九年级数学 二次函数 单元试卷（一） 时间90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A.y=(x －1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2 中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2 ＋3.5的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0． (第9题) (第10题) 3.05m x y
一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质
图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,)2 b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =-
二次函数概念 学习要求 1．熟练掌握二次函数的有关概念． 2．熟练掌握二次函数y ＝ax 2的性质和图象． 综合、运用、诊断 一、填空题 1．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______． 2．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______． 3．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内． (1)y ＝2x 2如图( )；(2)22 1x y = 如图( )；(3)y ＝－x 2 如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)29 1 x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )． 4．已知函数,2 3 2x y -=不画图象，回答下列各题． (1)开口方向______；(2)对称轴______；(3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x ______时，y ＝0；(6)当x ______时，函数y 的最______值是______． 5．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答： (1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称．函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______． 6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______． 7．已知函数y ＝(m 2－3m )1 22--m m x 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______， 对称轴方程为______，开口______． 9．已知函数y ＝m 2 22+-m m x ＋(m －2)x ． (1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． (2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 9．已知函数y ＝m m m x +2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下． 二、选择题 110．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x (x ＋1) B ．xy ＝1 C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2 D ．132+=x y 11．在二次函数①y ＝3x 2；②223 4 ;32x y x y == ③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为 A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞③＞① D ．②＞①＞③ 12．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 13．下列说法中错误的是( ) A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0
二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根
二次函数检测卷 时间：120分钟满分：150分 班级：__________姓名：__________得分：__________ 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（） A．y＝1 x2B．y＝2x＋1 C．y＝x 2＋x－2 D．y2＝x2＋3x 2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是（） A．(2，1) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，2) 3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是（）A．－3 B．－1 C．2 D．3 4．抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．下列函数中，当x>0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1 C．y＝(x＋1)2D．y＝－(x－1)2 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x …－2－10123… y …50－3－4－30… 二次函数图象的对称轴是（） A．直线x＝1 B．y轴C．直线x＝1 2D．直线x＝－ 1 2 7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（） A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4 8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是（）
9．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0＜x ＜60) B ．y ＝－1 2x 2－10x ＋1200(0＜x ＜60) C ．y ＝－12x 2＋10x ＋1250(0＜x ＜60) D ．y ＝－1 2 x 2－10x ＋1250(x ≤60) 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝1 2x 2－2x ，其 对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 第10题图 第12题图 11．抛物线y ＝－x 2＋6x －9的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，如果在抛物线上取点C ，在x 轴上取点D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是（ ） A ．(－6，0) B ．(6，0) C ．(－9，0) D ．(9，0) 12．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点为B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．②④⑤ 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 13．当a ＝ 时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数． 14．把二次函数y ＝x 2－12x 化为形如y ＝a (x －h )2＋k 的形式为 . 15．已知A (4，y 1)，B (－4，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2－2的图象上两点，则y 1 y 2. 16．若抛物线y ＝x 2－2x ＋3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个
初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．
二次函数单元测试卷 、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数） 的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且 函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有 个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点
y x O 第三讲 二次函数的性质及其应用 ? 相关概念及定义 ? 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． ? 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换 ? 二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. ? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2 ；③()2 h x a y -=； ④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2 . 二次函数解析式的表示方法 ? 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； ? 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； ? 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. ? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成 交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数 2 ()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 ? 抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ? a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数 抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同 一直 角 坐标 系内，二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是( 11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的 情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二 欠 函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、 填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（ ）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________ 北师大版二次函数测试题及答案 北师大版二次函数测试题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1 两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 二次函数的概念—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念； 2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法； 3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围； 4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【要点梳理】 要点一、函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数. 