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2017 年高考数学第二轮复习的策略高三一轮复习已经凑近结尾了，二轮复习要如何展开？中华资源库采集了名师分享的高三数学二轮复习策略给大家参照，大家提早做好二轮复习的计划和策略，利用寒假时间迎头追上。
一、抓《考试说明》与信息研究第二轮复习中，不行能再左右逢源，要在复习中做到既有针对性又防备做无用功，既减少学生负担，又提升复习效率，就一定仔细研究《考试说明》，吃透精神本质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的议论报告，捕获高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转变成课堂教课的详尽内容，使复习有的放矢，事半功倍。
二、突出对课本基础知识的再发掘近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向，重申对通性通法的观察，而且一些高考试题能在课本中找到“原型”。
尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透辟理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。
自然回归课本不是照本宣科，而是抓纲悟本，指引学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推行发挥其应有的作用。
三、抓好专题复习，领悟数学思想高考数学第二轮复习重在知识和方法专题的复习，在知识专题复习中可以进一步牢固第一轮复习的成就，增强各知识板块的综合。
特别注意知识的交织点和联合点，进行必需的针对性专题复习。
比方：1、函数与导数。
此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是要点，特别要侧重交汇问题的训练。
2、三角函数、平面向量和解三角形。
此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是要点。
3、数列。
此专题中数列是要点，同时也要注意数列与其余知识交汇问题的训练。
4、立体几何。
此专题着要点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是要点。
5、分析几何。
此专题中分析几何是要点，以基天性质、基本运算为目标。
突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。
6、概率与统计、算法初步、复数。
此专题中概率统计是要点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。
2017年高考数学倒计时两周冲刺策略一、数学试题的特点数学试题有填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）解答题（本大题共有5题，满分76分）．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分；18．本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分；19．本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分；20．本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分；21．本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．高考数学试卷中，代数占65%左右，几何占35%左右，试题的分值与课时数匹配。
试题有考查知识点的掌握，数学思想和方法的掌握，有对数学能力的考查。
试题考查：数学基础知识与基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力——详见《2017年上海卷考试手册》P11～13。
数学素养的考查：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。
试题分为容易题、中档题、难题，三种题型的比例为3:5:2=45:75:30，做好容易题和中档题，总分有120，而多年来全市数学均分90多分。
最佳难度系数0.65，均分约为97.5。
二、学习策略1、容易题特点：容易题一般考查知识点的掌握情况，考查的知识点比较单一，考查的知识点不会很多，很少把知识点与数学思想方法结合在一起考，如果结合也是简单的、明显的。
对策：掌握《考试手册》中所涉及到的知识点，打开课本逐条落实，这也是查漏补缺必须做的。
可以做一些小的练习，这些练习难度不大，时间在半小时左右，对于小练习错误的题目，认真订正及时小结。
对于数学的方法要掌握具体内容和操作点。
比如换元法、数形结合、分类讨论、等价转化都要掌握好。
一般容易题所涉及到的数学方法都是明显的、简单的，题目本身涉及到的数学法都是想让答题者知道的。
【新步步高】（全国甲卷）2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第三篇 建模板看细则突破高考拿高分 文【模板·细则概述】“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化．评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢.模板1 三角函数的图象与性质典例1 (14分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π2)，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．审题路线图 (1)fx ＝m·n ――→数量积运算辅助角公式得f x――→对称性周期性求出ω――――→fα2 ＝－34和差公式cos α (2)y ＝f x――→图象变换y ＝g x――→整体思想gx 的递增区间规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 f (x )＝m·n ＝cos ωx sin ωx ＋3cos(ωx ＋π)cos ωx ＝cos ωx sin ωx －3cos ωx cos ωx ＝sin 2ωx 2－3cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π3)－32.4分 ∵f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T ＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(2x －π3)－32.6分第一步 化简：利用辅助角将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．第二步 求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值．第三步 整体代换：将“ωx ＋φ”看作一个评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给2分；如果只有最后结果没有过程，则给2分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π3)时没有考虑范围扣1分；3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.典例2 (14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分．2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝4，c ＝6，C ＝2B . (1)求cos B 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，b sin B ＝csin C，因为b ＝4，c ＝6，C ＝2B ，所以4sin B ＝6sin 2B ，即4sin B ＝62sin B cos B ，又sin B ≠0，所以cos B ＝34. (2)由(1)知cos B ＝34，从而sin B ＝74，因此sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝378，cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝18.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝74×18＋34×378＝5716. 所以△ABC 的面积为12×4×6×5716＝1574.模板3 数列的通项与求和问题典例3 (14分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n… … … … …a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ； (2)设b n ＝a 4na 4n －2a 4n －1＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .审题路线图数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征―――――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d ，设每一行依次组成的等比数列的公比为q .依题意a 31＋a 61＝(1＋2d )＋(1＋5d )＝9，∴d ＝1，∴a n 1＝a 11＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .3分 又∵a 31＝a 11＋2d ＝3，∴a 35＝a 31·q 4＝3q 4＝48， 又∵q >0，∴q ＝2，又∵a 41＝4，第一步 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系．第二步 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数∴a 4n ＝a 41q n －1＝4×2n －1＝2n ＋1.6分(2)∵b n ＝a 4na 4n －2a 4n －1＋(－1)n·a n 1＝2n ＋12n ＋1－22n ＋1－1＋(－1)n·n .＝2n2n－12n ＋1－1＋(－1)n·n ＝12n －1－12n ＋1－1＋(－1)n ·n .9分∴S n ＝(1－13)＋(13－17)＋(17－115)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)n·n ]，10分 当n 为偶数时，S n ＝1－12n ＋1－1＋n2；12分当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋b n ＝1－12n －1＋n －12＋(12n －1－12n ＋1－1)－n＝1－12n ＋1－1－n ＋12＝1－n 2－12n ＋1－1.14分评分细则 1.求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； 2．b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； 3．缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； 4．当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分．跟踪演练3 在等差数列{a n }中，首项a 1＝－1，数列{b n }满足1(),2n a n b =且b 1b 2b 3＝164.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝(－1)n6n －5a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项的和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＝－3＋3×22d ＝3d －3.∵数列{b n }满足1(),2n a n b =且b 1b 2b 3＝164，∴1231()2a a a ++＝(12)3d －3＝(12)6， ∴3d －3＝6，解得d ＝3. ∴a n ＝－1＋3(n －1)＝3n －4.(2)∵c n ＝(－1)n6n －5a n a n ＋1＝(－1)n(13n －4＋13n －1)， ∴当n 为偶数时，数列{c n }的前n 项的和T n ＝－(－1＋12)＋(12＋15)－…－(13n －7＋13n －4)＋(13n －4＋13n －1)＝1＋13n －1＝3n 3n －1. 当n 为奇数时，数列{c n }的前n 项的和T n ＝T n －1－(13n －4＋13n －1) ＝3n －13n －1－1－(13n －4＋13n －1)＝3n －23n －1.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 3n －1，n 为偶数，3n －23n －1，n 为奇数.