中考数学 第三编 综合专题闯关篇 题型二 解答题重难点突破 专题一 猜想证明与探究试题

专题二函数图象的判定1．函数图象的判定是贵阳常考内容，近5年共考查4次，均为由题干信息判定函数图象，题型为选择题，分值一样为3分．2．考查类型：(1)与实际问题结合；(2)与几何图形结合；(3)与几何图形中动点结合．依照贵阳5年考查趋势能够看出，此内容仍是重点考查内容，且此类问题多为判定函数图象，也可能涉及依照函数图象判定结论正误．,中考重难点冲破)与实际问题结合【经典导例】【例1】(2015盘锦中考)已知，A，B两地相距120 km，甲骑自行车以20 km/h的速度由起点A前去终点B，乙骑摩托车以40 km/h的速度由起点B前去终点A，两人同时动身，各自抵达终点后停止，设两人之间的距离为s(km)，甲行驶的时刻为t(h)，则下图中正确反映s与t之间函数关系式的是( ),A) ,B),C) ,D)【解析】A，B两地相距120 km，甲的速度为每小时20 km，乙的速度为每小时40 km，因此两人相遇的时刻是2 h，甲走完全程的时刻为6 h，乙走完全程的时刻为3 h，综上所述，因为横坐标为甲动身时刻，纵坐标为两人之间的距离，B选项符合题意．【学生解答】B1．(2015漳州中考)均匀地向如下左图的容器中注满水，能反映在注水进程中水面高度h随时刻t转变的函数图象是( A )) ,A) ,B),C) ,D)2．(2016宜宾中考)如图是甲、乙两车在某时段速度随时刻转变的图象，下列结论错误的是( C )A ．乙前4 s 行驶的路程为48 mB ．在0到8 s 内甲的速度每秒增加4 m /sC ．两车到第3 s 时行驶的路程相等D ．在4至8 s 内甲的速度都大于乙的速度3．(2015南宁中考)“黄金1号”玉米种子的价钱为5元/千克，若是一次购买2千克以上的种子，超过2千克部份的种子价钱打6折，设购买种子数量为x 千克，付款金额为y 元，则y 与x 的函数关系的图象大致是( B ),A ),B ),C ),D )4．(2016安徽中考)一段笔直的公路AC 长20 km ，途中有一处休息点B ，AB 长15 km .甲、乙两名长跑爱好者同时从点A 动身，甲以15 km /h 的速度匀速跑至点B ，原地休息半小时后，再以10 km /h 的速度匀速跑至终点C ；乙以12 km /h 的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人动身后2 h 内运动路程y(km )与时刻x(h )函数关系的图象是( A ),A ) ,B ),C ),D )与几何图形的结合【经典导例】【例2】(2016贵阳模拟)已知：在△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高h ＝5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F.点D 为BC 边上一点，连接DE ，DF.设点E 到BC 的距离为x ，则△EDF 的面积S 关于x 的函数图象大致为( ),A ),B ),C ),D )【思路点拨】本题能够先求得△AEF ∽△ABC ，得出比例关系式，用x 表示EF ，由三角形的面积公式得出S 与x 的函数关系式，再由函数关系式确信图象即可．【解析】过点A 作AN ⊥BC 于点N ，交EF 于点M ，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则有MN ＝EG ＝x ，AM ＝5－x.∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，AN AM ＝BC EF ，即55－x ＝10EF ，求得EF ＝2(5－x)，∴S ＝21EF ·MN ＝21×2(5－x)x ＝－x 2＋5x(0≤x ≤5)，由此可知，函数图象是开口向下，与x 轴交于(0，0)点与(5，0)点的抛物线．【学生解答】D5．(2015广东中考)如图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 别离是AB ，BC ，CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是( D )6．(2016金华中考)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB ＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致能够表示为( D )与几何图形中的动点结合【经典导例】【例3】(2016烟台中考)如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点通过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( ),A),B),C),D)【解析】点P沿A→D运动，△BAP的面积慢慢变大，又∵△ABP的底AB不变，AB上的高增加，∴转变图象为随着x的增大而增大的线段，排除C、D；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积慢慢减小．排除B，故选A.【学生解答】A7．(2016贵阳模拟)如图，点P是等边△ABC边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B，再沿BC边运动到C为止，设运动时刻为t，△ACP的面积为S，则S与t的大致图象是( C )8．(2016西宁中考)如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( A )9．(2016衢州中考)如图，在△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝30，D是AB上的一点(不与A，B重合)，DE⊥BC，垂足是点E，设BD＝x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是( D )10．(2016广东中考)如图，在正方形ABCD中，点P从点A动身，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图象大致是( C ),A) ,B),C) ,D)11．(2015黔南中考)如图(1)，在矩形MNPQ中，动点R从点N动身，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，若是y关于x的函数图象如图(2)所示，则当x＝9时，点R应运动到( D )A．M处B．N处C．P处D．Q处。

题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究专题命题规律1．猜想与证明问题河北中考近8年共考查8次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为9－14分．2．考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为9分；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在2011年考查过一次，分值为9分；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在2010年和2009年考查过，分值为10分，在2013年考查过，分值为11分；(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014年考查过，分值为11分；与图形的折叠、平移有关，2015年考查，分值14分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在2008年考查过，分值为10分.2016年在此题型上来考查．2017预测预计2017年河北中考很有可能考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题．,中考重难点突破)与图形旋转有关的证明【经典导例】【例1】(2010河北中考)在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.(1)如图①，若AO ＝OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；(2)将图①中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图②，其中AO ＝OB.求证：AC ＝BD ，AC ⊥BD ； (3)将图②中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图③，求BDAC的值．【学生解答】(1)AO ＝BD ，AO ⊥BD ；(2)如图②，过点B 作BE∥CA 交DO 于点E ，∴∠ACO ＝∠BEO.又∵AO＝OB ，∠AOC ＝∠BOE，∴△AOC ≌△BOE ，∴AC ＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO ＝∠BEO＝135°.∴∠DEB ＝45°，∵∠2＝45°，∴BE ＝BD ，∠EBD ＝90°.∴AC ＝BD.延长AC 交DB 的延长线于点F ，∵BE ∥AC ，∴∠AFD ＝90°，∴AC ⊥BD ；(3)如图③，过点B 作BE∥CA 交DO 于点E ，∴∠BEO ＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE ∽△AOC.∴BEAC ＝BOAO .又∵OB＝kAO ，由(2)的方法易得BE ＝BD ，∴BDAC＝k.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者对应成比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．1．(2015重庆中考)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF ＝120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC(或AC 的延长线)相交于点F.(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为点F ，AB ＝4，求BE 的长；(2)如图2，将(1)中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F.求证：BE ＋CF ＝12AB ；(3)如图3，将(2)中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN⊥AC 于点N ，若DN ＝FN ，求证：BE ＋CF ＝3(BE －CF)．解：(1)由四边形AEDF 的内角和为360°，可知DE⊥AB，故BE ＝1；(2)取AB 的中点G ，连接DG.易证：DG 为△ABC 的中位线，故DG ＝DC ，∠BGD ＝∠C ＝60°，又四边形AEDF 的对角互补，故∠GED ＝∠DFC.∴△DEG≌△DFC，故EG ＝CF.∴BE＋CF ＝BE ＋EG ＝BG ＝12AB ；(3)取AB 的中点G ，连接DG ，同(2)，易证△DEG≌△DFC，故EG ＝CF ，故BE －CF ＝BE －EG ＝BG ＝12AB.设CN ＝x ，在Rt △DCN 中，CD ＝2x ，DN ＝3x ，在Rt △DFN 中，NF ＝DN ＝3x ，故EG ＝CF ＝(3－1)x.BE ＝BG ＋EG ＝DC ＋CF ＝2x ＋(3－1)x ＝(3＋1)x.故BE ＋CF ＝(3＋1)x ＋(3－1)x ＝23x.3(BE －CF)＝3[(3＋1)x －(3－1)x]＝23x.故BE ＋CF ＝3(BE －CF)．2．(2016河北中考)如图，△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN ︵分别交 OA ，OB 于点M ，N.(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP′.求证：AP ＝BP′； (2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN ︵上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．解：(1) ∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP ′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP ，∴∠AOP ＝∠BOP′，又∵OA＝OB ，OP ＝OP′，在△AOP 和△BOP′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠AOP ＝∠BOP′，OP ＝OP′.∴△AOP ≌△BOP ′(SAS ), ∴AP ＝BP′；(2)如图1，连接OT ，过点T 作TH⊥OA 于点H, ∵AT 与MN ︵相切，∴∠ATO ＝90°，∴AT ＝OA 2－OT 2＝102－62＝8，∵12×OA ×TH ＝12×AT ×OT, 即12×10×TH ＝12×8×6，即TH ＝8×610，∴T ＝245，即为所求的距离；(3)如图2，当OQ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大．理由：∵OQ⊥OA, ∴QO 是△AOQ 中最长的高，则△AOQ 的面积最大， ∴∠BOQ ＝∠AOQ＋∠AOB＝90°＋80°＝170°， 当Q 点在优弧 MN ︵右侧上，∵OQ ⊥OA, ∴QO 是△AOQ 中最长的高，则△AOQ 的面积最大， ∴∠BOQ ＝∠AOQ－∠AOB＝90°－80°＝10°， 综上所述：当∠BOQ 的度数为10°或170°时，△AOQ 的面积最大.3．(2016廊坊二模)如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG.(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系是________；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转α(0°＜α≤360°)． ①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论； ②若BC ＝DE ＝4，当AE 取最大值时，求AF 的值．解：图①(1)AE ＝BG ；(2)①成立，BG ＝AE.如图①，连接AD.∵在Rt △BAC 中，AB ＝AC ，D 为斜边BC 的中点，∴AD ＝BD ，AD ⊥BC ，∴∠ADG ＋∠BDG＝90°.∵四边形EFGD 为正方形，∴DE ＝DG ，且∠GDE＝90°，∴∠ADG ＋∠ADE＝90°，∴∠BDG ＝∠ADE.在△BDG 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG＝∠ADE，GD ＝ED.∴△BDG ≌△ADE(SAS )，∴GD ＝AE ；图②②∵BG ＝AE ，∴当BG 取得最大值时AE 取得最大值，如图②，当旋转面为270°时，BG ＝AE.∵BC＝DE ＝4，D 为BC 的中点，四边形DEFG 为正方形，∴BD ＝CD ＝12BC ＝2，EF ＝DG ＝DE ＝4，∴BG ＝BD ＋GD ＝2＋4＝6，∴AE ＝BG ＝6，∴AF ＝62＋42＝213.4．(2016沧州八中模拟)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C＝90°， ∠B ＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是________． (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D 是其角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE ∥AB 交BC 于点E(如图④)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE, 请直接写出相应的BF 的长．解：(1)①DE∥AC；②S 1＝S 2；(2)如图：∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD.∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM ＋∠BCN ＝180°－90°＝90°，∴∠ACN ＝∠DCM，在△ACN 和△DCM中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN ＝∠DCM，∠N ＝∠CMD＝90°，AC ＝CD ，∴△ACN ≌△DCM(AAS )，∴AN ＝DM ，又BC ＝CE ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的两个三角形面积相等)，即S 1＝S 2；(3)BF ＝433或833.5．(2016岳阳中考)已知直线m∥n，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m 、n 不垂直，点P 为线段CD 的中点．(1)操作发现：直线l⊥m，l ⊥n ，垂足分别为A ，B ，当点A 与点C 重合时(如图①所示)，连接PB ，请直接写出线段PA 与PB 的数量关系：________；(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线l 向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得∠APB＝90°(如图③所示)，若两平行线m 、n 之间的距离为2k.求证：PA·PB＝k·AB.解：(1)PA＝PB；(2)成立．证明略；(3)证明略．与图形的相似、位似有关的证明【经典导例】【例2】(2014河北中考)如图①，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．(1)AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________；(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图②和图③.①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD.②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)．【解析】(1)由△ABE≌△DCE 可得，AE ＝DE.由AB ＝BE ＝EC ＝CD ，可知∠AEB＝∠DEC＝45°，所以∠AED＝90°，故AE⊥ED；(2)由△HGF≌△DHC 可证GH ＝HD ，GH ⊥HD ；由BC ＝2，可知BE ＝EC ＝1，又∵EF＝k ，∴当CH ＝k 时可得CH ＝FG ＝k ，从而证明△HFG≌△DCH，得到GH ＝HD ，GH ⊥HD.【学生解答】(1)AE ＝ED ，AE ⊥ED ；(2)①由题意，∠B ＝∠C＝90°，AB ＝BE ＝EC ＝DC.∵△EGF 与△EAB 位似且相似比是1∶2，∴∠GFE ＝∠B＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB.∴∠GFE ＝∠C.∵EH＝HC ＝12EC.∴GF ＝HC ，FH ＝FE＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD.∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD ，∠GHF ＝∠HDC.又∵∠HDC＋∠DHC＝90°，∴∠GHF ＋∠DHC＝90°，∴∠GHD ＝90°，∴GH ⊥HD ；②CH 的长为k.∵GH＝HD ，GH ⊥HD ，∴∠FHG ＋∠DHC＝90°，∵∠FHG ＋∠FGH＝90°，∴∠FGH ＝∠CHD，∴⎩⎪⎨⎪⎧DH ＝GH ，∠FGH ＝∠CHD，∠DCH ＝∠HFG，∴△GFH ≌△HCD(AAS )，∴CH ＝FG ，∵EF ＝FG ，∴EF ＝CH ，∵△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，BC ＝2，∴BE ＝EC ＝1，∴EF ＝k ，∴CH 的长为k.6．(2016河北石家庄四十二中模拟)(1)如图①，已知∠EAC＝90°，AE ＝AC ，点A 在直线BD 上，过E 作ED⊥AB 于点D ，过C 作CB⊥BD 于点B ，证明：以点A 为位似中心作△AMN 与△ABC 位似，△AMN 与△ABC位似比为1∶2，则MN AD ＝________； (2)如图②，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB ，AC 为一边，向外作正方形ABME 和正方形ACNF ，分别过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q.以点A 为位似中心，作△AQH 与△APE 位似，△AQH 与△APE 的位似比为1∶k，猜想CG 与BG 的数量关系并证明；(3)如图③，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB ，AC 为一边，向外作矩形ABME 和矩形ACNF ，分别过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q.若AB ＝m·AE，AC ＝m·AF，以点A 为位似中心，作△AQH 与△APE 位似，△AQH 与△APE 的位似比为1∶k，则CG 与BG 的数量关系还成立吗？若成立．请证明；若不成立，说明理由．解：(1)12； (2)CGBG ＝1k .理由如下：∵四边形ABME 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠BAG ＋∠EAP＝90°.∵AG ⊥BG ，∴∠BAG ＋∠ABG＝90°，∴∠ABG ＝∠EAP .∵EP⊥AG，∴∠AGB ＝∠EPA＝90°，∴△ABG ≌△EAP ，∴BG ＝AP .同理可得△ACG≌△FAQ，即CG ＝AQ.∵△AQH 与△APE 的位似比为1∶k，∴AQ AP ＝1k ，∴CG BG ＝1k； (3)CGBG ＝1k .理由如下：四边形ABME 是矩形，∴∠BAE ＝90°，∴∠BAG ＋∠EAP＝90°.∵AG ⊥BC ，∴∠BAG ＋∠ABG＝90°，∴∠ABG ＝∠EPA.∵∠AGB＝∠EPA＝90°，∴△ABG ∽△EAP ，∴BG AP ＝AB EA .∵AB ＝m·AE，∴BG AP ＝m ·AE EA，即BG ＝m·AP，同理△ACG∽△FAQ，∴CGAQ ＝ACFA .∵AC ＝m·AF，∴CGAQ ＝m ·AFFA ，即CG ＝m·AQ，∴CGBG ＝m ·AQm ·AP ＝AQ AP .∵△AQH 与△APE 位似比为1∶k，∴AQ AP ＝1k ，∴CG BG ＝1k. 7．(2016保定十七中二模)如图①，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE⊥BD，交直线BD 于点E.请探究线段BD 与CE 的数量关系．(事实上，我们可以延长CE 与直线BA 相交，通过三角形的全等等知识解决问题．)(1)结论：线段BD与CE的数量关系是________；(请直接写出结论)(2)类比探索在(1)中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变(如图②)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)中，如果AB≠AC，且AB＝nAC(0＜n＜1)，其他条件均不变(如图③)，请你求出BD与CE的数量关系．(用含n的代数式表示)图①解：(1)BD＝2CE；(2)BD＝2CE仍然成立．理由如下：如图①延长CE，AB交于点G.∵∠ABD＝∠FBD，∠ABD＝∠GBE，∠FBD ＝∠CBE，∴∠GB E＝∠CBE.又∵BE＝BE，∠GEB＝∠CEB＝90°，∴△GBE≌△CBE(ASA)，∴GE＝CE，∴CG＝2CE.∵∠D＋∠DCG＝∠G＋∠DCG＝90°，∴∠D＝∠G.又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，AB＝AC，∴△DAB≌△GAC，∴BD ＝CG＝2CE；图②(3)如图②，延长CE ，AB 交于点G.∵∠ABD＝∠FBD，∠ABD ＝∠GBE，∠FBD ＝∠CBE，∴∠GBE ＝∠C BE.又∵BE＝BE ，∴∠GEB ＝∠CEB＝90°，∴△GBE ≌△CBE(ASA )，∴GE ＝CE ，∴CG ＝2CE.∵∠D＋∠DCG＝∠G＋∠DCG＝90°，∴∠D ＝∠G.又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，∴△DAB ∽△GAC ，∴BD CG ＝AB AC.∵AB ＝nAC ，∴BD ＝nCG ＝2nCE. 与图形折叠平移有关的证明【经典导例】【例3】(2014河北中考)图①和图②中，优弧AB ︵所在⊙O 的半径为2，AB ＝23.点P 为优弧AB ︵上一点(点P 不与点A ，B 重合)，将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′.(1)点O 到弦AB 的距离是________，当BP 经过点O 时，∠ABA ′＝________；(2)当BA′与⊙O 相切时，如图②，求折痕BP 的长；(3)若线段BA′与优弧AB ︵只有一个公共点B ，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．【解析】(1)作垂线OC ，即为O 到AB 的距离．根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解．(2)由(1)得OC 长度以及半径OB 长度，即可求出∠OBC 的正弦值，从而求得∠OBC.再利用∠ABP 与∠OBC 的关系求出∠OBP 的角度，根据直角三角形的边角关系计算即可．(3)如解图③所示：在折叠过程中，BP 的4个特殊位置，点A′落在以B 为圆心、BA 为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA′与圆心O 的位置可确定α的范围．【学生解答】(1)1；60°.如图①，解法提示：过点O 作OC⊥AB，垂足为点C ，连接OA ，则∠OCA＝90°，AC ＝12AB ＝12×23＝ 3.∵OA ＝2，∴OC ＝OA 2－AC 2＝22－（3）2＝1.当BP 经过点O 时，在Rt △OCB中，sin ∠OBC ＝OC OB ＝12，∴∠OBC ＝30°，根据折叠的性质可得，∠ABA ′＝2∠OBC＝2×30°＝60°；(2)如图②，作OC⊥AB 于点C ，连接OB ，∵BA ′与⊙O 相切，∴∠OBA ′＝90°，在Rt △OBC 中，OB ＝2，OC ＝1，∴sin ∠OBC＝OC OB ＝12，∴∠OBC ＝30°，∴∠ABP ＝12∠ABA ′＝12(∠OBA′＋∠OBC)＝60°，∴∠OBP ＝30°.作OD ⊥BP 于点D ，则BP ＝2BD.∴BD＝OB·cos 30°＝3，∴BP ＝23；(3)∵点P ，A 不重合，∴α＞0°.由(1)得，当α增大到30°时，点A′在AB ︵上，∴当0°＜α＜30°时，点A′在⊙O 内，线段BA′与AB ︵只有一个公共点B.由(2)知，α增大到60°时，BA ′与⊙O 相切，即线段BA′与AB ︵只有一个公共点B.当α继续增大时，点P 逐渐靠近点B ，但点P ，B 不重合，∴∠OBP ＜90°.∵α＝∠OBA＋∠OBP，∠OBA ＝30°，∴α＜120°.∴当60°≤α＜120°时，线段BA′与AB ︵只有一个公共点B.综上所述，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°.【方法指导】解本题第(3)问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第(1)、(2)问情况的综合．在分类讨论α的最大取值时，很难想象出优弧AB ︵完全折叠过去时的情况，即P 点即将与B 点重合时α的数值，可以先在图中画出点P 、B 重合时的情况，重合时α为一个临界点，找到此临界点，再使α小于此临界点即可解决．8．(2016唐山九中二模)如图，两个全等的△ABC 和△DEF 重叠在一起，固定△ABC，将△D EF 进行如下变换：(1)如图①，△DEF 沿直线CB 向右平移(即点F 在线段CB 上移动)，连接AF 、AD 、BD ，请直接写出S △ABC 与S 四边形AFBD 的关系；(2)如图②，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明；(3)在(2)的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG ，请你在图3的位置画出图形，并求出sin ∠CGF 的值．解：(1)S △ABC ＝S 四边形AFBD ；(2)△ABC 为等腰直角三角形，即：AB ＝AC ，∠BAC ＝90°.证明：∵点F 为BC 的中点，∴CF ＝BF.∵CF＝ AD ，∴AD ＝ BF.又∵AD∥BF，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC ，∴平行四边形AFBD 为矩形．∵∠BAC＝90°，F 为BC 的中点，∴AF ＝12BC ＝BF ，∴四边形AFBD 为正方形；(3)正确画出图形，如解图．由(2)知，△ABC 为等腰直角三角形， 则△DEF 为等腰直角三角形，AF ⊥BC ∵FB ＝12BC ＝12EF ＝BE ，∴AG ＝AF ，设CF ＝k ，则GF ＝EF ＝CB ＝2k ，由勾股定理，得：CG ＝5k ，则sin ∠CGF ＝CF CG＝k 5k ＝55.9．(2016邯郸二十五模拟)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，1)，点O(0，0)．过边OA 上的动点M(点M 不与点O ，A 重合)作MN⊥AB 于点N ，沿着MN 折叠该纸片，得顶点A 的对应点为A′.设OM ＝m ，折叠后的△A ′MN 与四边形OMNB 重叠部分的面积为S.(1)如图①，当点A′与顶点B 重合时，求点M 的坐标；(2)如图②，当点A′落在第二象限时，A ′M 与OB 相交于点C ，试用含m 的式子表示S ；(3)当S ＝324时，求点M 的坐标．(直接写出结果即可) 解：(1)在Rt △ABO 中，点A(3，0)，点B(0，1)，点O(0，0)，∴OA ＝3，OB ＝1.由OM ＝m ，得AM ＝OA －OM ＝3－m.根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，有BM ＝AM ＝3－m.在Rt △MOB 中，由勾股定理，BM 2＝OB 2＋OM 2，得(3－m)2＝1＋m 2，解得m ＝33.∴点M 的坐标为(33，0)；(2)在Rt △ABO 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝13＝33，∴∠OAB ＝30°，由MN⊥AB，得∠MNA＝90°.∴在Rt △AMN 中，得MN ＝AM·sin ∠OAB ＝12(3－m)，AN ＝AM·cos ∠OAB ＝32(3－m)．∴S △AMN ＝12MN ·AN ＝38(3－m)2.由折叠可知△A′MN≌△AMN，有∠A′＝∠OAB＝30°，∴∠A ′MO ＝∠A′＋∠OAB＝60°.∴在Rt △COM 中，得CO ＝OM·tan ∠A ′MO ＝3m.∴S △COM ＝12OM ·CO ＝32m 2，又S △ABO ＝12OA ·OB ＝32，于是，S ＝S △ABO －S △AMN －S △COM ＝32－38(3－m)2－32m 2，即S ＝－538m 2＋34m ＋38(0＜m ＜33)；(3)(233，0)． 与尺规作图有关的问题【经典导例】【例4】(2014河北中考)如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG.(1)求证：①DE＝DG ；②DE⊥DG；(2)尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG ；(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)(3)连接(2)中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；(4)当CE CB ＝1n 时，请直接写出S 正方形ABCD S 正方形DEFG的值． 【解析】(1)由已知证明DE 、DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；(2)根据正方形的性质分别以点G 、E 为圆心，以DG 为半径画弧交于点F ，得到正方形DEFG ；(3)由已知首先证四边形CKGD 是平行四边形，然后证明四边形CEFK 为平行四边形；(4)设CE ＝x ，由已知CE CB ＝1n，表示出CB 及CD ，利用勾股定理求出DE 2，进而得到BC 2DE 2，即为所求． 