课程信息
【阴确目标有的故矢】
、考点突破
、重难点提示
相似关系的寻找。
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动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。
选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。
III 無例黠祈［
例题1如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之
平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（）
A.绳的拉力增大，BC杆受压力增大
B.绳的拉力不变，BC杆受压力增大
C.绳的拉力不变，BC杆受压力减小
D.绳的拉力不变，BC杆受压力不变
思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑
轮上所受三力均平衡;
(2)B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆；
(3)绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆(否则杆必转动) ，则杆必处于两绳所构成角的平分线上。
方法一：
选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。绳中的弹力大小相等，即T i= T2= G, T i、T2、F三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC 段绳子与竖直墙壁间的夹角为则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F= 2Gsin扌当
绳的A端沿墙向下移时，B增大，F也增大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。
方法二：
图中，矢量三角形与几何三角形ABC相似，因此-AB mg，解得F = -BC mg，当绳
BC F AB
的A端沿墙向下移，再次平衡时，AB长度变短，而BC长度不变，F变大，根据牛顿第三
定律，BC杆受压力增大。
方法三：
将绳的A端沿墙向下移，T2大小和方向不变，T i大小不变，但与T2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两
段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F'大于
F
，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC杆受压力增大。
答案：B
例题2 （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量
为m的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小
孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F和轨
A. F大小将不变
C. N大小将不变
思路分析：对小球受力分析，其受到竖直向下的重力拉力F作用，小球处于平衡状态，G大小方向恒
定，
答案：C B. F大小将增大
D. N大小将增大
G,圆环对小球的弹力N和线的N和F方向不断在变化，如图所示，
可知矢量三角形AGF i与长度三角形BOA相似，得出:
G
OB
N
OA
A B，又因为在移动过
程中，OA与OB的长度不变，而AB长度变短，所以N不变, 项正确。F i变小，即F变小，故C选道对小球的弹力
【综合拓展】极限分析法解决动态平衡问题
运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，
使某些量的变化抽象
成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。这种方法具有好懂、易学、省时、准确的特 点。
示例：A 、B 两小球由轻杆相连，力 F 将小球B 缓慢向左推进，试分析 F 的大小变化。
思路：利用极限法，要找到 F 出现极值的时刻。可以直接从
B 被推至竖直墙面时刻入
手分析。此时AB 只受重力、支持力，水平方向上没有力的作用，故 F 大小为0。这样就可
以初步判断出F 是逐渐变小的。接着深入判断
F 是否会出现先变大后变小的情况即可。
满分训练：如图所示，轻绳的一端系在质量为
m
的物体上，另一端系在一个轻质圆环
上，圆环套在粗糙水平杆 MN 上。现用水平力 F 拉绳上一点，使物体处于图中实线位置， 然后改变F 的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动。在这一过程 中，水平拉力F 、环与杆的摩擦力 F 摩和环对杆的压力
F N 的变化情况是（
）
A. F 逐渐增大，F 摩保持不变，F N 逐渐增大
B. F 逐渐增大，F 摩逐渐增大，F N 保持不变
C. F 逐渐减小，F 摩逐渐增大，F N 逐渐减小
D.F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变
思路分析：物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力F T与竖直
方向的夹角B减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D正确。
答案：D
IK同蔓餌圍【般好题蝕験如
（答题时间：30分钟）
1.如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态，缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板
向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是（）
A.先保持不变
B. 一直增大
C.先增大后减小
D.先减小后增大
2.如图所示，在斜面上放两个光滑球A和
B ，两球的质量均为 m ,它们的半径分别是 R 和r ，球A 左侧有一垂直于斜面的
挡板 P ,两球沿斜面排列并处于静止状态，下列说法正确 的是（
）
A. 斜面倾角B —定，R>r 时，R 越大，r 越小，则B 对斜面的压力越小
B. 斜面倾角B —定，R = r 时，两球之间的弹力最小 C ?斜面倾角B —定时，无论半径如何， A 对挡板的压力一定
D. 半径一定时，随着斜面倾角 B 逐渐增大，A 受到挡板的作用力先增大后
减小 3.
