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基于EXCITE的曲轴系统扭转振动分析
基于EXCITE的曲轴系统扭转振动分析
以扭转振动作为优化目标,建立了EXCITE模型,仿真分析了不同飞轮惯量下的轴系扭振的变化规律,然后进行了不同的皮带轮惯量和扭转刚度系数对轴系扭振影响的理论研究,通过选用合理的扭振减振器参数对轴系扭振的影响做了进一步的分析.仿真结果为认识内燃机轴系扭振提供了较为全面的参考信息,对实际工程分析具有一定的指导意义.
作者：岳东鹏石传龙 YUE Dong-peng SHI Chuan-long 作者单位：天津工程师范学院,汽车与交通学院,天津,300222 刊名：天津工程师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF TIANJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY AND EDUCATION 年，卷(期)：2009 19(2) 分类号：U464.133 关键词：轴系 EXCITE 扭转振动。
2005058汽车发动机曲轴扭振的多体动力学分析3段秀兵1,郝志勇2,岳东鹏1,宋宝安1(11天津大学机械工程学院,天津 300072; 21浙江大学机械与能源学院,杭州 310027) [摘要] 采用结合有限元法(FEM )的多体系统仿真(MSS )方法对汽车发动机曲轴进行扭转振动分析。
建立了包括柔性曲轴的车用发动机曲轴系统的多体动力学模型。
根据多体动力学仿真计算结果,分析了曲轴的扭转振动,测量了曲轴自由端的扭转振动,与仿真计算结果吻合较好。
关键词:汽车发动机,曲轴,扭振Multi 2body Dynamics Analysis on Torsional Vibration ofAutomotive Engine CrankshaftDuan Xiubing 1,H ao Zhiyong 2,Yue Dongpeng 1&Song B ao ’an 11.School of Mechanical Engi neeri ng ,Tianji n U niversity ,Tianji n 300072;2.School of Mechanical and Energy Engi neeri ng ,Zhejiang U niversity ,Hangz hou 310027 [Abstract] By using multi 2body system simulation (MSS )method ,combined with finite element analysis(FEA ),the torsional vibration of automotive engine crankshaft is analyzed in this paper.The multi 2body dy 2namics model for the crankshaft assembly including flexible crankshaft is established.The torsional vibration of crankshaft is analyzed based on the results of multi 2body dynamics simulation.The torsional vibration at the free 2end of crankshaft was measured ,which coincides well with the simulation.K eyw ords :Automotive engine ,Crankshaft ,Torsional vibration3国家自然科学基金资助项目(50175078)。
曲轴组扭振与强度分析曾小春¹ 李一民²1.江铃汽车股份有限公司发动机开发部，南昌，3300012.浙江大学车辆工程研究所，杭州，310027摘要：本文运用ABAQUS和Excite PowerUnit软件，对曲轴系进行扭振和强度分析，以便确认轴系是否满足设计要求关键词：曲轴组，扭振分析，强度分析主要软件：ABAQUS, AVL Excite PowerUnit1、计算网格表1 单元类型说明零部件单元类型节点数单元数曲轴8节点六面体100,53286,520飞轮8节点六面体7,6925,532正时带轮8节点六面体760468减振器8节点六面体3,2221,924橡胶层8节点六面体624260共计111,04694,704图1 有限元分析网格2、仿真结果及评价2.1 曲轴的扭振分析通过对整个轴系的自由振动分析，可知曲轴的一、二阶扭转模态频率分别为326.6Hz和574.8Hz。
结合该发动机的工作转速，可划分出整个轴系的临界转速图，通过该图可以识别出各阶模态所对应的共振转速，如图2所示。
由于二阶扭转模态所对应的为幅值相对较小的高谐次的干扰力矩谐量，因此我们重点关注一阶扭转模态所对应的临界转速，从图中我们可以看出5谐次以上的干扰力矩在发动机的工作转速内都将产生扭转共振。
