江苏省苏州市吴江市青云中学2020-2021学年第一学期九年级数学10月反馈(含答案)

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:程x2﹣5x=0的解是（）A． x1=0，x2=﹣5 B． x=5 C． x1=0，x2=5 D． x=0试题2:用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9试题3:已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12=0，则a2+b2的值为（）A．﹣3 B． 4 C．﹣3或4 D． 3或﹣4试题4:已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1试题5:要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（） A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个试题6:若m是方程x2﹣2014x﹣1=0的根，则（m2﹣2014m+3）（m2﹣2014m+4）的值为（）A． 16 B． 12 C． 20 D． 30试题7:如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A．B．C．D．试题8:如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A． 135° B． 122.5° C． 115.5° D．112.5°试题9:圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A． 4 B． 8 C． 12 D． 16试题10:如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A． 6cm B． 12cm C． 6cm D． 4cm试题11:已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是试题12:如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．试题13:某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为试题14:已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）= ．试题15:如图，在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为cm．试题16:如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（度）．试题17:已圆的半径为r=5，圆心到直线l的距离为d，当d满足时，直线l与圆有公共点．试题18:已等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则它的外接圆半径等于试题19:（x﹣3）（x+7）=﹣9试题20:x2﹣3x﹣10=0试题21:6x2﹣x﹣2=0．试题22:（x+3）（x﹣3）=3．试题23:若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，求实数a的取值范围．试题24:若a，b，c分别是三角形的三边，判断方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况．试题25:如图，以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：（1）∠AOC=∠BOD；（2）AC=BD．试题26:如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，D为垂足，求证：∠ACD=∠BCE．试题27:已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？试题28:如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．试题29:楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）试题30:如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E．①求证：IE=BE；②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．试题1答案:C 解：直接因式分解得x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5．试题2答案:D．试题3答案:B．考点：换元法解一元二次方程．分析：根据换元法，可得一元二次方程，根据因式分解，可得方程的解．解答：解：设a2+b2=x，原方程为x2﹣x﹣12=0．因式分解，得（x﹣4）（x+3）=0．x﹣4=0或x+3=0，解得x=4，x=﹣3（不符合题意，要舍去），a2+b2=x=4，试题4答案:：D．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．专题：计算题；压轴题．分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解答：解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜2，且k≠1．试题5答案:C．考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=．即可列方程求解．解答：解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x﹣1）÷2=21，解得x=7或﹣6（舍去）．故应邀请7个球队参加比赛．试题6答案:C考点：一元二次方程的解．分析：首先把m代入x2﹣2013x﹣1=0，得出m2﹣2013m=1，再进一步整体代入求得数值即可．解答：解：∵m是方程x2﹣2014x﹣1=0的根，∴m2﹣2014m=1，∴（m2﹣2014m+3）（m2﹣2014m+4）=（1+3）×（1+4）=20．试题7答案:B考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．解答：解：∵OC⊥弦AB于点C，∴AC=BC=AB，在Rt△OBC中，OB==．试题8答案:D考点：圆周角定理．分析：首先利用等腰三角形的性质求得∠AOB的度数，然后利用圆周角定理即可求解．解答：解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=22.5°，∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．∴∠C=（360°﹣135°）=112.5°．试题9答案:D考点：切线长定理．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．解答：解：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．试题10答案:C考点：正多边形和圆．分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．解答：解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=3（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（cm）．故选．试题11答案:2 ．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．解答：解：根据题意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，则b的值为2．试题12答案:（30﹣2x）（20﹣x）=6×78考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．解答：解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．试题13答案:20% ．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；故答案为：20%试题14答案:9考点：根与系数的关系．分析：根据x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子变形为αβ+3（α+β）+9，最后把α+β和αβ的值代入，计算即可．解答：解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3，∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9；试题15答案:8考点：切线的性质．分析：本题应根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：大圆的弦AB与小圆相切于点C，∴OC⊥AB，由垂径定理知，AC=BC，由勾股定理得，AC=4，∴AB=2AC=8．试题16答案:55考点：切线的性质．分析：首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．故答案为：55．试题17答案:0≤d≤5考点：直线与圆的位置关系．分析：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．解答：解：根据题意，可知圆的半径为5．∵直线l与圆有公共点，∴直线与圆相交或相切，∴d满足0≤d≤5，试题18答案:．考点：三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=BC=6，则AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得点O在AD上；连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=8，在Rt△OBD中，再利用勾股定理得到（8﹣r）2+62=r2，然后解方程即可得到外接圆半径．解答：解：如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=6，∴AD垂直平分BC，∴点O在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=6，∴AD==8，在Rt△OBD中，OD=AD﹣OA=8﹣r，OB=r，∵OD2+BD2=OB2，∴（8﹣r）2+62=r2，解得r=，即它的外接圆半径等于．故答案为．试题19答案:整理得：x2+4x﹣12=0，（x+6）（x﹣2）=0，x+6=0，x﹣2=0，x1=﹣6，x2=2；试题20答案:x2﹣3x﹣10=0，（x﹣5）（x+2）=0，x﹣5=0，x+2=0，x1=5，x2=﹣2；试题21答案:6x2﹣x﹣2=0，（3x+1）（x﹣2）=0，3x+1=0，x﹣2=0，x1=﹣，x2=2；试题22答案:整理得：x2=12，x=±2，x1=2，x2=﹣2．试题23答案:解：当a=0时，此方程是一元一次方程，故方程有解；当a≠0时，此方程是一元二次方程．∵方程有实数解，∴△=[2（a+2）]2﹣4a2≥0，解得a≥﹣1．试题24答案:解：△=（2c）2﹣4（a+b）（a+b）=4c2﹣4（a+b）2=4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．试题25答案:（1）证明：过O作OE⊥AB，∵∠OAB与△OCD均为等腰三角形，∴∠AOE=∠BOE，∠COE=∠DOE，∴∠AOE﹣∠COE=∠BOE﹣∠DOE，∠AOC﹣∠BOD；（2）证明：∵OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD．试题26答案:证明：连接EB，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE=90°，∴∠E+∠ECB=90°，∵∠A=∠E，∴∠ACD=∠BCE．试题27答案:解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．试题28答案:解：连接OB，OC，OD，∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，∵OC=OD，∴∠OCD=45°，∴OC=CD•cos45°=5×=5（cm）．即⊙O的半径R=5cm．试题29答案:解：（1）由题意，得当0＜x≤5时y=30．当5＜x≤30时，y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．∴y=；（2）当0＜x≤5时，（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，当5＜x≤30时，[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．答：该月需售出10辆汽车．试题30答案:①证明：连接BI．∵I是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4；∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，∴∠BIE=∠EBI；∴IE=BE；②解：考虑有公共边公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中项．证明如下：∵∠5=∠1，∠1=∠2；∴∠5=∠2；又∵∠E=∠E，∴△BED∽△AEB；∴BE：DE=AE：BE；∴BE2=AE•DE；又∵IE=BE，∴IE2=AE•DE．。

青云中学2020—2021学年第一学期月反馈练习初三语文2020.9.28第一部分（28分）1、阅读下面一则短文，按要求答题。

（6分）不经意间，江南的秋浓了。

这里的秋天是金色的，东山上的银杏好像丰腴骄柔的江南美女，她娉婷地站在融融的秋色里，让整个秋都闪（shuò)________着明亮与娇艳；这里的秋天是红色的，天平山的枫叶红艳艳的一片，偶尔在秋风中摆一摆舞姿，便会扇动起红色的浪花，层层叠叠地汹（yǒng）________在山坡上；这里的秋是清亮的，太湖上的波，映着高天上的流云，云便在水底了，可望而不可及，即便是涟漪起伏，也不能模糊了云的影子；这里的秋天是朦胧的，如若是清晨，缥缈的雾气游荡在一幢幢乡村别（shù)________间，飘浮在（yōu)________闲散步的农人的脑袋上，还有那沙沙作响的金色的稻田上。

（1）根据汉语拼音，写出相应的汉字。

（4分）①汹（yǒng）________ ②闪（shuò)________③别（shù)________ ④（yōu)________闲（2）语段中有两个错别字，请找出来并改正。

（2分）①________改为________ ②________改为________2、默写古诗文名句，并写出相应的作家、篇名。

（12分）①登斯楼也，则有_______________，_______________，_______________，感极而悲者矣。

（范仲淹《岳阳楼记》）②_______________________，_______________________，_______________________，水落而石出者，山间之四时也。

（欧阳修《醉翁亭记》）③______________，天与云与山与水，上下一白。

（___________《湖心亭看雪》）④________________________，直挂云帆济沧海。

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………2024-2025学年江苏省苏州市青云中学九上数学开学达标测试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）如图，字母M 所代表的正方形的面积是（）A ．4B ．5C ．16D ．343、（4分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，CE 垂直平分DO ，AB 1 ，则BE 等于()A ．32B ．43C ．23D ．24、（4分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小明的三项成绩（百分制）依次是90，80，94，小明这学期的体育成绩是（）A ．88B ．89C ．90D ．915、（4分）如图，CE ，BF 分别是△ABC 的高线，连接EF ，EF=6，BC=10，D 、G 分别是EF 、BC 的中点，则DG 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．36、（4分）若关于x 的方程230x mx n +-=的一个根是3，则m -n 的值是A ．-1B ．-3C ．1D ．37、（4分）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是A ．a （x+y ）="ax+ay"B ．x 2﹣4x+4=x （x ﹣4）+4C ．10x 2﹣5x=5x （2x ﹣1）D ．x 2﹣16+6x=（x+4）（x ﹣4）+6x 8、（4分）下列计算中,①()325ab ab =;②()323639xy x y =;③325236x x x ⋅=;④()()224c c c -÷-=-不正确的有()A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若23a b =，则a ba +的值为________.10、（4分）已知1a =+，1b =-，则代数式11a b +的值为________．11、（4分）如图，在Rt ABC Λ中，90ABC ∠=，点D ,E ,F 分别是AB ,AC ,BC 边上的中点，连结BE ,DF,已知5BE =则DF =_________．12、（4分）从一副扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”．其中发生的可能性最大的事件是_____．（填序号）13、（4分）若2x ﹣5没有平方根，则x 的取值范围为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解不等式组2(3)535146x x x x --≥⎧⎪-⎨<+⎪⎩，并把解集表示在下面的数轴上．15、（8分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O 及△ABC 的顶点均为网格线的交点(1)在给定网格中，以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的三倍，得到请△A′B′C′，请画出△A′B′C′；(2)B′C′的长度为___单位长度,△A′B′C′的面积为___平方单位。

第9题图第5题图 第7题图第6题图初三数学期中测试卷-第一学期（考试时间120分钟 满分130分）一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡表格相应位置上．．．．．．．．．．． 1．将一元二次方程x 2－4x －5＝0化成b a x =-2)(的形式，则b 的值是（ ▲ ）． A ．－1 B ．1 C ．－9 D ．92．方程x x 32=的解是（ ▲ ）．A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x ＝-3或x ＝0D ．x ＝3或x ＝03. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠BOD=1600，则∠BCD=（ ▲ ）．A. 160°B. 100°C. 80°D. 20°4．某城市底已有绿化面积300公顷，计划经过两年绿化，使绿化面积逐年增加，到底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ▲ ）．A ．300(1＋x)＝363B ．300(1＋x)2＝363C ．300(1＋2x)＝363D ．363(1－x)2＝300 5．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧BC 上不同于点B 的任意一点， 则∠BPA 的度数是（ ▲ ）．A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°6．如图，⊙O 的直径CD ＝5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ， OM ：OD ＝3：5，则AB 的长是（ ▲ ）．A ．5B ．8C ．4D ．67．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 为切点，A 、D 是⊙O 上两点，∠E=46°， ∠DCF=33°。

求∠A 的度数（ ▲ ）．A ．90°B ．100°C ．110°D ． 67°8．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm 2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥母线长是（ ▲ ）． A ．5 cm B ．10 cm C ．12 cm D ．13 cm9．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，BD 为直径，若∠DBC=18°，则∠A 的度数是（ ▲ ）． A ．36° B.72° C .60° D ．无法确定第13题图 第14题图第12题图第15题图 第17题图第18题图10．已知α、β是方程x 2+x+1=0的两个根，则（1+α+α2）（1+β+β2）的值（ ▲ ）．A ．B ．-4C ．4D ．-二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．．．．．．．．．．． 11．已知两圆的半径分别为7cm 和1cm ，当它们外切时，圆心距d= ▲ cm ．12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为)4,4(，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ▲ 。