半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正
上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 A 点，另一端绕过定
滑轮后用力拉住，
使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由 A 到B 的过程中，半球对小球的支持
力N 和绳对小球的拉力 T 的大小变化的情况是（
）
A 、
B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成 角，由于漏电使 A 、B 两质点的
电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点
P 的拉力T 大小（
）
A. N 变大，T 变小
B. N 变小，T 变大
4.
P 点用细线悬挂一质点 B ,
A. T变小
B.T变大
C.T不变
D. T无法确定
5?如图所示，两球A、B用劲度系数为k i的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于0点, 球A固定在0点正下方，且点0、A之间的距离恰为L,系统平衡时绳子所受的拉力为F i。现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为
F2,则F i与F2的大小关系为（
C. F i D.无法确定 6.如图所示，AC是上端带定滑 轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC 一端通过铰链固定 在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。现用力F 拉绳，开始时/ BCA >90°使/ BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC。在此过程中, F列说法正确的是（） A.杆所受力大小不变 B.杆所受力先减小后增大 C.绳所受力逐渐减小 D.绳所受力先增大后减小 7.（广 东省汕头市期末）如图所示，运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械，在手臂0A 沿水平方向缓慢移到A位置过程中，若手臂0A、0B的拉力分别为F A和F B,下列表述正确的是（） A. F i>F2 B. F i= F2 小耶体理倍林.豹节彖定命运 A.F A一定小于运动员的重力G B.F A与F B的合力始终大小不变 C.F A的大小保持不变 D.F B的大小保持不变 8.（自贡高三月考）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板 MN。在P与MN之间放一个光滑均匀的小圆柱体Q,整个装置处于静止，如图所示。若用 外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q到达地面以前，P始终保持静止，在此过程 中，下列说法正确的是（） A.MN对Q的弹力逐渐增大 B.地面对P的摩擦力逐渐增大 C.P、Q间的弹力先减小后增大 D.Q所受的合力逐渐增大 9?重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置, 在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力大小F i、F2分别是如何变化的？ 1.D 解析：本题考查共点力的动态平衡问题。对物块进行受力分析可知，由于初始状态 弹簧被拉伸，所以物块受到的摩擦力水平向左，当倾角逐渐增大时，物块所受重力在斜面方 向的分力逐渐增大，所以摩擦力先逐渐减小，当弹力与重力的分力平衡时，摩擦力减为0; 当倾角继续增大时，摩擦力向上逐渐增大，故选项D正确。 2.BC 解析：先对A、B整体受力分析，整体受到三个力的作用，当斜面的倾角B不变时， 不管两球的半径如何变化，这三个力都不变，选项C正确；斜面倾角B逐渐增大时，采用 极限的思维，A受挡板的弹力最大为两者重力之和，则选项D错误；然后采用隔离法对B 受力分析，B受三个力，重力不变，斜面对B的支持力方向不变，A对B的弹力方向和斜面的支持力垂直时，A和B 之间的弹力最小，此时两球的半径相等，选项B正确；斜面倾角0 一定，R>r时，R越大，r越小，斜面对B的弹力越大，选项A错误。 3. D 解析：如图所示 对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg不变，支持力N，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N的大小和方向、绳子的拉力T的大小和方向，所以还要利用其他条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似， 则有如下比例式： T mg N L h R R 可得：T —mg 运动过程中L变小，T变小。 h R R N mg 运动中各量均为定值，故支持力N不变。综上所述，正确答案为选项 h R D。 4.C 解析：有漏电现象，F AB减小，则漏电瞬间质点B的静止状态被打破，必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析如图所示。 由于漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点A、B及绳墙和P点构成动态封闭三角形，且有如下图所示不同位置时阴影三角形的相似情况。 则有相似比例： mg T F AB PQ PB AB PB 可得：T mg 变化过程PB、PQ、mg均为定值，所以T不变。正确答案为C 。 PQ 5. B 解析：以小球B为研究对象，分析受力情况，由平衡条件可知，弹簧的弹力N和绳 子的拉力F的合力F合与重 力mg大小相等，方向相 反，即F合=mg，作出力的 合成力如图。 由三角形相似得 F合 =mg，可见，绳子的拉力F OA OB 只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数 k关，所以得到F I=F2。故选B。 