【学生解答】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG＝90°.又∵CE＝AG ，∴△DCE ≌△DAG ，∴DE ＝DG ，∠EDC ＝∠GDA.又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE ＋∠GDA＝90°，∴DE ⊥DG ；(2)如解图①；(3)四边形CEFK 为平行四边形．证明：设CK ，DE 相交于M 点，如解图②，∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，EF ＝DG ，EF ∥DG.∵BK ＝AG ，∴KG ＝AB ＝CD ，∴四边形CKGD 为平行四边形，∴CK ＝DG ＝EF ，CK ∥DG.∴∠KME ＝∠GDE＝∠DEF＝90°.∴∠KME ＋∠DEF＝180°.∴CK ∥EF.∴四边形CEFK 为平行四边形；(注：由CK∥DG、EF∥DG 得CK∥EF 也可)(4)S 正方形ABCD S 正方形DEFG ＝n 2n 2＋1.解法提示：∵CE CB ＝1n，∴设CE ＝x ，CB ＝nx ，∴CD ＝nx ，∴DE 2＝CE 2＋CD 2＝x 2＋n 2x 2＝(n 2＋1)x 2，∵BC 2＝n 2x 2，∴S 正方形ABCD S 正方形DEFG ＝BC 2DE 2＝n 2n 2＋1.【方法指导】在判定四边形为平行四边形时，(1)若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；(4)若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分．在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明．10．(2016济宁中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母．(保留作图痕迹，不写作法)(1)作∠DAC 的平分线AM ；(2)作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ；猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明．解：(1)(2)作图略；猜想：四边形AECF是菱形．证明：∵AB＝AC，AM平分∠CAD.∴∠B＝∠ACB，∠CAD＝2∠CAM，∵∠CAD是△ABC的外角，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB，∴∠CAD＝2∠ACB，∴∠CAM＝∠ACB.∴AF∥CE.∵EF 垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE，在四边形AECF中，AF∥CE，AF ＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．11．(2016张家口九中模拟)(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE＝CD；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100 m，AC＝AE，求BE的长．图①解：(1)完成图形，如解图①所示：证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE＝60°，∴∠BAD ＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB，AC ＝AE ，∴△CAD ≌△EAB(SAS )，∴BE ＝CD ；(2)BE ＝CD ，证明：∵四边形ABFD 和ACGE 均为正方形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE＝90°.∴∠CAD ＝EAB ，在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB，AC ＝AE ，∴△CAD ≌△EAB(SAS )，∴BE ＝CD ；图②(3)由(1)，(2)的解题经验可知，如解图②，过点A 作等腰直角三角形ABD ，连接BD ，∠BAD ＝90°，则AD ＝AB ＝100 m ，∠ABD ＝45°，∴BD ＝1002 m ，连接CD ，则由(2)可得BE ＝CD.∵∠ABC＝45°，∠DBC ＝90°，在Rt △DBC 中，BC ＝100 m ，BD ＝1002 m ，根据勾股定理得：CD ＝1002＋（1002）2＝1003m ，则BE ＝CD ＝100 3 m .12．(2016石家庄二十八模拟)探究并证明以下问题：(1)如图①，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且∠A OB ＝60°，点P 为线段BO 上任意一点，以AP 为边作等边三角形APF ，连接BF ，求证：BF ＝OP ；(2)如图②，在正方形ABCD ，点P 为BC 边上任意一点，以AP 为边作正方形APMN ，F 为正方形APMN 的中心，连接BF ，直接写出BF 与CP 的数量关系__BF ＝22CP__；(3)如图③，在菱形ABCD 中，AB ∶AC ＝m∶n，点P 为BC 边上一点，以AP 为对角线作菱形AEPM ，满足∠ABC＝∠AFP，连接BF ，猜想BF 与CP 的数量关系，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OB ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝AO ，∠PAO ＝60°－∠BAP，在△FAB 和△PAO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AO ∠FAB＝∠OAP AF ＝AP ，∴△FAB ≌△PAO(SAS )，∴BF ＝OP ；(3)BF ＝m nCP .理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴BA ＝BC ，∴∠BAC ＝12(180°－∠ABC)，∵四边形AFPM 是菱形，∴PF ＝AF ，∴∠FAP ＝12(180°－∠AFP)，∵∠ABC ＝∠AFP，∴∠BAC ＝∠FAP，∴△FAP ∽△BAC ，∴AF AB ＝AP AC ，即AF AP ＝ABAC ，∵∠FAB ＝∠FAP－∠BAP，∠PAC ＝∠BAC－∠BAP，∴∠FAB ＝∠PAC，又∠ABC＝∠AFP，∴△FAB ∽△PAC ，∴BFCP ＝AB AC ＝m n ，即BF ＝mn CP .13．(2016沧州八中二模) (1)问题发现如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为__60°__；②线段AD、BE之间的数量关系为__AD＝BE__；(2)拓展探究如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图③，在正方形ABCD中，CD＝ 2.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．解：(2)∠AEB＝90°；AE＝BE＋2CM.理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE.∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE；(3)3－12或3＋12.。

第三编 综合专题闯关篇专题一 规律探索猜想类类型与策略规律探索与猜想是中考中常见题型之一，它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力，既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限，方法灵活，主要有数式规律、图形规律、坐标规律等，解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键．规律与预测纵观遵义近5年中考，每年都会涉及一题规律探索问题，一般难度不大，预计2017年遵义中考也有可能命一道中基础(选择或填空)规律探索题．,中考重难点突破)数字规律【例1】(2017中考预测)正整数按如图所示的规律排列，请写出第20行第21列的数字．【解析】首先应发现第1列中的数与所在行数的关系，再关注第n 行的第1个数与第(n ＋1)列的第1个数的关系，那么第n 行第n ＋1列这个数应该不难确定．【学生解答】解：由观察可知，第20行第一个数应为202，故第20行第21列的数字应为202＋20＝420.(一) 模拟题区1．(2016遵义二中二模)计算下列各式的值：92＋19；992＋199；9992＋1 999；9 9992＋19 999.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得99 (92)2 015个9＋199…9,2 015个9) )＝__102__015__．2．(2016遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … …表中数2在第二行，第一列，与序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为__(45，12)__．3．(2016遵义十一中三模)已知：2－122－12＝13；4－3＋2－142－32＋22－12＝15；计算：6－5＋4－3＋2－162－52＋42－32＋22－12＝__17；猜想：[（2n ＋2）－（2n ＋1）]＋…＋（6－5）＋（4－3）＋（2－1）[（2n ＋2）2－（2n ＋1）2]＋…＋（62－52）＋（42－32）＋（22－12）＝__12n＋3__．中考真题区4．(2015安徽中考)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的关系式是__x·y＝z__．5．(2015广东中考)观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是__1021__．6．(2016安徽中考)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝__42__；1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝__n2__．(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(__2n＋1__)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．7．(2015武威中考)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，……依此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．8．(2015临沂中考)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2 015个单项式是( C)A．2 015x2 015B．4 029x2 014C．4 029x2 015D．4 031x2 015图形规律【例2】(2015娄底中考)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，……，则第n(n为正整数)个图案由________个▲组成．【解析】观察发现：第1个图案有3×2－3＋1＝4个三角形； 第2个图案有3×3－3＋1＝7个三角形； 第3个图案有3×4－3＋1＝10个三角形； …第n 个图案有3(n ＋1)－3＋1＝(3n ＋1)个三角形． 【学生解答】(3n ＋1)【方法指导】图形规律探索有以下几种类型：1．求个数，方法为：(1)标序数：按图号标序；(2)找关系：找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系；(3)算结果：计算每个给出图中所求量的个数；(4)找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；(5)归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n 个图中所求量的个数；(6)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．2．求面积，方法为：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积为S ；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，第四次变换后图形的面积，……归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍数关系n ；(3)第M 次变换后，求得图形的面积为n MS.(二)模拟题区1．(2016遵义二中三模)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，……依此规律，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形．(用含n 的代数式表示)2．(2016遵义航中三模)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……按此规律，第5个图中共有点的个数是( B )A ．31B ．46C ．51D ．663．(2016毕节三模)如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( C )A ．(12)n ·75°B ．(12)n －1·65°C ．(12)n －1·75°D ．(12)n ·85°4．(2016汇川升学一模)观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2 016应标在( D )A ．第503个菱形的上方B ．第503个菱形的右边C ．第504个菱形的上方D ．第504个菱形的右边中考真题区5．(2016益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，……，那么第9个图案的棋子数是__13__枚．6．(2016衡阳中考)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n 条直线最多可将平面分成56个部分，则n 的值为__10__．7．(2016河北中考)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A 发出后射向OB 边，若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1＝∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A＝__76__°.……若光线从点A 发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值＝__6__°.点的坐标规律【例3】(2015威海中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4……的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝30°，若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4…，则依此规律，点A 2 015的横坐标为( )A ．0B ．－3×(233)2 014C ．(23)2 015D ．3×(233)2 014【学生解答】B【方法指导】求点坐标，根据图形点坐标的变换特点可知这类题有两种考查形式：一类是点坐标变换是在同一象限递推变化；另一类是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化；解决这类题的方法如下：(1)若第一个点的坐标未给出，可先由所给信息求出坐标(a ，b)；(2)根据题目中给出的线段的数量关系及角度，通过勾股定理或直角三角形的边角关系得到第二个，第三个，第四个……的坐标，观察它们之间存在的比例关系，比值记为n ；(3)当点坐标在同一象限变换时，通过第M 次变换后，图形的点坐标为(n M a ，n Mb)；(4)当点坐标在整个平面直角坐标系里变换，先观察点的变换规律为顺时针循环还是逆时针循环，通过第M 次变换后，用M÷4＝w ＋q(0≤q＜4)，当q ＝0时，点坐标所在象限与起点相同，依此类推，当确定出点坐标落在x 轴正半轴时，点坐标为(n Mc ，0)，点坐标落在y 轴正半轴时，点坐标为(0，n M c)，点坐标落在x 轴负半轴时，点坐标为(－n Mc ，0)，点坐标落在y 轴负半轴时，点坐标为(0，－n Mc)．(三)模拟题区1．(2016遵义十一中一模)如图，以O(0，0)，A(2，0)为顶点作正△OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正△P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作正△P 2CP 3，……如此继续下去．则第六个正三角形中，不在第五个正三角形边上的顶点P 6的坐标是3232．2．(2016遵义红花岗三模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自然数)的坐标为__(2n，1)__．中考真题区3．(2016岳阳中考)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，……，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，……，根据这个规律，点P2 016的坐标为__(504，－504)__．4．(2016吉林中考)在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点．将此三角形纸片按下列方式折叠．若EF的长度为a，则△DEF的周长为__3a__．(用含a的式子表示)。