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区九年级上学期数学期中试题及答案一．选择题1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A. x+1＝0B. x 2＝2x﹣1C. 2y﹣x＝1D. x 2+3＝ 2x【答案】B【解析】【分析】利用一元二次方程的定义进行分析即可．【详解】解：A 、x+1＝0是一元一次方程，故此选项不合题意；B 、x 2＝2x﹣1是一元二次方程，故此选项符合题意；C 、含有2个未知数，2y﹣x＝1不是一元二次方程，故此选项不合题意；D 、含有分式，x 2+3＝不是一元二次方程；故此选项不合题意． 2x 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含一个未知数且未知数的最高次数是2．2. 方程的根是（ ）23x x =A. B. C. D. 3x =0x =123,0x x =-=123,0x x ==【答案】D【解析】【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．【详解】解：∵x 2＝3x ，∴x 2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，∴x＝0或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．3. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ）A B C O 72BOC ∠=︒BAC ∠A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°【答案】B【解析】 【分析】由点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BOC=72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【详解】解：∵点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BOC=72°， ∴∠BAC=∠BOC=36°．12故选：B ． 【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4. 九年级（1）班甲、乙、丙、丁四名同学几次数学测试成绩的平均数（分）及方差S 2如x 下表： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 95 97 95 97方差 0.5 0.5 0.2 0.2老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】D【解析】【分析】要选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，所以要平均成绩比较高的，应从乙、丁两为同学里面选，再根据方差越小越稳定，从而可以确定答案．【详解】解：要选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，所以要平均成绩比较高的，应从乙、丁两为同学里面选，再根据方差越小越稳定，丁的方差比乙更小，故应该选丁 ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平均数以及方差，熟练方差越小越稳定是解决本题的关键．5. 一元二次方程x 2+kx﹣3＝0的一个根是x ＝1，则k 的值为（ ）A. 2B. ﹣2C. 3D. ﹣3 【答案】A【解析】【详解】将代入方程有，解得，1x =230x kx +-=130k +-=2k =故选A6. 已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A. 18cm 2B.C. 27cm 2D. 218cm π227cm π【答案】B【解析】【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：底面周长是2×3π=6π， 则圆锥的侧面积是：×6π×6=18π（cm 2）．12故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．7. 如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交对角线ABCD B AB BD 于点，则图中阴影部分的面积是（结果保留）（ ） E πA. B. C. D.8π-162π-82π- 182π-【答案】C【解析】【分析】根据 S 阴＝S△ABD﹣S 扇形 BAE 计算即可．【详解】， 2145••444822360ABD BAES S S ππ∆=-=⨯⨯-=-阴扇形故选． C 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．8. 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、A B C D 、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）． E O OA. B. C. D. AED ABD △BCD △ACD △【答案】D【解析】【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O 到A ，B ，C ，D ，E 的距离中，只有OA=OC=OD ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．9. 根据下列表格的对应值： x0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 x 2+x －1 －0.0619 －0.04 －0.0179 0.0044 0.0269 判断方程x 2+x －1＝0一个解的取值范围是（ ）A. 0.59＜x ＜0.60B. 0.60<x ＜0.61C. 0.61＜x ＜0.62D. 0.62＜x ＜0.63【答案】C【解析】【分析】由于x ＝0.61时，x 2＋x −1＝−0.0179；x ＝0.62时，x 2＋x −1＝0.0044，则在0.61和0.62之间有一个值能使x 2＋x −1的值为0，于是可判断方程x 2＋x −1＝0一个解x 的范围为0.61＜x ＜0.62．【详解】解：∵x＝0.61时，x 2＋x −1＝−0.0179；x ＝0.62时，x 2＋x −1＝0.0044， ∴方程x 2＋x −1＝0一个解x 的范围为0.61＜x ＜0.62．故选：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10. 如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（ ）A. 2.5 C. D. 3【答案】B【解析】 【分析】如图，连接AO ，作DH⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF∽△DBH，可得，即可解决问=OA OF BD BH题．【详解】解：如图，连接AO ，作DH⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=10，面积为80，∴AB•DH=80，∴DH=8，在Rt△ADH 中，， 6AH ==∴HB=AB-AH=4，在Rt△BDH 中，，BD ==设⊙O 与AB 相切于F ，与AD 相切于J ，连接OF ，OJ ，则OF⊥AB，OJ⊥AD，OF=OJ ， ∴OA 平分∠DAB，∵AD=AB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，∴， =OA OF BD BH， 4OF故选：B ．【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题11. 方程x 2=9的解为_____．【答案】x 1=3，x 2=-3【解析】【分析】直接用开平方法求解即可．【详解】解：∵，29x =∴x=±3．故答案为：x 1=3，x 2=-3．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．12. 若⊙O 的半径为3，点P 为平面内一点，OP ＝2，那么点P 在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）【答案】内部【解析】【分析】根据点与圆心之间的距离和半径的关系即可判断点与圆的位置关系.【详解】∵⊙O 的半径r ＝3，∵OP＝2，∵23<∴点P 在⊙O 内部，故答案为：内部．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键.13. 一组数据4，1，7，4，5，6则这组数据的极差为__________．【答案】6【解析】【分析】用最大的的数7减去最小的数1即可求解．【详解】解：数据4，1，7，4，5，6极差为：7-1=6．故答案为：6【点睛】本题考查了极差的概念，极差指一组数据中最大值与最小值的差，极差反映了一组数据的波动范围．14. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形212350x x -+=的周长为_______．【答案】12【解析】【分析】先求出一元二次方程的两个根，然后结合三角形的三边关系解答即可．【详解】解：方程可变形为，解得， 212350x x -+=()()570x x --=215,7x x ==当第三边的长为5时，该三角形的周长为3+4+5=12；当第三边的长为7时，由于3+4=7，此时3、4、7不能构成三角形，应舍去．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键．15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范x 220--=x x k k 围是__________．【答案】1k >-【解析】【分析】直接利用根的判别式进而得出k 的取值范围．【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，220--=x x k ∴，2=4=4-41b ac ∆-⨯⨯（-k)=4+4k>0∴k>−1.故答案为.1k >-【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于运用根的判别式解不等式即可.16. 如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于_____．【答案】4【解析】【分析】首先作⊙O 的直径CD ，连接BD ，可得∠CBD=90°，然后由直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】解：作⊙O 的直径CD ，连接BD ，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠BAC=30°，BC=2，∴CD=2BC=4，即⊙O 的直径为4．故答案为4.【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝20cm ，弦BC ＝12cm ，F 是弦BC 的中点．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t≤10），连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t （s ）的值为_______．【答案】5或8.2【解析】【分析】求出BF 和AO 的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE 的长，再求出t 即可．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°，∵AB=20cm，弦BC=12cm ，F 是弦BC 的中点， ∴BF=BC=6cm ， 12有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°，∵∠EFB=90°，∴AC∥EF，∵F 为BC 的中点，∴E 为AB 的中点，即E 和O 重合，∵AB=20cm， ∴AE=AO=AB=10cm ， 12∴； 1052t ==②当∠FEB=90°时，如图：∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，∴△FEB∽△ACB， ∴， BE BF BC AB =∴， 61220BE =解得：BE=3.6（cm ），∵AB=20cm，∴AE=AB-BE=16.4cm，∴； 16.48.22t ==故答案为：5或8.2．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．18. 我们规定:平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R ＝D －d ．在平面直角坐标系xOy 中，图形G 为以原点O 为圆心，2为半径的圆，则点A(1，－1)到图形G 的距离跨度是_______．【答案】【解析】【分析】先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d 和最大距离D ，即可得出跨度；【详解】解：如图，过点A 作圆O 的直径EF ，则EF=4，d=AF ，D=EA∵A(1，－1)，，=，，∴R＝D －d=故答案为：【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，由已知点的坐标计算距离跨度是解本题的关键．三．解答题19. 解方程：（1）2440x x ++=（2）()()2322x x x -=-【答案】（1）；（2）122x x ==-122,3x x ==【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得答案；（2）方程移项后，利用因式分解法求解可得答案．【详解】解：（1）∵x 2+4x+4＝0，解得x 1＝x 2＝﹣2；（2）∵3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（2x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，解得x 1＝2，x 2＝﹣3．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20. （1）根据要求，解答下列问题：①方程的解为 ；2210x x -+=②方程的解为 ；2320x x -+=③方程的解为 ；2430x x -+=（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程的解为 ．21090x x -+=②关于x 的方程 的解为x 1＝1，x 2＝n ；（3）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性．21090x x -+=【答案】（1）①；②；③；（2）①；②121x x ==121,2x x ==121,3x x ==121,9x x ==；（3），验证见详解．()210x n x n -++=121,9x x ==【解析】【分析】（1）①②③，都利用十字相乘法即可解方程；（2）①利用十字相乘法解方程即可；②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n ，可以写出对应方程；（3）根据配方法解方程即可解出方程，从而验证猜想的正确性．【详解】解：（1）①2210x x -+=（x-1）（x-1）=0121x x ==②2320x x -+=（x-1）（x-2）=0121,2x x ==③2430x x -+=121,3x x ==（2）①21090x x -+=（x-1）（x-9）=0121,9x x ==②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n ，所以一次项系数绝对值为（n+1），按照规律一次项系数为负的，故方程为；()210x n x n -++=（3）21090x x -+=()222210-9105925516x x x x x -=-+=-+-=54x -=±，11x =19x =故猜想正确．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及找规律，熟练一元二次方程的解法是解决本题的关键．21. 为了了解某校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了名八年级学生，50对其每周平均课外阅读时间进行统计，并绘制成下面的统计图.（1）这名同学每周阅读时间的众数为 小时，中位数为 小时.50（2）求出这组数据的平均数.【答案】（1）3，3；（2）2.52小时.【解析】【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求解；（2）根据加权平均数的定义即可求解.【详解】解：（1）∵数据小时出现了次，出现次数最多，所以众数是小时； 3203这组数据总数为，所以中位数是第、位数的平均数，即小时.502526()3323+÷=故答案为：3；3，（2）这组数据的平均数：小时. 18216320445250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯126 2.5250==【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知众数、中位数与加权平均数的定义.22. “疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD ，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF ，求AB 的长度为多少米?【答案】3【解析】【分析】根据临时隔离点ABCD 总长度是10米，AB=x 米，则BC=（10-2x ）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．【详解】解：设AB=x 米，则BC=（9+1-2x ）米，根据题意可得，x （10-2x ）=12，解得x 1=3，x 2=2，当x=3时，AD=4＜5，当x=2时，AD=6＞5，∵可利用的围墙长度仅有5米，∴AB 的长为3米．答：AB 的长度为3米．【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23. 如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C＝120°，点E 在弧AD 上，连接OA 、OD 、OE 、AE 、DE ．（1）求∠AED 的度数；（2）当∠DOE＝90°时，AE 恰好为⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.【解析】【分析】（1）如图，连接BD ，由已知条件证△ABD 是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；（2）如图，连接OA ，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得； 360=1230n =【详解】解：（1）如图，连接BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）连接OA ，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，∴． 360=1230n =24. 已知关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x=1是该方程的根，求代数式的值．22(1)3m -+【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到△=8m 2，从而可判断△≥0，于是得到结论；（2）利用一元二次方程根的定义得到2m 2-4m=-1，再利用完全平方公式得到22(1)3m -+=2m 2-4m+2+3，然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）证明：∵=（-4m ）2-4•2m 2=8m 2≥0，∆∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把x=1代入方程得1-4m+2m 2=0，则2m 2-4m=-1，∴=2m 2-4m+2+3=-1+2+3=4．22(1)3m -+故答案为（1）见解析；（2）4．【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．25. “疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x 元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x （元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．【答案】（1）（180﹣3x）件；（2）①该商品的售价为30元/件；②李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．【解析】【分析】（1）售价设为x 元，那么降低的价格就是元，那么增加的销量是40x -()340x -件，再加上原来的60件就得到表达式；（2）①根据利润=销量（售价-成本）列方程求出售价；⨯②根据①中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额．【详解】解：（1）∵该商品的售价为x 元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40﹣x)＝(180﹣3x)件；（2）①依题意，得：(x﹣20)(180﹣3x)＝900，整理，得：x 2﹣80x+1500＝0，解得：x 1＝30，x 2＝50（不合题意，舍去），答：该商品的售价为30元/件；②0.5×(180﹣3×30)＝45（元），答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系，根据利润=销量（售价-成本）列方程求解．⨯26. 如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且Rt ABC ∆90ABC ∠=︒AB O D O ，连接并延长交的延长线于点．CD CB =DO CB E（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；CD O （2）若，，求圆的半径及的长．2BE =4DE =AC【答案】（1）是的切线；理由见解析；（2）圆的半径为1.5，的长为DC O AC 【解析】【分析】（1）欲证明 CD 是切线，只要证明 OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O 的半径为 r ．在 Rt△OBE 中，根据，可得222OE EB OB =+， 推出 r ＝1.5，由 ，推出，可得 CD ＝222(4)2r x -=+tan OB CD E EB DE ∠== 1.524CD =BC ＝3，再利用勾股定理即可解决问题；【详解】（1）证明：连接． OC ，，，CB CD = CO CO =OB OD =，()OCB OCD SSS ≌∴∆∆，90ODC OBC ∴∠=∠=︒，OD DC ∴⊥是的切线；DC ∴O（2）解：设的半径为．O r 在中，，Rt OBE ∆222OE EB OB =+ ，222(4)2r x ∴-=+，1.5r ∴=， tan OB CD E EB DE∠== ， 1.524CD ∴=，3CD BC ∴==在中，Rt ABC ∆AC ===圆的半径为1.5，的长为∴AC 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．27. 已知：△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的角平分线AD 交⊙O 于点D ．（1）如图①，以点D 为圆心，DB 长为半径作弧，交AD 于点I ．求证：点I 是△ABC 的内心；（2）如图②，在（1）的条件下，若AD 与BC 交于点E ．求证：； DI CA DE CE=（3）探究：如图③，△ABC 内接于⊙O，若BC=8，∠BAC＝120°，求△ABC 内切圆半径的最大值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8-【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理得到∠DBC=∠BAD，利用三角形的外角性质推出∠BID=∠IAB+∠IBA，由作图知∠DBI=∠BID，即可证明∠ABI=∠CBI，从而证得结论；（2）证明△BED △AEC，利用对应边成比例结合DB=DI ，即可证明结论；~（3）当A 在中点时，△ABC 内切圆最大，利用垂径定理、等腰三角形的性质结合解直 BC角三角形即可求解．【详解】（1）连接BI ，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠CAD=∠BAD，由圆周角定理得：∠CAD=∠DBC，∴∠DBC=∠BAD，由作图知：DB=DI ，∴∠DBI=∠BID，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠BID=∠BAD+∠ABI，∴∠ABI=∠CBI，∴BI 是∠ABC 的角平分线，∴点I 是△ABC 的内心；（2）∵∠DBC=∠CAD，∠BED=∠AEC，∴△BED △AEC，~∴，即， DB DE CA CE =DB CA DE CE =由（1）得：DB=DI ， ∴； DI CA DE CE =（2）由题意知，当A 在中点时，△ABC 内切圆最大， BC如图，△ABC 内切圆与AB 切于点D ，与BC 切于点E ，连接 ID ， AO ， I∵A 在中点， BC∴OA⊥BC，且△ABC 是等腰三角形，∴OA 是∠BAC 的平分线，∴点A 、I 、E 、O 在同一直线上，∵∠BAC＝120°，∴∠BAI＝60°，∠ABC＝30°，设△ABC 内切圆的半径为，则ID= IE=，I x x在△AID 中，， ID sin BAI x AI AI ∠===， x =在△ABE 中，，即AE=， AE tan ABE BE ∠=4=∵AE=AI+IE，x x +=解得：． 8x ==-【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形内心的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．28. 如图①，在矩形ABCD 中，AB ＜AD ，对角线AC ，BD 相交于点O,动点P 由点A 出发，沿AB→BC→CD 向点D 运动，设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示：（1）AD 边的长为 ．（2）如图③，动点P 到达点D 后从D 点出发，沿着DB 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点P 为圆心，PD 长为半径的⊙P 与DB 、DC 的另一个交点分别为M 、N ，与此同时，点Q 从点C 出发，沿着CD 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点Q 为圆心、2为半径作⊙Q．设运动时间为t 秒（0＜t≤5）．①当t 为何值时，点Q 与点N 重合？②当⊙P 与BC 相切时，求点Q 到BD 的距离．【答案】（1）8；（2）①；② 301195【解析】【分析】（1）由函数图像可知，当P 点到达B 点时，，在根据矩形的△△12A O P A O B S S ==性质得到，得到关于AB 的方程，求解即可； △△11112222A OB A BC S S A B B C ==⨯⨯= （2）①过P 作于H ，连接PN ，证明，得到，在根PH CD ⊥△△D P H D B C P D D H D B D C=据勾股定理分析计算即可；②设与BC 相切与点G ，连接PG ，过Q 作于K ，P QK B D ⊥证明和，列式计算即可； △△B G P B C D △△DK Q D C B 【详解】（1）由函数图像可知，当P 点到达B 点时， ，△△12A O P A O B S S ==当P 点到达C 点时，P 点走过的长为，14AB BC +=∵四边形ABCD 是矩形，∴，，，， 90ABC ∠=︒OA OC =AB CD =AD BC =∴， △△11112222A OB A BC S S A B B C ==⨯⨯= ∴，48A B B C = ∵，即，AB AD ＜AB BC ＜∴，()1448A B A B ⨯-=∴，214480A B A B -+=∴，，6AB =8BC =即；8AD BC ==故答案是8．（2）①过P 作于H ，连接PN ，PH CD ⊥∵，，P H D N ⊥BC CD ⊥∴，PH∥BC，DH HN =∴，△△D P H D B C ∴， P D D H D B D C=在Rt△BCD 中，，10BD ===∴，106tD H=∴， 35D H t =∴， 625t D N D H ==∵，CQ t =∴当Q 点与N 点重合时，，C N C Q t ==∴， 665t C D C N N D t =+=+=解得， 3011t =∴当时，Q 点与N 点重合； 3011t =故答案是． 3011t =②设与BC 相切与点G ，连接PG ，过Q 作于K ，P Q K B D ⊥∴，，PG BC ⊥P G P D t ==∵PG∥CD， ∴，△△B G P B C D ∴， B P P G B D C D=∴，106B Pt=∴， 53B P t =∴， 10B D B P P D =+=∴， 5103t t +=解得， 154t =∴， 154P D C Q ==∴， 159644D Q C D C Q =-=-=∵，Q K B D ⊥∴， 90DK Q D C B ∠=∠=︒∵， K DQ C D B ∠=∠∴，△△D K Q D C B ∴， K Q D Q B C D B=∴， 94810K Q =∴， 95K Q =∴点Q 到BD 的距离为． 95故答案是． 95【点睛】本题主要考查了与圆有关的动点问题，结合相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程求解是解题的关键．。