6.AC 解析：以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图。 F 、N 的合力F 合与 G 大小相等、方向相反。据三角形相似得 所以 绳子越来越不容易断，作用在 BC 杆上的压力大小不变。选项 B 、D 错 误，A 、C 正确。 7. B 解析：在手臂 0A 沿水平方向缓慢移到 A 位置的过程中，人的受力情况如图所示: 由图可知F A 是逐渐减小的，但不一定小于运动员的重力，选项 A 、C 错误；F B 是逐渐 减小的，选项 D 错误；F A 与F B 的合力始终等于人的重力，大小不变，选项 B 正确。 8. AB 解析：以Q 为研究对象，受重力G Q 、P 对Q 的弹力F P 、M 板对Q 的弹力F i 的作 用而平衡，如图所示： F 合 F N 又F 合=G AC AB BC 得F AB BC G ,N G AC AC 现使/ BCA 缓慢变小的过程中, AB 变小，而AC 、BC 不变，则得到F 变小, N 不变, 根据平衡条件知, 当Q下移时，F p的方向顺时针偏转，由图可知，挡板的弹力逐渐增大（由图中F i变为 F2）, P对Q的弹力也逐渐增大（由图中AB i变为AB2）,故选项A对，选项C错。Q所受合力始终为零。 9.F i逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2丄F i,即挡板与斜面垂直时，F2最小） 解析：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力 为零。应用三角形定则，G、F i、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终 保持不变；F i的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F i所在的直线上，由图可知，挡板逆时针转动90。的过程中，F2矢量也逆时针转动90o,因此F i逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2丄F i,即挡板与斜面垂直时， F2最小） 高一动态平衡,相似三角形法 1．如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则（） A. 地面对A的摩擦力增大 B. A与B之间的作用力减 C. B对墙的压力增大 D. A对地面的压力减小 2．质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上.用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示.用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( ) A. F逐渐变小，T逐渐变小 B. F逐渐变大，T逐渐变大 C. F逐渐变大，T逐渐变小 D. F逐渐变小，T逐渐变大 3．如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态.则( ) A. 水平面对C的支持力等于B、C的总重力 B. C一定受到水平面的摩擦力 C. B一定受到C的摩擦力 D. 若将细绳剪断，物体B开始沿斜面向下滑动，则水平面对C的摩擦力可能为零4．如图所示，a、b、c三根轻细绳悬挂两个质量相同的小球A、B保持静止，细绳a是水平的，现对B球施加一个水平向右的力F，将B缓慢拉到图中虚线位置，A球保持不动，这时三根细绳张力F a、F b、F c的变化情况是 A. 都变大 B. 都不变 C. F a、F b不变，F c变大 D. F a、F c变大，F b不变 5．如图所示，质量分别均匀的细棒中心为O 点， 1O 为光滑铰链， 2O 为光滑定滑轮， 2O 在1O 正上方， 一根轻绳一端系于O 点，另一端跨过定滑轮2O 由于水平外力F 牵引，用N 表示铰链对杆的作用，现在外力F 作用下，细棒从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是 A. F 逐渐变小，N 大小不变 B. F 逐渐变小，N 大小变大 C. F 先变小后变大，N 逐渐变小 D. F 先变小后变大，N 逐渐变大 6．如图所示，不计重力的轻杆OP 能以O 点为圆心在竖直平面内自由转动，P 端用轻绳PB 挂一重物，另用一根轻绳通过滑轮系住P 端．在力F 的作用下，当杆OP 和竖直方向的夹角α(0＜α＜π)缓慢增大时，力F 的大小应( ) A. 逐渐增大 B. 恒定不变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小 7．如图所示，一半球状的物体放在地面上静止不动，一光滑的小球系在轻绳的一端，轻绳绕过定滑轮另一端在力F 的作用下，拉动小球由图示位置沿球体表面缓慢向上移动。（定滑轮位于半球球心的正上方，不计滑轮的摩擦）则（ ） A. 拉力F 的大小在增大 B. 小球受到球状体的支持力减小 C. 地面对半球体的支持力减小 D. 地面对半球体的摩擦力在减小 图解法分析动态平衡问题 所谓图解法就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，做一些较为复杂的定性分析，从图形上一下就可以看出结果，得出结论。 题型特点：（1）物体受三个力。（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。 解题思路：（1）明确研究对象。（2）分析物体的受力。（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。（4）正确找出力的变化方向。（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。 注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。 （2）正确判断力的变化方向及方向变化的围。 （3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。 【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( ) A．增大B．先减小，后增大 C．减小D．