Critical Speeds0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.510.511.51000150020002500300035004000S p e e d (r p m )100200300400500600700800Frequency(Hz)12Modes(rpm )图2 临界转速图完成轴系的自由模态分析后，我们将关注曲轴在强迫振动下的响应，也就是分析各个干扰力矩所引起的强迫振动振幅，这直接影响着发动机运转时的安全性。
图3为各谐次干扰引起的各自的曲轴扭振响应及总响应。
0.20.40.60.811.21.41.61.8A n g u l a r D i s p l a c e m e n t (d e g )1000150020002500300035004000Engine Speed(rpm)Order 0.5000(deg)Order 1.0000(deg)Order 1.5000(deg)Order 2.0000(deg)Order 2.5000(deg)Order 3.0000(deg)Order 3.5000(deg)Order 4.0000(deg)Order 4.5000(deg)Order 5.0000(deg)Order 5.5000(deg)Order 6.0000(deg)Order 6.5000(deg)Order 7.0000(deg)Order 7.5000(deg)Order 8.0000(deg)Order 8.5000(deg)Order 9.0000(deg)Order 9.5000(deg)Order 10.0000(deg)Order 10.5000(deg)Order 11.0000(deg)Order 11.5000(deg)Order 12.0000(deg)Synthesis(deg)图3 不同转速下的扭振幅值图从图3中也可以看出总振幅在0.3度以下，完全满足该发动机对扭振振幅的要求。
发动机曲轴扭转振动的测量一、实验目的：1、学习用实验法确定曲轴固有频率和临界转速，并找出共振时的最大扭转角。
2、了解非接触式扭振仪的工作原理。
二、实验说明：在内燃机的使用实践中，人们发现当多缸机达到某一转速时，会变得运转很不均匀，并伴有机械敲击和抖动，性能也变坏了，当转速升高或降低一些，这种现象减轻甚至消失，这种现象的原因是由于曲轴发生了大幅度扭转振动引起的。
曲轴不是绝对刚性的，具有一定的弹性，而且有自己的固有频率。
曲轴在某一转速工作时，不仅要受到各缸平均扭矩的作用，还要受到各缸干扰力矩的作用，而且不同步，所以各曲拐间必然产生相当大的周期性相对扭转。
这种扭转与曲轴的刚度、转动惯量和施加在曲轴上的干扰力矩有关，或者说与曲轴的固有频率和干扰力矩有关。
而各缸干扰力矩是相当复杂但是是呈周期性变化的，根据傅立叶级数理论，再复杂的周期性函数都可以表示成由若干阶谐量叠加而成，所以，各缸干扰力矩可以认为是由若干阶谐量叠加而成。
+M0.5sin(0.5ωt t+δ0.5)+M1sin(1.0ωt t+δ1)+M1.5sin(1.5ωt t+δ1.5)+ M2sin(2.0ωt t+δ2)+M2.5sin(2.5ωt t+δ2.5)+M3sin(3.0ωt t +δ3)+…………………………………………..+M 9.5sin( 9.5ωt t+ δ9.5)+M10sin(10ωt t +δ10)+M10.5sin(10.5ωt t+δ10.5)+M11sin(11ωt t +δ11)+M11.5sin(11.5ωt t+δ11.5)+M12sin(12ωt t +δ12)当干扰力矩的某一阶谐量的变化频率等于曲轴的固有频率时，就会产生共振，使相对扭转角大大的增大，造成曲轴承受的应力大大增加，这样就会使曲轴轻则疲劳加剧，重则断裂，直接影响曲轴的使用寿命。
要想研究曲轴的扭转振动，用计算的方法比较繁琐，今天我们就用实验的方法来研究曲轴的扭转振动。
使用LMS QTV 进行发动机曲轴扭振试验一概述发动机曲轴的扭转振动是轴系振动的一个自然现象。
如果轴系扭转振动的固有频率落在发动机工作的常用转速范围内，会引起曲轴的扭转共振，从而引起发动机的振动和噪声，轻则加剧发动机的振动和噪声，重则使曲轴断裂损坏发动机，造成严重事故。
因此，对发动机曲轴的扭转振动测量对于汽车行业和发动机行业都是很重要的工作。
虽然计算机辅助设计现在已能对发动机曲轴进行模拟计算，但最终仍然需要对发动机的曲轴进行实际扭振测量，并且根据测量结果，判定曲轴的扭振状态是否可以保证发动机安全、可靠性的工作。
因此，方便、快捷、准确地测量发动机曲轴的扭转振动的仪器开发，一直是工程技术人员在不断地追求。
LMS QTV 很好地实现了这一追求。
二QTV 的结构原理与SCADAS III 的其它模块相同，QTV 由两个模块组成。
其电压输入调理模块，确保100kHz 的模拟信号带宽，用于对输入转速信号的调理、放大或衰减，以保证其SP 90 模数转换模块正确地采集数据。