江苏省苏州市吴江区实验初中教育集团2024-—2025学年上学期10月阳光测评九年级数学试题一、单选题1．下列函数中不是二次函数的有（ ）A ．()21y x =-B ．21y -C ．2321y x x =+-D ．()221y x x =+-2．已知二次函数的解析式为22y x x =-+，下列关于函数图象的说法正确的是（ ） A ．对称轴是直线1x =- B ．图象经过原点 C ．开口向上D ．图象有最低点3．抛物线223y x mx =-+的对称轴为直线2x =，则m 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．4-D ．44．将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A ．2(3)2y x =++ B ．2(2)2y x =++ C ．2(2)1y x =++D ．2(2)2y x =-+5．若函数y ax b =+ 的图象经过第一、二、三象限，则二次函数 2y ax b =+ 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a ++=≠的一个根是1x =，则代数式2021a b --的值为（ ） A ．2018-B ．2018C ．2024-D ．20247．已知二次函数221y ax ax =-+（a 为常数，且0a <）的图象上有三点()12,A y -，()21,B y ，()33,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．213y y y <<D ．132y y y <<8．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）的图象关于直线=1x -对称，则下列五个结论：0abc >①；②20a b -=；③930a b c -+<；()()2110a m b m -++≤④（m为任意实数）；30a c +<⑤．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤二、填空题9．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表．则a b c ++的值是．10．已知二次函数2y x bx c =-+的图象经过()1,A n ，()3,B n ，则b 的值为．11．抛物线224y x x m =-+的图象的部分如图所示，则关于x 的一元二次方程2240x x m -+=的解是.12．抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的公共点是()2,0-，()6,0，则此抛物线的对称轴是． 13．若函数y =mx 2+2x +1的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是．14．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x 元，每天的销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为．15．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()3,1A --，()0,3B 两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++>+的解集是．16．如图，A B C ''△和ABC V 是以点C 为位似中心的位似图形，A B C ''△和ABC V 的面积之比为1:4，点C 的坐标为 2,0 ；若点B 的横坐标为8，则点B 的对应点B '的横坐标为．17．如图，一段抛物线：()3(03)y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ；…如此进行下去，若()40,P m 在其中一段抛物线上，则m =．三、解答题18．选择适当的方法解下列方程： (1)2(3)4x -=； (2)2430x x -+=．19．已知：关于x 的一元二次方程()210x m x m -++=．(1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根为1x ，2x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． 20．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 分别在BC AB 、上，且ADE C ∠=∠．(1)求证：CAD BDE △∽△；(2)如果12AB =，4DB =，9CD =，求BE 的长． 21．已知二次函数22y x x m =-++．（1）如果二次函数的图像与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图像过点A （3，0），与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图像的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．22．如图，抛物线23y x m =-+与y 轴交于点A ，过点A 作与x 轴平行的直线，交抛物线()2112y x =+相交于点B 、C （点B 在点C 的左面），若4BC =，求m 的值．23．如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m 的墙AB 和一段长为26m 的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙AB 和一节篱笆BF 构成，另三边由篱笆ACDF 围成，设平行于墙一边CD 长为m x ．(1)当苗圃园的面积为260m 时，求x 的值．(2)当x 为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？24．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C （向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ．如果她从点()3,10A 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）近似满足函数关系式()()20y a x h k a =-+<．图1图2(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出k 的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，254068y x x =-+-记她训练的入水点的水平距离为1d ；比赛当天入水点的水平距离为2d ，则1d ____2d （填,,>=<）；(3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B 开始计时，若点B 到水平面的距离为c ，则她到水面的距离y 与时间t 之间近似满足25y t c =-+，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的207C 动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？25．如题，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点B 4,0 ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点，当ACD V 周长最小时，求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点，射线AE 交抛物线于点F ，P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线AF 与点G ，是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线2y ax x c =++经过B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当三角形BCE 面积最大时，求点E 的坐标； (3)Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点(),A x y 是函数图象上任意一点，纵坐标y 与横坐标x 的差“y x -”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．【举例】已知点()1,3A 在函数21y x =+图象上．点()1,3A 的“纵横值”为312y x -=-=；函数21y x =+图象上所有点的“纵横值”可以表示为211y x x x x -=+-=+，当36x ≤≤时，1x +的最大值为617+=，所以函数()2136y x x =+≤≤的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点()6,2B -的“纵横值”为； ②求出函数()424y x x x=+≤≤的“最优纵横值”； (2)若二次函数2y x bx c =-++的顶点在直线32x =上，且最优纵横值为5，求c 的值； (3)若二次函数()22213y x b x b =-++-+，当14x -≤≤时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．。

2023-2024学年江苏省苏州市吴江实验中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1 2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（ ）A．2B．5C．0.5D．0.253．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（ ）A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．C．D．（x﹣1）2﹣5＝04．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列说法中，正确的是（ ）A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弧所对的圆周角相等C．三点确定一个圆D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）A．50°B．80°C．100°D．130°8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB 于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（ ）A．3B．2C．D．2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝ ．10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝ ．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 ．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ °．14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是 寸．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为 ．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD ＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为 ．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A 的半径r的取值范围是 ．19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．24．【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．【解决问题】：（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米；（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．26．阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形 （2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝ （3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形 性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项．解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（ ）A．2B．5C．0.5D．0.25【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元二次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，解得：a≤，观察选项只有D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（ ）A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．C．D．（x﹣1）2﹣5＝0【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可．解：二次项系数化1，得，加一次项系数一半的平方，得，整理，得．故选：C．【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；Δ＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．5．下列说法中，正确的是（ ）A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弧所对的圆周角相等C．三点确定一个圆D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等【分析】逐一分析每个选项即可．解：同圆或等圆，相等的圆心角所对的弧才相等，故选项A不符合题意；相等的弧所对的圆周角相等，故选项B符合题意；平面内，不共线的三点才能确定一个圆，故选项C不符合题意；三角形的内心到三角形各顶点的距离不一定相等，故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了圆的相关知识点，熟练掌握圆的性质定理是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF ＝90°时F点的位置即可．解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF＝BD＝2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF＝BD＝2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）A．50°B．80°C．100°D．130°【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．解：∵∠BOD＝100°，∴∠BAD＝100°÷2＝50°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣50°＝130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB 于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（ ）A．3B．2C．D．2【分析】作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则FM＝GH，由垂径定理得到AG＝DG＝AD，由等腰三角形三线合一﹣得到DH＝HB＝DB，从而得到GH＝DG+DH＝AB＝2，即FM＝2，再由EF≥FM，即可得到结论．解：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则四边形FGHM是矩形，FM＝GH，∵FG⊥AB，∴AG＝DG＝AD，∵ED＝EB，EH⊥AB∴DH＝HB＝DB，∴GH＝DG+DH＝AD+DB＝AB＝2∴FM＝2，∵EF≥FM，∴EF的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查了线段的最小值，熟练掌握直角三角形的中线定理与矩形的判定等是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝　0　．【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，再解即可．解：由题意得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是　相离　．【分析】先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．解：∵⊙O的直径是4，∴⊙O的半径r＝2，∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，∴直线l与⊙O相离．故答案为：相离．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝　﹣3　．【分析】把x＝3代入原方程得9+6a+3b＝0，然后2a+b的值．解：把x＝3代入方程x2+2ax+3b＝0，得9+6a+3b＝0，所以2a+b＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为　12　．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5＝12．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝　62　°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是　26　寸．【分析】线段OC垂直且平分线段AB，在Rt△ADO中，OD的长为（R﹣1）寸．解：1尺＝10寸．根据题意可得AD＝AB＝5（寸）．设圆O的半径为R，（R﹣1）2+52＝R2，∴R＝13寸，∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）．故答案为：26．【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为　4+6　．【分析】作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH＝OB＝t，再利用等边三角形的性质得∠DBC＝60°，则∠OBE＝60°，所以OE＝OB＝t，AE＝2AH＝2t，从而得到2+t＝2t，然后解关于t的方程即可．解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，∴AH＝OB＝t，∵△BCD为等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠OBE＝60°，∴∠OEB＝30°，在Rt△OBE中，OE＝OB＝t，在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，∵A（0，2），∴OA＝2，∴2+t＝2t，∴t＝4+6．故答案为：4+6．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的性质．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD ＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为 ．【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大．解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．∵AB⊥CH，∴EC＝EH，∵CF＝FD，∴EF＝DH，∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH＝90°，∴CH＝＝＝，∴CE＝，∴EF最大时，EC的长为，故答案为．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可．解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），x（x+4）+3（x+4）＝0，（x+4）（x+3）＝0，∴x+4＝0或x+3＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；（3）2y2﹣5y+2＝0，（2y﹣1）（y﹣2）＝0，∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，∴y1＝，y2＝2；（4）2m2﹣7m﹣3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，∴m＝＝，∴m1＝，m2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A 的半径r的取值范围是　6cm＜r＜10cm　．【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．解：（1）如图，连接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半径为6cm长，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．故答案为：6cm＜r＜10cm．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．【分析】先把x＝2代入方程得m＝﹣，则方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2＝﹣2，然后求出t即可．解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，则2+x2＝﹣2，解得x2＝﹣4，即方程的另一个根为﹣4，m的值为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解的定义．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x＝2x2﹣x+1，∵3x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣x＝1，∴原式＝2（x2﹣x）+1＝2×1+1＝3．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到Δ＝（2k﹣1）2，根据k为整数和非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1•x2，则根据完全平方公式变形得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2，由于k为整数，则2﹣＞0，于是得到结论．【解答】（1）证明：根据题意得k≠0，∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，而k为整数，∴2k﹣1≠0，∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∵x1+x2＝，x1•x2＝，∵k直角三角形的两直角边，∴+＝，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝，∴（）2﹣2×＝，∴k＝2或k＝﹣（不合题意舍去），∴k＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用第四阶段水稻亩产量＝第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论．解：（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意得：700（1+x）2＝1008，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：亩产量的平均增长率为20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．∵1209.6＞1200，∴他们的目标能实现．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF＝∠CFB，则可得出结论．解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵＝，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）证明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵，∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24．【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．【解决问题】：（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是　12　分米；（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是　6　分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．【分析】（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，根据勾股定理求出HQ＝6分米，利用对称性，即可求出滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离；（2）当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，利用OP、PQ、OQ是否满足勾股定理，来判断PQ与⊙O是否相切；（3）①当点P到l的距离最大时，PQ⊥l，结合PQ的长即可得到答案；②当点P的l的距离最大时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，连接P′P交OH于点D，易求得OD＝2分米，利用锐角三角函数可得cos∠DOP＝，得到∠DOP＝60°，则∠POP′＝120°，再利用扇形的面积公式计算即可．解：（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，此时，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），点Q滑动到最左端时，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），同理可得：点Q滑动到最右端时，HQ＝6分米，∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是2HQ＝2×6＝12（分米）；故答案为：12；（2）不对，理由如下：当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，∵OP2+PQ2＝42+62＝52，OQ2＝82＝64，∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，则OP不与PQ垂直，∴PQ与⊙O不相切；（3）①∵PQ的长度固定，为6分米，∴当PQ⊥l时，点P到到l的距离最大，为6分米；故答案为：6；②由①知，在⊙O上存在点P的l的最大距离为6分米，此时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，如图，连接P′P交OH于点D，∴OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP′，∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，∴四边形PQQ′P′为矩形，∴QQ′∥PP′，∵OH⊥QQ′，∴OD⊥PP′，∴PD＝P′D，∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），在Rt△POD中，cos∠DOP＝＝＝，∴∠DOP＝60°，∴∠POP′＝120°，∴S扇形POP′＝＝（平方分米），即扇形面积的最大值平方分米．【点评】本题主要考查勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、垂径定理、扇形的面积公式、解直角三角形，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG＝90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：连接OD，∵GF是切线，OD是半径，∴OD⊥GF，∴∠ODG＝90°，∵∠G＝40°，∴∠GOD＝50°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝65°，∵点A、B、D、E都在⊙O上，∴∠ABD+∠AED＝180°，∴∠AED＝115°；（3）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴＝，∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，∴AF＝2r﹣2，∴＝，∴r＝3，即⊙O的半径是3．【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．26．阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；。

