(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的图像与性质(一) 课件

在（0，+∞)上是增函
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化
4、1幂函数性质与图像
一、 幂函数的定义：
一般地，函数
y=xk (k为常数，k∈Q)
叫做幂函数.
定义：函数y=xk(k为常数，k∈Q) 叫做幂函数. 概念辨析
1.指出下列哪些函数是幂函数：
(1) y x × (2) y x0 √ (3)y 3x ×
(5)
y
2
x3
√
(6)y (x 1)2 ×
，非奇非偶
(4) y
x 4 3
3
1 x4
定义域为
(5) y
x
1 2
1
定义域为
x
，偶函数 ，非奇非偶函数
研究 幂函数在第一象限的图像
图像
y x y y=x3 y=x2
k
y
y=x-4/3
y=x-1
1
y=x1/2
1
y=x-1/2
0
1
X
0
1
X
k>0
性质
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
(4)y x 2 ×
则这个函数的解析式为________________。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，

在（0，+∞)上是增函
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化(5) y Nhomakorabea x3 1
4
(7) y x3
(8) y
1
x2
o
x
5
1
(9) y x3
(I)
三、课堂小结：
1.学习了幂函数的概念；
2. 研究幂函数图像与性质的基本方法；
3.利用幂函数在第一象限内的图象特征， 根据奇偶性完成整个函数的图像。
四、课后作业：
（1）《一课一练》4、1（1）
p
(2)探究幂函数y x q ( p, q互质，p Z,q N ) 函数图像奇偶性与p、q奇偶性的关系
【例1】 如图所示，是幂函数 y x
在第一象限内的图象，已知分 别取 1 ,2, 2 ,1 四个值，
23
则相应图象依次为 C4,c1,c3,c2 ．
【例2】请指出相应的幂函数图像代号：
2
(1) y x3
y
1
(3) y x2
y
5
(9) y x3
y
(8) y
1
x2
(2) y x2
1
1
o
x
• 有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而放弃了现在的努力。有些痛苦也是自找的， 一直活在未来的憧憬里。决定一个人成就的，不是靠天，也不是靠运气，而是坚持和付 重复的做，用心去做，当你真的努力了付出了，你会发现自己潜力无限！再大的事，到 再深的痛，过去了就把它忘记，就算全世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行，因 最大的底气。埋怨只是一种懦弱的表现；努力，才是人生的态度。不安于现状，不甘于 勇于进取的奋斗中奏响人生壮美的乐间。原地徘徊一千步，抵不上向前迈出第一步；心 不如撸起袖子干一次。世界上从不缺少空想家，缺的往往是开拓的勇气和勤勉的实干。 疑和怯懦束缚，行动起来，你终将成为更好的自己。人生就要活得漂亮，走得铿锵。自 是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。不谈以前的 的坚持。人生就像舞台，不到谢幕，永远不要认输！努力是一种生活态度，和年龄无关 只要你有前进的方向和目标，什么时候开始都不晚，负能量的脑袋不会给你正能量的人 学最好的别人，做最好的自己。路是一步一步的走出来的 ，只有脚踏实地的往前走。不 风雨，坚持走下去，阳光灿烂的笑容，在风雨后等着你我。笑着走下去，一定会见到最 人都是通过自身的努力，去决定生活的样子，每一次付出，都会在以后的日子一点点回 活不会亏待努力的人，也不会同情假勒奋的人。别让未来的你怨恨今天的自己。耐心点 一天，你承受过的疼痛会有助于你。世界不会在意你的自尊，人们看的只是你的成就。 前，切勿过分强调自尊。喜欢一个人，就是两个人在一起很开心；而爱一个人，即使不 一起。身体最重要，上网不要熬通宵。时间没有等我，是你忘了带我走，我们就这样迷 里，从此天各一方，两两相忘。心有多大，舞台就有多大。思考的越多，得到的越多。 放能量。福报不够的人，就会常常听到是非；福报够的人，从来就没听到过是非。因为 到我想要的，所以就选择了放弃；不知道这样做是对还是错，那么就让时间来裁决吧。 是你忘了带我走，我左手是过目不忘的萤火，右手里是十年一个漫长的打坐。少年的时 的时候想成家，成年的时候想离家，老年的时候想回家。生命中，不断的有人离开或进 的看不见了，记住的遗忘了；生命中不断的有得到和失落，于是，看不见的看见了，遗 过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹许多人企求着生活的完美结局，殊不知美根本不在 求的过程。学会宽恕就是学会顺从自己的心，“恕”字拆开就是“如心”。人生的道路 在这漫长的人生道路之上，唯有不断地求索才能真正地感悟到人生的真谛。我爱你时， 么。我不爱你时，你说你是什么。人生是需要用苦难浸泡的，没有了伤痛，生命就少了 有汽车是郁闷的生活，有了汽车是闷气的生活；没有好车是羡慕的生活，有了好车是提 候不是不懂，只是不想懂；有时候不是不知道，只是不想说出来；有时候不是不明白， 知道该怎么做，于是就保持了沉默。真正的放弃是悄无声息的。别想一下造出大海，必 始。还记得你说世界美好事情真的特别多，只是很容易擦肩而过。善待自己，幸福无比 乐无比，善待生命，健康无比。承认自己的伟大，就是认同自己的愚疑。每个人都有自 个性，不要试图去改变他人，同样，也不要被他人所改变生活，匀速的是爱，不匀速则

• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风雨 律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高一 一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。你 的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律约 成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净的 自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去金 失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比现实 言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你丢掉 轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。成功 而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前，财富就 不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算对手难缠 多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚持都至关 始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么 你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是一边等一 动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热，太冷了 一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施，都一定 的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是运动的，

(5)y3x2,(6)yx43,(7)yx2
1
x2
（2）（4）（6）
幂函数的性质与图像
先研究五个常用幂函数的性质和图像
(1)yx,(2)yx2,(3)yx3
1
(4)yx2,(5)yx1
yx 图像：
定义域： R 值域： R 奇偶性： 在R上是奇函数 单调性： 在R上是增函数
y x2 图像：
定义域： R 值域： [0,+∞） 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,+∞）上是增函数
4.1幂函数的性质与图像（1）
问题引入
（1）一人购买了每斤1元的蔬菜a斤，则她需要支付b=___a__元
y_
y x2
（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=__a__3 ___
y x3
1
1
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a=__S _2___ y x 2
3、从图象的类型来说，分为直线型、抛物线型、双曲线型 k>0，为抛物线型，图象均过（0,0）点 k=0，为直线型，图象是除去（0,1）点的一条直线 k<0，为双曲线型，图象不过（0,0）点
巩固提高
1、利用单调性判断下列各值的大小 （1）5.20.8与5.30.8 < （2）0.20.3与0.30.3 <
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦尽量充实自己。不要停止 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了你生命，同时也是爱你 爱的最无私的人。

