21.对数(1)
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对数函数知识点(一)对数函数定义对数函数是指满足以下条件的函数: - 底数为正实数且不等于1;- 函数定义域为实数集合中大于0的数; - 函数值域为实数集合。
常见的对数函数1.自然对数函数–底数为常数e(自然对数的底数),记作ln(x)或logₑ(x)。
–特点:以常数e为底的对数函数,在微积分中有广泛的应用。
2.以10为底的常用对数函数–底数为常数10,记作log₁₀(x)或log(x)。
–特点:以10为底的对数函数,在计算中常常用到。
对数函数的性质1.定义域和值域–自然对数函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)。
–以10为底的常用对数函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)。
2.基本性质–对数函数的图像总是位于一、二象限。
–对数函数的图像与直线y=x关于y=x对称。
3.特殊值–自然对数函数ln(x)当x=1时,ln(1)=0。
–以10为底的常用对数函数log(x)当x=1时,log(1)=0。
4.对数函数的性质–对数函数有唯一的反函数即指数函数。
–对数函数满足对数运算法则,如log(xy)=log(x)+log(y)。
5.对数函数的性质与图像–对数函数的图像有一个特点,就是随着自变量x的增大,函数值增长缓慢,近似于直线y=0。
–对数函数在x>1时,图像急剧上升;在0<x<1时,图像急剧下降。
应用领域•对数函数在科学计算、金融领域、生物学及工程学中有广泛的应用。
•对数函数常常用于解决指数增长与衰减问题、复杂的计算问题、百分比增长问题等。
以上为对数函数的相关知识点和详解。
对数函数作为数学中重要的函数之一,在各个领域中都有广泛的应用。
希望通过本文的介绍,能够对对数函数有更深入的了解。
对数函数的性质和图像对数函数的性质1.指数和对数的关系–对数函数是指数函数的反函数。
对于正实数a和b,有以下关系:logₐ(b) = x if and only if aˣ = b。
–例如,log₂(8) = 3,因为2³ = 8。
§3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算(一)一.教学目标:1.知识技能:①理解对数的概念,了解对数与指数的关系;②理解和掌握对数的性质;③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法:通过与指数式的比较,引出对数定义与性质.3.情感、态度、价值观(1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力.(2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质.(3)在学习过程中培养学生探究的意识.(4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.二.重点与难点:(1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质(2)难点:对数性质的推导三.学法与教具:(1)学法:讲授法、讨论法、类比分析与发现(2)教具:投影仪教学过程[问题情境] 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢?本节就来探讨这个问题.探究点一 对数的概念问题1 若24=M ,则M 等于多少?若2-2=N ,则N 等于多少?答: M =16,N =14. 问题2 若2x =16,则x 等于多少?若2x =14,则x 等于多少? 答: x 的值分别为4,-2.问题3 满足2x =3的x 的值,我们用log 23表示,即x =log 23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x =16,2x =14,4x =8的x 的值如何表示? 答: 分别表示为log 216,log 214,log 48. 小结: 1.在指数函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应.幂指数x ,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b =N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b =log a N (a >0,a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.2.对数log a N (a >0,且a ≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1=0;(3)底的对数等于1,即log a a =1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log 10N 简记作lg N .探究点二 对数与指数的关系问题1 当a >0,且a ≠1时,若a x =N ,则x =log a N ,反之成立吗?为什么?答:反之也成立,因为对数表达式x =log a N 不过是指数式a x =N 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2 在指数式a x =N 和对数式x =log a N 中,a ,x ,N 各自的地位有什么不同?答问题3 若a b =N ,则b =log a N ,二者组合可得什么等式?答:对数恒等式:a =N .问题4 当a >0,且a ≠1时,log a (-2),log a 0存在吗?为什么?由此能得到什么结论? 答:不存在,因为log a (-2),log a 0对应的指数式分别为a x =-2,a x =0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5 根据对数定义,log a 1和log a a (a >0,a ≠1)的值分别是多少?答:log a 1=0,log a a =1.∵对任意a >0且a ≠1,都有a 0=1, ∴化成对数式为log a 1=0; ∵a 1=a ,∴化成对数式为log a a =1.小结: 对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1=0;(3)底的对数等于1,即log a a =1.例1 求log 22, log 21, log 216, log 212. 解: 因为21=2,所以log 22=1;因为20=1,所以log 21=0;因为24=16,所以log 216=4;因为2-1=12,所以log 212=-1. 小结: log a N =x 与a x =N (a >0,且a ≠1,N >0)是等价的,表示a ,x ,N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a ,x ,N 中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:(1)54=625; (2)2-6=164; (3)3a =27; (4)⎝⎛⎭⎫13m =5.73. 解: (1)log 5625=4;(2)log 2164=-6;(3)log 327=a ;(4)log 135.73=m . 例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.解:(1)设x =log 927,则9x =27,32x =33,∴x =32. (2)设x =log 4381,则⎝⎛⎭⎫43x =81,3=34,∴x =16.(3)令x =log 354625,∴⎝⎛⎭⎫354x =625,5=54,∴x =3.小结:要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:(1)log 64x =-23; (2)log x 8=6; (3)lg 100=x . 解: (1)x =(64) -23=(43) -23=4-2=116.(2)x 6=8,所以x =(x 6) 16=816=(23) 16=212= 2.(3)10x =100=102,于是x =2.探究点三 常用对数问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数?常用对数如何表示?答:以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log 10N 记做lg N .如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.解:因为101=10,所以lg 10=1;因为102=100,所以lg 100=2;因为10-2=0.01,所以lg 0.01=-2.小结:由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n ∈Z )时,lg 10n =n ;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:(1)log 2(log 5x )=0;(2)log 3(lg x )=1; (3)log (2-1)13+22=x .解: (1)∵log 2(log 5x )=0. ∴log 5x =20=1,∴x =51=5.(2)∵log 3(lg x )=1,∴lg x =31=3,∴x =103=1 000.(3)∵log (2-1)13+22=x ,∴(2-1)x =13+22=1(2+1)2=12+1=2-1, ∴x =1.当堂检测1.若log (x +1)(x +1)=1,则x 的取值范围是( B ) A.x >-1B.x >-1且x ≠0C.x ≠0D.x ∈R 解析:由对数函数的定义可知x +1≠1,x +1>0即x >-1且x ≠0.2.已知log 12x =3,则x 13=__12______.解析:∵log 12x =3,∴x =(12)3, ∴x 13=12. 3.已知a 12=49(a >0),则log 23a =__4______.解析:由a 12=49(a >0),得a =(49)2=(23)4, 所以log 23a =log 23(23)4=4. 4.将下列对数式写成指数式:(1)log 16=-4;(2)log 2128=7;(3)lg 0.01=-2.解:(1)⎝⎛⎭⎫12-4=16;(2)27=128; (3)10-2=0.01.课堂小结:1.掌握指数式与对数式的互化a b =N ⇔log a N =b .2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1=0,log a a =1.3.对数恒等式有:a log a N =N ,log a a n =n .4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N .。
