函数的定义域和值域学案

函数的概念与性质教案一、概念介绍函数是数学中一种非常重要的概念，广泛应用于各个领域。

在数学中，函数描述了两个数集之间的对应关系，其中一个数集中的每个元素都与另一个数集中唯一确定的元素相对应。

函数通常用符号f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为函数输出的值，也称为因变量或函数值。

二、函数的定义函数的定义包括定义域、值域和对应关系三个要素。

1. 定义域：函数的定义域指的是自变量的取值范围。

函数的定义域决定了函数可以接受的输入值。

2. 值域：函数的值域指的是函数输出值的范围。

函数的值域决定了函数可以输出的结果。

3. 对应关系：函数的对应关系就是自变量与函数值之间的一一对应关系。

通过对应关系，我们可以得到输入值与输出值之间的对应关系表达式。

三、函数的性质1. 单调性：函数的单调性表明函数值的增减规律。

函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。

2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于原点（坐标轴的交点）的对称性。

如果函数满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数；如果函数满足f(-x)= f(x)，则为偶函数。

3. 周期性：函数的周期性表示函数的性质在一定范围内反复出现。

函数的周期是指函数在某一特定域内，以一定规律重复出现的最小长度。

4. 连续性：函数的连续性代表函数在定义域内没有跳跃或间断。

连续函数可以用一条连续的曲线来表示。

5. 极值：函数的极值是函数在一定范围内的最大值或最小值。

极大值对应函数的局部最大值，极小值对应函数的局部最小值。

四、教学活动设计1. 简介与讲解：首先，向学生介绍函数的概念与性质。

通过实际生活中的例子，比如温度与时间的关系、速度与时间的关系等，帮助学生理解函数的概念。

2. 案例分析：让学生分别观察和分析一些函数的特征，比如单调性、奇偶性等。

引导学生发现函数的性质，并讨论函数图像的特点。

3. 问题练习：设计一些与函数相关的问题，让学生运用所学的函数概念和性质进行解答。

可以包括函数的定义域、值域、单调性等方面的问题。

2014年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第2节 函数的定义域与值域一．学习目标：1. 了解定义域、值域是构成函数的要素； 2．会求一些简单函数的定义域和值域． 二．学习重、难点：1．学习重点：会求定义域、值域是构成函数的要素； 2．学习难点：会求一些简单函数的定义域和值域． 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习：1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母___________． (2)偶次根式函数被开方式____________. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为__________． (6)y ＝tan x 的定义域为________________________． (7)函数f (x )＝x 0的定义域为_____________．(8)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是___.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为________________；当a <0时，值域为_______________．(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是___________．(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域是___________．(5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是____.(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是_________．(7)y＝tan x的值域是_____.五．复习前测：1．函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是() A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)2．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)3．已知全集U＝R，设函数y＝lg(x＋1)的定义域为集合A，函数y＝x2＋2x＋5的值域为集合B，则A∩(∁U B)＝()A．(－1,2] B．[－1,2]C．(－1,2) D．[－1,2)4．函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域为__________．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <11x ，x >1的值域是__________．要点点拨：1．函数定义域的求法第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．2．求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．六．复习过程：题型一：求函数的定义域 [例1](1)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域；(2)已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，求g (x )＝f (x 2)1＋lg (x ＋1)的定义域．[思路点拨](1)列不等式组→解不等式组→写出定义域(2)0≤x≤2→0≤x2≤2→g(x)的定义域[规律总结]若给出函数的具体解析式，则函数的定义域就是使函数有意义的取值集合；若给定的是抽象函数，例如已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域，须抓住两点：①定义域是指x的取值集合；②“f”后面整体的取值范围相同．变式训练1(1)已知f(x＋1)＝ln x，则函数f(log12x)的定义域为__________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是() A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)题型二：求函数的值域[例2]求函数y＝1x2＋2的值域；(2)求函数y＝4x－5＋2x－3的值域；(3)求函数y＝3xx2＋4的值域；(4)求函数y＝1－x2x＋5的值域．[规律总结]函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变量的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6)导数法．求下列函数的值域，并指出函数有无最值． (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋4x .题型三：函数定义域、值域的有关参数问题[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[规律总结] 已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．(1)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为__________．(2)(2011·湖南高考)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)创新探究——函数的性质在解题中的应用 [例题] (1)(2012·江西)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx(2)(2012·湖南)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434[思路点拨] 当函数以解析式形式给出时，求其定义域的实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．链接高考：1．(2012·山东)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]2．(2011·湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.223．(2011·北京)设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,4)，D (t,4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9,10,11}B ．{9,10,12}C ．{9,11,12}D ．{10,11,12}七．反馈练习：1．函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)2．函数y ＝x (x －1)－lg 1x 的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1}3．(2013·南通模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A ．[－5，－1]B ．[－2,0]C ．[－6，－2]D ．[1,3]4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N )D ．y ＝1|x ＋1|5．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪(12，2]B ．(－∞，2]C ．(－∞，12)∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)6．已知定义域为D 的函数f (x )，若对任意x ∈D ，存在正数M ，都有|f (x )|≤M 成立，则称函数f (x )是定义域D 上的“有界函数”，已知下列函数：①f (x )＝sin x ·cos x ＋1；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝1－2x ；④f (x )＝lg 1－x1＋x，其中“有界函数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．y ＝133x －9－|x |－2的定义域为__________．9．函数y＝|x＋2|＋(x－3)2的值域为__________．10．(15分)求下列关于x的函数的定义域和值域：(1)y＝1－x－x；(2)y＝log2(－x2＋2x)；(3)11． (2013·宝鸡模拟)已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．12．定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．八．思维总结：九．自我评价：1．你对本章的复习的自我评价如何？A．很好B．一般C．不太好2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？。