⑤ k 0时， y 1x 0为常数函数。
⑥ k 0时， 在(0,)上是减函数。（双曲线型）
结论
幂函数 y xk （ k 为常数， k Q ）图像在第一象限的特点:
y xk
定点 线型
k 1
(1,1) ， (0,0) 举手型
k 1
(1,1) ， (0,0) 直线
0k 1
(1,1) ， (0,0) 眉毛型
思考
能确定幂函数 y xk（ k 为常数，k Q ）的定义域么？
幂函数的性质是由 k 的取值决定的。
二、幂函数性质研究
研究几个熟悉的幂函数
f x x ， g x x1 ， h x x2 它们有什么特点？
例题
5
1.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
2
2.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而放弃了现在的努力。有些痛苦也是自找的，因为无 在未来的憧憬里。决定一个人成就的，不是靠天，也不是靠运气，而是坚持和付出，是不停地 用心去做，当你真的努力了付出了，你会发现自己潜力无限！再大的事，到了明天就是小事， 了就把它忘记，就算全世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行，因为，你就是自己最大的 一种懦弱的表现；努力，才是人生的态度。不安于现状，不甘于平庸，就可能在勇于进取的奋 美的乐间。原地徘徊一千步，抵不上向前迈出第一步；心中想过无数次，不如撸起袖子干一次 少空想家，缺的往往是开拓的勇气和勤勉的实干。不要被内心的犹疑和怯懦束缚，行动起来， 的自己。人生就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏 要做安于现状的平凡人。不谈以前的艰难，只论现在的坚持。人生就像舞台，不到谢幕，永远 是一种生活态度，和年龄无关！生活要有激情，只要你有前进的方向和目标，什么时候开始都 脑袋不会给你正能量的人生！简简单单，学最好的别人，做最好的自己。路是一步一步的走出 实地的往前走。不管遇到多大的风雨，坚持走下去，阳光灿烂的笑容，在风雨后等着你我。笑 会见到最美的长虹。每个人都是通过自身的努力，去决定生活的样子，每一次付出，都会在以 回报在你身上。生活不会亏待努力的人，也不会同情假勒奋的人。别让未来的你怨恨今天的自 强点；总有一天，你承受过的疼痛会有助于你。世界不会在意你的自尊，人们看的只是你的成 就以前，切勿过分强调自尊。喜欢一个人，就是两个人在一起很开心；而爱一个人，即使不开 起。身体最重要，上网不要熬通宵。时间没有等我，是你忘了带我走，我们就这样迷散在陌生 天各一方，两两相忘。心有多大，舞台就有多大。思考的越多，得到的越多。因为思考可以释 够的人，就会常常听到是非；福报够的人，从来就没听到过是非。因为清楚地明白得不到我想 择了放弃；不知道这样做是对还是错，那么就让时间来裁决吧。时间没有等我，是你忘了带我 目不忘的萤火，右手里是十年一个漫长的打坐。少年的时候想逃家，青年的时候想成家，成年 老年的时候想回家。生命中，不断的有人离开或进入，于是，看见的看不见了，记住的遗忘了 有得到和失落，于是，看不见的看见了，遗忘的记住了。通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 生活的完美结局，殊不知美根本不在结局，而在于追求的过程。学会宽恕就是学会顺从自己的 开就是“如心”。人生的道路是何其地漫长，在这漫长的人生道路之上，唯有不断地求索才能 生的真谛。我爱你时，你说什么就是什么。我不爱你时，你说你是什么。人生是需要用苦难浸 痛，生命就少了炫彩和厚重。没有汽车是郁闷的生活，有了汽车是闷气的生活；没有好车是羡 好车是提防的生活。有时候不是不懂，只是不想懂；有时候不是不知道，只是不想说出来；有 ，而是明白了也不知道该怎么做，于是就保持了沉默。真正的放弃是悄无声息的。别想一下造 由小河川开始。还记得你说世界美好事情真的特别多，只是很容易擦肩而过。善待自己，幸福 ，快乐无比，善待生命，健康无比。承认自己的伟大，就是认同自己的愚疑。每个人都有自己 性，不要试图去改变他人，同样，也不要被他人所改变生活，匀速的是爱，不匀速则变成一种 想者痛苦，给创造者幸福。遇上什么人是命运的事，但爱上什么人离开什么人，则是自己的事 ，而是心性；人生不是岁月，而是永恒；云水不是景色，而是襟怀；日出不是早晨，而是朝气 ，而是锤炼；沧桑不是自然，而是经历；幸福不是状态，而是感受。初恋：就想一见钟情！热 许！留恋：就想百依百顺！失恋：就想你东我西！爱情如花，友情如酒，花开一阵，酒香一生

能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽木不
有天生的信心，只有不断培养的信心。路曼曼其修远兮，吾将上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。丈夫志四海，万里犹比邻。也
言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。挫其锐，解其纷，和其光，同其尘，是谓“玄同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可得
2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
(4)y x 2 ×
则这个函数的解析式为________________。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，
并且作出它们的图像
( 1 ) y=x3
定义域为R，奇函数
2
(2) y x 3 3 x2 定义域为
，偶函数
1
(3) y x 2 x 定义域为
，非奇非偶
(4) y
x 4 3
3
1 x4
定义域为
(5) y
x
1 2
1
定义域为
x
，偶函数 ，非奇非偶函数
研究 幂函数在第一象限的图像
图像
y x y y=x3 y=x2
k
y
y=x-4/3
y=x-1
1
y=x1/2
1
y=x-1/2
0
1
X
0
1
X
k>0
性质
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
4、1幂函数性质与图像
一、 幂函数的定义：
一般地，函数
y=xk (k为常数，k∈Q)