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的根底,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系;通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比拟,引出对数的定义与性质;让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法那么的学习,培养学生的严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点:对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.〔1〕取4次,还有多长?〔2〕取多少次,还有0.125尺?2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?抽象出:1.(21)4=?(21)x =0.125⇒x=? 2.(1+8%)x =2⇒x=?都是底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?像上面的式子,底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕. 推进新课 新知探究 提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要到达18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解? 即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少?④你能否给出一个一般性的结论?活动:学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果:①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即假设1318=1.01x ,那么x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330.由此得到对数和指数幂之间的关系:a Nb 指数式a b =N 底数 幂 指数 对数式log a N=b对数的底数真数对数提出问题①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果:①这是因为假设a <0,那么N 为某些值时,b 不存在,如log 〔-2〕21; 假设a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;假设a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a >0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知:log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a >0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b >0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动:同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答:①常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如:log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如:log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用例如思路1例1将以下指数式写成对数式,对数式写成指数式: 〔1〕54=625;〔2〕2-6=641;〔3〕(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动:学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对〔1〕根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对〔2〕根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数. 对〔3〕根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂.解:〔1〕log 5625=4;〔2〕log 2641=-6;〔3〕log 315.73=m; 〔4〕(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动:学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照. 解答:假设是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.假设是对数式化为指数式,那么要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求以下各式中x 的值: 〔1〕log 64x=32-;〔2〕log x 8=6; 〔3〕lg100=x;〔4〕-lne 2=x. 活动:学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解:〔1〕因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.〔2〕因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. 〔3〕因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.〔4〕因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评:此题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求以下各式中的x : ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5〔log 10x 〕=1. 解:①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5〔log 10x 〕=1,得log 10x=5,即x=105.点评:在解决对数式的求值问题时,假设不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是〔 〕 〔1〕假设log 5x=3,那么x=15 〔2〕假设log 25x=21,那么x=5 〔3〕假设log x 5=0,那么x=5 〔4〕假设log 5x=-3,那么x=1251 A.〔2〕〔3〕 B.〔1〕〔3〕 C.〔2〕〔4〕 D.〔3〕〔4〕 活动:学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于〔1〕因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于〔2〕因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于〔3〕因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于〔4〕因为log 5x=-3,所以x=5-3=1251,正确. 总之〔2〕〔4〕正确. 答案:C点评:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a >0,a≠1,以下结论正确的选项是〔 〕 〔1〕假设M=N,那么log a M=log a N 〔2〕假设log a M=log a N,那么M=N 〔3〕假设log a M 2=log a N 2,那么M=N〔4〕假设M=N,那么log a M 2=log a N 2 A.〔1〕〔3〕 B.〔2〕〔4〕 C.〔2〕 D.