模板4 空间中的平行与垂直关系典例4 (14分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAH ⊥平面DEF .审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用中位线定理取PD 中点M ――→考虑平行关系长度关系平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行的判定定理EF ∥平面PAD (2)平面PAD ⊥平面ABCD PA ⊥AD――→面面垂直的性质PA ⊥平面ABCD ―→PA ⊥DE ――――――→正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点DE ⊥AH ――――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面PAH ―――――→面面垂直的判定定理平面PAH ⊥平面DEF 规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板证明 (1)取PD 中点M ，连结FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点，∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .第一步 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．第二步 找线面：通过线线垂直或平行，∵在正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ，则四边形AEFM 为平行四边形，∴AM ∥EF ，6分 ∵EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .7分(2)∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥PA . ∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点， ∴Rt△ABH ≌Rt△DAE ，则∠BAH ＝∠ADE ，∴∠BAH ＋∠AED ＝90°，则DE ⊥AH ，12分∵PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA ∩AH ＝A ，∴DE ⊥平面PAH ，∵DE ⊂平面EFD ，∴平面PAH ⊥平面DEF .14分 利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行．第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行．第四步 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.评分细则 1.第(1)问证出AE 綊FM 给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面PAD 同样给分；2．第(2)问证明PA ⊥底面ABCD 时缺少条件扣1分；证明DE ⊥AH 时只要指明E ，H 分别为正方形边AB ，BC 中点得DE ⊥AH 不扣分；证明DE ⊥平面PAH 时只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥PA ，缺少条件不扣分．跟踪演练4 (2015·北京)如图，在三棱锥VABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥VABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB.所以三棱锥CVAB的体积等于13·OC·S△VAB＝33，又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为33.典例5 (14分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．审题路线图利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解评分细则 1.各层抽样数量每个算对给1分；2．没有列举基本事件只求对基本事件个数给2分；3．求对样本事件个数而没有列出的给2分；4．最后没下结论的扣1分．跟踪演练5 近日，某市楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格：(单位：万元/平方米)：(1)求a ，b 的值；(2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．解 (1)a ＝1.1×9－0.98－0.99－1.06－1.17－1.10－1.21－1.09－1.14＝1.16，b ＝1.2×9－1.08－1.11－1.12－1.26－1.27－1.26－1.25－1.28＝1.17. (2)A 户型小于100万的有2套，设为A 1，A 2； B 户型小于100万的有4套，设为B 1，B 2，B 3，B 4， 买两套售价小于100万的房子所含基本事件为：{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，B 4}，{B 2，B 3}，{B 2，B 4}，{B 3，B 4}，共有15个． 令事件A 为“至少有一套面积为100平方米住房”，则A 中所含基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个．∴P (A )＝915＝35，即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为35.典例6 (16分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求OQ OP的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→求出a ―――――――――→已知离心率e ＝ 3 2a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q共线设坐标代入方程―→求出OQ QP②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 关系得S △ABQ 的最大值解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，OQOP ＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 2＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即OQOP＝2.8分(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝216k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.12分 设m 21＋4k2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝24－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.16分评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣2分；2．第(2)问中，求OQOP时，给出P ，Q 坐标关系给2分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣2分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后再给2分；求最值时，不指明最值取得的条件扣2分．跟踪演练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)．(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b2＝1， 故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由{ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k2， 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即m 2－4k 24m 2－1＝k 2. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，PQ ＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝52－m2，所以S ＝12·PQ ·d ＝m22－m 2<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．模板7 解析几何中的探索性问题典例7 (16分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k x ＋1→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为m ，0→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.2分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则第一步 先假定：假设结论成立．第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解．错误!由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①. 所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.6分 (2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． (ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1. ③所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.10分 将③代入，整理得MA →·MB →＝6m －1k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －133k 2＋1－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋1433k 2＋1.13分 注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.14分(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数.16分评分细则 1.不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣2分； 2．不验证Δ>0，扣1分；3．直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； 4．没有假设存在点M 不扣分；5.MA →·MB →没有化简至最后结果扣3分，没有最后结论扣1分．跟踪演练7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0)．设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．(1)解 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，则k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14. (2)解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0， 解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .模板8 函数的单调性、极值与最值问题典例8 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审题路线图求f ′x――――→讨论f ′x 的符号f x 单调性―→f x 最大值―→解f xmax>2a －2.规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.10分 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0,1).14分 第一步 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数． 第二步 定符号：通过讨论确定f ′(x )的符号．第三步 写区间：利用f ′(x )符号写出函数的单调区间． 第四步 求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则 1.