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建筑力学 第4章内力和内力图

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建筑力学与结构-4 纵向受力构件

建筑力学与结构-4 纵向受力构件

由∑Fy=0： N21－N23sinα－0.5=0
N23=N21-0.5/sinα=3.54（N23为正，表示与图中假设方向一 致）
由∑Fx=0： N23cosα－N24=0
N24=N23cosα=2.5（N24为正，表示与图中假设方向一致， 所以为压力）
由∑Fy=0： N32sinα－N34=0
4.2.1.2 截面形式及尺寸
轴压柱常见截面形式有正方形、矩形、圆形及
多边形。 矩形截面尺寸不宜小于250mm×250mm。为了 避免柱长细比过大，承载力降低过多，常取l0/b≤30， l0/h≤25，b、h分别表示截面的短边和长边，l0表示柱
子的计算长度，它与柱子两端的约束能力大小有关。
4.2.1.3 配筋构造
螺旋箍筋是受力钢筋，这种柱破坏时由于螺旋
箍筋的套箍作用，使得核心混凝土（螺旋筋或焊接 环筋所包围的混凝土）处于三向受压状态，从而间 接提高柱子的承载力。所以螺旋箍筋也称间接钢筋， 螺旋箍筋柱也称间接箍筋柱。螺旋箍筋柱常用的截
面形式为圆形或多边形。
4.2.1 构造要求
4.2.1.1 材料要求
混凝土宜采用C20、C25、C30或更高强度等级。
表4.1 纵向受力构件类型
类别 轴心受力构件（e0=0） 轴心受拉构件 轴心受压构件
简图
变形特
点 举例
只有伸长变形
屋架中受拉杆件、圆形
只有压缩变形
屋架中受压杆等
类别
偏心受力构件(e0≠0)
轴心受拉构件 轴心受压构件
简图 变形特 点 举例 既有伸长变形，又有弯 曲变形 屋架下弦杆（节间有竖 向荷载，主要是钢屋 架）、砌体中的墙梁 既有压缩变形，又有弯曲 变形 框架柱、排架柱、偏心受 压砌体、屋架上弦杆（节 间有竖向荷载）等

建筑力学_结构第四章_应力和强度

建筑力学_结构第四章_应力和强度

o1o2 = dx = ρdθ
)dθ −ρdθ = ydθ
ab的线应变: ab的线应变 的线应变:
∆S ydθ y ε= = = dx ρdθ ρ
§4-2 弯曲时的正应力
• 物理方面 弹性) 物理方面(弹性 弹性
σ = Eε =
Ey
ρ
静力平衡关系 (合力矩定理、合力定理 合力矩定理、 合力矩定理 合力定理)
§4-2 弯曲时的正应力
正应力公式的使用条件及推广
正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁; 正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁 材料处于线弹性范围内; 材料处于线弹性范围内 对于具有一个纵向对称面的梁均适用; 对于具有一个纵向对称面的梁均适用 可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算. 可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： 应力的表示： ①平均应力： 平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
②应力： 应力：
p = lim
∆A → 0
∆ P dP = ∆ A dA
③应力分解为： 应力分解为： 垂直于截面的应力称为“正应力” 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)； )
提高梁弯曲强度的措施 采用合理截面形状
原则：当面积 一定时 一定时,尽可能 原则：当面积A一定时 尽可能 增大截面的高度,并将较多的材 增大截面的高度 并将较多的材 料布置在远离中性轴的地方,以 料布置在远离中性轴的地方 以 得到较大的抗弯截面模量。 得到较大的抗弯截面模量。
Mmax ≤ Wz ⋅[σ ]
q=3.6kN/m 矩形(b×h=0.12m×0.18m）截面木梁 A L=3m