对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释： 对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应； （3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义. 要点二、函数的三种表示方法 表示函数的方法，常见的有以下三种： （1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法. （2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释： 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 对照表如下： 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 第二十二章 二次函数 专项综合测试卷 求二次函数解析式 类型一 利用“一般式”求二次函数解析式 1.（2018福建龙岩上杭月考）已知二次函数的图象经过点（0，3）、（-3，0）、（2，-5）. （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上. 2.（2020广东惠州博罗期中）已知抛物线2y ax bx c =++经过A （0，2），B （4，0）， C （5，-3）三点，当x ≥0时，图象如图所示. （1）求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线2y ax bx c =++在y 轴左侧的部分. 3.（2019广东广州越秀月考）已知抛物线2y ax bx c =++过点A （-1，1），B （4，-6）， C （0，2）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）该抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是__________； （3）选取适当的数据，并在直角坐标系内描点画出该抛物线. 类型二 利用“顶点式”求二次函数解析式 4.（2019四川广安月考）某抛物线的对称轴为直线3x =，y 的最大值为-5，且与212 y x =的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为（ ） A. 21(3)52y x =-++ B. 21(3)52 y x =--- C. 21(3)52y x =++ D. 21(3)52y x =-- 5.（2020山东济宁任城期中）已知一个二次函数有最大值4.当x >5时，y 随x 的增大而减小，当x <5时，y 随x 的增大而增大，且该函数图象经过点（2，1），求该函数的解析式. 6.（2020浙江宁波鄞州期中）已知二次函数2y ax bx c =++的图象顶点坐标为（1，4），且经过点C （3，0）. （1）求该二次函数的解析式； （2）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （3）当3y x ≤-+时，直接写出x 的取值范围. 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2 - = x B. 2 = x C. 1 - = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则（） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：_____________________. 二次函数的概念教学设计 常德芷兰实验学校陈佳雪 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 二次函数是在学生学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习的一个新的函数，学习二次函数将为一元二次方程的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为后来学习二次函数的图象做铺垫，更是高中学习阶段不可缺少的一类重要函数，在学业水平测试中占有较大比例，更是压轴题的热门. 2、学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但同时，学生进入九年级之后，上课气氛比较沉闷，不爱发表自己的见解，所以本节课我将利用生活中的视频，图片和时事问题引发学生的兴趣，创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学习的主动性。 从认知状况来说，学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数概念已经有了认识，但对于得出二次函数的概念（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以我将结合生活中的图片和实例予以引导。 二、教学目标分析 1、知识目标：掌握二次函数的概念，理解二次函数的一般式，初步运用二次函数解决简单应用题，了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 2、能力目标：通过视频图片的引入，培养学生的观察力，抽象概括能力及创造想象能力 3、情感目标：通过观察、讨论、合作交流等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心． 4、教学重点难点：新概念教学指出，正确的理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用知识解决问题的金钥匙，所以本节课的重点是对二次函数概念的理解。难点是由实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围。 三、课堂结构设计 1、设计理念：形的引入，揭示为什么学二次函数，再数的解析，得出什么是二次函数，最后达到数形结合的统一、 2、为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了六个教学环节：（1）联系生活，引出概念 （2）合作交流，提炼概念 （3）全面剖析，理解概念 （4）例题讲练，运用概念 （5）拓展延伸，升华概念 （6）归纳小结，整理概念 二次函数经典测试题附答案 一、选择题 1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）． A ．①②④ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0， ∴b<0； 由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0， 故abc>0，故②错误； ③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12 则2a=?2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件． 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b + ＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】 解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0； 由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确） ：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误） ⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2 11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1- x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a a a -=-=2 （故⑤正确） 故选D ． 考点：二次函数图像与系数的关系. 3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 二次函数的有关概念 [考点例题精解]： (1)下列函数中，是二次函数的为_______.二次函数测试题及答案
北师大版二次函数测试题及答案
二次函数的概念—知识讲解(提高)
二次函数经典测试题及答案解析
二次函数专项测试卷及答案
(完整版)二次函数测试题及答案
二次函数的概念教学设计 (2)
二次函数经典测试题附答案
二次函数的有关概念
课标解读：
考点归纳
考试内容 用配方法把抛物线的解析式化为
y ? a(x ? h)2 ? k 形式
二次函数的
概念
根据已知条件用待定系数法确定二次函数
解析式
目标要求 理解
掌握
题型 选择题 填空题 选择题 填空题 解答题
二次函数与一 根据函数求一元二次方程的根，由一元二次
元二次方程的 方程根的情况判断抛物线与 x 的交点；
联系
根据图象判断一元二次不等式的解集
灵活运用
选择题 填空题 解答题
〖核心知识点梳理〗：
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 y ? ax2 ? bx ? c （ a，b，c 是常数， a ? 0 ）的 函数，叫做二次函数。 [注意]：和一元二次方程类似，二次项系数 a ? 0 ，而 b，c 可以为零。二次函数 的定义域是全体实数．
2. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的结构特征：
(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． (2) a，b，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
考点： (1)关于 x 的代数式一定是整式, (2)a,b,c 为常数,且 a≠0. (3)等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
A. y ? 2x ?1
B. y ? (x? 2)2 ? x2
C.
2 y ? x2
D. y ? 2x(x?1)
(2)函数 y ? (m? 2) xm2?m?4 ? (m?3) x? m 是二次函数，则 m 的值为_______.
A.1 或-6
B.1
C.-2 或 3
D.3
二、二次函数的三种解析式 1. 一般式： y ? ax2 ? bx ? c （ a ， b ， c 为常数， a ? 0 ）； 2. 顶点式： y ? a(x ? h)2 ? k （ a ， h ， k 为常数， a ? 0 ）； 3. 两根式： y ? a(x ? x1)(x ? x2 ) （ a ? 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐
标）. [注意]：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二
次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 ? 4ac ? 0 时， 抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以 互化.
三、待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条 件，根据不同条件选择不同设法(具体问题具体分析)。 1、设一般式：y=ax2+bx+c(a≠0）
若已知三个点，代入解析式，得到关于 a、b、c 的三元一次方程组，解方程 组求出 a、b、c 的值，得出解析式。 2、设顶点式 y ? a(x? h)2 ? k(a ? 0) ：
若已知二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值（最小值）将已知代入， 求出待定系数，得出解析式。 3、设两根式： y ? a(x? x1)(x? x2 )(a ? 0)
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