函数求导正确给1分；2．分类讨论，每种情况给2分，结论1分； 3．求出最大值给4分；4．构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给2分； 5．通过分类讨论得出a 的范围，给2分．跟踪演练8 已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1(x ∈R )．其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45， 又f ′(x )＝2x 2＋1－2x ·2x x 2＋12＝2－2x2x 2＋12，f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.(2)f ′(x )＝2ax 2＋1－2x 2ax －a 2＋1x 2＋12＝－2x －a ax ＋1x 2＋12. 由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1a)－1a(－1a，a )a(a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，a 内为增函数．函数f (x )在x 1＝－1a处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2.函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )在区间(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，＋∞内为增函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－a 内为减函数．函数f (x )在x 1＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. 函数f (x )在x 2＝－1a 处取得极小值f (－1a)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－a 2.综上，当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(－1a ，a )，单调递减区间为(－∞，－1a)，(a ，＋∞)，极大值为1，极小值为－a 2.当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(－1a ，＋∞)，单调递减区间为(a ，－1a)，极大值为1，极小值为－a 2.。
2017年高考数学一轮备考必备的攻略高考数学一轮备考必备的攻略，在高三数学第一轮复习时，给您最及时的帮助!科学安排好学习时间复习时间的安排有长期、中期和短期。
长期要与老师的安排大体一致，即整体进度跟着老师走。
近期安排就是以章为单位或一周为单位，可以安排每天做什么，操作性要强。
计划要结合老师的近期安排，跟着老师的节奏并在完成老师布置的作业后，针对自己的薄弱环节重点突破。
第一轮复习务必要把基本概念、解决一类问题的基本方法等扎实掌握。
中期安排就数学而言，主要抓好几大分支：函数、三角、数列、不等式等以及解析几何、立体几何。
其中函数(含不等式)、数列、解析几何是重中之重。
第一轮复习时要注意各分支之间的有机结合，综合程度要根据自己的实际情况而定，普通中学的学生对综合程度高的难题，可以暂时回避，先把基础内容掌握好。
立体几何近年上海卷因两种教材并行考查相对容易。
要提高自身的学习效率首先，学生要限时做好作业。
给自己规定时间，像考试一样“进入状态”，同样遵循先易后难的原则，遇到难题认真思考，但一时做不出要学会“放弃”。
提倡“做后满分”就是对做错的题目要认真订正，不妨准备一本错题集，记下错误原因，过段时间再回顾，争取不犯同样错误。
其次，要减少低级错误。
这是有些同学分数上不去的主要原因，大都由审题失误、计算失误，考试时还会有紧张等心理因素引起。
这些问题容易被以“粗心”的表象所掩盖，实际上经常的粗心就是一种不好的习惯，必须充分认识到它的危害性，并努力加以克服。
提高分析和解决问题的能力学生要多做练习，但不能仅满足于得到问题的答案，做过的类似问题要放在一起及时比较总结，以更好指导自己以后的解题，再在应用的过程中不断调整，这样可以“事半功倍”。
针对高三考试多的特点，建议同学每次考后能针对性进行分析。
分析考试中所暴露的学习盲点，对于下一阶段的学习和备考非常重要。
在考后分析中，要结合错题本，及时将问题明确化、题型化。
分析后要制订具体的行动计划。
2017年高考数学提高分数的攻略总结与2017年高考数学无敌答题技巧总结汇编2017年高考数学提高分数的攻略总结攻略一：概念记清，基础夯实。
数学≠做题，千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，特别是“不定项选择题”就要靠清晰的概念来明辨对错，如果概念不清就会感觉模棱两可，最终造成误选。
因此，要把已经学过的几本教科书中的概念整理出来，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
攻略二：适当做题，巧做为王。
有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。
数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。
考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且往往也不容易犯错。
攻略三：前后联系，纵横贯通。
在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，绝不能“傻做"。
在做一道与以前相似的题目时，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”的境界。
特别是几何题中的辅助线添法很有规律性，在做题中要特别记牢。
攻略四：记录错题，避免再犯。
俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。
因此，我建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。
毕竟，中考当中是“分分必争”，一分也失不得。
攻略五：集中兵力，攻下弱点。
每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。
因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力打场漂亮的歼灭战，避免不平衡发展。
2017年高考数学无敌答题技巧总结方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
第三步 应试技能专训 一、客观题专练(一)一、选择题1．设U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R |0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(1,2] B ．[1,2) C ．(1,2) D ．[1,2]答案 B解析 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B. 2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0答案 D解析 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝2 1－i1＋i 1－i －1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.3．[2016·沈阳监测]下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x答案 C解析 A 虽为增函数却是非奇非偶函数，B 、D 是偶函数，对于选项C ，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.4．已知数列{a n }是公差为3的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 10等于( ) A ．14 B.532 C.572 D ．32答案 C解析 由题意可得a 22＝a 1·a 5，即(a 1＋3)2＝a 1(a 1＋4×3)，解之得a 1＝32，故a 10＝32＋(10－1)×3＝572，故选C.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 画出可行域得知，当直线y ＝z －2x 过点(1,0)时，z 取得最大值2. 6. 已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝e1－x 2B ．f (x )＝e x 2－1C ．f (x )＝e x 2－1D ．f (x )＝ln (x 2－1) 答案 A解析 A 中，令f (x )＝e u，u ＝1－x 2，易知当x <0时，u 为增函数，当x >0时，u 为减函数，所以当x <0时，f (x )为增函数，当x >0时，f (x )为减函数，故A 可能是；B 、C 中同理可知，当x <0时，f (x )为减函数，当x >0时，f (x )为增函数，故B 、C 不是；D 中，当x ＝0时，无意义，故D 不是，选A.7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15答案 B解析 由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．8．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为( )A ．－2B ．－2或－1C ．1或－3D ．－2或13答案 D解析 当x ≤0时，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－4＝0得x ＝－2；当x >0时，由y ＝log 3x ＋1＝0得x ＝13.第三编/第三步 应试技能专训金版教程|大二轮·文数9. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )A.34B.14C.12D.38 答案 C解析 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C.10．[2016·贵阳监测]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－2,0)，则双曲线的离心率是( )A.5＋12 B. 2 C.3＋12D.32答案 B解析 设P (x 0，x 0)，因为函数y ＝x 的导数为y ′＝12x ，所以切线的斜率为12x 0.又切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，所以12x 0＝x 0x 0＋2，解得x 0＝2，所以P (2，2)．因为点P在双曲线上，所以4a 2－2b2＝1 ①.又c 2＝22＝a 2＋b 2②，联立①②解得a ＝2或a ＝22(舍)，所以e ＝ca＝22＝2，故选B.11．[2016·山西四校联考]在正三棱锥S －ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π答案 B解析 如图，取CB 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥SB .由于AM ⊥SB ，所以AM ⊥MN .由正三棱锥的性质易知SB ⊥AC ，结合AM ⊥SB 知SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC .又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SA ⊥SC ，所以正三棱锥S －ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥S －ABC 的外接球即为正方体的外接球．由AB ＝22，得SA ＝SB ＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为23，所以所求外接球的半径R ＝3，其表面积为4πR 2＝12π，故选B.12．[2016·商丘二模]设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f (x )>f ′(x )成立，则( )A ．3f (ln 2)<2f (ln 3)B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3)C ．3f (ln 2)>2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定 答案 C解析 构造新函数g (x )＝f xex，则求导函数得：g ′(x )＝f ′ x －f xex，因为对任意x ∈R ，都有f (x )>f ′(x )，所以g ′(x )<0，即g (x )在实数域上单调递减，所以g (ln 2)>g (ln 3)，即f ln 2 eln 2>f ln 3eln 3，解得3f (ln 2)>2f (ln 3)，故本题正确答案为C.