过零检测和rpm 变化量的计算，则是通过一个高性能的数字信号处理器（DSP）在数字域内实现。
QTV 的结构原理图如图1 所示。
它说明了QTV 如何将模拟式转速信号转换为高精度、宽频带的rpm 变化量。
图中只给出一个通道的框图，实际上，一个QTV 模块有四个通道，能同时对旋转件四个不同部位的扭振信号进行测量分析。
图1 QTV 结构原理图内涵有扭振信息的转速信号，先馈入一个带宽很宽的模拟式调理电路，该电路可选择适当的放大或衰减因子。
必要时，还可插入一高通滤波电路，但一般情况下，不推荐这样做，因为会引起相位失真和不希望的瞬态响应。
抗混滤波器和24 bit 、204.8 kHz 采样率的模数转换器，可保证精确采集原始的转速数据。
对原始信号作精确的数字化处理后，再由DSP 作进一步的运算处理。
首先，对ADC 输出数据进行二倍升采样。
这个过程相对简单，利用FIR（有限冲激响应）插值滤波器，保证运算过程非常精确。
曲轴扭转减振器原理
汽车在行驶过程中，由于振动，使曲轴与连杆的连接轴颈与连杆轴瓦之间产生磨损和间隙，这种磨损和间隙又使曲轴受到一种不平衡力矩的作用，引起振动。
因此，当汽车行驶速度越快时，这种不平衡力矩越大。
为了使这一不平衡力矩最小化，就必须在曲轴上设置扭转减振器。
曲轴扭转减振器的作用是：在曲轴和连杆之间安装了一个弹性元件，在产生扭转振动时产生阻尼作用；同时在发动机与车轮之间安装一个阻尼元件，在产生振动时起到隔震作用。
减振器的阻尼力等于车轮和发动机之间的弹性连接处的横向刚度系数乘以其质量（或弹簧质量）。
扭转减振器一般都采用弹性元件，也有采用金属阻尼器的。
在实际应用中，要使曲轴的扭转振动最小化，还要注意以下几点：
1.必须保证发动机和车轮之间具有足够大的横向刚度系数。
2.为了防止曲轴因受到不平衡力矩而引起严重磨损和变形，必须在曲轴和车轮之间安装一个阻尼元件。
—— 1 —1 —。
汽车发动机曲轴扭转振动分析及控制社会经济在进行着快速的发展中，人们对于汽车的使用量也在逐渐的增加，我国对于汽车建设中是要求也越加严苛。
在汽车公司进行汽车设计的过程中，对于发动机及行驶中的稳定程度越加重视。
汽车发动机曲轴扭转振动是汽车公司在对于发动机研究中的热点课题。
本为对于发动机的曲轴扭转技术进行较为全面的分析。
标签：曲轴系；扭转振动；优化设计0 前言增加对于汽车发动机的振动分析与控制，在一定程度上面可以将汽车的内部结构进行优化，增加发动机的使用时间与汽车行驶过程中的稳定性能。
曲轴扭转是发动机在工作过程中的主要部件，性能的好坏将直接对于汽车的整体性能进行影响。
本文主要对于汽车中的曲轴扭转振动进行分析研究，这项研究是十分具有实际意义的。
1 汽车发动机曲轴扭转振动系统理论分析1.1 ADAMS多刚体动力学理论ADAMS动力学理论主要使用坐标方程式进行汽车在行驶中的发动机系统的分析。
在ADAMS动力学理论中，将动力系统内的关性参考系中的坐标与方位坐标进行标注，并使用相对应的数学方程式进行多余坐标的约束，进而将已经标注的坐标进行变量。
在对于动力学的分析过程中，使用数学方程式可以将计算的效率进行大幅度提升。
1.2 ADAMS多柔体动力学理论在进行汽车生产建设中，在机械系统中已经广泛使用柔性材料，是生产设备运行中速度较快，但是运行的精度也在不断的提升，设备内的动力学性能变得更加繁琐。
刚性研究体系已经不能满足对于动力学的研究，因此柔体动力学理论就在这种情况下产生。
这种研究体系一般情况下是以刚性动力学体系作为参照依据，在对于柔体的研究中进常采用不同的处理形式。
在一定程度上面刚性与柔性的个、动力学体系进行共同使用，可以对系统中的动力学进行更加全面的认识[1]。
2 曲轴动力学研究模型2.1 三维几何模型三维几何模型可以将曲轴系统的中每个零件间的关系进行清晰的展示。
按照零件的规格与参数，利用相对应的三维软件就可以建立相对应的三维几何模型。
哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）四缸发动机曲轴扭振分析摘要在发动机工作过程中，曲轴上各曲拐所承受转矩的大小周期性变化的，而曲轴后端的飞轮具有大的惯量，转速可以看成是均匀的，所以各曲拐相对于飞轮就会发生大小和方向作周期性变化的相对扭转振动，产生曲轴轴系的扭转振动。
曲轴的扭转振动时，扭转变形的幅度大大超过正常允许值，轻则产生很大的噪声，是磨损加剧，重则使曲轴断裂。
因此在设计内燃机时，必须对轴系的扭振特性进行分析，以确定其临界转速、振型、振幅、扭转应力，以及据是否需要采取减振措施进而设计减振器。
本文中首先用pro/E软件对所要分析的曲轴进行建模，用其模型分析功能求取曲轴当量转动惯量，用其Mechanica模块求取曲轴的当量刚度；用矩阵法和霍尔茨法计算曲轴的自由振动，确定曲轴的固有频率和振型；通过对曲轴激振力矩的简谐分析，确定曲轴的单缸转矩振幅；通过对轴系强迫振动计算，确定曲轴的临界转速、共振时的幅值以及曲轴的扭振应力；判别扭振应力的大小是否超过允许应力，如果扭振应力接近或超过允许零件允许值，则对曲轴采取减振措施，设计合适的减振器。