2．2 函数的定义域与值域【知识网络】构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

)值域：(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

【典型例题】 例1．（1）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．（∞-，31-） B ．(31-，31） C ．(31-，1） D ．(31-，∞+） 提示：由10310x x ->⎧⎨+>⎩解得113x -<<．答案为C ．（2）已知()f x =11+x ，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠-B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或提示：11(())1()111f f x f x x =+++＝，∴ 11101x x ≠-⎧⎪⎨+≠⎪+⎩，解得12x x ≠-≠-且，答案为C ． （3）函数＝268y kx x k =-++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A.09k k ≥≤-或B.1k ≥C.91k -≤≤D. 01k <≤ 提示：∵2680kx x k -++≥恒成立， 0k ≤显然不符，∴ 0364(8)0k k k >⎧⎨∆+≤⎩＝－， 解得：1k ≥，选B ．（4）下列函数中,最小值是2的是__ _(正确的序号都填上). ③①(12)y x x x =+>；②2232x y x +=+；③914x y x =+-；④x x y cot tan +=． （5）若的最大值是则y x y x 43,122-=+_________提示：设cos ,sin x y θθ==，则343cos 4sin 5sin x y θθθϕ-=-=（＋），其最大值为5．例2．（1）求下列函数的定义域：xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域．),3[]2,1()1,0(+∞ ．(2）由113133311133a b x a x b a x b a b x ++⎧<<⎪<-<⎧⎪⇔⎨⎨<+<--⎩⎪<<⎪⎩ ．∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有1133a b +-<，即2b a ->此时，1133a b x +-<<，函数的定义域为（3131-+b a ，）；例3．求下列函数的值域：（1）2432y x x =-+-； （2）12y x x =+-；（3）221223x x y x x -+=-+； （4）35y x x =-+-；解：（1）24(1)4y x =---+，∵ 20(1)44x ≤--+≤， ∴ 20(1)42x ≤--+≤ ∴224(1)44x ≤---+≤∴所给函数的值域为[2，4]（2）令12x t -=(0t ≥)，则x=212t -．∴ 212t y t -=+21(1)12t =--+，当1t =时，max 1y = ∴所给函数的值域为(－∞,1].（3）由已知得：2(21)(21)(31)0y x y x y ---+-=…………（*） ①当210y -=时，12y =，代入（*）式，不成立，∴12y ≠． ②当210y -≠时，则：211312231102(21)4(21)(31)0102y y y y y y y ⎧⎧≠⎪≠⎪⎪⇒⇒≤<⎨⎨⎪⎪≤≤∆=----≥⎩⎪⎩ ∴ 所给函数的值域为31[,)102．（4）530503≤≤⎩⎨⎧≥-≥-x x x 得由 ∴函数定义域为[3,5]2222(3)(5)221(4)y x x x =+--=+-- 又当4x =时，2max 4y =，当35x =或时，2min 2y = ∴ 224y ≤≤ 0y > ∴22y ≤≤∴ 所给[2,2]函数的值域为例4．已知函数2()3y f x x ax ==++在区间[-1，1]上的最小值为-3，求实数a 的值．解：43)2()(22a a x x f y -++==（1）min 12(1)432aa y f a -<->=-=-=-当，即时，，解得：7a = （2）当112a -≤-≤，即22a -≤≤时，2min ()3324a a y f =-=-=-，解得26a =±（舍去） （3）当12a->，即2a <-时，min (1)43y f a ==+=-，解得：7a =-．综合（1）（2）（3）可得：a=±7．【课内练习】1．函数23)(x x x f -=的定义域为（ ）A ．[0，32 ] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3） 提示：由230x x -≥得：03x ≤≤，答案为B ． 2．函数251xy x =+的值域为（ ） A 5{|}2y y ≠ B ．{|0}y y ≠ C ．{|25}y y y ≠≠且 D ．2{|}5y y ≠ 提示：y ＝)15(5252+-x , ∵)15(52+x ≠0, ∴ y ≠52答案为D ． 3．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ）A ．[,]a bB ．[,]b a --C ．[,]b b -D ．[,]a a -提示：由(0)a x b b a a x b <<⎧>->⎨<-<⎩得：(0)a x bb a b x a <<⎧>->⎨-<<-⎩即a x a -<<，答案为D ． 4．函数2211x y x -=+的值域为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1]-C ．