二、填空题13．若向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，(a －b )⊥a ，则a ，b 的夹角是________． 答案π3解析 依题意得(a －b )·a ＝0，即a 2－a ·b ＝0,1－2cos 〈a ，b 〉＝0，cos 〈a ，b 〉＝12；又〈a ，b 〉∈[0，π]，因此〈a ，b 〉＝π3，即向量a ，b 的夹角为π3.14．若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．答案π24解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos C ＋c cos B ＝3R (R 为△ABC 外接圆半径)且a ＝2，b ＋c ＝4，则△ABC 的面积为________．答案3解析 因为b cos C ＋c cos B ＝3R ， 得2sin B cos C ＋2sin C cos B ＝3， sin(B ＋C )＝32，即sin A ＝32. 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ，∴4＝(b ＋c )2－3bc ， ∵b ＋c ＝4，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.16．存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤32，3 解析 当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πk x ＋φ的图象取到最高或最低点时，πk x ＋φ＝π2＋n π(n ∈Z )⇒x ＝k 2＋kn －kπφ(n ∈Z )，由圆面x 2＋y 2≤4覆盖最高或最低点，可知－3≤x ≤3，再令－3≤k 2＋kn －k πφ≤3，得－3k ＋φπ－12≤n ≤3k ＋φπ－12，分析题意可知存在实数φ，使得不等式－3k ＋φπ－12≤n ≤3k ＋φπ－12的整数解有且只有3个，∴2≤3k ＋φπ－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋φπ－12<4⇒32<k ≤3，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3.(二) 一、选择题1．在复平面内，复数21－i＋2i2对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析21－i＋2i2＝－1＋i，故选B.2．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B＝( )A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B．(2,3]C．(－∞，3]∪(4，＋∞)D．[－2,2)答案 A解析因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A.3．设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的( )A．既不充分又不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件答案 D解析当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D.4．据我国西部各省(区，市)2013年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )A．0.3 B．0.4C．0.5 D．0.7答案 A解析 依题意，由题图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A.5. 如图，在三棱锥P －ABC 中，不能证明AP ⊥BC 的条件是( )A ．AP ⊥PB ，AP ⊥PC B ．AP ⊥PB ，BC ⊥PBC ．平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PCD ．AP ⊥平面PBC 答案 B解析 A 中，因为AP ⊥PB ，AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC ，故A 正确；C 中，因为平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PC ，所以BC ⊥平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以AP ⊥BC ，故C 正确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出AP ⊥BC ，故选B.6．执行如下程序框图，则输出结果为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 依次执行框图中的语句：n ＝1，S ＝0，T ＝20；T ＝10，S ＝1，n ＝2；T ＝5，S ＝3，n ＝3；T ＝52，S ＝6，n ＝4，跳出循环，输出的n ＝4，故选C.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin2α＋cos2α的值为( ) A ．－15B.75 C ．－75D.34答案 A解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan2α＋11－tan2α＝17， ∴tan2α＝－34.∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2α＝35，cos2α＝－45. ∴sin2α＋cos2α＝－15，故选A.8．甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V 乙，则( )A ．V 甲<V 乙B ．V 甲＝V 乙C ．V 甲>V 乙D ．V 甲、V 乙大小不能确定答案 C解析 由三视图知，甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角，即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V 甲>V 乙，故选C.9．[2016·江西南昌调研]设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14答案 A解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝a ＋b 2－4ab 2＝ －1 2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A.10．[2016·郑州质检]已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2答案 A解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F (－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )A.24B.34C.33D.22答案 D解析 设焦点F (－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，b ·m －c 2＋c ·n2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ＝c b，bm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c 3b 2＋c 2＝ a 2－2c 2 c a 2＝(1－2e 2)c ， n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc 2a2＝2be 2.因为点P (m ，n )在椭圆上，所以 1－2e 22c 2a 2＋4b 2e 4b2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6＋e 2－1＝0，将各选项代入知e ＝22符合，故选D. 12．[2016·武昌调研]已知函数f (x )＝sin x －x cos x .现有下列结论： ①∀x ∈[0，π]，f (x )≥0；②若0<x 1<x 2<π，则x 1x 2<sin x 1sin x 2；③若a <sin x x <b ，对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.其中正确结论的个数为( ) A ．0B ．1C．2 D．3答案 D解析因为f′(x)＝cos x－cos x＋x sin x＝x sin x，当x∈[0，π]时，f′(x)≥0，故f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)≥f(0)＝0，所以①正确；令g(x)＝sin xx，则g′(x)＝x cos x－sin xx2，由①知，当x∈(0，π)时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，π]上是减函数，所以sin x1x1>sin x2x2，即x1x2<sin x1sin x2，所以②正确；当x>0时，“sin xx>a”等价于“sin x－ax>0”，令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c，当c≤0时，g(x)>0对x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当c≥1时，因为对∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，从而，g(x)<g(0)＝0对∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当0<c<1时，存在唯一的x0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得g′(x0)＝cos x0－c＝0成立，若x∈(0，x0)时，g(x0)>0，g(x)在(0，x0)上单调递增，且g(x)>g(0)＝0；若x∈⎝⎛⎭⎪⎫x0，π2时，g′(x0)<0，g(x)在⎝⎛⎭⎪⎫x0，π2上单调递减，要使g(x)＝sin x－cx>0在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，必须使g⎝⎛⎭⎪⎫π2＝sinπ2－π2c＝1－π2c≥0恒成立，即0<c≤2π.综上所述，当c≤2π时，g(x)>0对∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当c≥1时，g(x)<0，对∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，所以若a<sin xx<b对∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为1，所以③正确，故选D.二、填空题13．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007,032，…，则样本中最大的编号应该为________．答案482解析 由题意可知，系统抽样的每组元素个数为32－7＝25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500－25＋7＝482.14．[2016·辽宁五校联考]抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于________．答案 42解析 令y ＝f (x )＝2x 2，则切线斜率k ＝f ′(a i )＝4a i ，切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，令y ＝0得x ＝a i ＋1＝12a i ，由a 2＝32得a 4＝8，a 6＝2，所以a 2＋a 4＋a 6＝42.15．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么a 2＋b 2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16 解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分所示(不包括边界)，O 到直线a ＋2b ＝2的距离d ＝25，|OB |＝4，显然d 2<a 2＋b 2<|OB |2，即45<a 2＋b 2<16.16．[2016·湖南长郡模拟] 如图，在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，圆O 是△ABC 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当S ＋3cos B cos C 取得最大值时，PA →·PB →的最大值为________．