关键词：曲轴；扭振；扭振减振器I哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）AbstractIn the process of engine working,crank torque of the crankshaft is periodically changing,while the flywheel is approximately in uniform rotation because of the big moment of inertia of the flywheel.Therefor,the crank have a relative motion compared to the flywheel.,then,the torsional vibration of the crankshaft occurs.When the deformation amplitude of the crankshaft considerably more than the normal value,the engine will produce noising noise,and the abrasion increased,worse more,the crankshaft may crack even broken.Therefore, in the design of the internal combustion engine,the shafting torsional vibration characteristics are analyzed to determine its critical speed, mode, amplitude, torsional stress, as well as designing torsional vibration damper.Firstly, model the crankshaft to be analyzed with pro / E software,then,we can get the equivalent inertia of the crankshaft and the equivalent stiffness;Secondly,calculate the free vibration of the crankshaft using matrix method and Holtz method,and determine the natural frequencies and mode shapes;Thirdly,determine the amplitude of the single-cylinder crankshaft torque,through analyzing the exciting moment of the crankshaft;Then,determine the critical speed of the crankshaft, crankshaft torsional vibration amplitude and stress by calculating the forced vibration of the crankshaft;Finally,judge whether the size of awkward vibration stress exceeds the allowable stress.If the torsional stress close to or exceeds the allowable value of the crankshaft parts,damping measures must be take to consideration and design the suitable torsional vibration damper.Keywords: crankshaft, torsional vibration, torsional vibration damperII哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）目录摘要 (I)Abstract ........................................................ I I 第1章绪论. (3)1.1 课题研究的目的和意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)1.3 本课题的研究内容及技术方案 (4)1.4 本文的主要研究内容 (5)第2章曲轴当量扭振系统的组成与简化 (6)2.1 当量系统的组成与简化 (6)2.2 当量转动惯量的计算 (7)2.3 当量刚度的计算 (10)2.4 本章小结 (15)第3章轴系自由振动的计算 (16)3.1 霍尔茨法计算系统的自由振动 (16)3.2 固有频率和振型的计算 (19)3.3 本章小结 (21)第4章曲轴系统的激发力矩 (22)4.1 作用在发动机上的单缸转矩 (22)4.2 多拐曲轴上第k阶力矩谐量的相位关系 (24)4.3 本章小结 (25)第5章轴系强迫振动与共振的计算 (26)5.1 临界转速 (26)5.2 曲轴系统的共振计算 (27)5.2.1 轴系共振计算 (27)5.2.2 共振振幅计算 (29)5.2.3 曲轴扭振应力计算 (30)5.3 本章小结 (31)第6章扭转振动的消减措施 (32)6.1 扭转振动的消减措施 (32)6.2 减振器的设计 (33)6.3 装减振器后扭振当量系统振动计算 (35)1哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）6.3.1 装减速器后轴系自由振动计算 (35)6.3.2 装减振器后轴系强迫振动与共振计算 (37)6.4 本章小结 (37)结论 (39)致谢 (40)参考文献 (41)附录 (42)2哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）第1章绪论1.1课题研究的目的和意义曲轴的功用是承受连杆传来的离心力,并由此造成绕曲轴本身轴线的力矩，并对外输出转矩.在发动机工作中，曲轴受到旋转质量的离心力、周期性变化的气压力和往复惯性力的共同作用，使曲轴承受弯曲和扭转载荷。
哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）四缸发动机曲轴扭振分析摘要在发动机工作过程中，曲轴上各曲拐所承受转矩的大小周期性变化的，而曲轴后端的飞轮具有大的惯量，转速可以看成是均匀的，所以各曲拐相对于飞轮就会发生大小和方向作周期性变化的相对扭转振动，产生曲轴轴系的扭转振动。
曲轴的扭转振动时，扭转变形的幅度大大超过正常允许值，轻则产生很大的噪声，是磨损加剧，重则使曲轴断裂。
因此在设计内燃机时，必须对轴系的扭振特性进行分析，以确定其临界转速、振型、振幅、扭转应力，以及据是否需要采取减振措施进而设计减振器。
本文中首先用pro/E软件对所要分析的曲轴进行建模，用其模型分析功能求取曲轴当量转动惯量，用其Mechanica模块求取曲轴的当量刚度；用矩阵法和霍尔茨法计算曲轴的自由振动，确定曲轴的固有频率和振型；通过对曲轴激振力矩的简谐分析，确定曲轴的单缸转矩振幅；通过对轴系强迫振动计算，确定曲轴的临界转速、共振时的幅值以及曲轴的扭振应力；判别扭振应力的大小是否超过允许应力，如果扭振应力接近或超过允许零件允许值，则对曲轴采取减振措施，设计合适的减振器。
关键词：曲轴；扭振；扭振减振器I哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）AbstractIn the process of engine working,crank torque of the crankshaft is periodically changing,while the flywheel is approximately in uniform rotation because of the big moment of inertia of the flywheel.Therefor,the crank have a relative motion compared to the flywheel.,then,the torsional vibration of the crankshaft occurs.When the deformation amplitude of the crankshaft considerably more than the normal value,the engine will produce noising noise,and the abrasion increased,worse more,the crankshaft may crack even broken.Therefore, in the design of the internal combustion engine,the shafting torsional vibration characteristics are analyzed to determine its critical speed, mode, amplitude, torsional stress, as well as designing torsional vibration damper.Firstly, model the crankshaft to be analyzed with pro / E software,then,we can get the equivalent inertia of the crankshaft and the equivalent stiffness;Secondly,calculate the free vibration of the crankshaft using matrix method and Holtz method,and determine the natural frequencies and