先增大，后减小 解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大．方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出： FAB cos 60°＝FB C sin θ， FAB sin 60°＋FB C cos θ＝FB， 联立解得FBC sin(30°＋θ)＝FB/2， 显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大． 答案：B 变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N 的大小变化情况是( ) A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小 解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面 对球的支持力F N′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝F N″sinθ，则F 逐渐增大，水平面对斜面的支持力F N＝G＋F N″·cos θ，故F N逐渐增大． 答案：C 利用相似三角形相似求解平衡问题 2．相似三角形法： 当物体受三个共点力作用处于平衡状态时，若三力中有二力的方向发生变化，而无法直接用图解法得出结论时，可以用表示三力关系的矢量三角形跟题中的其他三角形相似对应边成比例，建立关系求解。 【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N的大小变化情况是( ) A．F N先减小，后增大B．F N始终不变 C．F先减小，后增大D．F始终不变 解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力F N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将F N 与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此 图解法分析动态平衡问题 【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是() A．增大B．先减小，后增大 C．减小D．先增大，后减小 变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N 的大小变化情况是() A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小 利用相似三角形相似求解平衡问题 2．相似三角形法： 当物体受三个共点力作用处于平衡状态时，若三力中有二力的方向发生变化，而无法直接用图解法得出结论时，可以用表示三力关系的矢量三角形跟题中的其他三角形相似对应边成比例，建立关系求解。 【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N 的大小变化情况是() A．F N先减小，后增大B．F N始终不变 C．F先减小，后增大D．F始终不变 变式2－1如图2－4－5所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为() A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1 1.如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为O.人沿水平方向拉着OB绳，物体和人均处于 静止状态．若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是() A．OA绳中的拉力先减小后增大 B．OB绳中的拉力不变 C．人对地面的压力逐渐减小 D．地面给人的摩擦力逐渐增大 2.如图所示，将球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向缓慢向上偏移至竖直 方向的过程中，细绳上的拉力将 () A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 3.如图所示，不计重力的轻杆OP能以O点为圆心在竖直平面内自由转动，P端用轻绳PB挂一重物，用一根轻绳通过滑轮系住P端．在力F的作用下，当杆OP和竖直方向的夹角α(0<α<π）缓慢增大时，力F的大小应() A．恒定不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 4.如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕 O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是() A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大 5.如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推 动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力F1、半球面对小球的 支持力F2的变化情况正确的是() A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2减小 D．F1减小，F2增大 6.如图所示，物体m与斜面体M一起静止在水平面上，若将斜面的倾角θ减小一些，下列说法正确的是() A．斜面体对物体的支持力减小 B．斜面体对物体的摩擦力减小 C．水平面对斜面体的支持力减小 D．水平面对斜面体的摩擦力减小 7.如图所示，上表面光滑的半圆柱体放在水平面上，小物块从靠近半圆柱体顶点O的A点，在外力F作用下沿圆弧缓慢下滑到B点，此过程中F始终沿圆弧的切线方向且半圆柱体保持静止状态．下列说法中正确的是() A．外力F先变小后变大 B．半圆柱体对小物块的支持力变大 C．地面对半圆柱体的支持力变大 D．