专题二函数的实际应用与决策纵观河北8年中考，函数的实际应用是河北每年中考必考内容，常考类型有： 1. 一次函数的实际应用（带有决策性问题）（2016年24题，2011年24题，2009年25题）；2.二次函数的实际应用（带有决策性问题）（2013年25 题）；3. 一次函数与二次函数结合的实际应用问题（最优问题）（2012年24题；2010年26题）.主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力（分值10分左右，难度中上等）.从实际问题中建立函数模型，运用相关知识解决问题•此类问题综合性较强，一般结合方程（组）、一元二次方程、不等式以及统计知识来解决，对学生的综合能力要求较高.预计2017年河北中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高.,中考重难点突破）一次函数的实际应用【经典导例】【例1】（2016邯郸二十三模拟）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）(2) 该车行计划新进一批 A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如 何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程； (2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题.设车行新进 A 型车 m 辆，贝U B 型车为(60 — m)辆，获利 y 元•由题意，得 y = (1 600 — 1 100)m + (2 000 — 1 400)(60 — m),即y = — 100m ^36 000. TB 型车的进货数量不超过 A 型车数量的 2倍.二60— me2m.A 详20.由 y 与m 的关系式可知，—100V 0, y 的值随 m 的值增大而减小.•••当 m= 20时，获利最大，A 60 — m= 60 — 20 = 40(辆)•即当新进 A 型车20辆，B 型车40辆时获利最大.【方法指导】弄清题意，建立相应数学模型是关键.1. (2015河北中考)水平放置的容器内原有 210 mm 高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一 个大球水面就上升 4 mm 每放入一个小球水面就上升 3 mm 假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为 y mm(1) 只放入大球，且个数为 x 大，求y 与x 大的函数关系式；(不必写出x 大的取值范围) (2) 仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为 x 小. ① 求y 与x 小的函数关系式；(不必写出x 小的取值范围) ② 限定水面高不超过 260 mm 最多能放入几个小球？【学生解答】(1)设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为(x + 400)元.由题意，得 50 000x + 400 50 000 (1 — 20%x.解得x = 1 600.经检验, x = 1 600是所列方程的根.答：今年A 型车每辆售价为1 600元.⑵解：「(1)容器中原来的水高210 mm加上放入大球后升高的高度就是容器中变化后的水面的高「度•根据题意得y= 4x大+ 210; (2)①先求得放入6个大球后水的高度，然后加上放入小球后水升高的高度即可.放入6个大球后水的高度是y = 4X 6+ 210 = 234( mm.二y= 3x小+ 234:②根据水面高度不超过260 mn,即小于或等于260一一一一一 2 mm列不等式求得x小的范围，在这个范围内取最大整数值即可.依据题意，得3x小+ 234Wv260,解得x小w &3.x小为自然数，••• x小的最大整数值为8.答：限定水面高不超过260 mm最多能放入8个小球.2. (2016沧州九中模拟)为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划.现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：(1) 这15辆车中大小货车各多少辆？(2) 现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式；(3) 在⑵的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用.解：(1)大货车为8辆，小货车为7辆；(2) y = 100x + 9 400 ;(3) 由题意，得12x + 8(10 —x) > 100,解得x>5,又Tx不会超过大货车的总辆数8, • 5w x w 8.由y= 100x + 9 400知，y随x的增大而增大，•当x= 5时，y取最小值，y 最小= 100X 5+ 9 400 = 9 900(元)，•总运费最少的货车调配方案为：前往A村的大货车5辆，小货车5辆，前往B村的大货车3辆，小货车2辆，最少总费用为9 900 元.3. (2016保定八中二模)甲乙两人匀速从同一地点到 1 500 m处的图书馆看书，甲出发5 min后，乙以50mmin的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距s(m，甲行走的时间为t( min) , s关于t的函数图象的一部分如图所示.(1) 求甲行走的速度；(2) 在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分；(3) 甲乙两人何时相距360 m?解：⑴甲行走的速度：150-5= 30( m/min)；(2) 补画的图象如图所示(C点的横坐标为50);(3) 乙追上甲用的时间150-(50 —30) = 7.5( min)，此时t = 5+ 7.5 = 12.5( min).设直线AB解析式为s = kt0= 12.5k + b, k = 20,+ b(12.5 W t W 35) .••• A(12.5 , 0) , B(35 , 450)在直线AB 上，二解得/• s = 20t —250.450= 35k + b. b =—250.当s = 360 时，20t —250 = 360,解得t = 30.5.设直线BC 的解析式为s = mt+ n(35<t W 50).二•点B(35 , 450),0 = 50m+ n, m=—30,C(50 , 0)在直线BC 上，•••解得••• s = —30t + 1 500.当s= 360 时，一30t + 1 500 =450 = 35m^ n. n= 1 500.360,解得t = 38,「.当甲行走30.5 min或38 min时，甲、乙两人相距360 m4. (2016邢台模拟)某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t( 天)的关系如下表：未来40天内，该商品每天的价格y(元/件与时间t(天的函数关系式为：y = 1t + 25 (1W t W 20, t 为整数)，41—2t + 40 (21W t W 40, t 为整数).根据以上提供的条件解决下列问题：(1) 认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1W t W 20, 21 W t W 40时，满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式；(2) 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？(3) 在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a v4)给希望工程•公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a的最小值.—2t + 100 (1 W t W 20),解：(1)m = t + 40 (21W t W 40);(2) 当t = 15时，利润最大，为612.5元；(3) a的最小值是2.5.二次函数的实际应用【经典导例】【例2】(2016石家庄四十二中模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w= ax2+ bx —1 600 ,当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元.(1) 求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/ kg)的关系式；（2）当销售价定为24元/kg，该产品每天的销售利润为多少元？（3）如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？（4）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/ kg,此店铺每天获得的最大利润为多少元？2【解析】（1）根据题意可求出y与x的二次函数关系式；（2）将x= 24代入w=- 2x + 120x — 1 600中计算所得利润；（3）将w= 150带入w=—2x2+ 120x —1 600 = 150中计算出定价；（4）由二次函数解析式可知w=—2x2+ 120x —1 600 =—2（x —30）2+ 200,所以当x= 29 时利润最大.【学生解答】（1）已知w= ax2+ bx—1 600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元.所以有：72= a x 22 + b x 22 —1 600 , 168 = a x 26 + b x 26—1 600.解得a=—2, b = 120. •••该产品每天的销售利润w（元）与销售价x（元/kg）的关系式为w=—2x2+ 120x —1 600 ；（2）当x=24时，有w= —2X 242+ 120X 24—1 600 = 128. •当销售价定为24元/kg时，该产品每天的销售利润为128元；⑶当w= 150 时，有w=—2x + 120x—1 600 = 150.解得X1 = 25, X2= 35. v x<32,「. x = 25. •定价为25 元/kg；⑷W =—2x + 120x — 1 600 =—2（x —30）+ 200.又v•物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg，•当x =29 元时，利润最大，为w=—2（29 —30）+ 200 = 198（元）.【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案.5. （2013河北中考）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩. Q= VW 100,而W 的大小与运输次数n及平均速度x（km/ h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比•试行中得到了表中的数据.（1）用含x和n的式子表示Q;⑵当x= 70, Q= 450时，求n的值；⑶若n= 3,要使Q最大，确定x的值；⑷设n = 2, x = 40,能否在n增加m%（r>0）同时x减少m%勺情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由.b 4ac __ b?［参考公式：抛物线y= ax2+ bx + c（a丰0）的顶点坐标是（—，）］2a 4a22 2420 = 40 k + 2X 40k2 + 100,解：（1）设W= k1x + k2nx, • Q= ky + k z nx + 100.由表中数据，得2解得100 = 60 匕+ 1x 60k 2+ 100.k 2 = 6.k 1 =— 丄10’• Q=— 110x 2 + 6nx + 100；1 2由题意，得 450 = — 10 X 70 + 6 X 70n + 100 ,「• n = 2;1 2 1当n = 3时，Q=— 10X + 18x + 100.由a =—而＜0可知，要使 Q 最大, 1 2由题意得，420=—和[40(1 — m%)]+ 6X 2(1 + m% X 40(1 — m%片 100,m%= 0(舍去),/• m= 50.6. (2016青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20元/件•试营销阶段发现：当销售单价为 25 元/件时，每天的销售量是 250件；销售单价每上涨 1元，每天的销售量就减少 10件.(1) 写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2) 求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？(3) 商场的营销部结合上述情况，提出了 A 、B 两种营销方案： 方案A :该文具的销售单价高于进价且不超过 30元； 方案B:每件文具的利润不低于 25元且不高于29元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.2 2解：(1)w = (x — 20)[250 — 10(x — 25)] =— 10(x — 20)(x — 50) =— 10x + 700x — 10 000 ; (2) v w =— 10x + 700x — 10 000 =— 10(x — 35)2 + 2 250 ,A 当x = 35时，w 取得最大值2 250，即销售单价为 35元时，每天 销售利 润最大，最大利润为 2 250元；(3) v w =— 10(x — 35)2+ 2 250 ,二函数图象是以 x = 35为对称轴且开口向下的抛 物线.•••对于方案 A 20v x < 30,此时图象在对称轴左侧 (如图)，w 随x 的增大而增大，• x = 30时，w 取得最大值2 000. •当采用方案 A 时，销售单价为 30元可获得最大利 润为2 000元；对于方案 B, 45< X V 49，此时图象位于对称轴右侧 (如图)，• w 随x 的增大而减小，故当 x = 45 时，w 取到最大值1 250 ,•当采用方案B 时，销售单价为 45元可获得最大利润为 1 250元，两者比较，方案 A 的最大利润更高.7. (2016张家口一模)某企业生产的一批产品上市后 30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量 y 2(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1) 求y 1与时间t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围，并直接写出 y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2) 设国内、国外市场的日销售总量为 y 吨，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、夕卜市场的日销售总量最早达到 75吨？