苏州市2020－2021学年第一学期初三数学期末模拟卷(10)一、选择题（每题3分，共30分）1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A 的正切值为（）A ．3B ．C ．D．2.方程x x =2的解为（）A ．1=x ；B ．1±=x ；C ．1,0==x x ；D ．0=x 3.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A ．45°；B ．60°；C ．72°；D ．90°4．平面内有一点P 到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（）A ．2B ．4C ．2或4D ．85.在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则的长等于（）A.3πB.2π C.23π D.32π6.如图，⊙O 的弦AB＝8，M 是AB 的中点，且OM＝3，则⊙O 的半径等于（）A．8B．4C．10D．5第6题图第7题图第8题图7.如图，⊙O 的直径AB=4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC=5，则AD 的长为（）A ．B ．C ．D ．8.如图，矩形OCDE 内接于扇形AOB .若点C 是OA 的中点，则BAD ∠等于（）A.15°；B.18°；C.22.5°；D.30°9.如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y ＝的图象上，第二象限的点B 在反比例函数y ＝的图象上，且OA ⊥OB ，tan A ＝2，则k 的值为（）A ．4B ．8C ．-4D ．-810.如图，⊙P 与x 轴交于点A （﹣5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ．若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为（）A ．+B ．2+C ．4D ．2+2二、填空题（每题3分，共24分）11．已知a 是关于x 方程x 2﹣2x ﹣8=0的一个根，则2a 2﹣4a 的值为．第9题图第9题图第10题图学校班级姓名考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------12．一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．．13.小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，己知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2,那么这个圆锥的高是___________cm.14.一元二次方程2410x x -+=的两根为12,x x ，则2111243x x x x -+的值为.15．如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则∠OCB=度．16．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O 的直径为．第15题图第16题图第17题图第18题图17.如图，在平面直角坐标系中，已知C （6，8），以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA ＝OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB ＝90°，则AB 长度的最大值为．18.如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为.三、解答题（共76分）19.计算题：（本题8分）（1）－222cos60°＋113-⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2cos30°－tan45°20.解方程：（本题8分）（1）23(2)(2)x x x -=-；（2）23610x x -+=（用配方法）．21.（本题6分）为了解学生的课外阅读情况，七(1)班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查(每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图(如图).根据以上信息解决下列问题:(1)m =，n =;(2)扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角的度数为;(3)从选“哲学类”的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用画树状图法或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率.22.（本题6分）姑苏特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调个查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售?23.（本题6分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方米处的点C出发,沿斜面坡度i CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高D E 为1.5米.已知A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，AB ⊥BC ,AB //DE .求旗杆AB 的高度.（参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34.计算结果保留根号）24．（本题6分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为圆上的两点，OC ∥BD ，弦AD ，BC 相交于点E ．（1）求证：＝；（2）若CE ＝2，EB ＝6，求⊙O 的半径；25.（本题8分）如图，直线MN 交⊙O 于A，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D，过D 作DE⊥MN 于E．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE=6，AE=32，求⊙O 的半径；(3)在第(2)小题的条件下，求图中阴影部分的面积26.（本题8分）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1）（1）试求a ，b 所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的54倍时，求a 的值:（3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.27.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，点(0,6)B ，动点C 在以原点O 为圆心，半径为3的⊙O 上，连接OC ，过点O 作OD OC ⊥，OD 与⊙O 相交于点D (其中点C ，O ，D 按逆时针方向排列)，连接AB .(1)当//OC AB 时，BOC ∠的度数为；(2)连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，ABC ∆的面积最大?并求出ABC ∆面积的最大值.(3)连接AD ，当OC//AD ，点C 位于第二象限时，①求出点C 的坐标②直线BC 是否为⊙O 的切线？并说明理由；28.（本题10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1分别交x 轴和y 轴于点A(－3，0)、B(0，3)．（1）如图1，已知⊙P 经过点O ，且与直线l 1相切于点B ，求⊙P 的直径长；（2）如图2，已知直线l 2：y ＝3x －3分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线l 2上的一个动点，以Q 为圆心，为半径画圆．①当点Q 与点C 重合时，求证：直线l 1与⊙Q 相切；②设⊙Q 与直线l 1相交于点M ，N ，连结QM ，QN ．问：是否存在这样的点Q ，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案12345678910ACCCCDBADB11.16；12.3143或；13.8；14.2；15.50；16.；17.32；18.3π；9.详解：19.解：（1）﹣22+﹣2cos60°+（）﹣1＝﹣4+3﹣2×+3＝﹣4+3﹣1+3＝1；（2）2cos30°﹣tan45°﹣＝2×﹣1﹣（﹣1）＝﹣1﹣+1＝0．20.（1）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣6＝0，∴x1＝2，x2＝3；（2）3x2﹣6x+1＝0，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．21.(1)102；(2)79.2︒；(3)根据题意列表得：男1男2女1女2男1男2男1女1男1女2男1男2男1男2女1男2女2男2女1男1女1男2女1女2女1女2男1女2男2女2女1女2由表可知，共有12种等可能的结果，其中所选取的两名学生都是男生的结果为2次，所选取的两名学生都是男生的概率为1 6.22.（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．…4分化简，得x2﹣10x+24＝0解得x1＝4，x2＝6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6＝54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，解得m＝9答：该店应按原售价的九折出售．23.解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD＝90°，∵tan∠DCF＝i＝＝，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4，∴DF＝CD＝2，CF＝CD cos∠DCF＝4×＝2，∴BF＝BC+CF＝2+2＝4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE＝BF＝4，GB＝EF＝ED+DF＝1.5+2＝3.5，又∵∠AED＝37°，∴AG＝GE tan∠AEG＝4•tan37°，则AB＝AG+BG＝4•tan37°+3.5＝3+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．24.（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD，∴＝；（2）连接AC，∵CE＝2，EB＝6，∴BC＝8，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴＝，即＝，解得，AC＝2，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴⊙O的半径为2．25.解：（1）连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAM，∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝2，∴AD＝＝＝4，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，∴，∴AC＝8，∴⊙O的半径是4；（3）过点O作OF⊥AB于F，∵cos∠DAE＝，∴∠DAE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴∠CAB＝60°，∴∠AOF＝30°，∴∠AOB＝60°，∴cos∠CAB＝＝，∴AF＝2，∴OF＝6，∴S阴影＝S扇形﹣S△OAB＝8π﹣12．26.27.解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图1：图1图2此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∴OE＝AB＝3，∴CE＝OC+OE＝3+3，∴△ABC的面积＝CE•AB＝×（3+3）×6＝9+18；即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图2：∵OC∥AD，∴∠COF＝∠DAO，又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，∴△OCF∽Rt△AOD，∴＝，即＝，解得：CF＝，在Rt△OCF中，OF＝＝＝，∴C点坐标为（﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：由①得：（﹣，），在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，∴CF＝OC，∴∠COF＝30°，∴∠OAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，∵在△BOC和△AOD中，，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADO＝90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．28.解：（1）如图1，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，∵⊙P与直线l1相切于点B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB＝3；（2）过点作CM⊥AB，由直线l2：y＝3x﹣3得：点C（1，0），则CM＝AC sin45°＝4×＝2＝圆的半径，故点M是圆与直线l1的切点，即：直线l1与⊙Q相切；（3）如图3，①当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，设点Q的坐标为（m，3m﹣3），则点N（m，m+3），则NQ＝m+3﹣3m+3＝2，解得：m＝3﹣；②当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m＝3；故点Q的坐标为（3﹣，6﹣3）或（3+，6+3）．。