建筑力学与结构第4章

建筑力学与结构第4章
第4章 平面体系的几何组成分析
【学习目标】通过本章的学习，了解几何不变体系和 几何可变体系的概念，理解几何组成分析的目的；掌握平 面体系的几何组成规则并能熟练应用；了解静定结构和超 静定结构的联系和区别。 【学习重点】平面体系的几何组成分析规则，运用规 则判定体系是否为几何不变体系。
4.1 概述
若干个杆件按一定规律相互连接，并与基础连接成一 整体，构成杆件体系。如果体系的所有杆件和约束及外部 作用均在同一平面内，则称为平面体系。 1.几何不变体系和几何可变体系 在不考虑材料变形的条件下，体系受力后，能保持 其几何形状和位置的不变，且不发生刚体形式的运动，这 类体系称为几何不变体系。
图4-16 例4-4图
例4-5 对如图4-17所示结构进行几何组成分析。已 知体系中杆DE、FG、AB互相平行。 解 拆除二元 体D-C-E，剩下部 分中三角形ADF 和BEG是两刚片， 这两刚片用互相 平行的三根链杆 连接，故构成瞬 变体系。
图4-17 例4-5图
例4-6
对如图4-18所示结构进行几何组成分析。
一个单铰相当于两 个约束，也就是相当于 两根链杆的作用。
连接n个刚片的复铰， 其作用相当于（n-1）个单 铰，也即相当于2（n-1） 个约束。
相当于3个单铰
相当于2个单铰
单铰数为1
图4-5 复铰和单铰示例
刚片Ⅰ和刚片Ⅱ间为刚性联结。
图4-6 刚性联结
一个刚性连接相对于三个约束。
必要约束： 凡使体系的自由度减少为零所需要的最少约束。 多余约束： 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不 因此而减少。
2.几何组成分析的目的
对体系进行几何组成分析，目的在于: 1)判断体系是否为几何不变体系，从而决定他能 否作为结构。 2)研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计 的结构是几何不变的。 3)正确区分静定结构和超静定结构，为进行结构 的内力计算打下必要的基础。

建筑材料力学第四章静定结构的位移计算

建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
建筑材料力学第四章静 定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0

建筑力学 第四章

建筑力学 第四章

O
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
八、无穷远处的瞬铰
∞
如果用两根平行的链杆把刚片I和基础相连，则其 瞬铰在无穷远处—瞬时平动。 在几何构造分析中应用无穷远瞬铰的概念时，采 用影射几何中关于∞点和∞线的四点结论：
B 1
I II A
2
C
3、对于A点增加两根共线的链杆后，仍然具有1个自由度。 可见在链杆1和2这两个约束中有一个是多余约束。
一般来说，在任一瞬变体系中必然存在多余约束。
七、瞬铰 点O: 瞬时转动中心 此时刚片I 的瞬时运动情况与刚片I在O点 用铰和基础相连的运动情况完全相同。 从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约 束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，这个铰称为 瞬铰（虚铰）
I II A
1 2
I
C
A
II
B
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
B 1
I II A
2
C
2、当A点沿公切线发生微小位移后，两根链杆不再共线， 因而体系就不再是可变体系。 本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系 称为瞬变体系。 可变体系分为瞬变体系和常变体系，如果一个几何可变 体系可以发生大位移，则称为常变体系。
一点在平面内有两个自由度
一个刚片在平面内有三个自 由度
三、自由度
一般来说，如果一个体系有 n 个独立的运动方式，则这 个体系有 n 个自由度。
一个体系的自由度，等于这个体系运动时可以独立改变 的坐标的数目。 普通机械中使用的机构有一个自由度，即只有一种运动 方式； 一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。 凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。

建筑力学 材料力学 梁的内力

建筑力学 材料力学 梁的内力

x
②写出内力方程 Q( x ) YO P
M ( x) YO x M O P( x L)
x
③根据方程画内力图。
q
解：①写出内力方程
L Q(x) ○ x – qL
qL2 2
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
⊕ M(x) x
x
Q(x)
2
106 .30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3)] 1000 9.8 2
9 (kN/m)
q — 均布力
§4–3 一、弯曲内力：
举例
梁的内力及其求法
目
录
§4–1 工程中的弯曲问题 §4–2 梁的荷载和支座反力 §4–3 梁的内及其求法 §4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
§4–5 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§4–1 工程中的弯曲问题 一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
§4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
一、 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q( x ) M M (x)
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q

绘制受力图—受力分析与受力图(建筑力学)


2) 画BC 部分的受力图。BC部分的E处受
到主动力偶M的作用。B处为活动铰支座，
其反力FB垂直于支承面；C处为铰链约 束，约束力FC通过铰链中心。由于力偶 必须与力偶相平衡，故FB的指向向上， FC的方向铅垂向下。BC 部分受力如图。
M
FC
FB
取分离体 画主动力 画约束力
3) 画AC 部分的受力图。AC 部分的D处
受到主动力 F 的作用。C 处的约束力为
FC，FC 与 FC 互为作用力与反作用力。
A处为固定端，其反力为FAx、FAy、MA。
MA
F 60
AC部分受力如图。
取分离体
FAx
FAy
FC
画主动力
画约束力
通过以上例题可以看出，为保证受力图的正确性，不能多画力、少画 力和错画力。为此，应着重注意以下几点：
受力分析与受力图
受力分析与受力图
在求解工程中的力学问题时，一般首先需要根据问题的已知条件和待求 量，选择一个或几个物体作为研究对象，然后分析它受到哪些力的作用，其 中哪些是已知的，哪些是未知的，此过程称为受力分析。
对研究对象进行受力分析的步骤如下： 1）取分离体。将研究对象从与其联系的周围物体中分离出来，单独画出。 分离出来的研究对象称为分离体。 2) 画主动力和约束反力。画出作用于研究对象上的全部主动力和约束力。 得到的图称为受力图或分离体图。
例: 小车连同货物共重W，由绞车通过钢丝绳牵引沿斜面匀速上升(如图)。不 计车轮与斜面间的摩擦，试画出小车的受力图。
解 (1) 取分离体。将小车从钢丝绳和
斜面的约束中分离出来，单独画出。
作用于小车上的主动力为W，其作用
点为重心C，铅垂向下。
取分离体