18x =— 厂=90;2 X ------ 10 即 2(m%)2— m%F 0,解得 m%F f 或(3) 判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值.12900a + 30b = 0,a =—二，1 2解：⑴ 设 y i = at + bt ，把点（30 , 0）和（20 , 40）代入得，解得5/• y i = —二t +400a + 20b = 40.5b = 6.20k + b = 40,6t （0 w t w 30, t 为整数）.设 y 2= kt + b ，当 0w t<20 时，y ? = 2t ，当 20< t < 30 时， /• y 2 =30k + b = 0.2t （ 0 w t<20，且1 为整数）， —4t + 120 （20w t w 30为整数）；—^t 2+ 8t （0w t<20，且 t 为整数），1=75 时，t V 20,即—+ 8t = 75 时，t — 40t + 25X 15= 0, t 1= 15 , t 2 = 25>20(舍).即销售第 15 天时，国内、 5 外市场的日销售总量最早达到 75吨；1 1(3) 当 0w t V 20 时，y = ——12+ 8t =— -(t — 20)2+ 80. vt 为整数，•••当 t = 19 时，y 最大值为 79.8 吨.当 5 51 2 1 220w t w 30 时，y = —[t + 2t + 120 = —=(t — 5) + 125. v •当 t = 20 时，y 随 t 的增大而减小，•当 t = 20 时，y 的 5 5 最大值为80吨•综上所述，上市后第 20天国内、外市场日销售总量 y 值最大，最大值为 80吨.一次、二次函数综合应用【经典导例】【例3】(2016唐山九中二模)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场 上全部售完，该公司的年产量为 6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y i (元)与国内销售数量x(千件)的关系为：15x + 90 (0v x < 2), y i =—5x + 130 (2< x v 6).若在国外销售，平均每件产品的利润 yX 元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：100 (0 v t W 2),y 2=—5t + 110 (2< t v 6).(1) 用x 的代数式表示t 为：t = ___________ ;当0 v x <4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2= _______________ ;当4W xv _______ 时，y 2= 100;(2) 求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w(千元)与国内的销售数量 x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围.（2）由 y = y 1 + y 2，得 y =由图象可知，销售 20天，y = 80, ••• y2t + 120 （20w t w 30,且 t 为整数）2 【学生解答】(1)6 —x; 5x + 80; 6 ; (2)当0 v x<2 时，w= (15x + 90)x + (5x + 80)(6 —x) = 10x + 40x +480;当2v x<4 时，w= ( —5x + 130)x + (5x + 80)(6 —x) =—10x2+ 80x+ 480;当4v x v 6 时，w= ( —5x+ 130)x210x + 40x + 480 (0v x< 2),2 2+ 100(6 —x) =—5x + 30x + 600.w = —10x + 80x + 480 (2v x<4),2—5x + 30x + 600 ( 4v x v 6).& (2012河北中考)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5〜50之间•每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm i)成正比例•每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；⑵已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元.(利润=出厂价一成本价)①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？2[参考公式：抛物线 y = ax 2+ bx + c(a 丰0)的顶点坐标是(—上,4ac _-)]2a 4a解：(1)设一张薄板的边长为 x cm 它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，贝U y = kx + n.由表 50 = 20k + n , k = 2,格中的数据得 解得 ••• y = 2x +10;70= 30k + n. n = 10.(2)①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为 元，由题意得 P = y — m )<= 2x + 10 — mf.将x = 40, P = 261 1QQ|lO代入 P = 2x + 10— mx 中，得 26 = 2X 40+ 10 — mX 40 .解得 m= —. • P =——x + 2x + 10 ;5 251 24X(— 25)X 10— 2—1 -------------- = 35.即出厂一张边长为 25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元.4X(—25)9. (2016梅州中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件 60元，设售价为x 元.(1) 请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 ______________ 元；②月销量是 ________ 件；(直接写出结 果)(2) 设销售该运动服的月利润为 y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)(x — 60) ; ( — 2x + 400);22(2)由题意得，y = (x — 60)( — 2x + 400) = — 2x + 520x — 24 000 =— 2(x —130) + 9 800.当 x = 130 时，y 有最 大值9 800.答：售价为130元，当月的利润最大，最大利润是 9 800元. 10. (2016保定十七中二模)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15天内完成，约定这批粽子的出厂价 为每只6元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与x 满足54x ,( 0 < x W 5)如下关系：30x + 120. (5<x < 15)(1) 李明第几天生产的粽子数量为 420只？(2) 如图，设第x 天每只粽子的成本是 p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画•若李明第 x 天创 造的利润为 w 元，求W 关于x 的函数解析式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？ (利润=出厂价一 成本)—25<0，2 X （—丄）=25(在5〜50之间)时，4ac — b 2P 最大值-4a解：(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只，根据题意，得30n+ 120= 420,解得n= 10. 答：李明第10天生产的粽子数量为420只；(2)由图象可知，当0W x W9 时，p= 4.1 ;当9W x w 15 时，设p= kx + b(k 丰 0)，把点(9 , 4.1) , (15, 4.7) 9k + b =4.1 , k = 0.1 ,代入上式，得解得••• p = 0.1x + 3.2.①0w x w 5 时，w= (6 — 4.1) X 54x= 102.6x，当x = 5 15k+ b—4.7. b = 3.2.时，w 最大=513(元)：②5<x W9 时，w= (6 — 4.1) X (30x + 120) = 57x + 228,v x 是整数，•当x= 9 时，w 最大= 741(元):③ 9<x w 15 时，w= (6 —0.1x —3.2) X (30x + 120) =—3x2+ 72x + 336 = —3(x —12) 2+ 768. V—3<0, • 102.6x (0w x w 5),当x = 12时，w最大=768(元)•综上所述，w与x之间的函数解析式为w= 57x + 228 (5<x w 9), 第122—3 ( x—12) + 768 (9<x w 15). 天的利润最大，最大值是768元.。

2019-2020年中考数学总复习 第三编 综合专题闯关篇 专题一 规律探索猜想类试题类型与策略规律探索与猜想是中考中常见题型之一，它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力，既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限，方法灵活，主要有数式规律、图形规律、坐标规律等，解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键．规律与预测纵观遵义近5年中考，每年都会涉及一题规律探索问题，一般难度不大，预计2017年遵义中考也有可能命一道中基础(选择或填空)规律探索题．,中考重难点突破)数字规律【例1】(2017中考预测)正整数按如图所示的规律排列，请写出第20行第21列的数字．【解析】首先应发现第1列中的数与所在行数的关系，再关注第n 行的第1个数与第(n ＋1)列的第1个数的关系，那么第n 行第n ＋1列这个数应该不难确定．【学生解答】解：由观察可知，第20行第一个数应为202，故第20行第21列的数字应为202＋20＝420.(一) 模拟题区1．(2016遵义二中二模)计算下列各式的值：92＋19；992＋199；9992＋1 999；9 9992＋19 999.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得99 (92)2 015个9＋199…9,2 015个9) )＝__102__015__．2．(2016遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … …表中数2在第二行，第一列，与序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为__(45，12)__．3．(2016遵义十一中三模)已知：2－122－12＝13；4－3＋2－142－32＋22－12＝15；计算：6－5＋4－3＋2－162－52＋42－32＋22－12＝__17__；猜想：[（2n ＋2）－（2n ＋1）]＋…＋（6－5）＋（4－3）＋（2－1）[（2n ＋2）2－（2n ＋1）2]＋…＋（62－52）＋（42－32）＋（22－12）＝__12n ＋3__．中考真题区4．(2015安徽中考)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的关系式是__x·y＝z__．5．(2015广东中考)观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是__1021__．6．(2016安徽中考)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝__42__；1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝__n2__．(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(__2n＋1__)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．7．(2015武威中考)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，……依此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．8．(2015临沂中考)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2 015个单项式是( C)A．2 015x2 015B．4 029x2 014C．4 029x2 015D．4 031x2 015图形规律【例2】(2015娄底中考)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，……，则第n(n为正整数)个图案由________个▲组成．【解析】观察发现：第1个图案有3×2－3＋1＝4个三角形；第2个图案有3×3－3＋1＝7个三角形；第3个图案有3×4－3＋1＝10个三角形；…第n 个图案有3(n ＋1)－3＋1＝(3n ＋1)个三角形． 【学生解答】(3n ＋1)【方法指导】图形规律探索有以下几种类型：1．求个数，方法为：(1)标序数：按图号标序；(2)找关系：找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系；(3)算结果：计算每个给出图中所求量的个数；(4)找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；(5)归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n 个图中所求量的个数；(6)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．2．求面积，方法为：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积为S ；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，第四次变换后图形的面积，……归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍数关系n ；(3)第M 次变换后，求得图形的面积为n MS.(二)模拟题区1．(2016遵义二中三模)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，……依此规律，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形．(用含n 的代数式表示)2．(2016遵义航中三模)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……按此规律，第5个图中共有点的个数是( B )A ．31B ．46C ．51D ．663．(2016毕节三模)如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( C )A ．(12)n ·75°B ．(12)n －1·65°C ．(12)n －1·75°D ．(12)n ·85°4．(2016汇川升学一模)观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2 016应标在( D )A ．第503个菱形的上方B ．第503个菱形的右边C ．第504个菱形的上方D ．第504个菱形的右边中考真题区5．(2016益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，……，那么第9个图案的棋子数是__13__枚．6．(2016衡阳中考)如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n 条直线最多可将平面分成56个部分，则n 的值为__10__．7．(2016河北中考)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A 发出后射向OB 边，若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1＝∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A＝__76__°.