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是()A. x+1=0B. x2=2x−1C. 2y−x=1D. x2+3=2x2.方程x2=3x的解为()A. x=3B. x=0C. x1=0，x2=−3D. x1=0，x2=33.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC=72°，则∠BAC的度数是()A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°4.九年级(1)班甲、乙、丙、丁四名同学几次数学测试成绩的平均数x−(分)及方差S2如下表：甲乙丙丁平均数(分)95979597方差0.50.50.20.2老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则k的值为()A. 2B. −2C. 3D. −36.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是()A. 18πcm2B. 27πcm2C. 36πcm2D. 54πcm27.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A. 8−πB. 16−2πC. 8−2ππD. 8−128.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心()A. △AEDB. △ABDC. △BCDD. △ACD9.根据下列表格的对应值：0.590.600.610.620.63x2+x−1−0.0619−0.04−0.01790.00440.0269判断方程x2+x−1=0一个解的取值范围是()A. 0.59<x<0.61B. 0.60<x<0.61C. 0.61<x<0.62D. 0.62<x<0.6310.如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD<90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于()A. 2.5B. √5C. 2√2D. 3二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.方程x2=9的解为______．12.若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP=2，那么点P在⊙O______(填“上”、“内部”或“外部”)13.一组数据4，1，7，4，5，6，则这组数据的极差为______．14.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，则该三角形的周长为______．15.关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．16.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，BC=2，则⊙O的直径等于______．17.如图，AB是⊙O的直径，AB=20cm，弦BC=12cm，F是弦BC的中点，若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t≤10)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为______．18.我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D−d.在平面直角坐标系xOy中，图形G为以原点O为圆心，2为半径的圆，则点A(1,−1)到图形G的距离跨度是______．三、解答题（本大题共10小题，共76.0分）19.解方程：(1)x2+4x+4=0；(2)3(x−2)2=x(x−2)．20.(1)根据要求，解答下列问题：①方程x2−2x+1=0的解为______；②方程x2−3x+2=0的解为______；③方程x2−4x+3=0的解为______；…(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2−10x+9=0的解为______；②关于x的方程______的解为x1=1，x2=n；(3)请用配方法解方程x2−10x+9=0，以验证猜想结论的正确性．21.为了了解某校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了50名八年级学生，对其每周平均课外阅读时间进行统计，并绘制成下面的统计图．(1)这50名同学每周阅读时间的众数为______小时，中位数为______小时；(2)求出这组数据的平均数．22.“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙(可利用的围墙长度仅有5米)，另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？23.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在AD⏜上．(1)求∠E的度数；(2)连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．24.已知关于x的一元二次方程x2−4mx+2m2=0．(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若x=1是该方程的根，求代数式2(m−1)2+3的值．25.国强在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件(20≤x≤40)．(1)用含售价x(元/件)的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为______件；(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②2020年10月17日为第7个国家扶贫日，国强决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某扶贫捐赠基金会捐款0.5元，求国强每天通过销售该工艺品捐款的数额．26.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BE=2，DE=4，求圆的半径及AC的长．27.已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D．(1)如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；(2)如图②，在(1)的条件下，若AD与BC交于点E.求证：DIDE =CACE；(3)探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC=8，∠BAC=120°，求△ABC内切圆半径的最大值．28.如图①，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示：(1)AD边的长为______．(2)如图③，动点P到达点D后从D点出发，沿着DB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点P为圆心，PD长为半径的⊙P与DB、DC的另一个交点分别为M、N，与此同时，点Q从点C出发，沿着CD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点Q为圆心、2为半径作⊙Q.设运动时间为t秒(0<t≤5)．①当t为何值时，点Q与点N重合？②当⊙P与BC相切时，求点Q到BD的距离．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、x+1=0是一元一次方程，故此选项不合题意；B、x2=2x−1是一元二次方程，故此选项符合题意；C、含有2个未知数，2y−x=1不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、含有分式，x2+3=2不是一元二次方程；故此选项不合题意．x故选：B．利用一元二次方程的定义进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2.【答案】D【解析】解：∵x2−3x=0，∴x(x−3)=0，则x=0或x−3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC=72°，∠BOC=36°．∴∠BAC=12故选：B．由点A，B，C在⊙O上，∠BOC=72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】D【解析】解：从平均数看，成绩最好的是乙和丁，从方差看，丁方差小，发挥最稳定，所以老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选丁；故选：D．根据方差的定义，方差越小数据越稳定．本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5.【答案】A【解析】解：把x=1代入x2+kx−3=0中，得1+k−3=0，解得k=2，故选：A．x2+kx−3=0的一个根是x=1，那么就可以把x=1代入方程，从而可直接求k．本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．6.【答案】A【解析】解：底面周长是2×3π=6π，×6π×6=18π(cm2)．则圆锥的侧面积是：12故选：A．已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．根据S阴=S△ABD−S扇形BAE计算即可．【解答】解：S阴=S△ABD−S扇形BAE=12×4×4−45⋅π⋅42360=8−2π，故选：C．8.【答案】D【解析】解：∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA=OC=OD，∴点O是△ACD的外心，故选：D．根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，进行判断即可．此题主要考查了正多边形、三角形外心的性质等知识；熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵x=0.61时，x2+x−1=−0.0179；x=0.62时，x2+x−1=0.0044，∴方程x2+x−1=0一个解x的范围为0.61<x<0.62．故选C．由于x=0.61时，x2+x−1=−0.0179；x=0.62时，x2+x−1=0.0044，则在0.61和0.62之间有一个值能使x2+x−1的值为0，于是可判断方程x2+x−1=0一个解x 的范围为0.61<x<0.62．本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10.【答案】B【解析】解：如图，连接BD交AC于点O′，作BF⊥CD于F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵菱形ABCD的边长为10，面积为80，∴CD⋅BF=80，∴BF=8，∴FC=√BC2−BF2=√102−82=6，∴DF=CD−FC=10−6=4，∴BD=√DF2+BF2=√42+82=4√5，∴O′D=O′B=12BD=2√5，∵∠AEO=∠AO′B=90°，∠OAE=∠BAO′，∴△AOE∽△ABO′，∴OEO′B =AOAB，即：OE2√5=510，∴OE=√5，故选：B．根据菱形的边长和面积可求出高BF，进而求出CF、DF，再根据勾股定理求出BD，最后根据相似三角形求出半径即可．本题考查菱形的性质，勾股定理，切线的性质以及相似三角形的性质等知识，掌握这些知识以及综合应用是本题的显著特点．11.【答案】±3【解析】解：∵x2=9，∴x=±3．此题直接用开平方法求解即可．解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．12.【答案】内部【解析】解：∵⊙O的半径r=3，∵OP=2，∴点P在⊙O内部，故答案为：内部．根据点和圆的位置关系得出即可．本题考查了点和圆的位置关系得应用，注意：已知⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离是d，当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．13.【答案】6【解析】解：这组数据的极差为：7−1=6；故答案为：6．根据极差的定义即可求得．此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．14.【答案】12【解析】解：解方程x2−12x+35=0，得x1=5，x2=7，∵1<第三边<7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．15.【答案】k>−1【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根，∴△=(−2)2+4k>0，解得k>−1．故答案为：k>−1．根据判别式的意义得到△=(−2)2+4k>0，然后解不等式即可．此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．16.【答案】4【解析】解：作直径BD，连接CD，由圆周角定理得，∠D=∠BAC=30°，∠BCD=90°，∴BD=2BC=4，故答案为：4．作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D=∠BAC=30°，∠BCD=90°，根据直角三角形的性质解答．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．17.【答案】5或8.2【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵AB=20cm，弦BC=12cm，F是弦BC的中点，∴BF=1BC=6cm，AO=10cm，2有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠EFB=90°，∴AC//EF，∵F为BC的中点，∴E为AB的中点，即E和O重合，∵AB=20cm，∴AE=AO=10cm，∴t=102=5；②当∠FEB=90°时，如图∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，∴△FEB∽△ACB，∴BEBC =BFAB，∴BE12=620，解得：BE=3.6(cm)，∵AB=20cm，∴AE=AB−BE=16.4cm，∴t=16.42=8.2，故答案为：5或8.2．求出BF和AO的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，求出AE和BE 的长，再求出t即可．本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18.【答案】2√2【解析】解：∵图形G为以O为圆心，2为半径的圆，∴直径为4，∵A(1,−1)，OA=√2，∴点A到⊙O的最小距离d=MA=OM−OA=2−√2，点A到⊙O的最大距离D=AN=ON+OM=2+√2，∴点A到图形G的距离跨度R=D−d=2+√2−2+√2=2√2；故答案为：2√2．先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度．主要考查了坐标与图形的新定义，理解和应用新定义解决问题，由已知点的坐标计算距离跨度，观察得出规律是解本题的关键．19.【答案】解：(1)∵x2+4x+4=0，∴(x+2)2=0，解得x1=x2=−2；(2)∵3(x−2)2−x(x−2)=0，∴(x−2)(2x−6)=0，则x−2=0或2x−6=0，解得x1=2，x2=−3．【解析】利用因式分解法求解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】x1=x2=1x1=1，x2=2x1=1，x2=3x1=1，x2=9x2−(1+n)x+ n=0【解析】解：(1)①x1=1，x2=1；②x1=1，x2=2；③x1=1，x2=3；(2)①x1=1，x2=9；②x2−(1+n)x+n=0；故答案为x1=1，x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x1=1，x2=9；x2−(1+ n)x+n=0；(3)x2−10x=−9，x2−10x+25=16，(x−5)2=16，x−5=±4，所以x1=1，x2=9．(1)利用因式分解法解各方程即可；(2)①利用(1)中各方程解的特征求解；②利用根与系数的关系确定一次项系数和常数项即可；(3)利用配方法得到(x−5)2=16，然后用直接开平方法解方程．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了解一元二次方程．21.【答案】3 3【解析】解：(1)数据3小时出现了20次，出现次数最多，所以众数是3小时；这组数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即(3+3)÷2=3小时．故答案为：3，3；(2)这组数据的平均数：1×8+2×16+3×20+4×4+5×250=12650=2.52(小时)．(1)直接利用众数以及中位数的定义得出答案；(2)直接利用平均数的求法得出答案．此题主要考查了众数、中位数、平均数，正确掌握相关定义是解题关键．22.【答案】解：设AB=x米，则BC=(9+1−2x)米，根据题意可得，x(10−2x)=12，解得x1=3，x2=2，当x=3时，AD=4<5，当x=2时，AD=6>5，∵可利用的围墙长度仅有5米，∴AB的长为3米．答：AB的长度为3米．【解析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB=x米，则BC=(10−2x)米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】解：(1)连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；(2)连接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD−∠DOE=30°，∴n=360°=12．30∘【解析】(1)首先连接BD，由在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=120°，根据圆的内接四边形的性质，求得∠BAD的度数，又由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，则可求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；(2)首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，继而求得答案．此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．24.【答案】(1)证明：由题意得，△=(4m)2−4⋅2m2=8m2≥0，所以不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)解：把x=1代入方程得1−4m+2m2=0，则2m2−4m=−1，所以2(m−1)2−3=2m2−4m+2+3=−1+2+3=4．【解析】(1)进行判别式的值得到△=8m2，从而可判断△≥0，于是得到结论；(2)利用一元二次方程根的定义得到2m2−4m=1，再利用完全平方公式得到2(m−1)2+3=2m2−4m+2+3，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．25.【答案】(180−3x)【解析】解：(1)∵该商品的售价为x元/件(20≤x≤40)，且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40−x)=(180−3x)件，故答案为：(180−3x)．(2)①依题意，得：(x−20)(180−3x)=900，整理，得：x2−80x+1500=0，解得：x1=30，x2=50(不合题意，舍去)．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×(180−3×30)=45(元)．答：国强每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．(1)由该商品的售价结合售价每降低1元就会多售出3件，即可得出每天售出该工艺品的件数；(2)①根据总利润=每件工艺品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；②根据每天通过销售该工艺品面捐款的数额=0.5×每天销售的数量，即可得出结论．本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26.【答案】(1)证明：连接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD(SSS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴(4−r)2=r2+22，∴r=1.5，∵tan∠E=OBEB =CDDE，∴1.52=CD4，∴CD=BC=3，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√32+32=3√2．∴圆的半径为1.5，AC的长为3√2．【解析】(1)欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；(2)设⊙O的半径为r.在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得(4−r)2=r2+22，推出r=1.5，由tan∠E=OBEB =CDDE，推出1.52=CD4，可得CD=BC=3，再利用勾股定理即可解决问题；本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．27.【答案】(1)证明：如图①中，连接BI．∵DB=DI，∴∠DBI=∠DIB，∵∠DIB=∠IAB+∠IBA，∠DBI=∠IBC+∠DBC，又∵∠DBC=∠DAC=∠DAB，∴∠DBC=∠IAB，∴∠IBA=∠IBC，即BI平分∠ABC，∴点I是△ABC的内心．(2)证明：如图②中，∵∠BDA=∠BCA，∠DBC=∠DAC，∴△BDE∽△ACE，∴DB DE =CA CE ，∵DB =DI ，∴DI DE =CA CE ．(3)解：如图③中，作∠BAC 的角平分线AD 交⊙O 于D ，连接BD ，DC ，以D 为圆心，DB 为半径作作弧，交AD 于点I ，由(1)点I 是△ABC 的内心．∵IH ⊥AC ，∴IH 是△ABC 的内切圆的半径，在△AIH 中，∠IAH =12∠BAC =60°，∴IH =√32AI ，故欲求IH 的最大值只要求出AI 的最大值，∵∠DBC =∠DAC =60°，∠DCB =∠DAB =60°，∴△BDC 是等边三角形，∴DB =CB =8，即DI =8，作直径DF ，在Rt △BDF 中，∠DFB =60°，DB =8，∴DF =16√33，即直径为16√33， ∴AI 的最大值为16√33−8，∴△ABC 的内切圆的半径的最大值为8−4√3．【解析】(1)如图①中，连接BI.证明BI 平分∠ABC 即可．(2)证明△BDE∽△ACE ，推出DB DE =CACE ，可得结论．(3)如图③中，作∠BAC 的角平分线AD 交⊙O 于D ，连接BD ，DC ，以D 为圆心，DB为半径作作弧，交AD于点I，由(1)点I是△ABC的内心．IH=√32AI，故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值．本题属于圆综合题，考查了三角形的内心，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．28.【答案】8【解析】解：(1)当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为12．∴12⋅AB⋅12BC=12，即AB⋅BC=48当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为14，∴AB+BC=14则BC=14−AB，代入AB⋅BC=48，得AB2−14AB+48=0，解得AB=6或8，∵AB<AD，即AB<BC，∴AB=6，BC=8．即AD=BC=8．故答案为：8．(2)①由题意：DP=PM=t，CQ=t，由△DMN∽△DBC，可得DMBD =DNDC，即2t10=DN6，∴DN=65t.当Q与N点重合时，CQ+DN=6，∴t+65t=6，∴t=3011．②如图③中，设⊙P与BC相切于点H，连接PH，则PH⊥BC，过点Q作QF⊥BD于F．由题意PH =PD =t ，∵PH//CD ，∴△PHB∽△DCB ，∴PH DC=BP BD ， ∴t 8=9410， ∴t =154，∴CQ =t =154，QD =6−CD =94， ∵∠QFD =∠C =90°，∠QDF =∠CDB ，∴△QDF∽△BDC ，∴QF BC =QD BD ， ∴QF 8=9410， ∴QF =95，∴点Q 到线段BD 的距离为95．(1)当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，结合图象可得△AOP 面积最大为12，得到AB 与BC 的积为48，当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为14，得到AB 与BC 的和为14，构造关于AB 的一元二方程可求解．(2)①由△DMN∽△DBC ，可得DM BD =DN DC ，即2t 10=DN 6，推出DN =65t.当Q 与N 点重合时，推出CQ +DN =6，由此构建方程即可解决问题．②如图③中，设⊙P 与BC 相切于点H ，连接PH ，则PH ⊥BC ，过点Q 作QF ⊥BD 于F.证明△PHB∽△DCB ，可得PH DC =BP BD ，推出t 8=9410，推出t =154，CQ =t =154，QD =6−CD =94，再证明△QDF∽△BDC ，推出QF BC =QD BD ，求出QF 即可．本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．。

