∴2EO ==，∴AE =AO -EO =4-2=2，∵AB //FC ，∴ABH CFH △∽△，∴AB AH CF CH=，21AH CH ==，∵8AC ==， ∴216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，∴EH =AH -AE =1610233-=，∵90BEO FEO ∠+∠=︒，+90BEO EBO ∠∠=︒，∴FEO EBO ∠=∠，又∵90EOB EOG ∠=∠=︒，∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==，21242OG ===，∴EG OG =1，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∴FM=MC 2=，∴MH =CH -MC =82233-=， 作FN ⊥OD 于点N ，2,FN ==，在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==，∴ON =2，NG =1，∴25133GH '=+=，∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．28．（2022·辽宁）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ==，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB =，∴6AD BC AB ===，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC=，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC ====，∴12EF AE BF BC ==，192ABE S AE AB =⋅= ，∴13EF BE =，∴133AEF ABE S S == ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，6cm AC BC ==，90ACB ADB ∠=∠=︒．若2BE AD =，则ABE △的面积是_______2cm ，AEB ∠=_______度．【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ，利用相似三角形的性质求出23m AE =，263m CE =-，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE 的面积，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，证明AEF 是等腰直角三角形，再求出AE CE =，继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ，可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒，利用外角的性质即可求解．【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ，ADE BCE ∴ ，AD AE BC BE∴=，6,2BC AC BE AD === ，设,2AD m BE m ==，62m AE m∴=，23m AE ∴=，263m CE ∴=-，在Rt BCE 中，由勾股定理得222BC CE BE +=，22226(6)(2)2m m ∴+-=，解得236m =-或236m =+ 对角线AC ，BD 相交于点E ，236m ∴=-，12AE ∴=-，6CE ∴=，∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，90,ACB AC BC ∠=︒= ，45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠，6AE AF AE CE ∴====，BE BE = ，()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ，122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒，112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：36-，112.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．三．解答题30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ，其中水面截线MN AB ∥．嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°，点M 的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．(1)求∠C 的大小及AB 的长；(2)请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan 76︒取4 4.1）【答案】(1)=76C ∠︒， 6.8(m)AB =(2)见详解，约6.0米【分析】（1）由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥，从而可求得76C ∠=︒，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，水面截线MN AB ∥，即可得DH 即为所求，由圆周角定理可得14BOM ∠=︒，进而可得ABC OGM ，利用相似三角形的性质可得4OG GM =，利用勾股定理即可求得GM 的值，从而可求解．(1)解：∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒，在t R ABC 中，90ABC ∠=︒， 1.7BC =，tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==，解得 6.8(m)AB ≈．(2)过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，如图所示：水面截线MN AB ∥，OH AB ⊥，DH MN ∴⊥，GM OD =，DH ∴为最大水深，7BAM ∠=︒ ，214BOM BAM ∴∠=∠=︒，90ABC OGM ∠=∠=︒ ，且14BAC ∠=︒，ABC OGM ∴ ，OG MG AB CB ∴=，即6.8 1.7OG MG =，即4OG GM =，在Rt OGM △中，90OGM ∠=︒， 3.42AB OM =≈，222OG GM OM ∴+=，即2224(3.4)GM GM +=（），解得0.8GM ≈，= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈，∴最大水深约为6.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅ ，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S = ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM =△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM =．由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h =⋅ ，12DBC BC h S '=⋅ ，ABC DBC S h S h ∴='．(2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴ ．AE AM DF DM∴=．