……若光线从点A 发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值＝__6__°.点的坐标规律【例3】(2015威海中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4……的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝30°，若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4…，则依此规律，点A 2 015的横坐标为( )A ．0B ．－3×(233)2 014C ．(23)2 015D ．3×(233)2 014【学生解答】B【方法指导】求点坐标，根据图形点坐标的变换特点可知这类题有两种考查形式：一类是点坐标变换是在同一象限递推变化；另一类是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化；解决这类题的方法如下：(1)若第一个点的坐标未给出，可先由所给信息求出坐标(a ，b)；(2)根据题目中给出的线段的数量关系及角度，通过勾股定理或直角三角形的边角关系得到第二个，第三个，第四个……的坐标，观察它们之间存在的比例关系，比值记为n ；(3)当点坐标在同一象限变换时，通过第M 次变换后，图形的点坐标为(n M a ，n Mb)；(4)当点坐标在整个平面直角坐标系里变换，先观察点的变换规律为顺时针循环还是逆时针循环，通过第M 次变换后，用M÷4＝w ＋q(0≤q＜4)，当q ＝0时，点坐标所在象限与起点相同，依此类推，当确定出点坐标落在x 轴正半轴时，点坐标为(n Mc ，0)，点坐标落在y 轴正半轴时，点坐标为(0，n M c)，点坐标落在x 轴负半轴时，点坐标为(－n Mc ，0)，点坐标落在y 轴负半轴时，点坐标为(0，－n Mc)．(三)模拟题区1．(2016遵义十一中一模)如图，以O(0，0)，A(2，0)为顶点作正△OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正△P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作正△P 2CP 3，……如此继续下去．则第六个正三角形中，不在第五个正三角形边上的顶点P 6的坐标是3232．2．(2016遵义红花岗三模)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A 1(0，1)，A 2(1，1)，A 3(1，0)，A 4(2，0)，…，那么点A 4n ＋1(n 是自然数)的坐标为__(2n ，1)__．中考真题区3．(2016岳阳中考)如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P 1，P 2，P 3，……，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如：P 1(0，0)，P 2(0，1)，P 3(1，1)，P 4(1，－1)，P 5(－1，－1)，P 6(－1，2)，……，根据这个规律，点P 2 016的坐标为__(504，－504)__．4．(2016吉林中考)在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，点D(不与B ，C 重合)是BC 上任意一点．将此三角形纸片按下列方式折叠．若EF 的长度为a ，则△DEF 的周长为__3a__．(用含a 的式子表示)2019-2020年中考数学总复习 第五章 图形的相似与解直角三角形 第一节 图形的相似与位似试题1．(2016兰州中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC＝( C )A .13 B .25 C .23 D .35(第1题图)(第2题图)2．(2016哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( A )A .AD AB ＝AE AC B .DF FC ＝AE ECC .AD DB ＝DE BCD .DF BF ＝EF FC3．(2016湘西中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D )A ．3B ．5C ．6D ．8(第3题图)(第4题图)4．(2016遵义十九中一模)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是( D )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C .AP AB ＝AB ACD .AB BP ＝AC CB5．(2015济南中考)如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、DB 于M 、N 两点．若AM ＝2，则线段ON 的长为( C )A .22 B .32 C ．1 D .62(第5题图)(第6题图)6．(2016十堰中考)如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB ＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为( D )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶97．(2016新疆中考)如图所示，△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AE EB ＝AF FC ＝12，则△AEF 与△ABC 的面积比是__1∶9__．(第7题图)(第8题图)8．(2016汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm .9．(2016遵义一中二模)如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF＝4∶25，则DE∶EC＝__2∶3__.(第9题图)(第10题图)10．(2015包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．11．(2015连云港中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为3．12．(2015泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长．解：(1)∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD ＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC ＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP ＝∠DPC，∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝ABCP，∴AB ·CD ＝CP·BP，∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP，∵∠APD ＝∠C，∴∠BAP ＝∠C，∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BPBA ，∵AB＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.13．(2016随州中考)如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE∥AC，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2514．(2016盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A .158B .113C .103D .165,(第14题图)) ,(第15题图))15．(2016滨州中考)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则AD AB ＝216．(2016长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G.(1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF∥EC，∴△DFG ∽△CEG ，∴DG CG ＝DF CE ，∴CE ＝DF ·CG DG ＝4×32＝6.17．(2016汇川升学二模)某中学为新生设计的学生板凳的正面视图如图所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC 、EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm 、8 cm ，为使板凳两腿底端A 、D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)解：过点C 作CM∥AB，交EF 、AD 于N 、M ，作CP⊥AD，交EF 、AD 于Q 、P ，由题意，得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20(cm )．∴MD＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm ，∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD ，∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240.解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44 cm .答：横梁EF 应为44 cm .18.(2016眉山中考)已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A(0，－3)、B(3，－2)、C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC 向上平移6个单位长度得到的△A 1B 1C 1；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2∶1，并直接写出点A 2的坐标．解：(1)如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；(2)如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，A 2坐标(－2，－2)．19．(2015连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H.(1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长．解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC ＝90°，∠A ＝∠HDC，∴△ABC ∽△DHC ，∴AC CD ＝BCCH ＝3，∴CH ＝1，BH ＝BC＋CH ＝4，在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BHBD ，∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD ，∴BC HD ＝AB BH ，∵△ABC ∽△DHC ，∴AB DH ＝AC CD ＝3，∴AB ＝3DH ，∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2，∴AB ＝3DH ＝3×2＝6，即AB 的长是6.20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10 cm ，BC ＝20 cm ，两只小虫P 和Q 同时分别从A 、B 出发沿AB 、BC 向终点B 、C 方向前进．小虫P 每秒走1 cm ，小虫Q 每秒走2 cm .请问：它们同时出发多少秒时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与以A ，B ，C 为顶点的三角形相似？解：设它们同时出发了t s 时△PBQ 与△ABC 相似，BP ＝10－t ，BQ ＝2t.(1)∵∠B＝∠B，∴当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC ，∴10－t 10＝2t 20，t ＝5；(2)∵∠B＝∠B，∴当BP BC ＝BQ BA 时，△PBQ ∽△CBA ，∴10－t 20＝2t10，t ＝2.综上，它们同时出发了2 s 或5 s 时，△PBQ 与△ABC 相似．21．(2016眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP 以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形，∴∠ECB ＝∠PCD＝45°，∠CEB ＝∠CPD＝90°，∴△BCE ∽△DCP ，∴PC DC ＝EC CB ；(2)AC∥BD ，理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD ＝45°，∴∠PCE ＝∠BCD，又∵PC DC ＝ECCB，∴△PCE ∽△DCB ，∴∠CBD ＝∠CEP＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠CBD，∴AC ∥BD ；(3)如图所示，作PM⊥BD 于M ，∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，∴BE ＝CE ＝4，∵△PCE ∽△DCB ，∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD ，∴BD ＝2x ，∵∠PBM ＝∠CBD －∠CBP＝45°，BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ，∴PM ＝4＋x 2，∴△PBD 的面积S ＝12BD ·PM＝12×2x ×4＋x 2＝12x 2＋2x.。