答案3＋32解析 本题考查余弦定理、正弦定理、平面向量的运算．在△ABC 中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以sin A ＝32，则由正弦定理得△ABC 的外接圆的半径为r ＝12×a sin A ＝12×332＝1，则b ＝2r sin B ＝2sin B ，c ＝2r sin C ＝2sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34×2sin B ×2sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，则当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值．以O 为原点，OA 所在的直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)，则PA →·PB →＝(－cos θ，1－sin θ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－cos θ，12－sin θ＝32cos θ＋cos 2θ＋12－32sin θ＋sin 2θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋32，所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1时，PA →·PB →取得最大值3＋32. (三)一、选择题1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |1－x >0}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |1≤x <2} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |x ≤1}答案 B解析 由题意可得A ＝(0,2)，B ＝(－∞，1)，则A ∩(∁U B )＝[1,2)． 2．已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A. 2 B ．2 C. 5 D ．5答案 C解析 依题意，(a ＋i)－(a ＋i)i ＝3＋b i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋ －1 2＝5，选C.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e－x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x答案 D解析 依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e－x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x不是奇函数．对于选项D ，由3－x 3＋x >0得－3<x <3，即函数y ＝log 23－x3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－ －x 3＋ －x ＋log 23－x3＋x＝log 21＝0，即有log 23－ －x 3＋ －x ＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝log 23－x3＋x是奇函数．综上所述，选D.4．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →答案 D解析 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →，故选D.5．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 由题意得，b a＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 6．运行下面的程序，如果输出的S ＝20142015，那么判断框内是( )A ．k ≤2013?B ．k ≤2014?C ．k ≥2013?D ．k ≥2014?答案 B解析 当判断框内是k ≤n ？时，S ＝11×2＋12×3＋…＋1n × n ＋1 ＝1－1n ＋1，若S ＝20142015，则n ＝2014. 7．[2016·郑州质检]将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称答案 B解析 由题意得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－sin2x ，对于A ，最大值为1正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；C 显然错误；对于D ，周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称，故选B. 8．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．23 C.532D ．3 3答案 C解析 依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去一个三棱锥B －A 1B 1E (其中点E 是B 1C 1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是一个边长为2的正三角形、高为3，因此该几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×3－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×34×22×3＝532，选C.9．[2016·福建质检]若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.5－12 B.33 C.22D.63答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图象，如图所示，因为|OB |＝a ，所以|OA |＝22a ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，又点A 在椭圆上，所以a 24a 2＋a 24b2＝1，所以a 2＝3b 2，所以a 2＝3(a 2－c 2)，所以3c 2＝2a 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝63，故选D.10．[2016·河南八市质检]已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3 ，若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C.34 D ．1答案 B解析 根据约束条件画出可行域，将z ＝3x ＋2y 的最小值转化为在y 轴上的截距，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.11．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3a ，C ＝π6，S △ABC＝3sin 2A ，则S △ABC ＝( )A.34B.32C. 3 D ．2答案 A解析 解法一：由b ＝3a ，C ＝π6，得S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ·3a ·12＝34a 2，又S △ABC ＝3sin 2A ，则a 24＝sin 2A ，故a 2＝sin A ，即a sin A ＝2，由a sin A ＝c sin C ，得csin C ＝2，所以c ＝2sin C＝1，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得a 2＋3a 2－1＝2·a ·3a ·32，整理得4a 2－1＝3a 2，a 2＝1，所以a ＝1，故S △ABC ＝34. 解法二：由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得a 2＋(3a )2－c 2＝2a ·3a ·cos π6，即a2＝c 2，故a ＝c ，从而有A ＝C ＝π6，所以S △ABC ＝3sin 2A ＝3×sin 2π6＝34，故选A.12．若P 为曲线y ＝ln x 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ |min 等于( ) A ．0 B.22C. 2 D ．2答案 C解析 如图所示，直线l 与y ＝ln x 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ |即为所求最小值．(ln x )′＝1x ，令1x＝1，得x ＝1.故P (1,0)．故|PQ |min ＝22＝ 2.二、填空题13．[2015·广东高考]已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．答案 11解析 由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn＝5，则所求均值x 0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2 x 1＋x 2＋…＋x n ＋nn＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.14．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，S n 是{a n }的前n 项和，则S 12的值为________．答案 54解析 由题意得，a 25＝a 3a 11，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋10)，a 1＝－1，∴S 12＝12×(－1)＋12×112×1＝54. 15．设函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g (x )＝f (x ＋1)为偶函数，则不等式g (2－2x )<0的解集为________．答案 (0,2)解析 依题意得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，因此f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )在[1，＋∞)上为增函数，因此f (x )在(－∞，1]上为减函数．又g (x )＝f (x ＋1)为偶函数，因此g (x )在[0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为减函数，且g (2)＝f (2＋1)＝f (3)＝0，g (－2)＝0，不等式g (2－2x )<0，即g (|2－2x |)<g (2)，所以|2－2x |<2，－2<2－2x <2，0<x <2，所以不等式g (2－2x )<0的解集是(0,2)．16．[2016·陕西质检]已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线为l ，若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.答案 8解析 本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．函数f (x )＝x ＋ln x 的导函数为f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝1＋11＝2，所以切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，因为直线l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以方程ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0有两个相等的实数根，显然a ≠0，则Δ＝a 2－4×2a ＝0，解得a ＝8.(四)一、选择题1．已知(z －1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 A解析 因为z ＝4＋3i 2－i ＋1－3i ＝ 4＋3i 2＋i2－i 2＋i ＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．若集合A ＝{x |(x ＋1)(3－x )>0}，集合B ＝{x |1－x >0}，则A ∩B 等于( ) A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,3)D ．(－1,1)答案 D解析 ∵A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．3. 