[1,1)-D ．(,1][1,)-∞-+∞提示：由2211x y x-=+得：2101y x y -=≥+，解得：11y -<≤．5．函数31--+=x x y 的值域是________________.提示：作出函数的图象，得值域为[4,4]-．6．函数248136(1)x x y x ++=+ (1x >-)的值域是[2,)+∞提示：24(1)923(1)26(1)32(1)x y x x x ++==++≥++， 当且仅当123(1)32(1)x x x >-⎧⎪⎨+=⎪+⎩即12x =时取等号．又函数无最大值，故函数值域为[2,)+∞．7．若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为2y x =、值域为{1,4}的“同族函数”共有 9 个.提示：设函数2y x =的定义域为D ，其值域为{1,4}，D 的所有情形的个数，即是同族函数的个数，D 的所有情形为：{1,2},{1,2},{1,2},{1,2},{1,1,2},{1,1,2},-------{1,2,2},{1,2,1}---， {1,1,2,2}--共9个，答案为9．8．求下列函数的定义域：（1）2311x x y x -=--； （2）12log (2)xy x =- ．解：（1）由 ⎩⎨⎧≠--≥-01|1|032x x x , 得⎩⎨⎧≠≠≤≤2030x x x 且, 即：0223x x <<<≤或 ∴ 函数的定义域是(0, 2)∪(2, 3] ．（2）由12log (2)0x ->，得：021x <-< ，即：12x <<，∴ 函数的定义域为(1,2)．9．求下列函数的值域：（1）242(14)y x x x =-+-≤≤；（2）xx y sin 2sin 2+-=；（3）22436x x y x x ++=+-．解：（1）2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =- ∴ 所给函数的值域为[2,2]-．（2）由xxy sin 2sin 2+-=解得：22sin 1y x y -=+，由|sin |1x ≤得22||11y y -≤+ 两边平方后整理，得：231030y y -+≤，解得：133x ≤≤，故所给函数的值域为1[,3]3．（3）由已知得2(1)(4)(63)0y x y x y -+--+= (*) ① 若1y =，代入（*）式390x --=，∴3x =-，此时原函数分母26x x +-的值为0，∴y ≠1；② 若y ≠1，则2(4)4(1)(63)01y y y y ⎧∆=-+-+≥⎨≠⎩2(52)01y y ⎧-≥⇒⎨≠⎩1y ⇒≠ 但当25y =时，代入(*)得：3x =-，∴25y ≠∴函数的值域为：2{|,1}5y y R y y ∈≠≠且．评注：本题中需要检验的原因是：函数22436x x y x x ++=+-可化简为1(3)2x y x x +=≠--．10．已知函数12)(2++=ax x x f 在区间[1,2]-上的最大值为4，求a 的值．解：22()()1y f x x a a ==++-（1）当12a -≤，即12a ≥-时，在2x =时函数有最大值，(2)544f a =+=，解得14a =-，适合；（2）当12a ->，即12a <-时，在1x =-时函数有最大值，(1)224f a -=-=，解得1a =-，适合．综上所述：14a =-或1a =-．A 组 1．设I ＝R ，已知2()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ，那么GU I C F 等于（ ）A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(1，＋ ∞)D ．(1，2)U(2，＋∞)2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]-3．若a ＞1, 则 11-+a a 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．32 D ．124．函数232y x x =--的值域为_________________.5．函数|1||2|y x x =++-的值域为______________.6．求函数222231x x y x x -+=-+的值域7．求函数x x y cos lg 252--=的定义域． 8．已知函数2()23f x x x =-+在[0,]a (0)a >上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围．B 组1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数()f x 的定义域是（ ） A ．[－4，4] B ．[－2，2] C ． [0，2] D ． [0，4] 2．已知函数1()lg1xf x x+=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，不正确的为（ ）A ．A ⊇B B ．A ∪B=BC ．A ∩B=BD ．B ⊂≠A 3．下列结论中正确的是（ ）A ．当2x ≥时，1x x+的最小值为2 B ．02x ≤≤时，22x x --无最大值C ．当0x ≠时，12x x+≥ D ．当1x >时，1lg 2lg x x +≥4．函数(63)(02)y x x x =⋅-<<的值域是_________.5．已知函数22(1)1xy ax a x -=-+-的定义域是R , 则实数a 的范围是______________.6．已知函数22()lg[(1)(1)1],f x a x a x =-+++若()f x 的值域为(,)-∞+∞，求实数a 的取值范围。