地面对半圆柱体的摩擦力先变大后变小 相似三角形法分析动态平衡问题 （1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面 B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉 住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ） A 、N 变大，T 变小 B 、N 变小，T 变大 C 、N 变小，T 先变小后变大 D 、N 不变，T 变小 解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式： R N R h mg L T =+= 可得：mg R h L T += 运动过程中L 变小，T 变小。 mg R h R N += 运动中各量均为定值，支持力N 不变。正确答案D 。 例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ） A 、T 变小 相似三角形分析动态平 衡问题 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 知识点考纲要求题型分值 牛顿运动定律的应 用会用相似三角形解决动态平衡 问题 选择题6分 二、重难点提示 相似关系的寻找。 动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。 选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。 例题1 如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（） A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大 B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大 C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小 D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变 思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡； （2）B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆； （3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。 方法一： 选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。绳中的弹力大小相等，即T1＝T2＝ G ，T 1、T 2、F 三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC 段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F ＝ 2G sin θ 2 ，当绳的A 端沿墙向下移时，θ增大，F 也增大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压 力增大。 方法二： 图中，矢量三角形与几何三角形ABC 相似，因此 F mg BC AB ，解得F ＝AB BC ·mg ，当绳的A 端沿墙向下移，再次平衡时，AB 长度变短，而BC 长度不变，F 变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。 方法三： 将绳的A 端沿墙向下移，T 2大小和方向不变，T 1大小不变，但与T 2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然 F ′大于F ，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。 答案：B 例题2 （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力N 的大小的变化情况是（ ） 静力学解题方法2——相似三角形法 （非常好的方法，仔细分析例题，静力学受力分析三大方法之一） （1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ） A 、N 变大，T 变小 B 、N 变小，T 变大 C 、N 变小，T 先变小后变大 D 、N 不变，T 变小 解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式： R N R h mg L T =+= 可得：mg R h L T += 运动过程中L 变小，T 变小。 mg R h R N += 运动中各量均为定值，支持力N 不变。正确答案D 。 例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前 悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ） A 、T 变小 B 、T 变大 C 、T 不变 D 、T 无法确定 . A. T、N Ｃ．小球作用于板的压力可能小于球所受的重力 Ｄ．小球对板的压力不可能小于球所受的重力 一个截面是直角三角形的木块放在水平地面上，在斜面上放一个光滑球， 所示。若在光滑球的最高点再施加一个竖直向下的力. 保持静止，则在加入砂子的过程中 A.球B对墙的压力减小 C.地面对物体A的摩擦力减小. . 21．AB与BC所受的拉力大小； 22．若将C点逐渐上移，同时将BC线逐渐放长，而保持AB的方向不变，在此过程中AB与BC中的张 力大小如何变化？ 如图所示，有倾角为30°的光滑斜面上放一质量为2kg的小球，球被竖直挡板挡住，若斜面足够长，g取10m/s2,求： 23．球对挡板的压力大小。 24．撤去挡板，2s末小球的速度大小。 25．如图1所示，电灯悬挂于两干墙之间，使连接点A上移，但保持O点位置不变，则在A点向上移 动的过程中，绳OA、OB的拉力如何变化？ 图1 . 参考答案 1． B 【解析】 以结点O为研究对象进行受力分析如图(a)。 由题可知，O点处于动态平衡，则可作出三力的平衡关系图如图(a)。 由图可知水平拉力增大。 以环、绳和小球构成的整体作为研究对象，作受力分析图如图(b)。 由整个系统平衡可知：F N=(mA+mB)g；Ff=F。 