（河北专版）中考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题三动态变化问题试题专题命题规律1．动态问题为河北中考的常考点，近8年共考查8次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且都是以解答题形式出现，分值为9～12分．2．考查类型：(1)几何图形中的动点问题(2012年25题，2010年25题，2009年26题)；(2)一次函数中的动点问题(2013年23题)；(3)二次函数中的动点问题(2011年26题)．2017预测预计2017年河北中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低．,中考重难点突破)一次函数中的动点问题【经典导例】【例1】(2013河北中考)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．【解析】(1)，(2)求出直线与y轴的交点，以及P点坐标与t之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3)过点M作l的垂线，求出直线与坐标轴的交点，然后再来计算即可．【学生解答】(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意，得b＞0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4.∴y＝－x＋4；(2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝5，∵5＝1＋t，∴t＝4.当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8.∵8＝1＋t，∴t＝7.∴当点M，N位于l的异侧时，4＜t＜7；(3)t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上．【方法指导】k、b对一次函数图象y＝kx＋b的影响：①当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小；②k决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越大，其图象与x轴的夹角就越大；③b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴；④直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)；⑤直线y＝k1x＋b1、y ＝k2x＋b2的几种位置关系：平行：k1＝k2，b1≠b2；重合：k1＝k2，b1＝b2；关于y轴对称：k1＋k2＝0，b1＝b2；关于x轴对称：k1＋k2＝0，b1＋b2＝0；垂直：k1k2＝－1.1．(2016邯郸二十五中一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0，5), (0，2)，(4，2)，直线l 的解析式为y ＝ kx ＋5－4k(k> 0)．(1)当直线l 经过点B 时，求一次函数的解析式；(2)通过计算说明：不论k 为何值，直线l 总经过点D;(3)直线l 与y 轴交于点M ，点N 是线段DM 上的一点， 且△NBD 为等腰三角形，试探究： ①当函数y ＝ kx ＋5－4k 为正比例函数时，点N 的个数有________个；②点M 在不同位置时，k 的取值会相应变化，点N 的个数情况可能会改变，请直接写出点N 所有不同的个数情况以及相应的k 的取值范围．解：(1)将点B(0，2)代入y ＝kx ＋5－4k ，得k ＝34.∴直线l 的解析式为y ＝34x ＋2；(2)由题意可得，点D 坐标为(4，5)，把x ＝4代入y ＝kx ＋5－4k ，得y ＝5，∴不论k 为何值，直线l 总经过点D ；(3)①2；②当k≥2时，有3个点；当34<k<2时，有2个点；当k ＝34时，有0个点；当 0<x<34时，有1个点．2．(2016承德二中二模)如图，直线y ＝kx －4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且tan ∠OBC ＝43.(1)求点B 的坐标及k 的值；(2)若点A 是第一象限内直线y ＝kx －4上一动点，则当△AOB 的面积为6时，求点A 的坐标； (3)在(2)成立的条件下，在坐标轴上找一点P ，使得∠APC＝90°，直接写出P 点坐标．解：(1)当x ＝0时，y ＝kx －4＝－4，∴C(0，－4)，则OC ＝4.又∵tan ∠OBC ＝OC OB ＝43，∴OB ＝3，∴B 点坐标为(3.0)．将x ＝3，y ＝0代入y ＝kx －4，得0＝3k －4，解得k ＝43；(2)已知点A 在第一象限，过点A 作AH⊥x 轴，垂足为H ，由题意得S △AOB ＝12OB ·AH ＝12×3×AH ＝6，∴AH ＝4，即点A 的纵坐标为4.将y ＝4代入y ＝43x －4，解得x ＝6，∴当△AOB 的面积为6时，点A 的坐标为(6，4)；(3)P 点的坐标为(0，4)或(－2，0)或(8，0)．3．(2016长沙中考)如图，直线l ：y ＝－x ＋1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，Q 在第四象限，∠POQ ＝135°.(1)求△AOB 的周长；(2)设AQ ＝t ＞0，试用含t 的代数式表示点P 的坐标；(3)当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ ＝m ，若过点A 的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 同时满足以下两个条件：①6a ＋3b ＋2c ＝0；②当m≤x≤m＋2，函数y 的最大值等于2m，求二次项系数a 的值．解：(1)对函数y ＝－x ＋1，令x ＝0，则y ＝1，∴B(0，1)，令y ＝0，则x ＝1，∴A(1，0)，则OA ＝1，OB ＝1，AB ＝2，△AOB 周长为1＋1＋2＝2＋2；(2)∵OA＝OB ，故∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO ＝∠QAO＝135°，设∠POB＝x ，则∠OPB＝∠AOQ＝180°－135°－x ＝45°－x ，∴△PBO ∽△OAQ ，故PB OA ＝OB AQ ，∴PB ＝OA ×OB AQ ＝1t ，过点P 作PH⊥OB 于H 点，则△PHB 为等腰直角三角形．∵PB＝1t ，则PH ＝HB ＝22t ，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22t，1＋22t ；(3)由(2)知△PBO∽△OAQ，若它们周长相等，则相似比为1，即△AOQ≌△BPO，则AQ ＝OB ＝1，∴t ＝1，同(2)中做法，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，－22，∴m ＝221＋22＝2－1.∵m≤x≤m＋2，∴2－1≤x≤2＋1，∵抛物线过A点，∴a ＋b ＋c ＝0，而6a ＋3b ＋2c ＝0，∴b ＝－4a ，c ＝3a ，故二次函数为y ＝ax 2－4ax ＋3a ，∴对称轴为x ＝2，取值范围是2－1≤x≤2＋1.Ⅰ.若a>0，则开口向上，在x ＝2－1取最大值y max ＝a(2－1)2－4a(2－1)＋3a＝(10－62)a ，又∵y max ＝2m ＝22－1＝22＋2，∴(10－62)a ＝22＋2.解得a ＝11＋827.Ⅱ若a<0，则开口向下，在x ＝2取最大值22＋2，即4a ＋2b ＋c ＝22＋2，解得a ＝－22－2.综上，所求a 的值为11＋827或－22－2.二次函数中的动点问题【经典导例】【例2】(2011河北中考)如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动t(t ＞0)秒，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．(1)求c 、b ；(用含t 的代数式表示)(2)当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M ，N.①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S ＝218；(3)在矩形ABCD 的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．【解析】(1)由抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ，将点O 与点P 的坐标代入方程即可求得c ，b ；(2)①当x ＝1时，y ＝1－t ，求得点M 的坐标，则可求得∠AMP 的度数；②由S ＝S 四边形AMNP －S △PAM ＝S △DPN ＋S 梯形NDAM －S △PAM ，即可求得关于t 的二次函数，列方程即可求得t 的值；(3)根据图形，即可直接求得答案，分别分析左边有4，3，2，1，0个好点时，t 的取值范围．【学生解答】(1)把x ＝0，y ＝0代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得c ＝0，再把x ＝t ，y ＝0代入y ＝x 2＋bx ，得t 2＋bt ＝0，∵t ＞0，∴b ＝－t ；(2)①不变，∵抛物线的解析式为：y ＝x 2－tx ，且点M 的横坐标为1，∴当x ＝1时，y ＝1－t ，M(1，1－t)，∴AM ＝|1－t|＝t －1，∵OP ＝t ，∴AP ＝t －1，∴AM ＝AP ，∵∠PAM ＝90°，∴∠AMP ＝45°；②S＝S 四边形AMNP －S △PAM ＝S △DPN ＋S 梯形DNMA －S △PAM ＝12(t －4)(4t －16)＋12[(4t －16)＋(t －1)]×3－12(t －1)(t －1)＝32t2－152t ＋6.解32t 2－152t ＋6＝218，得t 1＝12，t 2＝92，∵4＜t ＜5，∴t 1＝12(舍去)，∴t ＝92；(3)①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方，则有－4＜y 2＜－3，－2＜y 3＜－1，即－4＜4－2t ＜－3，－2＜9－3t ＜－1，72＜t ＜4且103＜t ＜113，解得72＜t ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t的取值范围是72＜t ＜113.4．(2016保定八中三模)已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，线段AB 的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y 轴和x 轴的正半轴上，点C 为线段AB 的中点，现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点D.(1) 如图①，若该抛物线经过原点O ，且a ＝－13.①求点D 的坐标及该抛物线的解析式；②连接CD ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB 与∠BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(2)如图②，若该抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余，若符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围.解：(1)①过点D 作DF⊥x 轴于点F, ∵∠DBF ＋∠ABO＝90°，∠BAO ＋∠ABO＝90°，∴∠DBF ＝∠BAO.又∵∠AOB＝∠BFD＝90°， AB ＝BD ，∴△AOB ≌△BFD(AAS )，∴DF ＝BO ＝1，BF ＝AO ＝2，∴点D 的坐标为(3，1).根据题意得a ＝－13，c ＝0，且a·32＋b·3＋c ＝1, 解得b ＝43， ∴抛物线的解析式y ＝－13x 2＋43x. ②∵点C ，D的纵坐标都为1, ∴CD ∥x 轴．∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO 与∠BCD 互余. 若要使得∠POB 和∠BCD 互余，则只要满足∠POB＝∠BAO. 设点P 的坐标为(x ，－13x 2＋43x), i ．当点P 1在x 轴上方时，如答图，过点P 1作P 1G ⊥x 轴于点G,则tan ∠P 1OB ＝tan ∠BAO ，即P 1G OG ＝BD AO .∴－13x 2＋43x x ＝12，解得x 1＝52，x 2＝0(舍去). ∴将x ＝52代入得－13x 2＋43x ＝54.∴点P 1的坐标为(52，54). ii.当点P 2在x 轴下方时，如答图，过点P 2作BH⊥x 轴于点H,则tan ∠P 2OB ＝tan ∠BAO ，即P 2H OH ＝BO AO . ∴－（－13x 2＋43x ）x ＝12，解得x 1＝0(舍去)．x 2＝112.将 x ＝112代入抛物线解析式得－13x 2＋43x ＝－114. ∴点P 2的坐标为(112，－114). 综上所述，在抛物线上存在点P ，使得∠POB 与∠BCD互余，点P 的坐标为(52，54)或(112，－114)；(2)∵该抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点E(1，1)，D(3，1)，∴抛物线的解析式为ax 2－4ax ＋3a ＋1.若要使得∠QOB 和∠BCD 互余，则只要满足∠QOB＝∠BAO，据此分a<0和a>0两种情况讨论．a 的取值范围为a<－13或a>4＋154.5．(2016河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为B ，A, 过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝kx(k>0，x>0)于点P ，且OA·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标；(4)设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．解：(1)设点P(x ，y)，则MP ＝y ，由OA 的中点为M 知OA ＝2x ，代入OA·MP＝12，得2x·y＝12，即xy ＝6，∴k ＝xy ＝6；(2)当t ＝1时，令y ＝0，0＝－12(x －1)(x ＋3)，∴x 1＝1，x 2＝－3，∴由B 在A 左边，得B(－3，0)，A(1，0)，∴AB ＝4.∵L 的对称轴为x ＝－1，而M 为(12，0)，∴MP 与L 对称轴的距离为32；(3)∵A(t，0)，B(t －4，0)，∴L 的对称轴为x ＝t －2，又MP 为x ＝t 2.当t －2≤t2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点；当t －2>t 2即t>4时，L 与MP 的交点(t 2，－18t 2＋t)就是G 的最高点；(4)5≤t≤8－2或7≤t≤8＋ 2.与图形中的动态问题【经典导例】【例3】(2016河北中考)如图，A(－5，0)，B(－3，0)．点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD ∥AB ，∠CDA ＝90°.点P 从点Q(4，0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．(1)求点C 的坐标；(2)当∠BCP＝15°时，求t 的值；(3)以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边(或边所在的直线)相切时，求t 的值．【学生解答】(1)∵∠BCO＝∠CBO＝45°，∴OC ＝OB ＝3.又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为(0，3)；(2)当点P 在点B 右侧时，如答图①.若∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°. ∴OP ＝OC·tan 30°＝3，此时t ＝4＋ 3.当点P 在点B 左侧时，如答图②，由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，∴t 的值为4＋3或4＋33；(3)由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况：①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP ＝3，此时t ＝1.②当⊙P 与CD 相切于点C 时，有PC⊥CD，即点P 与点O 重合，此时t ＝4.③当⊙P 与AD 相切时，由题意，∠DAO ＝90°，∴点A 为切点．PC 2＝PA 2＝(9－t)2，PO 2＝(t －4)2，于是(9－t)2＝(t －4)2＋32，解得t ＝5.6，∴t 的值为1或4或5.6.【方法指导】本题涉及到的知识有矩形的性质、锐角三角函数、圆的切线的相关知识，需要学生根据题目的条件进行分类讨论，从而确定问题的完整答案．6．(2016石家庄四十一中二模)如图，已知∠MON＝90°，A 是∠MON 内部的一点，过点A 作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3 cm，OB＝4 cm，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5 cm/s的速度沿ON方向运动，点F以2 cm/s 的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t s(t＞0)．(1)当t＝1 s时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？(3)连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF＝12S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)相似．理由如下：当t＝1，OE＝1.5 cm，OF＝2 cm，则OE∶OF＝3∶4.∵AB∶OB＝3∶4，∴OE∶OF＝AB∶OB.∵∠FOE＝∠ABO＝90°，∴△EOF∽△ABO；(2)无论t为何值，在运动过程中，△EOF∽△ABO，则∠FEO＝∠OAB.∵∠AOB＋∠OAB＝90°，则∠AOB＋∠FEO＝90°，∴∠OCE＝90°，即EF⊥OA；(3)存在．∵S四边形AEOF＝S△AEF＋S△EOF，∴S△AEF＝S△EOF.