〔1〕〔2〕〔4〕 活动:学生思考,讨论,交流,答复,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对〔1〕假设M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对〔2〕根据对数的定义,假设log a M=log a N,那么M=N,正确; 对〔3〕假设log a M 2=log a N 2,那么M=±N,因此错误;对〔4〕假设M=N=0时,那么log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,〔2〕正确. 答案:C点评:0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算:(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32(+(2-3);(4)log 345625.活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生答复,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法. 解法一:(1)设x=log 927,那么9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,那么(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1;(4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二:(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评:首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把以下各题的指数式写成对数式:(1)42=16;〔2〕30=1;〔3〕4x =2;〔4〕2x =0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解:(1)2=log 416;(2)0=log 31;(3)x=log 42;(4)x=log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把以下各题的对数式写成指数式:(1)x=log 527;(2)x=log 87;(3)x=log 43;(4)x=log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解:(1)5x =27;(2)8x =7;(3)4x =3;(4)7x =31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求以下各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2〔log 5x 〕=1;(4)log 3〔lgx 〕=0.解:(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2〔log 5x 〕=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3〔lgx 〕=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解:(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评:此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法那么的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读局部的内容,搜集有关对数开展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下根底. 课堂小结(1)对数引入的必要性;(2)对数的定义;(3)几种特殊数的对数;(4)负数与零没有对数;(5)对数恒等式;(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将以下指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. 〔1〕521-=51;〔2〕log 24=x;〔3〕3x =271; 〔4〕(41)x=64;〔5〕lg0.000 1=x;〔6〕lne 5=x. 解:〔1〕521-=51化为对数式是log 551=21-; 〔2〕x=log24化为指数式是(2)x =4,即22x=22,2x=2,x=4; 〔3〕3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; 〔4〕(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; 〔5〕lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;〔6〕lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5. 2.计算51log 53log 333+的值.解:设x=log 351,那么3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a alog log log ••(a>0,b>0,c>0,N>0).解:Nc b c b a alog log log ••=Nc c b blog log •=Nc clog =N. 设计感想(设计者:路致芳)。
§2.2.1对数的概念 时间:2018.10学习目标1. 理解对数的概念;2. 能够说明对数与指数的关系;3. 掌握对数式与指数式的相互转化. 一、【课前预习】(预习教材P 62~ P 64,找出疑惑之处) 1、指数式 a b =N 中(1)已知a 、b 求N 是 运算。
(2)已知b 、N 求a 是 运算。
(3)已知a 、N 可以求b 吗?2、对数的概念:若N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数记作: N x a log = a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式3、对数式与指数式的相互转化 ,x N N a a x=⇔=log 。
; 4、两个重要对数:1、 常用对数 N lg = ;2、自然对数 N ln = . 5、负数与零有没有对数? 负数和零没有对数.6、根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a ≠1)的值.7、N a a log =N 与log a a b =b(a>0,a ≠1)是否成立?(两个恒等式) 二、【讲授新课】:1、对数的概念的解读:(1)为什么在对数定义中规定a>0,a ≠1?(了解)若a <0,则N 为某些值时,b 不存在,如log (-2)21;若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.总之,就规定了a >0且a ≠1.(2)注意对数的书写格式.(3)对数式与指数式的相互转化 :x N a =log ⇔ N a x =对数式 ⇔ 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂说明:若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.在关系式a x =N 中,已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算,而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 指数式与对数式互化时的技巧及应注意的问题(1)技巧:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反. (2)注意问题:①利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母的位置改变;②对数式的书写要规范:底数要写在符号“㏒”的右下角,真数正常表示.4.“三角度”认识对数式: 角度一:对数式log a N 可看作一种记号,只有在a>0,a ≠1,N>0时才有意义. 角度二:对数式log a N 也可以看作一种运算,是在已知a b =N 求b 的前提下提出的. 角度三:log a N 是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分开书写,也不可认为是log a 与 N 的乘积. 2、对数的性质的解读:(1)因为底数a >0且a ≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b>0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. (2)log a 1=0,log a a=1.(重要)因为对任意a>0且a ≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知:log a a=1. 即1的对数等于0,底的对数等于1. log a 1=0 与log a a=1 的作用:对数的这两个性质常常作为化“简”为“繁”的依据,即把0和1化为对数的形式,然后根据对数的有关性质求解问题.(3)因为a b =N,所以b=log a N,a b =N a a log =N,即Na a log =N. 