即F f增大，F N不变，故B正确。 2．A 【解析】 3． BC 【解析】 本题考查受力分析及整体法和隔离体法． 以两环和小球整体为研究对象，在竖直方向始终有FN＝Mg＋2mg，选项C对A错； 设绳子与水平横杆间的夹角为θ，设绳子拉力为T， 以小球为研究对象，竖直方向有，2Tsinθ＝Mg， 以小环为研究对象，水平方向有，Ff＝Tcosθ， 由以上两式联立解得Ff＝(Mgcotθ)/2， 当两环间距离增大时，θ角变小，则Ff增大，选项B对D错． 4．D 【解析】球形物体处于静止状态，故其合外力为零，以球形物体为研究对象，受力如图所示，本题中由于球形物体的重力是不变的，而斜面对球形物体的支持力的方向是不变的，由共点力的平衡条件可知：支持力与绳的拉力的合力与重力等大反向，则绳的拉力的变化如右图所示，故绳的拉力先减小后增大，故D对。 相似三角形法分析动态平 衡问题 The pony was revised in January 2021 相似三角形法分析动态平衡问题 （1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ） A 、N 变大，T 变小 B 、N 变小，T 变大 C 、N 变小，T 先变小后变大 D 、N 不变，T 变小 解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式： 可得：mg R h L T += 运动过程中L 变小，T 变小。 mg R h R N += 运动中各量均为定值，支持力N 不变。正确答案D 。 学校: 年级: 班级: 姓名: 相似三角形法分析动态平衡问题 （1）相似三角形： 正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角 形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而 达到求未知量的目的。 （2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用 相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法， 解题的关键是正确的受 例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上， 球心正上方有一光滑的小滑轮， 滑轮到球面 B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉 住，使小球静止，如图 1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由 A 到 B 的过程中，半球对小 球的支持力N 和绳对小球的拉力 T 的大小变化的情况是（ ） 解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始 终处于平衡状态，其中重力 mg 不变，支持力 N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成 封闭的动态三角形（图 1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力 N 的大小和方向、绳子的拉力 T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球 面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图 1-2中大阴影三角形），并且始终 与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式： T _ mg _ N L h R R 可得：T —mg 运动过程中L 变小，T 变小。 h +R R N mg 运动中各量均为定值，支持力 N 不变。正确答案 D 。 h R 例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的 Q 处由一固定的质点 A ，在Q 的正上方的P 点用 基础义务教育资料 欢迎使用本资料，祝您身体健康'万事如意，阖家欢乐愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量。 力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。 欢迎使用本资料，祝您身体健康'万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 A 、N 变大，T 变小 B 、N 变小, T 变大 欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 D 、N 不变，T 变小 图1-2 二、重难点提示 相似关系的寻找。 动态平衡问题还有一类处理方法是使用相似三角形法。 选定研究对象后，倘若物体受三个力作用而平衡，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。 例题1 如图所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮，重力为G的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（） A. 绳的拉力增大，BC杆受压力增大 B. 绳的拉力不变，BC杆受压力增大 C. 绳的拉力不变，BC杆受压力减小 D. 绳的拉力不变，BC杆受压力不变 思路分析：（1）本题比较的是轻绳的A端移动前后的两个平衡状态，两个状态下，滑轮上所受三力均平衡； （2）B端是铰链，BC杆可以自由转动，所以BC杆受力必定沿杆； （3）绳绕过滑轮，两段绳力相等，要保证合力沿杆（否则杆必转动），则杆必处于两绳所构成角的平分线上。 方法一： 选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。绳中的弹力大小相等，即T1＝T2＝G，T1、T2、F三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC 段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F ＝2G sin θ2 ，当绳的A 端沿墙向下移时，θ增大，F 也增大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。 