mode shapes;Thirdly,determine the amplitude of the single-cylinder crankshaft torque,through analyzing the exciting moment of the crankshaft;Then,determine the critical speed of the crankshaft, crankshaft torsional vibration amplitude and stress by calculating the forced vibration of the crankshaft;Finally,judge whether the size of awkward vibration stress exceeds the allowable stress.If the torsional stress close to or exceeds the allowable value of the crankshaft parts,damping measures must be take to consideration and design the suitable torsional vibration damper.Keywords: crankshaft, torsional vibration, torsional vibration damperII哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）目录摘要 (I)Abstract ........................................................ I I 第1章绪论. (3)1.1 课题研究的目的和意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)1.3 本课题的研究内容及技术方案 (4)1.4 本文的主要研究内容 (5)第2章曲轴当量扭振系统的组成与简化 (6)2.1 当量系统的组成与简化 (6)2.2 当量转动惯量的计算 (7)2.3 当量刚度的计算 (10)2.4 本章小结 (15)第3章轴系自由振动的计算 (16)3.1 霍尔茨法计算系统的自由振动 (16)3.2 固有频率和振型的计算 (19)3.3 本章小结 (21)第4章曲轴系统的激发力矩 (22)4.1 作用在发动机上的单缸转矩 (22)4.2 多拐曲轴上第k阶力矩谐量的相位关系 (24)4.3 本章小结 (25)第5章轴系强迫振动与共振的计算 (26)5.1 临界转速 (26)5.2 曲轴系统的共振计算 (27)5.2.1 轴系共振计算 (27)5.2.2 共振振幅计算 (29)5.2.3 曲轴扭振应力计算 (30)5.3 本章小结 (31)第6章扭转振动的消减措施 (32)6.1 扭转振动的消减措施 (32)6.2 减振器的设计 (33)6.3 装减振器后扭振当量系统振动计算 (35)1哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）6.3.1 装减速器后轴系自由振动计算 (35)6.3.2 装减振器后轴系强迫振动与共振计算 (37)6.4 本章小结 (37)结论 (39)致谢 (40)参考文献 (41)附录 (42)2哈尔滨工业大学本科毕业论文（设计）第1章绪论1.1课题研究的目的和意义曲轴的功用是承受连杆传来的离心力,并由此造成绕曲轴本身轴线的力矩，并对外输出转矩.在发动机工作中，曲轴受到旋转质量的离心力、周期性变化的气压力和往复惯性力的共同作用，使曲轴承受弯曲和扭转载荷。
国际机械工程与力学会议记录 2007年11月，中国江苏省无锡市汽车曲轴扭振理论分析S. Mahjob, S. J. Seydalian, M. HeidariDepartment of Mechanical Engineering, Imam Hossein University, Babai superhighway, Tehran, Iran E-mail: j.seadalian@摘要：汽车曲轴受到因气缸周期性冲击而产生的周期波动的扭矩的作用。
气压力和因往复质量而产生的惯性力构成了作用于曲轴组的激发力矩。
这些力对曲轴产生交替变化的力矩，从而导致发动机的振动，进而引起汽车产生振动和噪声。
尽管大多数的物理结构都是连续的，但是通常可以通过离散参数模型来表示它们的运动。
这篇论文系统分析了曲轴扭转振动对发动机转速的影响。
共有五种理论分析模型，分别为5自由度、6自由度、17自由度和21自由度。
扭转振动分析被用来确定系统的自由振动频率。
自由度的范围从5到21。
不同模型的分析结果与实验模型比较，从而获得最佳模型。
通过用最佳的理论模型代替实验模型并且提高发动机转速，发现在不同速度下理论模型的性能和实验模型很接近。
1. 简介：研究机械结构的动态特性定义为模态分析。
这篇论文介绍了曲轴扭振对发动机性能的影响。
并建立的数学模型模拟曲轴的振动。