《建筑力学》课件——受弯构件的内力和内力图

CB段 : M ( x) FB l x

M

l x a x l

l
M
Ma/ l
由剪力、弯矩图知：
在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。
3.梁的内力——剪力图和弯矩图
3.梁的内力——剪力图和弯矩图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
1）在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，
MAa源自FA解： 1、求支反力B
C
b
l
FB
M /l
V
Mb/ l
FA
M
M
； FB
l
l
2、建立剪力和弯矩方程
M

0 x a
V
(
x
)

F

A

l
AC段 :
M ( x) F x Mx 0 x a
A

l
M

a x l
V
(
x
)


F

B

l

C
Mx
Fx
若外力在同一平面内，截
面内力只有三个分量，即:
轴力 N 作用于截面法向。
剪力 Q 作用于截面切向。
弯矩 M 使物体发生弯曲。
Q M
N
《建筑力学与结构》
截面法求内力的步骤:
（1）截开：在欲求内力截面处,用一假想截面将构件一分为二。
（2）移：移去任一部分。
（3）代替：将移去部分对保留部分的作用以相应内力代替(即显示内力)。
突变大小等于力偶矩的大小。
5）极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。

建筑力学与结构选型第4章 静定杆系结构内力分析

A
2 k N /m A D F Ax F Ay
6kN B C F By
由
2m
F
2m
y
C
0
2m
B
则 解得
FAy FBy 2 2 6
FAy 8kN
（ ↑）
解得
由
F
x
0
FAx 0
6kN (2)用截面法求指定截面的内力 k N /m A C 求截面C的弯矩 2m 2m B 2m D
第 4章
静定杆系结构内力分析
4.1 杆件的基本变形与内力 4.2 单跨静定梁的内力计算与内力图 4.3 多跨静定梁的内力计算与内力图 4.4 静定平面刚架的内力计算与内力图
4.5 静定三铰拱
4.6 静定平面桁架
4.1 杆件的基本变形及内力
4.1.1 内力和截面法
内力是荷载在构件内部的传递方式。
F F F F F F
非圆截面等直杆（如巨型截面梁和箱形梁）的扭转较复杂，截 面将发生翘曲
4.2 单跨静定梁的内力计算与内力图
梁的特点： 荷载垂直于杆件轴线的横向荷载，变形以挠曲为主。 起横向连接作用，是间接传力构件。
简支梁的变形图
悬臂梁的变形图
4.2.1单跨静定梁的基本形式
简支梁
简支斜梁
悬臂梁
伸臂梁
4.2.2 梁式杆指定截面内力的计算
2 k N /m A F Ax F Ay
6kN B C F By
由 解得
M
C
0
FNC
MC
C FQC右
B 2kN
M C FBy 2 4kN m()
2kN/m B D A
求A左截面的剪力 MC
由

静定梁的内力—多跨静定梁的内力图(建筑力学)