y x 2.5在（0，+）递增，
又 0.7<0.8 0.72.5 0.82.5
1
1
(2)3.1 2 与3.2 2
>
(3)(1)c 与(1)c(a ab
b
0,c
0)
y xc(c>0)在（0，+）递增，
又
a
b
00
1<1
ab
(1
a
)c
(1
b
)c
例3、已知幂函数 f(x ) x m2 2m 3(m Z )
练习：已知幂函数
f
(x)
(t3
t
1 (73t 2t2 )
1) x 5
,
t
Z
是偶函数，且在 (0, ) 上为增函数，求实数t 的值。
1、幂函数的定义
2、幂函数的图像、性质： 分k>0; k<0; k=0研究
3、数学思想方法： 从特殊到一般；数形结合
1、复习幂函数的图像、性质 2、完成巩固案
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
为偶函数，且在区间(0，+）上单调递减，
求函数f(x )的解析式
解： f(x )在(0,)递减 m 2 2m 3 0解得m (1,3)
m Z m 0,1,2
当m 0,f(x ) x 3不为偶函数，舍 当m 1,f(x ) x 4为偶函数 当m 2，f(x)=x3不为偶函数，舍 m 1,f(x) x4
一、幂函数的概念
函数 y xk k Q 叫做幂函数。
下面函数中，哪些是幂函数？

4.1幂函数的性质 和图像
（3）函数图像间的关系
1 ) y x 1 ,y x 1 ;2 ) y x 2 2 x ,y x 2 2 x
图像y=f(x)和y=f(|x|),y=|f(x)|的关系
y=f(|x|)的图像是在y轴右侧和y=f(x)右侧一样， 左侧由y=f(x)图像在y轴右侧的翻折对称形成 的图像
，其图像在第一、二象限，且不过原点，则（
）
(A )p ,m 为 奇 数 ,n 为 偶 数 ; (B )p ,n 为 奇 数 ,m 为 偶 数 ; (C )p ,n 为 偶 数 ,m 为 奇 数 ； (D )p ,m 为 偶 数 ,n 为 奇 数
例 2 、 y x n (n Z )图 像 不 过 原 点 且 关 于 原 点 对 称 ， 则 n 为 _ _ _ _
(1)yx2 3;(2)yx1 2;(3)yx2 3;(4)yx;(5)yx3;
1
5
1
4
(6)yx3;(7)yx3;(8)yx2;(9)yx3;(10)yx2
小结
幂函数图像特点：
函数性质
定点：都经过点（1，1）
第一象限：
ｋ＞１， 图像为举手型 ———增函数 ０＜ｋ＜１，图像为眉毛型 ———增函数 ｋ＜０， 图像为双曲线型———减函数
研究函数的一般方法：定义域、奇偶性、单调性、图像 （特殊点，特殊的性质）
一、幂函数的概念
函数 yxkkQ 叫做幂函数
k为常数
例1、下面函数中，为幂函数的有____________
( 1 ) y 2 x ; ( 2 ) y x 1 ; ( 3 ) y x 0 . 3 ; ( 4 ) y x 2 ; ( 5 ) y ( x 2 ) 2

y=x2
y=
1 x
=x-1
y=
1
=x-
1 2
x
y=x
1
y= x =x 2
y=
1 x3
=x-3
定义辨析：
下列各式表示幂函数的有哪些？
1
A. y 3x 2
2
B. y x3
C. y x 3
E. y xx
D. y 7 x4
F. y 2x
G. y x0.5
H. y 4x
2
例 1 研究函数y=x 3的定义域、奇偶性、单调 性、最大或最小值，并作出其图像。
②图像必过(0,0)和(1,1)点。
研究函数 y x2 ， y x3，
3
y x 2 的定义域、奇偶性，
单调性并作出其图像。
y
y=x2 y=x3
3
y=x 2
(1,1)
O
x
(1) y x2
(2) y x3
3
(3) y x2
y
y
y
y
kk>>11
0＜k ＜1
k=1
(1,1) 0<k<1
O
x
1
(1,1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k=0
1O
1
x
x
O
1
x
思考：设
2,
1,
1 2
,
1 3
,
1 2
,1,
2,
3
,已知幂函数
y x为偶函数，且在(0,+)上递减，试确定满足
条件的幂函数，并作出它们的大致图像。
分析：
2
y
0
O
x