这个模型包括5、6、17、19和21自由度的曲轴。
论文中分析和测试的曲轴为RENALT 曲轴。
不同模型的实验结果非常吻合。
有限元分析是另外一种分析方法，结合了质量和刚度矩阵，主要用来做敏感性分析和动态行为的预测。
但是考虑到结构的复杂性，往往结构的实际性能与分析结果存在一定误差。
理论分析的方法比较复杂，但是它为下一步分析提供了一个逻辑和方法。
[这在本文中有详细说明。
2. 理论方法固有频率和振型由以下方程决定：单位矩阵I 、质量矩阵M 、特征值λ、刚度矩阵K 、固有频率ω、特征向量X}0{]][[}]{[..=+θθK M (1) 振型: 0}]{[1=--i i X M λ (2)固有频率: 02=-i M K ω ⇒00121=-⇒=---i i K M I K M λω (3)图1 曲轴图1中的曲轴分为17个部分，其中b,m,t 分别代表摇臂、曲柄和主轴。
为了得到K 和M 首先应该确定等效长度。
通过B.E.C.E.R.A 方程求取等效长度。
2.1 确定等效长度在B.E.C.E.R.A 方程中的等效直径为曲轴主轴直径 主轴和曲柄的等效长度通过以下方程计算：444et t t e t d D D L L -= ， φInterior d t : (4) 444em mm e m d D D L L -= ， φInerior m :d (5) 摇臂的等效长度通过以下方程计算:⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆+∆+=t e t e t e t e t e te t D L D L D L D L D L D L D L 543210eb (6)方程（6）中的直径通过以下步骤计算：I. 通过方程（7）确定等效宽度：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=3min 3max311211B B b e （7）图2. 等效宽度II. 通过方程（8）和各自的示意图确定等效宽度，其中R 为曲柄半径，e l 是摇臂长度。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=33m 0e :eeb e t t B L RD R R R R c D L （8）III. 通过方程（9） 确定修正项t D L 1e ，方程（10）确定调整项tD L2e ，方程（11）确定空效应项t D L 3e ，方程（12）确定切口效应项t D L 4e ，方程（13）确定tD L5e ，并通过各自的示意图计算。
⎪⎩⎪⎨⎧∆331:eet e D B cD L （9）⎪⎩⎪⎨⎧∆332:ee t e D B cD L （10） ⎪⎩⎪⎨⎧∆Ra c D L te :3 (11) 334⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆t e t ef m e m ef t e D D D L D D D L D L (12) 335⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆t e t ef m e m ef t e D D D L D D D L D L2.2 确定等效刚度刚度矩阵由以下公式计算：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+=rad m E D J m N E G t 442785.8321073.6π ，rad mN L L GJ K e e 59561== 例如摇臂2的刚度为：6288.1325.46595612+=-==E E L GJ K eb 2.3 确定转动惯量曲轴的转动惯量分别由曲柄的转动惯量、主轴的转动惯量和摇臂的转动惯量组成。
计算曲轴的转动惯量时，分别计算这三者的转动惯量然后相加即可。
具体计算步骤如下： a) 曲柄的转动惯量的计算：图3. 曲柄模型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22484R D D L J m m m m ρπ(14) 油槽：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2222'16164R h h J mφρφπ（15） b) 主轴的转动惯量的计算：图4. 主轴模型 432t t t D L J ρπ=（16）油槽：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=222'2348h h J t φρφπ（17） c) 因为摇臂复杂的外形结构，分析法计算摇臂的转动惯量很困难。