2024-2025学年江苏省苏州吴江市青云中学九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点（）A ．（﹣1，1）B ．（﹣4，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（1，﹣2）2、（4分）4的算术平方根是（）A ．2±B ．2C ．2-D ．3、（4分）已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1211+x x 的值为()A ．2B ．－1C ．－12D ．－24、（4分）已知等腰△ABC 的两边长分别为2和3，则等腰△ABC 的周长为()A ．7B ．8C ．6或8D ．7或85、（4分）菱形ABCD 的周长是20，对角线AC=8，则菱形ABCD 的面积是()A ．12B ．24C ．40D ．486、（4分）以下四个命题正确的是()A ．平行四边形的四条边相等B ．矩形的对角线相等且互相垂直平分C ．菱形的对角线相等D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形7、（4分）下列交通标志是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8、（4分）年一季度，华为某销公营收入比年同期增长，年第一季度营收入比年同期增长，年和年第一季度营收入的平均增长率为，则可列方程()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）①_________；②_________；③_________.10、（4分）一次函数y =kx +3的图象不经过第3象限，那么k 的取值范围是______11、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，点D 落在D ¢处，AF 的长为___________．12、（4分）若关于x 的一元一次不等式组23 x x x a ->⎧⎨<⎩的的解集为1x <-，则a 的取值范围是___________．13、（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，△ABC 的周长为2+，其中斜边的长为2，则这个三角形的面积为_____________。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在矩形ABCD 中，2BC AB ，ADC ∠的平分线交边BC 于点E ，AH DE ⊥于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：（1）AEB AEH ∠=∠（2）2EH DH AB +=（3）12OH AE =（4）2BC BF EH -= 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数 k y x=-与2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数y kx b =-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，AB=2，点E 是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，点F 的运动路径长为（ ）A ．43πB ．23πC ．2D ．34．某校数学课外小组，在坐标纸上为某湿地公园的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，且k≥2时，111255121555k k k k k k x x k k y y --⎧--⎡⎤⎡⎤=+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎛⎫--⎡⎤⎡⎤⎪=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎩，[a]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.3]＝2，413⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[1.5]＝1．按此方案，第2119棵树种植点的坐标应为（ ） A ．(6，2121) B ．(2119，5) C ．(3，413) D ．(414，4)5．如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150° 6．如图，EFO GHO ∆∆，若12,6,4FO HO GH ===，则EF 的长是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．已知如图ABC 中，点O 为BAC ∠，ACB ∠的角平分线的交点，点D 为AC 延长线上的一点，且AD AB =，CD CO =，若138∠=︒AOD ，则ABC ∠的度数是（ ）．A ．12︒B ．24︒C ．48︒D ．96︒8．如图所示的几何体的主视图为( )A．B．C．D．9．已知函数kyx=的图象过点(1,-2)，则该函数的图象必在（）A．第二、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限10．方程x2-x-1=0的根是（）A．115 2x-+=，2152x--=B．1132x+=，2132x-=C．115 2x+=，1152x-=D．没有实数根11．△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高12．如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）A．1 B．12C．13D．14二、填空题（每题4分，共24分）13．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为___________．14．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm ，小正六边形的面积为4932cm 2，则该圆的半径为________cm ．15．下列投影或利用投影现象中，________是平行投影，________是中心投影． (填序号)16．如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB 是120m ，则乙楼的高CD 是_____m （结果保留根号）17．要使式子21x x +-在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是________． 18．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF EC ⊥交AD 于点F ，连接()CF AD AE >，下列结论：①AEF BCE ∠=∠；②AF BC CF +>；③CEF EAF CBE S S S =+； ④若32BC CD =，则CEF CDF ≅. 其中正确的结论是______________.(填写所有正确结论的序号)三、解答题（共78分）19．（8分）某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似看作一次函数10600y x =-+．商场销售该商品每月获得利润为W （元）．（1）求W 与x 之间的函数关系式；（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每件商品的销售单价应为多少元？（3）商场每月要获得最大的利润，该商品的销售单价应为多少？20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线y ＝a （x +3）（x ﹣1）（a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求点A 与点B 的坐标；（2）若a ＝13，点M 是抛物线上一动点，若满足∠MAO 不大于45°，求点M 的横坐标m 的取值范围． （3）经过点B 的直线l ：y ＝kx +b 与y 轴正半轴交于点C ．与抛物线的另一个交点为点D ，且CD ＝4BC ．若点P 在抛物线对称轴上，点Q 在抛物线上，以点B ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．21．（8分）黎托社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户10月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A .小于5天；B .5天；C .6天；D .7天）.（1）扇形统计图B 部分所对应的圆心角的度数是______.（2）12月份雨花区将举行一场各社区之间“垃圾分类”知识抢答赛，黎托社区准备从甲、乙、丙、丁四户家庭以抽签的形式选取两户家庭参赛，求甲、丙两户家庭恰好被抽中的概率.22．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，毎个月可买出180件：如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，毎件商品的售价为多少元时，每个月的销售利润将达到1920元？23．（10分）如图：在平面直角坐标系中，直线l ：1433y x =-与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线23y ax x c =-+的对称轴是32x =． （1）求抛物线的解析式．（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB x ⊥轴于点B ，PC y ⊥轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且3PF PE =．求证：PE PF ⊥．（3）若（2）中的点P 坐标为()6,2，点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE PF ⊥时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．24．（10分）如图，已知ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的移动速度都是1/cm s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间的t 秒，解答下列问题．（1）2t s =时，求PBQ △的面积；（2）若PBQ △是直角三角形，求t 的值；（3）用t 表示PBQ △的面积并判断13PBQ ABC S S △△能否成立，若能成立，求t 的值，若不能成立，说明理由．25．（12分）元旦游园活动中，小文，小美，小红三位同学正在搬各自的椅子准备进行“抢凳子”游戏，看见李老师来了，小文立即邀请李老师参加，游戏规则如下：将三位同学的椅子背靠背放在教室中央，四人围着椅子绕圈行走，在行走过程中裁判员随机喊停，听到“停”后四人迅速抢坐在一张椅子上，没有抢坐到椅子的人淘汰，不能进入下一轮游戏.（1）下列事件是必然事件的是 .A ．李老师被淘汰B ．小文抢坐到自己带来的椅子C ．小红抢坐到小亮带来的椅子D ．有两位同学可以进入下一轮游戏（2）如果李老师没有抢坐到任何一张椅子，三位同学都抢坐到了椅子但都没有抢坐到自己带来的椅子（记为事件A ），求出事件A 的概率，请用树状图法或列表法加以说明.26．中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：（1）根据上图填写下表：平均数 中位数 众数 方差 甲班8.5 8.5 乙班 8.5 10 1.6（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质逐一对各命题进行分析即可得出答案.【详解】（1）在矩形ABCD 中，,90AD BC ADC BCD ===∠=∠=︒∵DE 平分ADC ∠∴45ADE CDE ∠=∠=︒∵AH DE ⊥∴ADH 是等腰直角三角形∴AD =∴AH AB CD ==∵DEC 是等腰直角三角形∴DE =∴AD DE =∴67.5AEH ∠=︒∴1804567.567.5AEB ∠=︒-︒-︒=︒∴AEB AEH ∠=∠，故（1）正确；（2）DE =，EH DH DE +=∴EH DH +=，故（2）正确； （3）∵67.5AEH ∠=︒∴22.5EAH ∠=︒∵,45DH CD EDC =∠=︒∴67.5DHC ∠=︒∴1809067.522.5OHA ∠=︒-︒-︒=︒∴22.5OHA OAH ∠=∠=︒∴OA OH =∴67.5AEH OHE ∠=∠=︒∴OH OE OA == ∴12OH AE = ，故（3）正确； （4）∵,AH DH CD CE ==在AFH 和CHE 中,22.545AHF HCE FAH HEC AH CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AFH CHE ≅∴AF EH =在Rt ABE △和Rt AHE 中,9045B AHE BAE HEA AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE AHE ≅∴BE EH =∴()()()()2BC BF BE CE AB AF CD EH CD EH EH -=+--=+--= ,故（4）正确故选D【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2、A【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k 、b 的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可. 【详解】∵二次函数的图象开口向上，对称轴2b x a=-＞0 ∴a>0，b<0, 又∵反比例函数k y x=-的图形位于二、四象限， ∴-k ＜0，∴k ＞0∴函数y=kx-b 的大致图象经过一、二、三象限．故选: A【点睛】本题考查的是利用反比例函数和二次函数的图象确定一次函数的系数，然后根据一次函数的性质确定其大致图象，确定一次函数的系数是解决本题的关键．3、B【分析】如图，根据圆周角定理可得点F 在以BC 为直径的圆上，根据菱形的性质可得∠BCM=60°，根据圆周角定理可得∠BOM=120°，利用弧长公式即可得答案.【详解】如图，取BC 的中点O ，中点M ，连接OM ，BM ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BM ⊥AC ，∴当点E 与A 重合时，点F 与AC 中点M 重合，∵90CFB ∠=︒，∴点F 的运动轨迹是以BC 为直径的圆弧BM ，∵四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，∴60BCM ∠=︒，∴120BOM ∠=︒，∴BM 的长120121803ππ⋅⋅==.故选：B.【点睛】本题考查菱形的性质、圆周角定理、弧长公式及轨迹，根据圆周角定理确定出点F 的轨迹并熟练掌握弧长公式是解题关键.4、D【分析】根据已知分别求出1≤k≤5时，P 点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），当6≤k≤11时，P 点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），通过观察得到点的坐标特点，进而求解．【详解】解：由题可知1≤k≤5时，P 点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），当6≤k≤11时，P点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），……通过以上数据可得，P点的纵坐标5个一组循环，∵2119÷5＝413…4，∴当k＝2119时，P点的纵坐标是4，横坐标是413+1＝414，∴P（414，4），故选：D．【点睛】本题考查点的坐标和探索规律；能够理解题意，通过已知条件探索点的坐标循环规律是解题的关键．5、C【解析】试题分析：如图，延长AC交EF于点G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选C．考点：垂线的定义；平行线的性质；三角形的外角性质6、C【解析】根据相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】∵△EFO∽△GHO∴1226EF FOGH HO==∴EF=2GH=8故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，找到对应边建立比例式是解题的关键．7、C【分析】连接BO，证O是△ABC的内心，证△BAO≌△DAO，得∠D=∠ABO，根据三角形外角性质得∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D，即∠ABC=∠ACO=∠BCO，再推出∠OAD+∠D=180°-138°=42°，得∠BAC+∠ACO=84°，根据三角形内角和定理可得结果.【详解】连接BO，由已知可得因为AO,CO平分∠BAC和∠BCA所以O是△ABC的内心所以∠ABO=∠CBO=12∠ABC因为AD=AB,OA=OA,∠BAO=∠DAO所以△BAO≌△DAO所以∠D=∠ABO所以∠ABC=2∠ABO=2∠D因为OC=CD所以∠D=∠COD所以∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D 所以∠ABC=∠ACO=∠BCO因为∠AOD=138°所以∠OAD+∠D=180°-138°=42°所以2（∠OAD+∠D）=84°即∠BAC+∠ACO=84°所以∠ABC+∠BCO=180°-（∠BAC+∠ACO）=180°-84°=96°所以∠ABC=1296°=48°故选：C【点睛】考核知识点：三角形的内心.利用全等三角形性质和角平分线性质和三角形内外角定理求解是关键.8、B【分析】根据三视图的定义判断即可.【详解】解：所给几何体是由两个长方体上下放置组合而成，所以其主视图也是上下两个长方形组合而成，且上下两个长方形的宽的长度相同.故选B.【点睛】本题考查了三视图知识.9、B【解析】试题分析：对于反比例函数y=，当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.根据题意可得：k=－2.考点：反比例函数的性质10、C【解析】先求出根的判别式b 2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，然后根据一元二次方程的求根公式为242b b ac x a -±-=，求出这个方程的根是2(1)1411（）（）--±--⨯⨯-15±.故选C ． 