因为ab =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立. 对数恒等式:N aNa =log ; N a N a =log要注意对数恒等式Na a log =N 的格式:①它们是同底的;②指数中含有对数式;③其值为对数的真数. (4)两个重要对数:①常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.②自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 三、【典例分析】:例1、将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:(1)54=625; (2)2-6=641; (3)(31)m =5.73;(4)log 2116=-4; (5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303.解:(1)log 5625=4; (2)log 2641=-6; (3)log 315.73=m;(4)(21)-4=16; (5)10-2=0.01; (6)e 2.303=10.变式训练 1. 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:(1)2x =0.5; (2)54=625; (3)3-2=91; (4)(41)-2=16.(5)x =log 43; (6)x =log 731; (7)log 216=4; (8)log x 64=-6;解:(1)x =log 20.5; (2)4=log 5625; (3)-2=log 391;(4)-2=log 4116.(5)4x =3; (6)7x =31; (7)24=16; (8)x -6=64;例2求下列各式中x 的值:(1)log 64x=32-; (2)log x 8=6; (3)lg100=x; (4)-lne 2=x.分析:在解决对数式的求值问题时,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x .解:(1)因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.(2)因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. (3)因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2. (4)因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.变式训练2、 求下列各式中的x : ①log 4x=21; ②log x 27=43; ③log 5(log 10x )=1.解:①由log 4x=21,得x=421=2; ②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5(log 10x )=1,得log 10x=5,即x=105.例3计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log )32(+(2-3); (4)log 345625.分析.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一:(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23;(2)设x=log 4381,则(43)x=81,34x=34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1;(4)令x=log 345625,所以(345)x =625,5(34)x=54,x=3.解法二:(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1; (4)log 345625=log 345(345)3=3.说明:求对数值的四个步骤:(1)设:设出所求对数值.(2)化:把对数式转化为指数式.(3)解:解有关方程.(4)答:总结得结果.提醒:求对数 log a b 就是求 a x =b 中的 x ,可利用指数的运算性质来处理. 四、【课堂练习】1、、对于a >0,a ≠1,下列结论正确的是( ) (1)若M=N,则log a M=log a N (2)若log a M=log a N,则M=N (3)若log a M 2=log a N 2,则M=N (4)若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.(1)(3) B.(2)(4) C.(2) D.(1)(2)(4) 解:(1)若M=N,当M 为0或负数时log a M ≠log a N,因此错误;(2)由对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确;(3)若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错(4)若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,(2)正确.答案:C思考题:2.(1)求log 84的值; (2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n 的值.解:(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32;(2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3, 所以a 2m+n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.。
优质课时训练: 对数函数(1)目标:理解对数函数的图像和性质,并能解决一些简单的对数函数的简单的问题.一、填空题1.函数)12lg()(-=x x f 的定义域为__________. 【答案】),21(+∞ 2.用不等号填空:log 0.14.9__________ log 0.15.1;log 20.5__________log 20.4.【答案】>;>.3.函数y =log a (x +1)+2经过一个定点是__________.【答案】(0,2)【解析】设x+1=1得x=0,y=2,所以函数经过定点(0,2).4.若log 0,3(2x -4)≥log 0,3(x +1),则x 的取值范围是_____________.【答案】2<x≤5【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-14-201042x x x x >>,解得,2<x≤5.5.已知函数:y =㏒()1-a x 在(0,+∞)上为增函数,则a 的取值范围是_____________.【答案】a >26.当1>a 时,在同一坐标系中函数x a y -=与=y ㏒a x 的图象大致为下列图像中的_____________.【答案】①7.设函数lg(1)lg(2)y x x =-+-的定义域为M , N =(-∞,-1)∪(2,+∞),则M ,N 的关系是_____________.【答案】M N ⊆.8.已知()|log |a f x x =,其中01a <<,则f (14),f (2),f (13)按从大到小的顺序排列的是____________. 【答案】11()()(2)43f f f >> 【解析】f (14)=-log a 14= log a 4,f (13)=-log a 13= log a 3,f (2)= log a 2,∵01a <<,∴11()()(2)43f f f >>.9.函数y的定义域是.【答案】(12,1]【解析】⎪⎩⎪⎨⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯≥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-②①>0)1-2(log 01231x x ,①解得x >12,②得0)1-2(log 31≥x =1log 31,∵0<13<1,∴2x-1≤1,解得,x≤1,所以,函数的的定义域为(12,1].10.若2log 13a <(0a >且1)a ≠,则a 的取值范围是____________.(提示:对a 进行讨论)【答案】(0, 23)∪(1,+∞)【解析】当a >1,2log 13a <=log a a ,得a >23,∴a >1;当0<a <1,2log 13a <=log a a ,得a <23,∴0<a <23,∴a ∈(0, 23)∪(1,+∞).二、解答题11.若函数2lg(1)y x mx =++的定义域为实数集R ,求实数m 的取值范围.解:依题意,x 2+mx+1>0的解集是R ,∴△=m 2-4<0,解得,-2<m <2,即实数m 的取值范围是(2,2)-.12.已知㏒m 4<㏒n 4,比较m ,n 的大小解:;0<m <n <1,或1<n <m 或者0<m <1<n。