一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x －y 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案 D解析 由题意得，72＋77＋80＋x ＋86＋905＝81⇒x ＝0，易知y ＝3，∴x －y ＝－3，故选D.4．已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n C ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α 答案 C解析 A 项，m ，n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故A 错误；B 项，根据面面垂直与线面平行的性质可知B 错误；C 项，根据线面平行的性质可知C 正确；D 项，若m ∥n ，根据线面垂直的判定可知D 错误，故选C.5．△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，，则a＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.72答案 A解析 由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a＝2，故选A.6．[2016·东北三省联考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图为( )答案 D解析如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P－A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.7．[2016·合肥质检]执行下面的程序框图，则输出的n的值为( )A ．10B ．11C ．1024D ．2048答案 C解析 该程序框图共运行10次，S ＝1＋2＋22＋…＋210＝2047，输出的n ＝210＝1024，选项C 正确．8．[2016·河南六市一联]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1答案 A解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，∴－a ＝1，a ＝－1，∴当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，∴ax ＋y ＋1的最小值是0，故选A.9．已知a ，b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，得|a ＋b |2＝2，即a ＋b ＝±2，∴p 是q 的充分但不必要条件．10．[2016·山西质检]若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1答案 C解析 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，∴2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选C.11．[2016·云南统检]已知双曲线M 的焦点F 1、F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( )A ．21B ．14C ．7D ．0答案 B解析 设双曲线方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线， ∴b a ＝73①，又抛物线的准线为x ＝－4，∴c ＝4②， 又a 2＋b 2＝c 2③， ∴由①②③得a ＝3.设点P 为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得||PF 1→|－|PF 2→||＝6④，又PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在Rt △PF 1F 2中|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝82⑤，联立④⑤，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝14.12．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 A解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象，结合函数y ＝2x与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标小于0，即a <0；结合函数y ＝log 2x 与y ＝－x 的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即0<b <1；令log 2x －2＝0，得x ＝4，即c ＝4.因此有a <b <c ，选A.二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________.答案 6解析 a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6. 14．[2016·山西四校二联]抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 2 3解析 由题意可知，抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝1，解得x ＝±1＋p 24.∵△ABF 为等边三角形，∴p 2＋x 2＝2|x |，即p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 24＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 24，解得p ＝23或－23(舍去)．15．[2016·海口调研]半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．答案 16(π－2)解析 依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．16．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 4＝a 1＋a 2＋a 3.设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，则T 10＝________.答案1021解析 解法一：数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，∴当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，∴a 2＝2，当n ≥3时，a n ＝S n －S n －1＝2S n －1－2S n －2＝2a n －1，又a 2＝2a 1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，数列{a n }为首项为1，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，a 3＝22＝4.设数列{b n }的公差为d ，又b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，c n ＝1b n b n ＋1＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T 10＝12⎝ ⎛ 1－13＋13－15＋…＋12×10－1－⎭⎪⎫12×10＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021.解法二：∵数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝2S n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，∴当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，∴a 2＝2，当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 1＋2a 2＋1，∴a 3＝4.设数列{b n }的公差为d ，又b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，c n ＝1b n b n ＋1＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T 10＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12×10－1－12×10＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021.。
第三讲10大模板规范解答题题型地位解答题作为高考数学试卷的最后一道大题，通常有六道题，分值为70分，约占总分的一半，其得分直接决定了高考中数学的成败．如果说客观题是得分的基础，那么解答题就是提高得分的保障，而且在每年的数学试卷中解答题的题型具有延续性，因此在备考复习中要加强高考题型的针对性训练．题型特点首先，解答题应答时不仅要得出最后的结论，还要写出解答过程的主要步骤，给出合情合理的说明；其次，解答题的内涵丰富，考点相对较多，综合性强，区分度高，难度较大．解题策略(1)常见失分原因及应对办法：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题、快做题；②公式记忆不牢，一定要熟记公式、定理、性质等；③解题步骤不规范，一定要按课本要求的步骤去解答，否则会因不规范答题失分，应避免“对而不全”，如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或只给出单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；④计算能力差、失分多，会做的一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析几何中的圆锥曲线问题就要求有较强的运算能力；⑤不要轻易放弃试题，难题不会做，可分解成小问题，分步解决，如将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，也许随着这些小步骤的罗列，还能产生解题的灵感．(2)怎样才能分段给分：对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅；有的人解决得多，有的人解决得少，为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分．这种方法我们叫“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分，与之对应的“分段得分”的基本精神是会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分，分段得分的方法有以下几种：①缺步解答；②跳步解答；③辅助解答；④退步解答．总之，解解答题的基本原则是“步步为营”．模板一 三角函数的图象与性质例1 [2016·山东淄博实验中学模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少有10个零点，求b 的最小值．审题视角 (1)利用恒等变换将f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再结合正弦函数的性质求解．(2)由平移得到g (x )的解析式，再通过解方程求出[0，π]上零点个数，结合周期确定b 的取值．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3＝sin2ωx －3cos2ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 由函数的最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以y ＝g (x )在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.构建解题程序 第一步：运用三角恒等变换，将f (x )化成y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式.,第二步：将ωx ＋φ视为一个整体，代入y ＝sin t 的单调区间内求解x 的范围.,第三步：结合函数图象的平移得出g (x )的表达式.,第四步：通过解方程得出其一个周期内的零点个数，再结合其周期性求出b 的最小值.批阅笔记 1.①本题第(1)问的关键为三角恒等变换及整体的应用意识.②第(2)问注意平移的相关应用，结合周期性求出结论.2.本题易错点：①公式变换与平移变换不准确而得不出正确的解析式造成错解.②不能由一个周期内的零点个数转化到所给区间[0，b ]上. 