11、A【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.12、B【分析】根据题意，先列举所有的可能结果，然后选取能组成等腰三角形的结果，根据概率公式即可求出答案．【详解】解：根据题意，在A ，B ，C ，D 四个点中任选三个点，有：△ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD ，共4个三角形；其中是等腰三角形的有：△ACD 、△BCD ，共2个； ∴能够组成等腰三角形的概率为：2142P ==； 故选：B ．【点睛】本题考查了列举法求概率，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是熟练掌握列举法求概率，以及正确得到等腰三角形的个数．二、填空题（每题4分，共24分）13、y=－0.04（x －10）2+4【分析】根据题意设所求抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，由已知条件易知h和k的值，再把点C的坐标代入求出a的值即可；【详解】解：设所求抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，并假设拱桥顶为C，如图所示：∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=-0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=-0.04（x-10）2+4.故答案为y=－0.04（x－10）2+4.【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握并利用待定系数法求抛物线的解析式是解决问题的关键．14、1【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM的长，，而且面积等于小正六边形的面积的32，故三角形PMN的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长，进而得出OG的长，,在Rt△OPG 中，根据勾股定理得OP的长，设OB为x，，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH，OH的长，进而得出PH的长，在Rt△PHO中，根据勾股定理得关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案．【详解】解: 设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM=73而且面积等于小正六边形的面积的32，故三角形PMN 的面积为4cm 2， ∵OG ⊥PM ，且O 是正六边形的中心，∴PG=12 ∴OG=72在Rt △OPG 中，根据勾股定理得 ：OP 2=OG 2+PG 2,即227()2 =OP 2 ∴OP=7cm ，设OB 为x ，∵OH ⊥AB ，且O 是正六边形的中心，∴BH=12X,OH=2， ∴PH=5-12x ，在Rt △PHO 中，根据勾股定理得OP 2=PH 2+OH 2,即2221+5-x =722）（） 解得：x 1=1,x 2=-3（舍）故该圆的半径为1cm ．故答案为1．【点睛】本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力．试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题．15、④⑥ ①②③⑤【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可判断出中心投影；再利用平行光下的投影属于平行投影可判断出平行投影．【详解】解：①②③⑤都是灯光下的投影，属于中心投影；④因为太阳光属于平行光线，所以日晷属于平行投影；⑥中是平行光线下的投影，属于平行投影，故答案为：④⑥；①②③⑤．【点睛】此题主要考查了中心投影和平行投影的性质，解题的关键是根据平行投影和中心投影的区别进行解答即可．16、【解析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD ，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°， 则AB=AD=120m ，又∵∠CAD=30°， ∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA=tan30°=CD AD =解得：m ），故答案为【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan ∠CDA=tan30°=CD AD 是解题关键． 17、1x > .【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，对于分式，分母不能为0，列式计算即可得解．∴10x ->解得：1x >∴实数x 的取值范围是：1x >故答案为：1x >【点睛】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．18、①③④【分析】根据矩形的性质和余角的性质可判断①；延长CB ，FE 交于点G ，根据ASA 可证明△AEF ≌△BEG ，可得AF =BG ，EF =EG ，进一步即可求得AF 、BC 与CF 的关系，S △CEF 与S △EAF +S △CBE 的关系，进而可判断②与③；由BC CD =30BCE ∠=︒，进一步即可根据AAS 证明结论④；问题即得解决． 【详解】解：∵EF EC ⊥，90AEF BEC ∴∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =90°，∴90BEC BCE ∠+∠=︒，AEF BCE ∴∠=∠，所以①正确；延长CB ，FE 交于点G ，如图，在△AEF 和△BEG 中，∵∠FAE =∠GBE =90°，AE=BE ，∠AEF =∠BEG ，∴△AEF ≌△BEG （ASA ），∴AF =BG ，EF =EG ，∴S △CEG =S △CEF ，∵CE ⊥EG ，∴CG =CF ，∴AF +BC =BG +BC =CG =CF ，所以②错误；∴S △CEF =S △CEG =S △BEG +S △CBE =S △EAF +S △CBE ，所以③正确；若32BC CD =，则132311tan 222BC BC BC BCE BE AB CD ====⨯=∠30BCE ∴∠=︒，30DCF ECF ∴∠=∠=︒， 在CEF ∆和CDF ∆中，∵∠CEF =∠D =90°，ECF DCF ∠=∠，CF=CF ，CEF ∴≌()CDF AAS ，所以④正确． 综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数等知识，综合性较强，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）21090018000=-+-W x x ；（2）销售单价应为40元或50元；（3）定价每件45元时，每月销售新产品的利润最大．【分析】（1）根据：月利润=（销售单价-成本价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）把（1）中得到的解析式及配方，利用二次函数的性质解答即可．【详解】（1）2(30)(10600)1090018000W x x x x =--+=-+-，（2）由题意得，210900180002000x x -+-=，解得：140x =，250x =，∴每月想要获得2000元的利润，销售单价应为40元或50元．（3）22109001800010(45)2250W x x x =-+-=--+，∵100a =-<，∴当45x =时，W 有最大值，答：定价每件45元时，每月销售新产品的利润最大．【点睛】本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系：利润=每件利润×销售量的运用，二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解答时求出函数的解析式是关键．20、（1）A （﹣3，0），B （1，0）；（2）M （4，7）；﹣2≤m ≤4；（3）点P 的坐标为P （﹣1，4）或（﹣1，2677）． 【分析】（1）y ＝a （x +3）（x ﹣1）,令y ＝0,则x ＝1或﹣3,即可求解;（2）分∠MAO =45°,∠M′AO =45°两种情况,分别求解即可;（3）分当BD 是矩形的边, BD 是矩形的边两种情况,分别求解即可．【详解】（1）y ＝a （x +3）（x ﹣1）,令y ＝0,则x ＝1或﹣3,故点A 、B 的坐标分别为：（﹣3，0）,（1，0）;（2）抛物线的表达式为:y ＝13（x +3）（x ﹣1）①, 当∠MAO ＝45°时,如图所示,则直线AM 的表达式为:y ＝x ②,联立①②并解得:m ＝x ＝4或﹣3（舍去﹣3）,故点M （4,7）;②∠M ′AO ＝45°时,同理可得:点M （﹣2,﹣1）;故:﹣2≤m ≤4;（3）①当BD 是矩形的对角线时,如图2所示,过点Q作x轴的平行线EF,过点B作BE⊥EF,过点D作DF⊥EF,抛物线的表达式为:y＝ax2+2ax﹣3a,函数的对称轴为:x＝1,抛物线点A、B的坐标分别为:（﹣3,0）、（1，0）,则点P的横坐标为:1,OB＝1, 而CD＝4BC,则点D的横坐标为：﹣4,故点D（﹣4,5a）,即HD＝5a,线段BD的中点K的横坐标为:41322-+=-,则点Q的横坐标为:﹣2,则点Q（﹣2,﹣3a）,则HF＝BE＝3a,∵∠DQF+∠BQE＝90°,∠BQE+∠QBE＝90°,∴∠QBE＝∠DQF,∴△DFQ∽△QEB,则DF FQQE BE=,8233aa=,解得:a＝12±（舍去负值）,同理△PGB≌△DFQ（AAS）,∴PG＝DF＝8a＝4,故点P（﹣1,4）;②如图3,当BD是矩形的边时,作DI⊥x轴,QN⊥x轴,过点P作PL⊥DI于点L, 同理△PLD≌△BNQ（AAS）,∴BN＝PL＝3,∴点Q的横坐标为4,则点Q（4,21a）,则QN＝DL＝21a,同理△PLD∽△DIB,∴PL LDDI BI=,即32155aa=,解得:a＝77±（舍去负值），LI＝26a＝2677,故点P（﹣1,2677）;综上,点P的坐标为:P（﹣1,4）或（﹣1, 2677）．【点睛】本题主要考查的是二次函数综合运用,涉及到矩形的性质、图形的全等和相似等,其中（2）、（3）,要注意分类求解,避免遗漏．21、（1）108度；（2）1 6 .【分析】（1）先由A类别户数及其所占百分比求得总户数，再由各类别户数之和等于总户数求出B类别户数，继而用360°乘以B类别户数占总人数的比例即可得；（2）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【详解】（1）被调查的总户数为9÷15%＝60（户），∴B类别户数为60−（9＋21＋12）＝18（户），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×1860＝108°；故答案为：108°；（2）根据题意画图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种结果，所以恰好选中甲和丙的概率为21 126=．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．22、毎件商品的售价为32元【分析】设毎件商品的上涨x元，根据一件的利润×总的件数=总利润，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去．【详解】解：设毎件商品的上涨x 元，根据题意得：（30﹣20+x ）（180﹣10x ）=1920，解得：x 1=2，x 2=6（不合题意舍去），则毎件商品的售价为：30+2=32（元），答：毎件商品的售价为32元时，每个月的销售利润将达到1920元．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；注意本题先设每件商品的上涨的钱数更容易做．23、（1）234y x x =--；（2）证明见解析；（3）存在，点Q 的坐标为()2,6-或()2,6-. 【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是32x =，列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3n ，n ），则PC=3n ，PB=n ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设(),0E t ，然后用含t 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x X x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含t 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得t 的值即可．【详解】解：（1）当0y =时，14033x -=， 解得4x =，即()4,0A ，抛物线过点A ，对称轴是32x =， 得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为234y x x =--； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为13y x =. ∵点P 是直线l 上任意一点，∴()3,P n n ，则3PC n =，PB n =.又∵3PF PE =，∴PC PB PF PE=. ∵PB x ⊥轴，PC y ⊥轴∴cos cos FPC EPB ∠=∠∴FPC EPB ∠=∠∵90CPE EPB ∠+∠=︒，∴90FPC CPE ∠+∠=︒，∴FP PE ⊥.（3）设(),0E t ，点E 在点B 的左侧时，如图所示，则6BE t =-.∵3183CF BE t ==-，∴203OF t =-.∴()0,203F t -.∵四边形PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴60x Q t +=+，22030y Q t +=-+，∴6x Q t =-，183y Q t =-.将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()21836364t t t -=----，解得：4t =或8t =（舍去）.∴()2,6Q -.当点E 在点B 的右侧时，如下图所示，则6BE t =-.∵3318CF BE t ==-，∴320OF t =-.∴()0,20F t -.∵四边形PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴60x Q t +=+，22030y Q t +=-+，∴6x Q t =-，183y Q t =-.将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()21836364t t t -=----，解得：8t =或4t =（舍去）.∴()2,6Q -.综上所述，点Q 的坐标为()2,6-或()2,6-.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含t 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．24、（123cm ；（2）43t =或83t =；（3）不能成立，理由见解析 【分析】（1）根据题意利用等边三角形的性质，结合解直角三角形进行分析计算即可；（2）由题意分当90BPQ ∠=︒时以及当BQP 90∠=︒两种情况，建立方程并分别求出t 值即可；（3）根据题意用t 表示PBQ △的面积，并利用解直角三角形的知识求出,PBQ ABC S S △△，根据13PBQ ABC S S =△△得到方程，进而判断t 值是否存在即可.【详解】解：（1）当2t s =时，由题意可知2AP PB BQ cm ===，∵ABC 是边长为4cm 的等边三角形，∴60,B BP BQ ︒∠==，∴PBQ △是等边三角形，所以221sin 60224PBQ S PB BQ ︒=⋅=⨯=△. （2）①当90BPQ ∠=︒时，60B ∠=︒ ，30BQP =∴∠︒，4PB t =-，BQ t =，由2BQ BP =得82(4)3t t t =-⇒=. ②当BQP 90∠=︒， 60B ∠=︒ ，30BPQ ∠=︒∴，4PB t =-，BQ t =，∴2BP BQ =，得42t t -=， 解得：43t = ∴当43t =s 或83t =s 时，PBQ △是直角三角形. （3）4PB t =-，BQ t =，∴21sin 6024PBQ S BQ PB ︒=⋅⋅=-△，∴11sin 604422ABC S BC AC ︒⋅==⋅⨯⨯=由13PBQ ABCS S=△△即23134343t t-=⨯得2312160t t-+=，2124316480=-⨯⨯=-<△，即t值无解，13PBQ ABCS S∴=△△不能成立.【点睛】本题考查等边三角形相关的动点问题，熟练掌握等边三角形的性质结合一元二次方程和特殊三角函数值以及运用化形为数的思维进行分析是解题的关键.25、（1）D；（2）图见解析，1 3【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解可得；（2）根据题意画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）A、王老师被淘汰是随机事件；B、小明抢坐到自己带来的椅子是随机事件；C、小红抢坐到小亮带来的椅子是随机事件；D、共有3张椅子，四人中只有1位老师，所以一定有2位同学能进入下一轮游戏；故是必然事件.故选：D；（2）解：设小文，小美，小红三位同学带来的椅子依次排列为a、b、c，画树状图如下由树状图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4种、第5种结果符合题意，∴P（A）＝21 63 =.【点睛】此题考查了概率和用树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26、（1）8.50.78，，；（2）答案见解析【分析】（1）根据“中位数”、“众数”的定义及“方差”的计算公式结合统计图中的数据进行分析计算即可；（2）按照题中要求，分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行说明即可.【详解】解：（1）甲的众数为：8.5，方差为：(222221[(8.58.5)(7.58.5)(88.5)(8.58.5)108.5)5⎤-+-+-+-+-⎦ 0.7=，乙的中位数是：8；故答案为8.50.78，，；（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．【点睛】理解“平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法”是正确解答本题的关键.。