2.2.1对数与对数运算(一)教学目标(一) 教学知识点1. 对数的概念;2.对数式与指数式的互化. (二) 能力训练要求1.理解对数的概念;2.能够进行对数式与指数式的互化;3.培养学生数学应用意识. (三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化;2.用联系的观点看问题; 3.了解对数在生产、生活实际中的应用.教学重点对数的定义.教学难点对数概念的理解.教学过程一、复习引入:假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?()x %81+=2⇒x =?也是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢? 二、新授内容:定义:一般地,如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=,那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数,记作 b N a =log ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数.b N N a a b =⇔=log例如:1642= ⇔ 216log 4=; 100102=⇔2100log 10=;2421= ⇔212log 4=; 01.0102=-⇔201.0log 10-=. 探究:1。
是不是所有的实数都有对数?b N a =log 中的N 可以取哪些值?⑴ 负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )2.根据对数的定义以及对数与指数的关系,=1log a ? =a a log ? ⑵ 01log =a ,1log =a a ;∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知: 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log .⑷常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN . 例如:5log 10简记作lg5; 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数N e log 简记作lnN . 例如:3log e 简记作ln3; 10log e 简记作ln10.(6)底数的取值范围),1()1,0(+∞ ;真数的取值范围),0(+∞. 三、讲解范例:例1.将下列指数式写成对数式:(1)62554= (2)64126=- (3)273=a(4)73.531=m )( 解:(1)5log 625=4; (2)2log 641=-6; (3)3log 27=a ; (4)m =73.5log 31. 例2. 将下列对数式写成指数式:(1)416log 21-=; (2)7128log 2=; (3)201.0lg -=; (4)303.210ln =.解:(1)16)21(4=- (2)72=128; (3)210-=0.01; (4)303.2e =10.例3.求下列各式中的x 的值: (1)32log 64-=x ; (2)68log =x (3)x =100lg (4)x e =-2ln 例4.计算: ⑴27log 9,⑵81log 43,⑶()()32log 32-+,⑷625log 345.解法一:⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x, ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二:⑴239log 3log 27log 239399===; ⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习:(书P64`)1.把下列指数式写成对数式(1) 32=8; (2)52=32 ; (3)12-=21; (4)312731=-.解:(1)2log 8=3 (2) 2log 32=5 (3) 2log 21=-1 (4) 27log 31=-312.把下列对数式写成指数式(1) 3log 9=2 ⑵5log 125=3 ⑶2log 41=-2 ⑷3log 811=-4 解:(1)23=9 (2)35=125 (3)22-=41 (4) 43-=811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解:(1) 5log 25=5log 25=2 (2) 2log 161=-4 (3) lg 100=2 (4) lg 0.01=-2 (5) lg 10000=4 (6) lg 0.0001=-4 4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343 ⑹3log 243 解:(1) 15log 15=1 (2) 4.0log 1=0 (3) 9log 81=2 (4) 5..2log 6.25=2 (5) 7log 343=3 (6) 3log 243=5 五、课堂小结⑴对数的定义; ⑵指数式与对数式互换; ⑶求对数式的值.2.2.1对数与对数运算(二)教学目标(三) 教学知识点对数的运算性质. (四) 能力训练要求1.进一步熟悉对数定义与幂的运算性质; 2. 理解对数运算性质的推倒过程; 3.熟悉对数运算性质的内容; 4.熟练运用对数的运算性质进行化简求值; 5.明确对数运算性质与幂的运算性质的区别. (三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化; 2.用联系的观点看问题.教学重点证明对数的运算性质.教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.教学过程一、复习引入:1.对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ,0(+∞∈N 2.指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式:⑴负数与零没有对数; ⑵01log =a ,log =a a⑶对数恒等式N aNa =log4.指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m aa R n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容:1.积、商、幂的对数运算法则:如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有:)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=证明:①设a log M =p , a log N =q . 由对数的定义可以得:M =pa ,N =qa . ∴MN = pa qa =qp a+ ∴a log MN =p +q , 即证得a log MN =a log M + a log N .②设a log M =p ,a log N =q . 由对数的定义可以得M =pa ,N =qa .∴q p q pa aa N M -== ∴p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=. ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴nM =npa ∴a log nM =np , 即证得a log nM =n a log M .说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式. ①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式:如110log 2log 5log 101010==+. ③真数的取值范围必须是),0(+∞:)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的. )10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的. ④对公式容易错误记忆,要特别注意:N M MN a a a log log )(log ⋅≠,N M N M a a a log log )(log ±≠±.2.讲授范例:例1. 用x a log ,y a log ,z a log 表示下列各式:32log )2(;(1)log zyx zxya a . 解:(1)zxyalog =a log (xy )-a log z=a log x+a log y- a log z (2)32log zyx a=a log (2x3log )z y a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-.例2. 计算(1)25log 5, (2)1log 4.0, (3))24(log 572⨯, (4)5100lg 解:(1)5log 25= 5log 25=2 (2)4.0log 1=0.(3)2log (74×25)= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19.(4)lg 5100=52lg1052log10512==. 例3.计算:(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg214lg -+- 说明:此例题可讲练结合.解:(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+=)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+=2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+=2lg )2lg 5(lg 5lg ++=2lg 5lg +=1;(2) 25log 20lg 100+=5lg 20lg +=100lg =2; (3)解法一:lg14-2lg37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.解法二:lg14-2lg37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4.已知3010.02lg =,4771.03lg =, 求45lg例5.课本P66面例5.20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ,其计算公式为 M =lg A -lg A 0.其中,A 是被测地震的最大振幅,A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1); (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).3.课堂练习:教材第68页练习题1、2、3题. 4.课堂小结对数的运算法则,公式的逆向使用.=n a a log n2.2.1对数与对数运算(三)教学目标(五) 教学知识点1. 了解对数的换底公式及其推导;2.能应用对数换底公式进行化简、求值、证明; 3.运用对数的知识解决实际问题。