模板二 三角变换与解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小；(3)若a 2＋c 2－b 2＝ac ，且c ＝2.求△ABC 的面积．审题视角 (1)由边化角，完成边角转化．(2)正、逆用两角和的正、余弦公式，将3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4化为正弦型函数，根据三角函数性质，求角A 、B .(3)由余弦定理，求B 进而求A ，得到S △ABC 的值．解 (1)∵c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 又0<A <π，∴sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，∴tan C ＝1.又C ∈(0，π)，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝34π－A ，B ＋π4＝π－A ，则3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <34π，则π6<A ＋π6<1112π.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2. 综上可知，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2， 此时A ＝π3，B ＝5π12.(3)由a 2＋c 2－b 2＝ac 及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0<B <34π，因此B ＝π3.A ＝π－(B ＋C )＝5π12.又c ＝2，c sin A ＝a sin C .从而2sin 512π＝a sin π4，即2×6＋24＝22a ，∴a ＝3＋1.∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋32.构建解题程序 第一步：运用正弦定理，将边化为角的关系，进而由角的范围及tan C ＝1，求角C .第二步：化三角函数为a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式．第三步：根据三角函数性质，求出A ，B .第四步：利用余弦定理与面积公式求S △ABC .第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤． 批阅笔记 1.①本题第(1)、(3)问的求解关键充分运用条件特征，灵活运用正余弦定理，完成边角的转化．②第(2)问注意到A 、B 关系，逆用两角和的正弦公式．2．本题易错点：①第(2)问中，忽视角的取值范围，推理计算不严谨；②不会将cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4转化为cos(π－A )，导致求解复杂化，使得求错结论；③抓不住第(3)问的条件特征，盲目代入，无果而终.模板三 数列的通项与求和例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .审题视角 (1)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)→消去S n →得a n ＋1＝3a n → a n ＝3n －1 (2)观察{a n ·b n }中a n 与b n 的特点→在T n 前乘以{a n }的公比，构造使用错位相减的条件→ －2T n ＝－2n ·3n →得T n解 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝2S n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)．∵a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n ≥2)．而a 2＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列．∴a n ＝3n －1(n ∈N *)．∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，则有(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2.∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2.∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①∴3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n .② ∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ，∴T n ＝n ·3n .构建解题程序 第一步：令n ＝1，由S n ＝f (a n )求出a 1.第二步：令n ≥2，构造a n ＝S n －S n －1，用a n 代换S n －S n －1(或用S n －S n －1代换a n ，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．第三步：验证当n ＝1时的结论是否适合当n ≥2时的结论．如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并．批阅笔记 1.本题第(1)问利用S n与a n的关系，根据递推关系式的关系，从而判断{a n}是等比数列可求其通项公式；而可得a n与a n＋1{b n}中可设出公差d利用题中条件解方程组得b1，d，即知{b n}的通项公式．第(2)问根据{a n，b n}的通项公式特点可知求其和T n时用错位相减法．2．本题易错点：①第(1)问求a n时忘记检验a2与a1的关系即n ＝1时的情况，且求{b n}的公差d时忽略b n>0从而导致多解．②第(2)问用错位相减法时容易发生计算失误，尤其是项数和项的符号.模板四概率与统计例4 某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．审题视角第(1)问，直接利用方差的公式求解；第(2)问，利用古典概型的概率公式求解．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1.其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E 为事件：恰有一组研发成功，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.构建解题程序 第一步：统计成绩，计算平均数x 甲、x 乙，方差s 2甲，s 2乙.第二步：利用古典概型公式求概率．批阅笔记 1.两组数据的平均值x 、y 代表平均水平，方差s 2代表稳定性．古典概型要明确基本事件是什么．2．常见错误：(1)计算平均值x 、方差出错．(2)古典概型要保证每个基本事件发生概率相等，能列出所有结果．易列错结果．模板五 立体几何例5 [2016·全国卷Ⅱ]如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝22，求五棱锥D′－ABCFE 的体积．审题视角(1)利用平行线的判定和性质证明；(2)利用线面垂直的判定定理找到五棱锥的高，利用补形法求五边形的面积，结合锥体的体积公式求解．解(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF.由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.构建解题程序第一步：弄清折叠前后没有发生变化的量．第二步：明确AC与EF的关系，利用平行线的判定和性质证明．第三步：找到五棱锥的高，利用割补法求出五边形的面积．第四步：利用锥体的体积公式求出结论．批阅笔记 1.立体几何中折叠问题要注意，折叠前后异同；通过数量运算，得到平行、垂直位置关系；体积的等价转化．以上体现了数形结合、转化与化归思想．2．常见错误：(1)折叠前后关系判断错误．(2)计算错误．(3)空间立体感不强．模板六直线与圆锥曲线例6 [2016·天津高考]设椭圆x2a2＋y23＝1(a>3)的右焦点为F，右顶点为A.已知1|OF|＋1|OA|＝3e|F A|，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l 的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．审题视角(1)用待定系数法求解即可；(2)把几何条件转化为坐标关系，得出关于直线l的斜率的不等式，求之即可．解(1)设F(c,0)，由1|OF|＋1|OA|＝3e|F A|，即1c＋1a＝3ca(a－c)，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以，椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2，或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k .设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912(k 2＋1)≥1，解得k ≤－64，或k ≥64.所以，直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 构建解题程序 第一步：利用待定系数法设出椭圆方程，利用条件进行求解．第二步：设出直线方程(注意对斜率k 的讨论)，与椭圆方程联立，由韦达定理得出B 点坐标．第三步：依据BF ⊥HF 得出点H 坐标，进而可设出MH 的直线方程．第四步：用k 表示出点M 的坐标，将∠MOA ≤∠MAO 转化出|MA |≤|MO |即可得到关于k 的不等式关系．第五步：通过解不等式即可求出直线l 斜率的取值范围．批阅笔记 1.本题第(1)问的关键是利用1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |得出a 与c 的关系式，再由关系式a 2－c 2＝b 2可求出a 的取值．第(2)问是设出直线方程与椭圆方程联立，顺次求出点B 、H 、M 的坐标，转化∠MOA ≤∠MAO 条件构建不等式进行求解．2．本题易错点：①第(1)问不能正确利用a ，b ，c 的关系准确求出椭圆方程造成后继过程不得分．②第(2)问的运算量较大，涉及到的点比较多，容易造成运算上的失误；此外，对条件∠MOA ≤∠MAO 不能转化成边的关系，进而构造不出相应的不等式关系，以至于无法进行运算求解.模板七 解析几何中的探索性问题例7 已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题视角 设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程；设M 存在即为(m,0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m .解 (1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. ①②由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，适合①. 所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．(ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1.③ 所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )·(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.将③代入，整理得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2m －13(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1). 注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49. 综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数．构建解题程序 第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．如本题中第(1)问容易忽略Δ>0这一隐含条件．第(2)问易忽略直线AB 与x 轴垂直的情况．批阅笔记 1.第(1)问设出直线AB 的斜率k ，写出AB 的方程与椭圆联立，通过韦达定理可得出AB 的中点横坐标，从而求出k .即得AB方程．第(2)问先假设存在M ，再利用MA →·MB →为常数，探索M 点的坐标，所谓MA →·MB →为常数，是指与AB 的位置无关的定值．2．本题易错点：①第(1)问利用x 1＋x 22＝－12求出k 未检验Δ>0.②第(2)问未对AB 的斜率存在与否进行讨论，或不能正确理解MA →·MB →为常数这一条件.