在[0,) 上为增函数
y xk (k 0) 性质与图像小结：
定义域与奇偶性由具体函数而定；
但定义域都包含(0,+∞）； 在(0,+∞）上单调递减； 图像过点（1,1）； 函数图像为“双曲型”，且向右无限接 近于x轴，向上无限接近于y轴；
y xk (k Q) 性质与图像：
当k>0时 在[0,+∞）上单调递增；
当k<0时
图像过点（0,0）和点（1,1） 在(0,+∞）上单调递减；
当k>1时，函数图像为“举 图像过点（1,1）；
手型”，
函数图像为“双曲型”，
当0<k<1时，函数图像为 “鞠躬型”；
且向右无限接近于x轴， 向上无限接近于y轴；
课堂小结：
一、幂函数的概念
2.2
2
二、幂函数的性质与 1.8 1.6
y=x R
y x2 R y x3 R
奇 偶
奇
(- ∞,+∞)
(- ∞,0] [0,+∞)
(- ∞,+∞)
最值 无
最小值0 无
函数 定义域 奇偶性 单调性
y=x
R
奇
(- ∞,+∞)
y x2 y x3
1
y x2
2
y x3
R
偶
(- ∞,0] [0,+∞)
R
奇
(- ∞,+∞)
[0,+ ∞） 非奇非偶 [0,+∞)
α>1 0<α<1
α>1 0<α<1
y f (x) xk , k 0, x Q
在[0,) 上为增函数

(注意：过程可以类比本节课内容)
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不断 己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你如 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总会 为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一定 全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界那 带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受尽 有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不会 会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说三 一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么不 岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平，但 它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊才会成 独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努力有 要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风雨兼 就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高一分， 不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。你要记 才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律约束是 越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净的东西。 就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去金钱的人 健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比现实要美 多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你丢掉了， 机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。成功不是 是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前，财富就会 不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算对手难缠 多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚持都至关 始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东 你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是一边等一 动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热，太冷了 一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施，都一定 的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是运动的，

x（3 j）；y
x（12 a）；y
3
x（2 d）；y
（ x g）；y
x（3 c）
1
5
1
4
y x（3 h）；y x（3 e）；y x（2 i）；y x（3 f）；y x（2 b）
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
例2 利用幂函数的性质比较下列各组数的大小
(1)0.72.5 与0.82.5
y x 2.5在（0，+）递增，
又 0.7<0.与3.2 2
>
(3)(1)c 与(1)c(a ab
b
0,c
0)
y xc(c>0)在（0，+）递增，
又
a
b
00
1<1
ab
(1
a
)c
(1
b
)c
例3、已知幂函数 f(x ) x m2 2m 3(m Z )
4.1幂函数的 性质与图像（一）
我们先来看两个问题：
1、如果正方形场地的面积为x,它的边长为y,
这里y是x的函数
1
y x 2，x 0
2、如果正方形盒子的边长为x,它的体积为y,
这里y是x的函数
y x3, x 0
1
形如 y x, y x1, y x2 , y x 2 , y x3
的函数叫做幂函数
偶 (,0]减,[0，+）增 有最小值0
,
1
, 研究函数 y x3 , y x2
1
, yx 2
,
2
y x3
的性质,并作出它们的大致图像
2

,
(
2 )3 ,
( 1 )0 ,
(
3
)
2 3
按由小到大的
顺序排列：_(3__2_)_3 __(_53_)_13___(5_1_)_0 __2(_3_)_32___2_32
3
3
5
2
(1) y=4x
(4)
y
2
x3
(2)
(5) y=2x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+x
2.已知幂函数f(x)的图象过点 (2,
2) 2
,则f(4)的值
是______________.
探究（二）：简单幂函数的图象和性质
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，

y=x3，y=x 2，y=x-1的图象： y=x3
1.单调性法 2.中间量法
1
1
1.53 1.73
(
2
)
2 3
<（
p
） 23
3
6
内容： 幂函数的概念、图象和性质；
课堂小结
重点： 幂函数的图象、性质及简单应用；
关键：
幂函数指数 的变化对函数图
象性质的影响；
思想方法： 数形结合思想、由特殊到一般的 思想方法
思 考
已知函数 f (x) (m2 m 1)xm2 2m3 是幂函数，且 在 (0, )上是减函数，求满足条件的实数m的值。
y
=1
2. 当a 0时 函数在 [0,+∞) 上 是单调增函数。(0< 1, 1)
0< <1
1
<0
3. 当a 0时函数在（0,+∞) 上是
单调减函数。