2.2.1 对数与对数运算1.对数的概念(1)定义:一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.释疑点在对数log a N中规定a>0,且a≠1,N>0的原因(1)若a<0,则N为某些数值时,x不存在,如式子(-3)x=4没有实数解,所以log(-3)4不存在,因此规定a不能小于0;(2)若a=0,且N≠0时,log a N不存在;N=0时,log a0有无数个值,不能确定,因此规定a≠0,N≠0;(3)若a=1,且N≠1时,x不存在;而a=1,N=1时,x可以为任何实数,不能确定,因此规定a≠1;(4)由a x=N,a>0知N恒大于0.当a>0,且a≠1时.如图所示:比如:43=64⇔3=log464;log525=2⇔52=25;以前无法解的方程2x=3,学习了对数后就可以解得x=log23.谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b=N可以写成log a N=b(a>0,且a≠1),这是指数式与对数式互化的依据.从对数定义可知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表:(2)根据指数与对数的互化关系,可以得到恒等式a.指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段.【例1-1】下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是()A.100=1与lg 1=0B.131273-=与271log3=13-C.log39=2与129=3D.log55=1与51=5解析:指数式与对数式的互化中,其底数都不变,指数式中的函数值与对数式中的真数相对应,对于C,log39=2→32=9或129=3→log93=12.故选C.答案:C【例1-2】解析:(1)103=1 000(2)log210=x⇔2x=10.(3)e3=x⇔ln x=3.答案:(1)lg 1 000=3;(2)2x=10;(3)ln x=3.【例1-3】求下列各式中x的值:(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1;(3)log x27=34;(4)x=log84.解:(1)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1.∴x=51=5.(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3.∴x=103=1 000.(3)∵log x27=34,∴34x=27.∴x=()3427=34=81.(4)∵x=log84,∴8x=4.∴23x=22.∴3x=2,即x=23.2.对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①log a(M·N)=log a M+log a N;②log a MN=log a M-log a N;③log a M n=n log a M(n∈R).谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时,等式才成立,如log2[(-3)·(-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误的.(2)巧记对数的运算性质:①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积;②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差;③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数.(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题,再利用幂的运算性质,进行转化变形,然后把它还原为对数问题.如“log a(MN)=log a M+log a N”的推导:设log a M=m,log a N=n,则a m =M,a n=N,于是MN=a m·a n=a m+n,因此log a(MN)=log a M+log a N=m+n.【例2-1】若a>0,且a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列各式:①log a x·log a y=log a(x+y);②log a x-log a y=log a(x-y);③log a(xy)=log a x·log a y;④logloglogaaax xy y=;⑤(log a x)n=log a x n;⑥1 log loga axx=-;⑦loglogaaxn=其中式子成立的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析:答案:A辨误区应用对数的运算性质常见的错误常见的错误有:log a(M±N)=log a M±log a N;log a(M·N)=log a M·log a N;logloglogaaaMMN N=;log a M n=(log a M)n.【例2-2】计算:(1)2log122+log123;(2)lg 500-lg 5;(3)已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,求解:(1)原式=log22+log123=log124+log123=log1212=1.(2)原式==lg 100=lg 102=2lg 10=2.(3)∵=1211lg 45lg 45lg(59)22==⨯=12(lg 5+lg 9)=2110lg lg322⎛⎫+⎪⎝⎭=12(1-lg 2+2lg 3),又∵lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,∴12(1-0.301 0+2×0.477 1)=0.826 6.析规律对数的运算性质的作用(1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算;(2)由于lg 2+lg 5=lg 10=1,所以lg 5=1-lg 2,这是在对数运算中经常用到的结论.3.换底公式(1)公式log a b=loglogccba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1,b>0).(2)公式推导:设log log c c bx a=,则log c b =x log c a =log c a x ,∴b =a x .∴x =log a b .∴log log c c ba=log a b .(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数,换成了以c 为底的对数,特别有:lg log lg a N N a=,ln log ln a NN a =,利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值.(4)换底公式的三个推论:①log log m na a nN N m=(a ,N >0,且a ≠1,m ≠0,m ,n ∈R );②log a b =1log b a(a ,b >0,且a ,b ≠1);③log a b ·log b c ·log c d =log a d (a ,b ,c >0,且a ,b ,c ≠1,d >0).证明:①log am N n=log log log log n a a a m a N n N nN a m m==.②log a b =log 1log log b b b b a a=. ③log a b ·log b c ·log c d =lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅==log a d . 【例3-1】82log 9log 3的值是( )A .23B .32C .1D .2解析:(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8lg 3log 33lg 2lg 33lg 2==⋅=. (思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数,即2822222log 9log 9log 82log 32log 3log 33log 33===. 