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF= ，ABC DBC S AM S DM ∴= ．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴ ，AME DNE ∴~ ，AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==，又12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，73ABCDBC S AM S DN =∴= ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．（2022·山东青岛）如图，在Rt ABC △中，90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．PQ 交AC 于点F ，连接,CP EQ ．设运动时间为(s)(05)t t <<．解答下列问题：(1)当EQ AD ⊥时，求t 的值；(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ CD ∥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在，65s 29t =【分析】（1）利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =，即445t =，进而求解；（2）分别过点C ，P 作,CM AD PN BC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，证ABC CAM △∽△得，AB BC AC CA AM CM ==，求得121655AM CM ==，再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=，得出45PN t =，根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式；（3）当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠，易证APQ MCD △∽△，得出AP AQ MC MD =，则5161355t t -=，进而求出t 值．(1)解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。

三轮压轴专题：《二次函数与三角形相似》1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n与x轴，y轴分别交于点B，点C，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣2，0），连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，且点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P到直线BC的距离；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点C（0，），则直线y＝﹣x+n＝﹣x+，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6），故﹣6a＝，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+…①；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CBA＝＝＝tanα，则cosα＝，设点P（m，﹣m2+m+），则点G（m，﹣m+），则PH＝PG cosα＝（﹣m2+m++m﹣）＝﹣m2+m；（3）①当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（1，）；②当点Q在x轴下方时，（Ⅰ）当∠BAQ＝∠CAB时，△QAB∽△BAC，则＝，由勾股定理得：AC＝，AQ＝＝＝10，过点Q作QH⊥x轴于点H，由△HAQ∽△OAC得：＝＝，∵OC＝，AQ＝10，∴QH＝6，则AH＝8，OH＝8﹣2＝6，∴Q（6，﹣6）；该点在抛物线上；根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（﹣5，﹣6）；故点Q的坐标为：（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）；（Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时，则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：﹣，则直线AQ的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝5或﹣2（舍去﹣2），故点Q（5，﹣），＝，而＝，故≠，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC不相似，故舍去，Q的对称点（﹣4，﹣）同样也舍去，即点Q的为：（﹣4，﹣）、（5，﹣）均不符合题意，都舍去；综上，点Q的坐标为：（1，）或（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）．2．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）设点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①求PN的最大值；②若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，请直接写出点M的坐标．解：（1）直线y＝﹣x+c交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，将点A、B的坐标代入抛物线表达式并解得：y＝﹣x2+x+2；（2）①M（m，0），则P（m，），N（m，﹣m2+m+2），∴PN＝﹣m2+m+2﹣＝﹣m2+4m（0≤m≤3）；当m＝时，线段PN有最大值为3；②由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）．3．已知抛物线y＝x2+ax+b与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）填空：a＝﹣4 b＝ 3 ；（2）如图1，已知E（，0），过点E的直线与抛物线交于点M、N，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式；（3）如图2，已知D（0，1），P是第一象限内抛物线上一点，作PH⊥y轴于点H，若△PHD与△BDO相似，请求出点P的横坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3…①，故答案为：﹣4，3；（2）设点M、N的横坐标为m，n，直线MN的表达式为：y＝k（x﹣）…②，联立①②并整理得：x2﹣（4+k）x+（3﹣k），则m+n＝4+k，点M、N关于点E对称，则y M+y N＝km﹣k+kn﹣k＝k（m+n）﹣5k＝0，即（4+k）k﹣5k＝0，解得：k＝0（舍去）或1，故直线MN的表达式为：y＝x﹣；（3）设点P（m，m2﹣4m+3），则PH＝m，HD＝|m2﹣4m+3﹣1|，而OB＝3，OD＝1，则tan∠DOB＝，若△PHD与△BDO相似，则tan∠HPD＝或4，即＝或4，即＝或4，解得：m＝或或．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A（0，1）和点B（3，﹣2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．