方法二： 图中，矢量三角形与几何三角形ABC 相似，因此F mg BC AB ，解得F ＝AB BC ·mg ，当绳的A 端沿墙向下移，再次平衡时，AB 长度变短，而BC 长度不变，F 变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。 方法三： 将绳的A 端沿墙向下移，T 2大小和方向不变，T 1大小不变，但与T 2所夹锐角逐渐增大，再使之平衡时，画出两段绳子拉力与轻杆的弹力所构成的封闭三角形如图所示，显然F ′大于F ，即轻杆的弹力变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。 答案：B 例题2 （辽宁省实验中学模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力N 的大小的变化情况是（ ） 动态平衡 一、矢量三角形解动态平衡问题 操作步骤： 1、物体在三力作用下保持平衡； 2、找出大小和方向不变的力（常为重力）做为剩余两力合力需抵消的力； 3、画出剩余两力以及两力的合力，按题目要求移动物体，发现其中一力 方向肯定不变，另一力在转动，通过矢量三角形观察两力的变化情况。 例一、 （2012全国高考）如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为N 1，球对木板的压力大小为N 2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中（ ） A. N 1始终减小，N 2始终增大 B. N 1始终减小，N 2始终减小 C. N 1先增大后减小，N 2始终减小 D. N 1先增大后减小，N 2先减小后增大 解析：对小球进行受力分析，小球在三力作用下保持平衡；找出大小和方向不变的力即重力，该力为剩余两力合力需抵消的力；画出剩余两力以及两力的合力，其中一力方向肯定不变（N 1力），按题目移动另一力（逆时针移动N 2），通过移动发现N 1和N 2都始终减小，选B 。 N 1 mg N 2 mg N 1 N 2 重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若挡板逆时针缓慢转动到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1，F 2各如何变化？ 例二、 在固定于地面的斜面上垂直安放了一个挡板，截面为四分之一圆的柱状物体甲放在斜面上，半径与甲相等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态，如图所示，现在从球心O 1处对甲施加一平行于斜面向下的力F ，使甲沿斜面方向极其缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止。设乙对挡板的压力为F 1，甲对斜面的压力为F 2，在此过程中F 1、F 2如何变化？ 解析：对乙球进行受力分析，发现小球在三力作用下受力平衡；找出大小和方向不变的力即重力，那该力需剩余两力的合力来抵消；画出剩余两力以及两力的合力，按题目要求移动一下物体，发现力N 1的方向不变，力N 2做顺时针转动，所以力N 1逐渐减小，N 2先减小后增大。因为力N 1和F 1是作用力和反作用力，所以F 1=N 1，即F 1逐渐减小。如何求F 2呢，将甲乙两物体看做一个整体，那么其对斜面的压力F 2=（m 甲+m 乙）gcos ?，其力保持不变。 mg N 1 N 2 mg N 1 N 2 图解法、相似三角形法解决动态平衡问题 1． 如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。现用水平力F 拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力F f和环对杆的压力F N的变化情况是( ) A、F f不变，F N不变 B、F f增大，F N不变 C、F f增大，F N减小 D、F f不变，F N减小 2．如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°。现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力 A、大小不变 B、逐渐增大 C、先减小后增大 D、先增大后减小 3． 如图所示，水平横杆上套有两个质量均为m的铁环，在铁环上系有等长的细绳，共同拴着质量为M的小球．两铁环与小球均保持静止，现使两铁环间距离增大少许，系统仍保持静止，则水平横杆对铁环的支持力F N和摩擦力F f将 A．F N增大 B．F f增大 C．F N不变D．F f减小 4．某学习小组设计了高度可调节的滑轮装置以探究使球形物体处于静止状态时绳拉力的大小情况，如图2所示，初始状态绳沿水平方向，当定滑轮不断升高的过程中，绳上的拉力将（）A．逐渐增大B．逐渐减小 C．先增大再减小D．先减小再增大 5． 如图所示，光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止．若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则 A．水平外力F增大 B．墙对B的作用力减小 C．地面对A的支持力减小 D．B对A的作用力减小 6． 一物体静止在斜面上如图所示，当斜面的倾角θ逐渐增大而物体仍静止在斜面上时 A．物体所受重力和静摩擦力的合力逐渐增大 B．物体所受重力和支持力的合力逐渐增大 C．物体所受支持力和静摩擦力的合力逐渐增大 D．物体所受重力、支持力和静摩擦力的合力逐渐增大 7．三根相同的光滑硬杆，在O端连接在一起但各自能绕O点自由转动，OABC始终构成一个正三棱锥，杆的另一端ABC始终成一个等边三角形且在同一个水平面。现在在锥内放一个小球，然后缓慢使锥角变大，直到三根杆子水平，该过程中每根杆对小球的作用力将 图2 第1页共8页◎第2页共8页高一物理必修一高一动态平衡,相似三角形法
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