答案:A【例3-2】若log 34·log 48·log 8m =log 416,则m 等于( ) A .12B .9C .18D .27 解析:∵log 34·log 48·log 8m =log 416, ∴lg 4lg8lg lg 3lg 4lg8m⋅⋅=log 442=2,化简得 lg m =2lg 3=lg 9.∴m =9. 答案:B4.对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义,对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数,真数N是正实数,即>0, >0,1, Naa⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时,首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件.对数概念比较难理解,对数符号初学时不太好掌握,学习时要抓住对数与指数相互联系,深刻理解对数与指数之间的关系,将有助于掌握对数的概念.【例4-1】已知对数log(1-a)(a+2)有意义,则实数a的取值范围是__________.解析:根据对数的定义,得2>0, 1>0, 11, aaa+⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得-2<a<0或0<a<1.答案:(-2,0) (0,1)【例4-2】若log(1-x)(1+x)2=1,则x=__________.解析:由题意知1-x=(1+x)2,解得x=0,或x=-3.验证知,当x=0时,log(1-x)(1+x)2无意义,故x=0不合题意,应舍去.所以x=-3.答案:x=-35.对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算过程,加快计算速度.(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”,将积、商的对数拆成对数的和、差.如39log5+log35=log39-log35+log35=log39=2.二是“收”,将同底数的对数和、差合成积、商的对数.如,39log5+log35=39log55⎛⎫⨯⎪⎝⎭=log39=2.三是“拆”与“收”相结合.(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式,转化为同底数的对数式,进而进行化简,化简后再将底数统一进行计算.也可以在方向还不清楚的情况下,统一将不同的底换为常用对数等,再进行化简、求值.对数式的化简、求值,要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论,如log a1=0,log a a=1,a log a N=N,lg 2+lg 5=1,log a b·log b a=1等.【例5-1】化简求值:(1)4lg 2+3lg 5-1lg5;;(3)2log32-332log9+log38-5log35;(4)log2(1)+log2(1.分析:依据对数的运算性质进行化简,注意运算性质的正用、逆用以及变形应用.解:(1)原式=4325lg15⨯=lg 104=4.(2)原式=2124257521357751log 2(2log 3)log 2log 73212log 3log 2log 3log 223-⋅⋅=⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭=-3log 32×log 23=-3.(3)原式=2log 32-(log 332-log 39)+3log 32-3 =5log 32-(5log 32-2log 33)-3=-1.(4)原式=log 2[(1)(1-3)]=log 2[(12-3]=log 2(3+3)=233log 222=.【例5-2】计算:(log 43+log 83)(log 32+log 92)-分析:按照对数的运算法则,无法进行计算,因此可先用换底公式将其化为同底对数,再对代数式进行化简计算.观察底数的特点,化成以2或以3为底的对数.解:原式=5422332111log 3log 3log 2log 2log 2232⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=2323535535log 3log 2log 3log 2624624⨯+=⨯⨯⨯+ =555442+=. 6.条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题,如果附加条件比较复杂,则需先对其进行变形、化简,并充分利用其最简结果解决问题.例如:设x =log 23,求332222x x x x ----的值时,我们可由x =log 23,求出2x=3,2-x =13,然后将它们代入332222x xx x----,可得33331322913122933x x x x --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--.【例6】已知3a =4b =36,求21a b+的值.解:(方法一)由3a =4b =36,得a =log 336,b =log 436. 故342121log 36log 36a b +=+=2log 363+log 364=log 369+log 364 =log 3636=1.(方法二)由3a =4b =36,得log 63a =log 64b =log 636, 即a log 63=b log 64=2. 于是2a =log 63,1b =log 62,21a b+=log 63+log 62=log 66=1. 析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化,有些需要将对数式化为指数式,而有些需要将指数式化为对数式;(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用,解题时应全方位、多角度地思考,注意已知条件和所求式子的前后照应.7.利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时,首先仔细观察a ,b 和所要表示的对数底数的关系,利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ,b .解决此类题目时,通常用到对数的运算性质和换底公式.对数的运算性质总结:如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: log a (M ·N )=log a M +log a N ;log aMN =log a M -log a N ; log a M n=n log a M (n ∈R ).换底公式:log a b =log log c c ba (a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0).(3)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化,统一成一种形式. 【例7-1】已知lg 2=a ,lg 3=b ,则log 36=( )A .a b a + B .a bb + C .a a b + D .b a b+解析:由换底公式得 log 36=lg 6lg(23)lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3a bb⨯++===. 答案:B【例7-2】已知log 189=a,18b =5,求log 3645(用a ,b 表示).分析:利用指数式和对数式的互化公式,将18b =5化成log 185=b ,再利用换底公式,将log 3645化成以18为底的对数,最后进行对数运算即可.解:(方法一)∵log 189=a,18b =5, ∴log 185=b .于是log 3645=18181818181818181818log 45log (95)log 9log 5log 9log 518log 36log (182)1log 21log 9⨯++===⨯++ =181818log 9log 52log 92a b a++=--. (方法二)∵log 189=a ,且18b =5, ∴lg 9=a lg 18,lg 5=b lg 18. ∴log 3645=2lg 45lg(95)lg 9lg 5lg18lg1818lg 362lg18lg 92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++====---.8.与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类:第一类是形如关于x 的方程log a f (x )=b ,通常将其化为指数式f (x )=a b ,这样解关于x 的方程f (x )=a b 即可,最后要注意验根.例如:解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,将其化为指数式为23156416x --=,又223233164(4)416---===,则1511616x -=,所以x =1,经检验x =1是原方程的根.第二类是形如关于x 的方程log f (x )n =b ,通常将其化为指数式f b (x )=n ,这样解关于x 的方程f b (x )=n 即可,最后要注意验根.例如,解方程log (1-x )4=2,将其化为指数式为(1-x )2=4,解得x =3或x =-1,经检验x =3是增根,原方程的根是x =-1.