因此，通过SOLIDWORKS 软件计算摇臂的转动惯量，计算结果见表 1.3. 曲轴的模拟仿真3.1 5自由度模型的扭振为了确定5自由度曲轴模型的扭转固有频率，将曲轴分为5个圆盘部分和4个连接部分如图5、图6所示：图5. 曲轴模型（5自由度）图6. 数学模型（5自由度） 调节系统方程为：)0(*0000000000*000000000000000005432145454545343434342323232312121212..5..4..3..2..154321=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--+--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθθθθθk k k k k k k k k k k k k k k k J J J J J 表一 （18）通过求解这个系统的方程可以确定曲轴的固有频率。
一介频率为0Hz,因为此时曲轴整体以一个刚体运动个质量块的刚度和质量矩阵由以下方程计算。
固有频率和振型通过MA TLAB 软件计算。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t b b m tv b b m t b b m t t b b m td k k k k k k k k k k k k k k k k k k *211111/1k 1111/1k 1111/1k *211111/1k 8745653443232112 （19）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=++++=++++=2222m8tv 576m 454m 332m 2m1td 1活塞飞轮活塞活塞活塞活塞皮带轮I I I I I I II I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I b b b t b b t b b t b （20）3.2 6自由度模型的扭振为了就算6自由度曲轴模型的扭转固有频率，曲轴如图7分割为若干块：图7. 曲轴模型（6自由度）调节系统方程为：)0(*k k 0000k k k k 0000k k k k -0000k -k k k 0000k k k k -0000k -k *0000000000000000000000000000006543215656565645454545343434342323232312121212..6..5..4..3..2..1654321=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--++--++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθθθθθθθJ J J J J J （21）名称等效长度 L(mm) 刚度 K （rad N /m ⋅）刚度I （kg ⋅2m ）d t186.53 0.3194E+6 0.2294E-3 t24 2.48E+6 0.140E-3 v t38.861.53E+60.520E-3各质量块的刚度矩阵和质量矩阵为：以下的方程、固有频率和振型用MA TLAB 软件计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tv b m t b b m t b b m t b b m b td k k k k k k k k k k k k k k k k k k 11*21/1k 1111/1k 1111/1k 1111/1k *2111/1k 856764554343223m 112 （22）m 42.81 1.39E+6 0.640E-3 1b 35.02 1.71E+6 2.608E-3 2b46.25 1.28E+6 0.577E-3 3b46.25 1.28E+6 0.577E-3 4b36.30 1.64E+6 2.595E-3 5b 36.30 1.64E+6 2.590E-3 6b 38.86 1.54E+6 0.653E-3 7b 38.86 1.54E+6 0.647E-3 8b33.55 1.70E+6 2.771E-3 活塞与连杆 --- --- 1.490E-3 飞轮 --- --- 58.360E-3 附件 --- --- 29.500E-3 皮带轮------1.417E-3⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++++=++++=++++=++++=+=4-7723.0-4-43012.1-tv 687m 565m 443m 321m 2td 1E I I I I II I I I I I I I I I I II I I I I I I I I I I E I I I b b t b b t b b t b b t 附件飞轮活塞活塞活塞活塞皮带轮 （23） 3.3 17、19和21自由度模型的扭振为了计算17、19和21自由度模型的扭转固有频率，曲轴分为如图8、9、10所示的若干块：图8. 曲轴模型（17自由度）图9. 曲轴模型（19自由度）图10. 曲轴模型（21自由度）表2. MATLAB 计算结果4. 模态实验4.1 完成实验性的模态实验发动机的扭振在特定的转速范围内，这里只有做在特定转速范围之内的扭振实验。