解：（1）将点A（0，1）和点B（3，﹣2）代入抛物物线y＝﹣x2+bx+c中得，解得∴y＝﹣x2+2x+1（2）如图1所示：过点D作DM∥y轴交AB于点M，设D（a，﹣a2+2a+1），则M（a，﹣a+1）．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a∴∵有最大值，当时，此时图1（3）∵OA＝OC，如图2，CF∥y轴，∴∠ACE＝∠ACO＝45°，∴△BCD中必有一个内角为45°，由题意可知，∠BCD不可能为45°，①若∠CBD＝45°，则BD∥x轴，∴点D与点B于抛物线的対称轴直线x＝1対称，设BD与直线＝1交于点H，则H（1，﹣2）B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）此时△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，（i）当∠AEC＝90°时，得到AE＝CE＝1，∴E（1.1），得到t＝1（ii）当∠CAE＝90时，得到：AC＝AE＝，∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2图2②若∠CDB＝45°，如图3，①中的情况是其中一种，答案同上以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上，设圆H与对称左侧的物线交于另一点D1，则∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所对的圆周角相等），即D1也符合题意设由HD1＝DH＝2解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），∴，则，（i）若△ACE∽△CD1B，则，即，解得（舍去）（ii）△ACE∽△BD1C则，即，解得（舍去）综上所述：所有满足条件的t的值为t＝1或t＝2或或图35．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB＝90°，如图，①点F是直角顶点时，点F的纵坐标与点D的纵坐标相同，是1，∴x2﹣4x+3＝1，整理得x2﹣4x+2＝0，解得x＝2±，当x＝2﹣时，y＝﹣（2﹣）+3＝1+，当x＝2+时，y＝﹣（2+）+3＝1﹣，∴点E1（2﹣，1+）E2（2+，1﹣），②点D是直角顶点时，易求直线AD的解析式为y＝x﹣1，联立，解得，，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝4时，y＝﹣4+3＝﹣1，∴点E3（1，2），E4（4，﹣1），综上所述，存在点E1（2﹣，1+）或E2（2+，1﹣）或E3（1，2）或E4（4，﹣1），使以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．7．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，因此点C（0，2），当y＝0时，即：﹣x2+x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此点A（﹣1，0），B （4，0），故：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴点D（0，﹣2），CD＝4，设直线BD的关系式为y＝kx+b，把D（0，﹣2），B（4，0）代入得，，解得，k＝，b＝﹣2，∴直线BD的关系式为y＝x﹣2，设M（m，m﹣2），Q（m，﹣m2+m+2），∴QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣m2+m+4，当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形；∴﹣m2+m+4＝4，解得m1＝0（舍去），m2＝2，答：m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，因此OB＝2OD，①若∠MBQ＝90°时，如图1所示，当△QBM∽△BOD时，QP＝2PB，设点P的横坐标为x，则QP＝﹣x2+x+2，PB＝4﹣x，于是﹣x2+x+2＝2（4﹣x），解得，x1＝3，x2＝4（舍去），当x＝3时，PB＝4﹣3＝1，∴PQ＝2PB＝2，∴点Q的坐标为（3，2）；②若∠MQB＝90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，∴Q（﹣1，0）；③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°，这种情况不存在△QBM∽△BOD．综上所述，点P在线段AB上运动过程中，存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，点Q（3，2）或（﹣1，0）．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF ＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．9．如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，0）和B（0，2），点M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是MN的中点，则求点P的坐标；（3）若以点B、N、P为顶点的三角形与△AMP相似，请直接写出点P的坐标．解：（1）抛物线经过点A（3，0），B（0，2），∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）∵B（0，2），∴可设直线AB的解析式为y＝kx+2，将点A（3，0）代入y＝kx+2，得，3k+2＝0，∴k＝﹣，∴直线AB的解析式为，由M（m，0），设，，则，，点P是MN的中点，即NP＝PM，∴，解得（舍），∴；（3）∵∠APM＝∠NPB，∴若以点B、N、P为顶点的三角形与△AMP相似，则存在△AMP∽△NBP和△AMP∽△BNP两种情况，如图，过点P作PH∥x轴交y轴于H，则△BHP∽△BOA，∴＝，∵OA＝3，PH＝m，BA＝＝，∴BP＝m，∴AP＝AB﹣BP＝﹣m＝，①当△AMP∽△NBP时，＝，∴＝，解得，m1＝3（舍去），m2＝，∴P1（，）；②当△AMP∽△BNP时，＝，∴＝，解得，m1＝3（舍去），m2＝，∴P2（，）；∴点P的坐标为（，）或（，）．10．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A、B两点，交x轴于D、C 两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）抛物线的函数关系式为y＝x2﹣x+3 ，tan∠BAC＝；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A 