第三类是形如关于x 的方程f (log a x )=0,通常利用换元法,设log a x =t ,转化为解方程f (t )=0得t =p 的值,再解方程log a x =p ,化为指数式则x =a p ,最后要注意验根.【例8-1】已知lg x +lg y =2lg(x -2y ),求xy的值. 解:由已知,可得lg(xy )=lg(x -2y )2,从而有xy =(x -2y )2,整理得x 2-5xy +4y 2=0,即(x -y )(x -4y )=0.从而可得x =y 或x =4y .但由x >0,y >0,x -2y >0,可得x >2y >0,于是x =y 应舍去.故x =4y ,即4xy=.因此4xy===4. 辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时,必须注意“真数大于零”这一条件,否则会出现错误.例如,本题若不注意“真数大于零”,则会出现两个结果:4和0.【例8-2】解方程lg 2x -lg x 2-3=0. 解:原方程可化为lg 2x -2lg x -3=0.设lg x =t ,则有t 2-2t -3=0,解得t =-1或t =3,于是lg x =-1或3,解得110x =或1 000. 经检验110x =,1 000均符合题意, 因此原方程的根是110x =,或x =1 000.辨误区 lg 2x 与lg x 2的区别 本题中,易混淆lg 2x 和lg x 2的区别,lg 2x 表示lg x 的平方,即lg 2x =(lg x )2,而lg x 2=2lg x .9.对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛,其运用问题大致可分为两类:一类是已知对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边进行取对数运算.【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0)解:设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%,则a (1-60%)n <0.1%a (设原先容器中的空气体积为a ),即0.4n <0.001, 两边取常用对数得n ·lg 0.4<lg 0.001,所以n >lg 0.0013lg 0.42lg 21=-≈7.5. 故至少需要抽8次.点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法,一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数,再用计算器或计算机进行对数的计算.。
第二章基本初等函数(I)2.2.1 对数与对数运算本节教学分析 (1)三维目标知识与技能 理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;理解对数的性质,掌握以上知识并形成技能.过程与方法 通过实例使学生认识对数的模型,体会引入对数的必要性;通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化.通过学生分组探究进行活动,掌握对数的重要性质.通过做练习,使学生感受到理论与实践的统一.情感态度与价值观 培养学生的类比、分析、归纳能力,严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识. (2)教学重点 1.对数的概念;2.对数式与指数式的相互转化. (3)教学难点对数性质的推导 (4)教学建议大部分学生学习的自主性较差,主动性不够,学习有依赖性,且学习的信心不足,对数学存在或多或少的恐惧感,通过对指数与指数幂的运算的学习,学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.因此,学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础,故应通过指导,教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法.学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性,使学生化被动为主动,本节课可利用多媒体辅助教学,引导学生从实例出发,从中认识对数的模型,体会引入对数的必要性.在教学重难点上,步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率,让学生在教师的引导下,充分地动手、动口、动脑,掌握学习的主动权。
新课导入设计导入一 思考:(P 62思考题)13 1.01xy =⨯中,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……,该如何解决?即:1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中,x 分别等于多少? 象上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数(引出对数的概念).导入二 1.问题1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺? (得到:41()2=?,1()2x =0.125⇒x =?)2.问题2:假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍? ( 得到:(18%)x +=2⇒x =? )问题共性:已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如:课本实例由1.01x m =求x 。
21.对数(1)
教学目标
理解对数的概念,能熟练地进行指数式与对数式互化.
教学重点
1. 理解对数的概念;
2. 能够进行对数式与指数式的互化;
3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。
教学难点
对数概念的理解
教学过程
引入:(读书68页例4+数72页)
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量y 关于时间x 年的函数关系式. ()0(,84.0>=x y x )
因此,知道了经过的时间x 年,就能求出该物种的剩留量y ;反过来,知道了该物质的剩留量y ,怎样求出所经过的时间x 呢?比如,2
1=y 时,?=x ,即求5.084.0=x 中x ,即问题转化为已知底数和幂的值求指数的问题.
(或:复习引入:
(1)若28x =,则x =______.
(2)若24x =,则x =______.
(3)若27x =,则x =______.
也是已知底数和幂的值,求指数。
你能看得出来吗?怎样求呢?
(3)中x 的值不是一个整数,不能一眼看出来,我们用2log 7来表示,即2log 7x =。
)
建构
对数的概念:
如果N a b
=)1,0(≠>a a ,那么称b 是以a 为底N 的对数,记作b N a =log
其中,a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
说明:① N a b =叫做指数式, b N a =log 叫做对数式,
它们所表示的是N b a ,,这3个量之间的同一个关系,如下图
N a b = b N a =log
指数 对数 底数
②0>a 且1≠a ,0>N ,即零和负数没有对数;
③01a =,log 10a ∴=,即1的对数为0;
④1a a =,log 1a a ∴= ,即底数的对数为1;
⑤“log ”同“,,,,
+-⨯÷”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和他的幂值求指数的运算,这种运算叫做对数运算,只不过对数运算的符号写在数的前面。
更具对数的定义,要解决本届开头提出的问题,只要计算0.84log 0.5的值。
运用
例1 将下列指数式改写成对数式:
(1)1624= (2)2713
3=- (3)205=a (4)130= (5)a a =1
例2 将下列对数式改写成指数式:
(1)3125log 5= (2)23log 31-=
(3)699.1log 10-=a (4)01log 2= (5)13log 3=
强调:01log =a ,1log =a a
两种特殊的对数(读书73页最下面到74也最上面)
①常用对数:以10作底 10log N 简记为lg N
②自然对数:以e 作底(为无理数),e = 2.718 28…… , log e
N 简记为ln N .
例3 求下列各式的值:
(1)64log 2 (2)27log 9
例4 1.已知432log (log (log ))0x =,则x=________________
2. 已知12log 23a =
,则312a =____________
3. 已知x>y>0,且233log (
)log ()2x y xy -=,则2log (1)y x +=________________
练习:书P74 1, 5, 7
由练习1,5,推出7结论:log b a a b =,
证明:公式N a N a =log
强调:对数恒等式
(1)log b a a b = , (2)log a N a N =
小结
1. 今天学习了对数的概念,关键是指数式与对数式的互化.
2. 通常以10为底的对数称为常用对数,N 10log 记为N lg .在科学技术中,常使用以e 为
底的对数,称为自然对数,N e log 记为N ln .(e =2.71828…是一个无理数)。