沪教版（上海）数学高一上册-4.1 幂函数 课件
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小结： 1．幂函数的定义,性质与图像 2.幂函数性质与图像的研究方法 3．通过对幂函数性质与图像的研究体验数形 结合、从特殊到一般的数学思想方法的运用。
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(3)y 1 （是） (4)y x x2
(5)y 2x （否） (6)y x0.3
（否） （是）
幂函数的性质与图像
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例1
2
研究函数y=x 3的性质并作出函数图像。
x 0 0.25 1 2 3 y 0 0.4 1 1.6 2.1
y
1
O 0.25 1 2 3 x
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研究函数性质并图像的方法
定义域：判断函数图像在坐标系中的初步位置 奇偶性：判断函数图像是否对称。 单调性：判断函数图像的变化趋势。 值域： 判断函数图像在坐标系中的具体位置
数形
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例2
1
研究函数y x的2性质并作出函数图像。
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课后思考：
同在一坐标系内作出课上的6个函数图像， 发现规律并归纳推广出幂函数性质与图像的一 般情况。
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布置作业： 1、课本P81/1、2，3 2、《导学先锋》P97-98

不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和自信，而勇气和自 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有翼，为何一生匍匐 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚搏，才是充实的生 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一颗石子。最凄美的 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想的那么美好，但也 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的过程，而不是一步 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出路，气度决定高度， 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧。 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。如果一 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道路上设下重重的障 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的心理健康，是不设 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可以拼命！我会努力 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人者，将永远成不了 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存在，是为了证明悲 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自己的能力缺乏充分 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于我们的视野与心灵 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你的不自信和没实力。 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精悍的水手；安逸的 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一个动物园，当你以 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加自身的重量。如果 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得光明磊落。生活真 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于虚伪的过日子。当 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多事情努力了未必有 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积极向上的心态，是 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行。经验是由痛苦中 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人做了什么。要有最 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦停止了喧哗，浩浩 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实我们��

2.若幂函数的图象经过点(2, 8 )
则这个函数的解析式为______y_____x_3____。
二、幂函数的性质与图像 研究函数的定义域，奇偶性和单调性，
并且作出它们的图像
( 1 ) y=x3
定义域为R，奇函数
2
(2) y x 3 3 x2 定义域为 ,0) (0,)，偶函数
1
(3) y x 2 x 定义域为 [0,) ，非奇非偶
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。
k< 0
（1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
观察
• 通过计算机快速作图，我们观察到更多的 幂函数图象。请注意幂函数的指数变化， 带来的幂函数图形在第一象限的变化
1
o
x
1
1
1
o
x (3) y x2
1
(A)
y
4
(7)
(D)
y
3
(6) y x2
1
o
x
1
(G)
(B)
y
2
(1) y x3
1
o
x
1
(E) y
(2) y x2 1
o
x
1
(H)
(C)
(4) y x1
y
(4) y x1
1
o
x
1
1
(5) y x3
3
(6) y x2
(F) y
1
所谓的失言其实就是一不小心说了实话，人不要讲谎话，因为讲一句谎话要用十句甚至更多的谎话来圆谎，但有时候，人不能净说实话，如果 说实话效果不好，你可以用模棱两可的外交辞令代替！ 重要的不是发生了什么事，而是要做哪些事来改善它。 生命之长短殊不重要，只要你活得快乐，在有生之年做些有意义的事，便已足够。 看轻别人很容易，要摆平自己却很困难。 在灾难面前不屈服，而应更加勇敢地去正视它。 尽可能的开心地活每一天，就好比今天是你生命的最后一天。 浪费时间是一桩大罪过。——卢梭 友谊是精神的融合，心灵的联姻，道德的纽结。——佩恩 不是某人使我烦恼，而是我拿某人的言行来烦恼自己。