2024-2025学年江苏省苏州市吴江区松陵一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程是一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. x2−y+1=0C. x2=0D. 1x2+x=22.某城市3月份某星期7天的最低气温如下(单位℃)：16，20，18，16，18，18，这组数据的中位数、众数分别是( )A. 16，16B. 16，20C. 18，20D. 18，183.一元二次方程x2−6x−1=0配方后可变形为( )A. (x+3)2=10B. (x+3)2=8C. (x−3)2=10D. (x−3)2=84.将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是( )A. y=(x−3)2+4B. y=(x+3)2+4C. y=(x−3)2−4D. y=(x+3)2−45.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为( )A. 12B. 13C. 16D. 156.函数y=ax2−a与y=ax−a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )A. B.C. D.7.某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场.设共有x个班参赛，根据题意可列方程为( )A. x(x−1)=28B. x(x+1)2=28 C. x(x−1)2=28 D. x(x+1)=288.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC长与正方形MNPQ的边长均为2cm，CA与MN在直线l上．开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ重叠部分(图中阴影部分)的面积为ycm2，MA的长度为x cm，则y与x之间的函数关系大致是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区胥江中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）1.下列方程是一元二次方程的是( )A. ax2+bx+c=0B. x2−y+1=0C. x2=0D. 1+x=2x22.用配方法解一元二次方程x2−8x+7=0，方程可变形为( )A. (x+4)2=9B. (x−4)2=9C. (x−8)2=16D. (x+8)2=573.二次函数y=2x2−3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点4.已知M=3x2−x+3，N=2x2+3x−1，则M、N的大小关系是( )A. M≥NB. M>NC. M≤ND. M<N5.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182C. 50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+2x)2=1826.一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B.C. D.7.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )A. a=cB. a=bC. b=cD. a=b=cx2上，8.如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2.则菱形OABC的面积是( )A. 2√2B. 2√3C. 4D. 4√39.(1)若(m−2)x2−2x+3=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______.(2)一元二次方程(m+1)x2+x+m2−1=0有一个根为0，则m=______.10.抛物线y=(2m−3)x m2−6开ロ向上，则m=______.11.若A(1,y1)，B(−1,y2)，C(4,y3)在抛物线y=−(x−3)2上，则y1，y2，y3的大小关系是______.12.关于x的方程(m+1)x2+3x−1=0有两个实数根，则m的取值范围是______.13.已知方程x2−3x−1=0的两个根是x1，x2，则(x1−1)(x2−1)=______，x1−x2=______.14.已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两个根，则m的值是______.15.某单位准备将院内一块长30米，宽20米的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为______米．(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形))，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的16.已知多项式A=x2−x+(3−k2取值范围是______.17.按要求解下列方程：(1)(2x+3)2−5=0；(2)2x2+1=3x(用配方法)；(3)(x−4)2=4x(4−x)；(4)2(x2−1)=7x；(5)(2x−3)2+2=3(2x−3)；(6)2x2−5x−1=0.18.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−4=0(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．x2−2x+3.19.已知二次函数y=−12(1)将该二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)指出该二次函数的图象的顶点坐标；(3)当−3<x<0时，直接写出y的取值范围．20.某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均的减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：(1)当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；(2)当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；(3)若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．21.已知抛物线y=−(x+2)2顶点为点，与y轴交于点B，在抛物线上有一点P，使△ABP的面积为8，求点P的坐标．22.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0.(Ⅰ)证明：不论m为何值时，方程总有实数根．(Ⅰ)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．23.如图，在矩形ABCD中，设AB=a，AD=b且a>b.(1)若a，b为方程x2−kx+k+4=0的两根，且a，b满足a2+b2=40，求k的值．(2)在(1)的条件下，P为CD上一点(异于C、D两点)，P在什么位置时，△APB为直角三角形？(3)P为CD上一动点(异于C、D两点)，当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、方程二次项系数可能为0，故错误；B、方程含有两个未知数，故错误；C、符合一元二次方程的定义，正确；D、不是整式方程，故错误．故选C.本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.2.【答案】B【解析】解：x2−8x+7=0，x2−8x=−7，x2−8x+16=−7+16，(x−4)2=9.故选：B.先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．本题考查了运用配方法解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解答时熟练配方法的步骤是关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴为直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a时，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小．根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2−3=0解的情况对D进行判断．【解答】解：A.a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，所以A选项错误；B.当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点(2,3)，所以B选项错误；C.抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D.当y=0时，2x2−3=0，△=02−4×2×(−3)=24>0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以D选项正确．故选D.4.【答案】A【解析】解：M=3x2−x+3，N=2x2+3x−1，∵M−N=(3x2−x+3)−(2x2+3x−1)=3x2−x+3−2x2−3x+1=x2−4x+ 4=(x−2)2≥0，∴M≥N.故选：A.用M与N作差，然后进行判断即可．本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解答题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182.故选：B.6.【答案】C【解析】解：在A中，由一次函数图象可知，a>0，b>0，由二次函数图象可知，a<0，b<0，故选项A错误；在B中，由一次函数图象可知，a>0，b>0，由二次函数图象可知，a>0，b<0，故选项B错误；在C中，由一次函数图象可知，a<0，b<0，由二次函数图象可知，a<0，b<0，故选项C正确；在D中，由一次函数图象可知，a<0，b>0，由二次函数图象可知，a<0，b<0，故选项D错误；故选C.根据一次函数和二次函数的性质可以判断a、b的正负，从而可以解答本题．本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．7.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，∴a=c.故选：A.因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，化简即可得到a与c的关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关键．根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案．【解答】x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2，解：∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=13∴由题意可得：A，C点纵坐标为1，x2，故1=13解得：x=±√3，故A(√3,1)，C(−√3,1)，×2×√3)=2√3.故菱形OABC的面积是：2×(12故选：B.9.【答案】m≠21【解析】解：(1)∵方程(m−2)x2−2x+3=0是关于x的一元二次方程，∴m−2≠0，解得m≠2.故答案为：m≠2；(2)将x=0代入(m+1)x2+x+m2−1=0，∴m2−1=0，∴m=1或m=−1，∵m+1≠0，∴m=1，故答案为：1.(1)直接根据一元二次方程的定义进行解答即可；(2)将x=0代入方程即可求出m的值．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x=0代入(m+1)x2+x+m2−1=0，本题属于基础题型．10.【答案】2√2【解析】解：因为抛物线y=(2m−3)x m2−6开ロ向上，所以2m−3>0，m2−6=2，，m2=8，所以m>32所以m=√8=2√2.故答案为：2√2.根据二次函数定义和性质解答，可得答案．本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义和性质，函数y=ax2+bx+ c(a≠0)是二次函数，要注意y=ax2+bx+c是二次函数，必须a不等于零．11.【答案】y2<y1<y3【解析】解：抛物线y=−(x−3)2的开口向下，对称轴是直线x=3，当x<3时，y随x的增大而增大，∵点A(−1,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是抛物线y=−(x−3)2上的三点，∴点C关于对称轴x=3的对称点是(2,y3)，∵−1<1<2，∴y2<y1<y3，故答案为：y2<y1<y3.先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．12.【答案】m≥−13且m≠−14【解析】解：∵关于x的方程(m+1)x2+3x−1=0有两个实数根，∴△=9+4(m+1)≥0，且m+1≠0，解得：m≥−13且m≠−1.4且m≠−1.故答案为：m≥−134根据方程有两个实数根，得到此方程为一元二次方程且根的判别式大于等于0，确定出m的范围即可．此题考查了根的判别式，弄清一元二次方程解的情况与根的判别式的关系是解本题的关键．13.【答案】−3±√13【解析】解：∵方程x2−3x−1=0的两个根是x1，x2，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=−1−3+1=−3，x1−x2=±√(x1+x2)2−4x1x2=±√9+4=±√13.故答案为：−3，±√13.可以直接利用根与系数的关系，计算两根之积和两根之和，进而即可求得(x1−1)(x2−1)和x1−x2的值．，本题考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−bax1x2=c得出是解题关键．a14.【答案】34【解析】解：当a=4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b=8，而4+4≠0，不符合题意；当b=4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，∴4+a=12，而4+4=8，不符合题意；当a=b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，∴12=a+b，解得a=b=6，∴m+2=36，∴m=34，故m的值为34，故答案为34.讨论：当a=4时，则4+b=12，解得b=8，此时不符合三角形三边的关系；同理可得当b=4时，不符合三角形三边的关系；当a=b时，利用根与系数的关系得到12=a+ b，解得a=b=6，则m+2=36，从而得到m的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．15.【答案】1【解析】解：设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为(30−2x)米、宽为(20−x)米的矩形的面积相等，依题意得：(30−2x)(20−x)=532，整理得：x²−35x+34=0，解得：x1=1，x2=34.当x=1时，30−2x=30−2×1=30−2=28>0，符合题意；当x=34时，30−2x=30−2×34=30−68=−38<0，不合题意，舍去．故答案为：1.设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为(30−2x)米、宽为(20−x)米的矩形的面积相等，根据种植花草的面积为532平方米，即可得出关于x的一元二次方程，取其符合题意的值即可得出小道进出口的宽度．本题考查了一元二次方程的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】k≤112【解析】解：∵A=x2−x+(3−k2)=x2−x+14−14+(3−k2)=(x−12)2−14+(3−k2)，若x取任何实数，A的值都不是负数，∴−14+(3−k2)≥0，解得：k≤112；故答案为：k≤112.先把原式配方，再根据A的值都不是负数，得到−14+(3−k2)≥0，解不等式即可．本题考查了配方法，关键把原式进行配方．17.【答案】解：(1)(2x +3)2−5=0，(2x +3)2=5， 2x +3=±√5，2x +3=√5或2x +3=−√5， x 1=√5−32，x 2=−√5−32；(2)2x 2+1=3x ， x 2+12=32x ，x 2−32x =−12，x 2−32x +(34)2=−12+(34)2，(x −34)2=116，x −34=±14，x −34=14或x −34=−14，x 1=1，x 2=12；(3)(x −4)2=4x(4−x)， (x −4)2−4x(4−x)=0， (x −4)2+4x(x −4)=0， (x −4)(x −4+4x)=0， (x −4)(5x −4)=0， x −4=0或5x −4=0， x 1=4，x 2=45； (4)2(x 2−1)=7x ， 2x 2−2−7x =0， 2x 2−7x −2=0，Δ=(−7)2−4×2×(−2) =49+16=65>0， ∴x =7±√654， x 1=7+√654，x 2=7−√654；(5)(2x −3)2+2=3(2x −3)， (2x −3)2−3(2x −3)+2=0， (2x −3−1)(2x −3−2)=0， (2x −4)(2x −5)=0， 2x −4=0或2x −5=0， x 1=2，x 2=2.5；(6)2x 2−5x −1=0，Δ=(−5)2−4×2×(−1)=25+8=33>0，∴x =5±√334， ∴x 1=5+√334，x 2=5−√334.【解析】(1)利用解一元二次方程-直接开平方法法，进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；(3)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；(4)利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；(5)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；(6)利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答．本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵方程x 2+(2m +1)x +m 2−4=0有两个不相等的实数根， ∴△=(2m +1)2−4(m 2−4)=4m +17>0，解得：m >−174.∴当m >−174时，方程有两个不相等的实数根． (2)设方程的两根分别为a 、b ，根据题意得：a +b =−2m −1，ab =m 2−4.∵2a 、2b 为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a 2+b 2=(a +b)2−2ab =(−2m −1)2−2(m 2−4)=2m 2+4m +9=52=25， 解得：m =−4或m =2.∵a >0，b >0，∴a +b =−2m −1>0，∴m =−4.若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m 的值为−4.【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m +17>0，解之即可得出结论；(2)设方程的两根分别为a 、b ，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据a +b =−2m −1>0，即可确定m 的值．本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m +17>0；(2)根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m 的一元二次方程．19.【答案】解：(1)y =−12x 2−2x +3=−12(x +2)2+5.(2)由y =−12(x +2)2+5可知顶点坐标为(−2,5).(3)∵a =−12，∴抛物线开口向下，∵顶点为(−2,5)，∴对称轴为直线x =−2.∴当x <−2时，y 随x 的增大而增大，当x >−2时，y 随x 的增大而减小，当x =−2时，y 取最大值5，∵−3<x <0，当x =−3时，y =92，当x =0时，y =3<92， ∴当−3<x <0时，3<y ≤5.【解析】(1)用配方法化成顶点式；(2)由顶点式直接写出顶点坐标；(3)结合函数的开口方向、增减性求y 的取值范围．本题考查了二次函数的顶点式、顶点坐标、增减性，通过开口方向和对称轴判断二次函数在−3<x <0时的增减性是解题的关键．20.【答案】解：(1)由题意得：当x >40时，每台学习机的售价为(单位：元)： 800−5(x −40)=−5x +1000；(2)设图中直线解析式为：y =kx +b ，把(0,700)和(50,600)代入得：{50k +b =600b =700， 解得：{k =−2b =700， 直线解析式为：y =−2x +700，当x =60时，进价为：y =−2×60+700=580，售价为：800−5×(60−40)=700， 则每台学习机可以获利：700−580=120(元)；(3)当x >40时，每台学习机的利润是：(−5x +1000)−(−2x +700)=−3x +300， 则x(−3x +300)=4800，解得：x 1=80，x 2=20(舍)，当x ≤40时，每台学习机的利润是：800−(−2x +700)=2x +100，则x(2x +100)=4800，解得：x 1=30，x 2=−80(舍)，答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．【解析】(1)根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；(2)先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x =60时的进价和售价，可得利润；(3)分当x >40和当x ≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可．此题考查了一元二次方程和一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．21.【答案】解：由y =−(x +2)2得A(−2,0)，B(0,−4)，∴直线AB 解析式为y =−2x −4，在x 轴上A 点左边取一点Q ，使△ABQ 的面积为8，∴12×AQ ×OB =8， ∴AQ =4，∴Q(−6,0)，过Q 作AB 的平行线交抛物线于P ，此时△ABP 的面积为8，∵PQ 的解析式为y =−2x −12，∴解{y =−(x +2)2y =−2x −12得P 的坐标为(−4,−4)或(2,−16). 【解析】先求直线AB 解析式为y =−2x −4，再在x 轴上A 点左边取一点Q ，使△ABQ 的面积为8，得Q(−6,0)，过Q 作AB 的平行线交抛物线于P ，此时△ABP 的面积为8，联立直线PQ 和抛物线，即可求出P 的坐标．本题考查了二次函数的性质，关键是根据面积求坐标．22.【答案】(Ⅰ)证明：△=(m +2)2−8m=m 2−4m +4=(m −2)2，∵不论m 为不为0的何值时，(m −2)2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；(Ⅰ)解方程得，x =m+2±(m−2)2m ，x 1=2m ，x 2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根，∴m =1或2，m =2不合题意，∴m =1.【解析】(Ⅰ)求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； (Ⅰ)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵a ，b 为方程x 2−kx +k +4=0的两根，∴a +b =k ，ab =k +4，∵a2+b2=40，∴(a+b)2−2ab=40，即k2−2(k+4)=40，解得：k=8，或k=−6(不合题意，舍去)，∴k=8；(2)如图所示：设PD=x，∵k=8，∴方程为x2−8x+12=0，解得：x=6，或x=8，∴AB=a=6，AD=b=2，∴CP=6−x，∵∠APB=90∘，∴∠APD+∠BPC=90∘，∵∠BPC+∠PBC=90∘，∴∠APD=∠PBC，∵∠D=∠C=90∘，∴△ADP∽△PCB，∴ADPC =PDBC，即26−x=x2，解得：x=3±√5，即PD=3±√5时，△APB为直角三角形．(3)当△APB为等腰直角三角形时，即PA=PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，∴∠PAB=∠PBA=45∘，∴∠DAP=∠PBC=45∘，∴△ADP与△PBC是等腰直角三角形，∴CD=2AD，即a=2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．【解析】(1)由一元二次方程的根与系数的关系得出a+b=k，ab=k+4，由已知条件得出(a+b)2−2ab=40，得出k的方程，解方程即可；(2)设PD=x，求出原方程的解得出AB=6，AD=2，则CP=6−x，证出△ADP∽△PCB，得出对应边成比例，解方程求出PD即可；(3)当△APB为等腰直角三角形时，即PA=PB时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个，根据等腰直角三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=45∘，于是推出△ADP与△PBC是等腰直角三角形，于是得到CD=2AD，即a=2b时，使△ABP为直角三角形的P点只有一个．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、矩形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由一元二次方程的根与系数的关系求出a、b是解决问题的关键．。