∵EF⊥OA，∴S△EOF＝12EF·OC，S△AEF＝12EF·AC，∴OC＝AC，∴EF垂直平分OA，∴OE＝AE.∵OE＝32t，BE＝4－32t，在Rt△ABE中，∵AB2＋BE2＝AE2，∴32＋(4－32t)2＝94t2，解得t＝2512，∴当t＝2512时，S△AEF＝12S四边形AEOF.7．(2016广东中考)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°， AB＝BC＝4 cm.(1) 填空：AD＝________cm，DC＝________cm；(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D, C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连接MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离；(用含x的式子表示)(3) 在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin75°＝6＋24，sin15°＝6－24)解：(1)26；2 2.(2)过点N作NE⊥AD于点E，作NF⊥DC的延长线于点F，则NE＝DF.∵∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，∴∠NCF ＝75°，∠CNF＝15°，∴FC＝6－24x，∴NE＝DF＝6－24x＋22，∴点N到AD的距离为(6－24x＋22)cm；(3)∵sin75°＝FNNC，FN＝6＋24x，∵PD＝CP＝2，PF＝6－24x＋2，S△PMN＝S梯形FNMD－S△MPD－S△NPF，∴y ＝12(6＋24x＋26－x)(6－24x＋22)－12(26－x)×2－12(6－24x＋2)·(6＋24x)．即y＝2－68x2＋7－3－224x＋23，即y是x的二次函数：∵2－68<0，∴当x＝－7－3－2242×2－68＝7－3－226－2时，y最大值＝66＋73－102－3042－46.二次函数与几何图形【经典导例】【例4】(2016益阳中考)如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B. (1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD≌△OAB； (3)在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．【解析】(1)可设顶点求解析式；(2)可先利用函数分别求出C ，D 坐标，从而利用SSS 来证明两三角形全等；(3)可利用轴对称求出C 点关于x 轴的对称点，再利用相似或直线C′D 与x 轴交点，求出P 点坐标．【学生解答】解：(1)∵抛物线顶点为A(3，1)，设抛物线对应的二次函数的解析式为y ＝a(x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入解析式，得a ＝－13，∴抛物线对应的二次函数的解析式为：y ＝－13x 2＋233x ；(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，得B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的解析式为y ＝kx ，将A(3，1)代入解析式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的解析式为y ＝33x.∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的解析式为y ＝33x ＋b ，将B(23，0)代入y ＝33x ＋b 中，得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的解析式为y ＝33x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D 的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得：OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD.在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，AB ＝CD ，OB ＝OD ，∴△OAB ≌△OCD ；(3)点C 关于x 轴的对称点C′的坐标为(0，2)，则C′D 与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小．过点D 作DQ⊥y 轴，垂足为点Q ，则PO∥DQ，∴△C ′PO ∽△C ′DQ ，∴PO DQ ＝C ′O C ′Q ，即PO 3＝25，∴PO ＝235，∴点P 的坐标为(－235，0)．8．(2016张家口九中二模)如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2.(1)求抛物线的函数解析式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最值．解：(1)∵AB＝2，对称轴为直线x ＝2，∴A(1，0)，B(3，0)．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，∴1，3是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得1＋3＝－b ，1×3＝c ，∴b ＝－4，c ＝3，∴抛物数的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接PA.由(1)知抛物线的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∴点C 的坐标为(0，3)，∴B C ＝32＋32＝32，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴x ＝2对称，∴PA ＝PB ，∴PA ＋PC ＝PB ＋PC ，此时，PB ＋PC ＝BC ，当P 点在对称轴上运动时，PA ＋PC 的最小值等于BC ，∴△APC 周长的最小值为AC ＋AP ＋PC ＝AC ＋BC ＝32＋10.直角三角形、等腰三角形、特殊四边形性质问题【经典导例】【例5】(2016漳州中考)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B(3，0)，与 y 轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN//y 轴交直线BC 于点N ，求线MN 的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)可利用待定系数法求二次函数解析式；(2)要先求出MN 关于x 的函数解析式，利用函数性质求出MN 的最大值；(3)注意要分类讨论各种情况．【学生解答】(1)∵点B(3，0)，C(0，3)，在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴抛物线的解析式y ＝x 2－4x ＋3；(2)令x 2－4x ＋3＝0，则x 1＝1，x 2＝3，设直线BC 的解析式y ＝kx ＋b.∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC 上，∴直线BC 的解析式y ＝－x ＋3，设N(x ，－x ＋3)，则M(x ，x 2－4x ＋3)(1<x<3)，∴MN ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，∴当x ＝32时，MN 的最大值为94；(3)存在．所有点P 的坐标分别是：P 1⎝⎛⎭⎪⎫2，3＋172，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3－172，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2，142，P 4⎝⎛⎭⎪⎫2，－142，P 5⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.9．(2016石家庄四十二中模拟)如图，已知二次函数的图象过点A(0，－3)，B(3，3)，对称轴为直线x ＝－12，点P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作PM⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取PC ＝13MP ，MD ＝13OM ，OE ＝13ON ，NF ＝13NP. (1)求此二次函数的解析式；(2)求证：以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；(3)在抛物线上是否存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵二次函数图象的对称轴为直线y ＝－12，∴设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋12)2＋k.∵点A(0，－3)，B(3，3)在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋k ＝－3，a （3＋12）2＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－134.∴抛物线的解解析式为y ＝(x ＋12)2－134，即y ＝x 2＋x －3； (2)连接CD ，DE ，EF ，FC.∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，∴四边形PMON 为矩形，∴PM ＝ON ，PN ＝OM.∵PC＝13MP ，OE ＝13ON ，∴PC ＝OE.∵MD＝13OM ，NF ＝13NP ，∴MD ＝NF ，∴PF ＝OD.在△PCF 与△OED 中，⎩⎪⎨⎪⎧PC ＝OE ，∠FPC ＝∠DOE＝90°，PF ＝OD.∴△PCF ≌△OED(SAS )，∴CF ＝DE ，同理可证：△CDM≌△EFN，∴CD ＝EF.∵CF＝DE ，CD ＝EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形；(3)假设存在这样的点P ，使四边形CDEF 为矩形，设矩形PMON 的边长PM ＝ON＝m ，PN ＝OM ＝n ，则PC＝13m ，MC ＝23m ，MD ＝13n ，PF ＝23n.若四边形CDEF 为矩形，则∠DCF＝90°，易证△PCF∽△MDC，∴PC MD ＝PF MC ，即13m 13n ＝23n 23m ，化简得m 2＝n 2，∴m ＝n ，即矩形PMON 为正方形，∴点P 为抛物线y ＝x 2＋x－3与坐标象限角平分线y ＝x 或y ＝－x 的交点．将y ＝x 代入y ＝x 2＋x －3，解得x 1＝3，x 2＝－3，∴P 1(3，3)，P 2(－3，－3)．将y ＝－x 代入y ＝x 2＋x －3，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴P 3(－3，3)，P 4(1，－1)，∴抛物线上存在点P ，使四边形CDEF 为矩形，这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P 1(3，3)，P 2(－3，－3)，P 3(－3，3)，P 4(1，－1)．10．(2016唐山模拟)如图，边长为1的正方形ABCD 一边AD 在x 负半轴上，直线l ：y ＝12x ＋2经过点B(x ，1)与x 轴，y 轴分别交于点H ，F ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的顶点E 在直线l 上．(1)求A ，D 两点的坐标及抛物线经过A ，D 两点时的解析式；(2)当抛物线的顶点E(m ，n)在直线l 上运动时，连接EA ，ED ，试求△EAD 的面积S 与m 之间的函数解析式，并写出m 的取值范围；(3)设抛物线与y 轴交于Q 点，当抛物线顶点E 在直线l 上运动时，以A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E 点坐标；若不能，请说明理由.解：(1)∵直线l ：y ＝12x ＋2经过点B(x ，1)，∴1＝12x ＋2，解得x ＝－2，∴B(－2，1)，∴A(－2，0)，D(－3，0)．∵抛物线经过A ，D 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4－2b ＋c ＝0，－9－3b ＋c ＝0，解得，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，c ＝－6，∴抛物线经过A ，D 两点时的解析式为y ＝－x 2－5x －6；(2)连接EA ，ED ，∵顶点E(m ，n)在直线l 上，∴n ＝12m ＋2，∴S ＝12×1×(12m ＋2)＝14m ＋1，即S ＝14m ＋1(m≠4)；(3)如图，若以A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC ＝EQ ，AC ∥EQ ，作EM∥y 轴交过Q 点平行于x 轴的直线于点M ，则EM⊥QM，△EMQ ≌△CDA ，∴QM ＝AD ＝1，∴点E 的横坐标为±1.∵顶点E在直线l 上，∴y ＝12×(－1)＋2＝32，或y ＝12×1＋2＝52，∴E(－1，32)或(1，52)．又∵当点E 坐标为(1，52)时，以A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形不能成为平行四边形，∴E 点坐标为(－1，32)．11．(2016潍坊中考)如图，已知抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入y ＝13x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，10＝13×（－9）2－9b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.所以，抛物线的解析式是y ＝13x 2＋2x ＋1；(2)∵AC∥x 轴，A(0，1)，由13x 2＋2x ＋1＝1，解得x 1＝－6，x 2＝0，∴C(－6，1)，设直线AB 的解析式是y ＝kx ＋b(k≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧1＝b ，10＝－9k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.则直线AB 的解析式是y ＝－x ＋1.设点P 的坐标为(m ，13m 2＋2m ＋1)，则点E 为坐标为(m ，－m ＋1)．则EP ＝－m ＋1－(13m 2＋2m ＋1)＝－13m 2－3m.∵AC⊥EP，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ·EF ＋12AC ·PF ＝12AC ·(EF ＋PF)＝12AC ·EP ＝12×6×(－13m 2－3m)＝－m 2－9m ＝－(m ＋92)2＋814.又∵－6<m<0，则当m ＝－94时，四边形AECP 面积的最大值是814，此时点P 的坐标是(－92，－54)；(3)由y ＝13x 2＋2x ＋1＝13(x ＋3)2－2，得顶点P 的坐标是(－3，－2)，此时PF ＝y F －y P ＝3，CF ＝x F－x C ＝3，则在Rt △CFP 中，PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45°，同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF ＝∠EAF，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q ，使△CPQ 1∽△ABC 或△CQ 2P ∽△ABC.可求AB ＝92，AC ＝6，CP ＝32，①当△CPQ 1∽△ABC时，设Q 1(t 1，1)，由CQ 1AC ＝CP AB ，得t 1＋66＝3292，解得t 1＝－4.②当△CQ 2P ∽△ABC 时，设Q 2(t 2，1)，由CQ 2AB ＝CPAC ，得t 2＋692＝326，解得t 2＝3.综上，满足条件的点Q 有两个，坐标分别是Q 1(－4，1)或Q 2(3，1)．。