第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）一、知识结构重点：函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用； 难点：运用函数解决问题：建立数学模型。

第一课时 函数的概念和图象（1）学习要求1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域与值域；4．培养理解抽象概念的能力．自学评价1． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。

【精典范例】例1：判断下列对应是否为函数： （1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈； （3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，；听课随笔（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤， {|03}y y y ∈≤≤．【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A 中的x 即可． 【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。

点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。

例2：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=-．【解】（1）),2()2,4(+∞--- ；（2）]1,3[-；（3）[1,2)(2,)-+∞。

点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况： ①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法精讲3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例1. 已知2211()x x xfx x+++=，试求()f x。

2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

学习过程一、复习预习1、函数的概念及三要素2、函数的表示方法二、知识讲解考点1 常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．考点2 基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}．(5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .考点3 分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间的关系分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集三、例题精析【例题1】【题干】(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．【答案】(0， 6 ]【解析】(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)∵f(x)的定义域是[－2,4]，∴－2≤x2－3x≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4]【例题2】【题干】求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋log x3－1.【解析】(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16.∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.(3)y ＝log 3x ＋1log 3x －1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2 t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t 即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－t )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3. 当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【例题3】【题干】若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a＋b＝________.【答案】6【解析】∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.则f(x)＝1x－1在[a，b]上为减函数，则f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.【例题4】【题干】若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，5C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103【答案】 C【解析】令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数． 又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.四、课堂运用【基础】1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是() A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋12．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()3．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2， 2 ]【巩固】4．函数y＝16－x－x2的定义域是________．5．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．【拔高】6．下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是()A．f(x)＝ln x B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)＝e x7．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．课程小结1、求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2、妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.。

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

函数的定义域和值域（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. （二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。

②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。

③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。

④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。

⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。

（三）：复合函数的定义域及其求法：（1）定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数[])(x g f y =为)(x f 与)(x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内层函数，)(t f y =叫做外层函数。

(2）复合函数定义域求法：①函数[])(x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围。

②已知f(x)的定义域为A ，求[])(x g f 的定义域:其实质是（求法）：已知)(x g 的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x g f 的定义域。

第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）一、知识结构重点：函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用； 难点：运用函数解决问题：建立数学模型。

第一课时 函数的概念和图象（1）学习要求1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域与值域；4．培养理解抽象概念的能力．自学评价1． 函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。

【精典范例】例1：判断下列对应是否为函数： （1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈； （3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，；听课随笔（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤， {|03}y y y ∈≤≤．【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A 中的x 即可． 【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。

点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。

例2：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=-．【解】（1）),2()2,4(+∞--- ；（2）]1,3[-；（3）[1,2)(2,)-+∞ 。

点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况： ①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。