后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3；联立，解得或，∴点B的坐标为（4，1），如图1，过点B作BH⊥x轴于H，∵C（3，0），B（4，1），∴BH＝1，OC＝3，CH＝4﹣3＝1，∴BH＝CH＝1，∵∠BHC＝90°，∴∠BCH＝45°，BC＝，同理，∠ACO＝45°，AC＝3，∴∠ACB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝，故答案为：y＝x2﹣x+3，；（2）如图2，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E，∵A（0，3），C（3，0），∴可设直线AC的解析式为y＝kx+3，将点C（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°，∴EF＝AE•sin45°＝AE，∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取最小值，点M在整个运动中用时最少，为：t＝+＝DE+AE＝DE+EF，∵在y＝x2﹣x+3中，当y＝0时，x1＝3，x2＝2，∴D（2，0），则E点横坐标为2，将x＝2代入直线y＝﹣x+3，得，y＝1，∴E（2，1）；（3）存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°，设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x，∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°，若点G在点A的下方，①如图3﹣1，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝，∴AG＝3PG＝3x，则P（x，3﹣3x），把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，解得，x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）；②如图3﹣2，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA，同理可得，AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，解得，x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①如图3﹣3，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA，同理可得，AG＝PG＝x，则P（x，3+x），把P（x，3+x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3+x，解得，x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；②如图3﹣4，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得，AG＝3PG＝3x，则P（x，3+3x），把P（x，3+3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3+3x，解得，x1＝0（舍去），x2＝11，∴P（11，36），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，），（，），（11，36）．11．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，∴m＝，将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣，n2+n+），∴GP＝（﹣n2+3n+4），当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△PAB的面积＝××＝；（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），∴AM＝2，AB＝4，MD＝2，∴△MAD是等腰直角三角形，∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，设N（t，t2﹣t﹣）①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，∴△MNS≌△NMS（AAS）∴t﹣1＝﹣t2+t+，∴t＝±，∴t＞1，∴t＝，∴N（，1﹣）；③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR ∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），∴SQ＝QR＝2，∴t+2＝1+t2﹣t﹣，∴t＝5，∴N（5，6）；④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ＝RN，∴t2﹣t﹣＝t﹣1，∴t＝2±，∵t＞1，∴t＝2+，∴N（2+，1+）；综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD 相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M1（1，）．当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M2（1，1）．综上，点M的坐标为或（1，1）．13．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）若点F是线段AD上一个动点，①如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；②如图2，以点A，F，O为顶点的三角形能否与△ABC相似？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，函数的对称轴为：x＝﹣1，故顶点D的坐标为：（﹣1，4）；（2）①点D的坐标为：（﹣1，4），点A（﹣3，0），点C（0，3），作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，FC+FO＝FC+RF＝CR为最小，连接AR，设直线OR交AD于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+6，则tan∠DAO＝2＝tanα，设∠HOA＝∠β，则tanβ＝，则cosβ＝，sinβ＝，OH＝AO•cosβ＝，OR＝2OH＝，y R＝OR sinβ＝，同理x R＝﹣，故点R（﹣，），由点R、C的坐标得，直线RC的表达式为：y＝x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，y＝，则点F（﹣，）；②在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝，在Rt△OBC中，tan∠OCB＝＝，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入上式并解得：直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，直线AD的解析式为y＝2x+6，联立直线OF、AD的表达式并解得：x＝﹣，故点F（﹣，）；当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，将上式与y＝2x+6联立并解得：x＝﹣2，故点F（﹣2，2）；综合以上可得F点的坐标为（﹣，）或（﹣2，2）．14．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴对折，点A 落到点C处，过点A、B的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线BC交于点B、D．