模板八 圆锥曲线中的定值(定点)问题例8 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 审题视角 (1)依据题意可建立关于a 与b 的方程组；(2)利用角平分线上的点满足的性质，将m 用P 点横坐标进行表示，然后依据P点横坐标的范围求出m 的范围；也可利用角平分线定理求解；(3)采用直接推理的方法，用P 点坐标表示1kk 1＋1kk 2，并在计算过程中消去，得出所求定值．解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a . 由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.所以|m ＋3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0.因此，－32<m <32.解法二：设P (x 0，y 0)，当0≤x 0<2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 若P ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m <3，所以m ＝334.若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，同理得m ＝334. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为 y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)． 由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1， 并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝4(x 0＋3)2＋4－x 204(x 0－3)2＋4－x 20 ＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝(3x 0＋4)2(3x 0－4)2， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋3m －3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x 0＋43x 0－4. 因为－3<m <3，0≤x 0<2且x 0≠3， 所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0，整理得m ＝3x 04， 故0≤m <32且m ≠334.综合①②可得0≤m <32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0， 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8. 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8. 构建解题程序 第一步：引进参数，从目标对应的关系式出发，设出相关的参数．(一般所引入量为斜率、截距、点的坐标等)．第二步：列出所需要的关系式：(1)如果涉及定点，则根据题设条件表示出对应的动态直线方程求曲线方程；(2)如果涉及定值，则可直接进行运算推理．第三步：(1)探求直线过定点．将直线方程化为y －y 0＝k (x －x 0)的形式．若是曲线方程，则将方程化为f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式；(2)探求定值问题则在运算过程中可消掉参数得到定值．第四步：下结论．第五步：回顾反思．在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的．批阅笔记 1.第(1)问利用椭圆中a ，b ，c 的关系求出其值，得到椭圆的方程；第(2)问利用解分线的性质建立关于m 的函数关系求出其范围；第(3)问设出直线方程与椭圆方程联立，得出k 与1k 1＋1k 2的关系，可证得结论．2．本题易错点：第(2)问不能正确利用角平分线的性质而得不出m 的关系式；第(3)问在联立方程后不能正确利用P 点坐标表示k 与1k 1＋1k 2而求不出定值. 模板九 函数的单调性、极值、最值问题例9 [2016·兰州诊断]已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值；(3)若方程(2x －m )ln x ＋x ＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)求导，由f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立进行求解；(2)f ′(x )＝0的根进行验证确定函数的极值点，进而求出极值；(3)将方程根的问题转化为图象交点个数的问题．解 (1)f ′(x )＝ln x －1ln 2 x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2 x －1ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14. ∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时函数t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2 x ln 2 x， 令f ′(x )＝0得2ln 2 x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x <e 12 时，f ′(x )<0，当x >e 12 时，f ′(x )>0， ∴f (x )的极小值为f (e 12 )＝e 12 12＋2e 12 ＝4e 12 . (3)将方程(2x －m )ln x ＋x ＝0两边同除以ln x 得(2x －m )＋x ln x ＝0，整理得x ln x ＋2x ＝m ，即函数g (x )＝x ln x ＋2x 的图象与函数y ＝m 的图象在(1，e]上有两个不同的交点．由(2)可知，g (x )在(1，e 12 )上单调递减，在(e12 ，e]上单调递增，g (e12 )＝4e 12，g (e)＝3e ，当x →1时，x ln x →＋∞， ∴4e 12 <m ≤3e ，实数m 的取值范围为(4e12，3e]．构建解题程序 第一步：先确定函数的定义域，然后对f (x )求导． 第二步：求方程f ′(x )＝0的实数根．第三步：利用f ′(x )＝0的根和区间端点的x 的值，从小到大顺次将定义域划分成若干个区间，列出表格．第四步：由f ′(x )的正负，确定f (x )在各区间内的单调性． 第五步：确定结论．批阅笔记 1.第(1)问解题时要注意利用单调性求参数范围时转化要等价；第(2)问要注意极值满足的条件，否则易失分；第(3)问要注意进行转化，构造新的函数关系求解．2．本题易错点：①第(1)问易丢掉区间端点；②第(2)问易忽略函数f (x )的定义域而造成失分；③第(3)问不能进行合理转化，构造新函数，造成错解.模板十 函数导数与不等式问题例10已知函数f (x )＝(x －2)e x 和g (x )＝kx 3－x －2. (1)若函数g (x )在区间(1,2)上不单调，求实数k 的取值范围；(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的最大值．解 (1)依题意知，g ′(x )＝3kx 2－1.①当k ≤0时，g ′(x )＝3kx 2－1≤0，所以g (x )在(1,2)上单调递减，不满足题意；②当k >0时，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13k 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ，＋∞上单调递增，因为函数g (x )在区间(1,2)上不单调，所以1<13k <2，解得112<k <13. 综上所述，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫112，13. (2)令h (x )＝f (x )－g (x )＝(x －2)e x －kx 3＋x ＋2，依题意可知h (x )＝(x －2)e x －kx 3＋x ＋2≥0在[0，＋∞)上恒成立， h ′(x )＝(x －1)e x －3kx 2＋1，令φ(x )＝h ′(x )＝(x －1)e x －3kx 2＋1， 则φ(0)＝h ′(0)＝0且φ′(x )＝x (e x －6k )，①当6k ≤1，即k ≤16时，因为x ≥0，e x ≥1，所以φ′(x )＝x (e x －6k )≥0，所以函数φ(x )即h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增．所以当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )≥h ′(0)＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上单调递增，因为h (0)＝0，所以h (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，满足题意；②当6k >1，即k >16时，当x ∈(0，ln (6k ))时，φ′(x )＝x (e x －6k )<0，函数φ(x )即h ′(x )单调递减，所以当x ∈(0，ln (6k ))时，h ′(x )<h ′(0)＝0，所以h (x )在(0，ln (6k ))上单调递减，又h (0)＝0，所以x ∈(0，ln (6k ))时，h (x )<0，这与题意h (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立相矛盾，故舍去．综上所述，k ≤16，即实数k 的最大值是16.构建解题程序 第一步：求导数．第二步：讨论参数k ，判断函数单调性，写出其单调区间，从而求出k 的取值范围．第三步：构建新函数h (x )＝f (x )－g (x )．第四步：对h (x )求导得新函数φ(x )＝h ′(x )，再次对φ(x )求导．第五步：e x≥1，故以16为界对k 进行分类讨论，并注意h (0)＝0，从而得到结论．第六步：反思检验，讨论是否全面．批阅笔记 1.本题主要考查导数与函数的单调性，注重分类讨论思想．2．本题易错点：(1)忽视参数k 对单调性的影响．第(2)问不知二次求导，不会利用特殊值h (0)＝0把问题简单化．。
一、考前学会7种审题方法错误!在高考中，不少同学遇到较为综合的数学试题不会审题，破解题目无从下手，找不到该题的切入点；另有一些同学虽然对该题解答有一定的思路但也因解答不规范出现“会而不对,对而不全"．如何审题、如何解答规范已成为制约考生的两大难点，针对这些问题本文特聘全国著名专家名师导学，教你活用七种审题方法及规范解答模板，使解答数学问题不再难．一审条件—————-—---——-——-——————-—-条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．(满分12分)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求错误!；（2）若AD＝1，DC＝错误!，求BD和AC的长．［审题路线图］（1)（2）［规范解答] （1）S△ABD＝12AB·AD sin∠BAD,S△ADC＝12AC·AD sin∠CAD.(1分)因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD,所以AB＝2AC.（4分）由正弦定理,得错误!＝错误!＝错误!。
(6分）（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝错误!。
（8分）在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos∠ADC.(10分)故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.（12分）解三角形的步骤第一步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．第二步:定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步:求结果．第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系,然后进行恒等变形．第五步:反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．[跟踪训练]1．(2016·太原模拟)已知a,b，c分别为锐角△ABC内角A,B,C 的对边,且错误!a＝2csin A.(1)求角C；(2）若c＝错误!，且△ABC的面积为错误!，求a＋b的值．［解] （1）由错误!a＝2c sin A及正弦定理得，3sin A＝2sin C sin A,因为sin A≠0，所以sin C＝错误!，因为△ABC是锐角三角形，所以C＝错误!.(2)因为C＝错误!，△ABC的面积为错误!,所以错误!ab sin 错误!＝错误!，即ab＝6。