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在直线BD上方的抛物线上求一点E，使△BDE面积最大，求出点E坐标；（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，则x＝﹣1，令x＝0，则y＝2，∴点A、B的坐标分别是：A（﹣1，0），B（0，2），根据对折的性质：点C的坐标是：（1，0），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B（0，2），C（1，0）代入y＝kx+b，得，解得：k＝﹣2，b＝2，∴直线BD解析式为y＝﹣2x+2，把A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得：b＝1，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）解方程组得：和，∴点D坐标为（3，﹣4），作EF∥y轴交直线BD于F设E（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣2x+2）∴EF＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣2x+2）＝﹣x2+3x，△BDE面积S＝×EF×x D＝×（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，三角形面积最大，此时，点E的坐标为：；（3）存在．∵点B、C的坐标分别是B（0，2）、C（1，0），∴BO＝2，CO＝1，①如图1所示，当△MON∽△BCO时，∴，即，∴MN＝2ON，设ON＝a，则M（a，2a），将M（a，2a）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+x+2得：﹣a2+a+2＝2a，解得：a1＝﹣2（不合题意，舍去），a2＝1，∴点M的坐标为（1，2）；②当△MON∽△CBO时，同理可得：，即，∴MN＝ON，设ON＝b，则M（b，b），将M（b，b）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+x+2得：∴，解得：（不合题意，舍去），，∴点M的坐标为（，），∴存在这样的点M（1，2）或．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）联立，解得，或，∴E（4，﹣5），如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，解得，m＝4，∴Q1（4，0）；当点Q在y轴上时，设Q（0，n），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即n2+12＝42+（n+5）2，解得，n＝﹣4，∴Q2（0，﹣4）；综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，又OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，设P（t，0），则BP＝3﹣t，∵∠BAE＝∠ABC＝45°，∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，当△PBC∽△BAE时，，∴＝，∴t＝，∴P1（，0）；当△PBC∽△EAB时，，∴＝，∴t＝﹣，∴P2（﹣，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．。

相似三角形50题、选择题：一1.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）＝ D.＝ B.＝＝ C.A.2.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）1：．1：．1：3 C．14 D2 BA．1：( )4.5cm，那么它们的相似比为3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，，则BE:EC=（）BDF4.如图，是平行四边形ABCD对角线上的点，BF:FD=1:3( )相似的是15.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形（阴影部分）与△ABCA． D C B．．．6.下列各组数中，成比例的是（）A.-7,-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，127.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A.4mB.6mC.8mD.12m8.下列四组图形中，一定相似的是( )A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形9.如图所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）对对 C.5 D.6对 A.3对 B.4）的长为（AB于点E，则DE 垂直平分，中，∠10.如图，在△ABCACB=90°，AC=8AB=10，DEAC交3．．A．6 B5 C．4 D的长等于（，则，已知：是位似图形，位似比为与△如图，△11.ABCDEF23AB=4DE ）A.6B.5C.9D.12.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B →C和A→D20（y与xy（单位：cm），则）→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s，四边形PBDQ的面积为( )）之间函数关系可以用图象表示为x≤8≤C. B.A.D.13.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )． CA．． B D．14.如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（）A.2B.3C.4D.5ACBD,xABCD15.如图,正方形的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的轴，y轴的////与正方形正方形正半轴上//////ABCD与正方形DCB,的中点是以ABCDACO为中心的位似图形已知AC=3A则正方形(1,2),的坐标为A若点,( )的相似比是 D. C. B. A.16.如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A.4对B.1对C.2对D.3对的重心，那么的值为（） AMN都是等边三角形，点M是△ABC17.如图，△ABC和△C.A.D. B.18.将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC，则的值为（）BCDF′交于点N 于点M，D. A. C. B.19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P 的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动．在整个运动过程中,阴影部分面积S+S ）的大小变化情况是（21．A.一直不变B.一直减小C.一直增大D.先减小后增大20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D 的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC.给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③2=AE?AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）点P是△ACQ的外心；④ACA.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④、填空题：二21.若△ABC与△ABC的相似比为2:3，△ABC与△ABC的相似比为2:3，那么△ABC与△ABC的相似比221212111212为22.如图，(1)若AE:AB=________,则△ABC∽△AEF；(2)若∠E=_______，则△ABC∽△AEF.□的值为________．于点Q. 则交相交于点，BDO，P是BC边中点，APBD23.如图，在中，对角线ABCDAC，则C中，已知A∽△B=6，若△ABCABBABC=5AB=3ABC24.在△中，已知，。