(3) 计算顺序
先计算附属部分后计算基本部分，即先附属后基础。
§ 8.6 多跨静定梁的内力
多跨静定梁的概念和特点 多跨静定梁的内力图
知识回顾
(1) 多跨静定梁的受力特点 当荷载只作用在基本部分上时，附属部分不受力，即
只有基本部分有内力，而附属部分没有内力；
F
A
BC
当荷载只作用在附属部分上时，基本部分上也会受力， A 附属部分和基本部分都有内力。
(2) 计算顺序 先计算附属部分后计算基本部分，即先附属后基础。
BC
D
例
[例1] 绘制如图所示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。
(a) 30kN
20kN.m
20kN/m
解： （1）绘制层次图
AB和CE梁均为基本部分，BC梁为附属部分（图b所示）。
(c)
（2）画受力图，求约束力
FBx
先附属后基础
8kN/m
12kN
A
FAy 5kN 3m
B
C
D
E
FG
FCy 30.75kN FDy 32.25kN FFy 16kN
1m
4m
1m 3m 1m
(c) 15kN.m
10kN
12kN
A
B
E
FG
FAy
FFBBy 15kN 8kN/m
FEy F4Eky N
FFy
(b) 15kN.m
B 10kN
A
B
(c)
附属部分： 在去掉与其他部分的联系之后（与基础的联系不去掉），本身不能独立维持平衡的部分
称为附属部分，如CE和EF部分。
基本部分：AC、 DF
(b) A
附属部分： CD
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建筑力学
内力和内力图
11
节点
杆件
平面简单桁架杆件数m与节点数n之间的关系为 ： m=3+2(n-3)=2n-3
平衡方程数：2n 未知力数目：m+3
在支座约束力共有3个未知量而且布置恰当的 情况下，平面简单桁架是静定的。
建筑力学
内力和内力图
12
4.1.3 平面简单桁架的内力计算 1. 节点法
例题 4-1
为拉杆。由平衡方程
∑ Fx = 0，FAx + FAC + FAF cos 45° = 0 ∑ Fy = 0, FAy + FAF cos 45° = 0
解得 FAF = −2 2 kN, FAC = 4 kN
建筑力学
例题 4-1
F
FFE
FFA
FFC
内力和内力图
15
FAy A
FAx
F
E FE FB
FAy
∑ F
E FE FB
Fy = 0, FB + FAy − FC = 0
∑ A a a a a
FAx
CD B
M A (F ) = 0,
FC
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
联立求解得
FAx= －2 kN，FAy= 2 kN，FB = 2 kN
建筑力学
内力和内力图
21
内力和内力图
19
2. 截面法
例题 4-2
F
E FE
a A a a aB
CD
FC
如图平面桁架，已
知铅垂力FC = 4 kN，水 平力FE = 2 kN。求FE， CE，CD杆内力。
建筑力学
内力和内力图
20
例题 4-2
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程
∑ Fx = 0， FAx + FE = 0
建筑力学
内力和内力图
1
第 4 章 内力和内力图
§4-1 平面桁架的内力 §4-2 轴力和轴力图 §4-3 扭矩和扭矩图 §4-4 剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
建筑力学
内力和内力图
2
外力：物体或系统所承受的其它物体对它的作用力 （包括约束力）。
内力：物体或系统内部，因外力作用而产生的各物 体之间或各部分之间的相互作用力。
如图平面简单桁架，已知铅垂力FC=4 kN， 水平力FE=2 kN。求各杆内力。
F
E FE
Aa
a a aB
CD
FC
建筑力学
内力和内力图
13
例题 4-1
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程
∑Fx =0， FAx + FE = 0
FAy A
FAx
F
E FE FB
a a aa
CD B
∑ Fy = 0, FB + FAy − FC = 0
P
建筑力学
内力和内力图
8
4.1.2 模型的建立 1. 屋架结构的简化
上弦杆
节点
下弦杆 斜杆 跨度
建筑力学
内力和内力图
9
2. 桁架简化的几个假设
(1) 各杆在节点处用光滑的铰链连接； (2) 桁架中各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； (3) 所有外力（主动力及支座约束力）都作用在节点
上，对于平面桁架，各力的作用线都在桁架的平 面内。
内力必然成对存在，它们是大小相等、指向 相反的力，或大小相等、转向相反的力偶。
为了求得物体内部各部分之间的相互作用 力，需将物体假想地截开，取其一部分来研究； 对于系统，也须截取某一部分来研究。
建筑力学
内力和内力图
3
§4-1 平面桁架的内力
4.1.1 桁架的概念
1. 什么是桁架
桁架是由一些直杆组成
∑ M A (F ) = 0,
FC
联立求解得
−FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
FAx= －2 kN, FAy= 2 kN
FB = 2 kN
建筑力学
内力和内力图
14
例题 4-1
A FAx
FAy
FAF FAC
FAy A
FAx
F
E FE FB
a a aa
CD B
FC
取节点A，受力分析如图, 设所有杆件均
根据上述假设，桁架的各个杆件都是二力杆。 我们能比较合理的地选用材料，充分发挥材料的作 用，在同样跨度和荷载情况下，桁架比梁更能节省 材料，减轻自重。
建筑力学
内力和内力图
10
3. 平面简单桁架的构成
节点
杆件
在平面问题中，为保证桁架几何形状不变，可 以由基本三角形ABC为基础，这时是3个节点，以后 每增加一个节点，相应增加两根不在一条直线上的 杆件，依次类推，最后将整个结构简支，这样构成 的桁架称为平面简单桁架。
例题 4-1
FDE
D
FDC
内力和内力图
17
FAy A
FAx
F
E FE FB
a a aa
CD B
FC
FDB
取节点D，受力分析如图。由平衡方
程
∑ Fx = 0, FDB − FDC = 0
∑ Fy = 0, FDE = 0
解得
FDB = 2 kN , FDE = 0
建筑力学
内力和内力图
18
例题 4-1
例题 4-2
作一截面m-m将三杆截断，取左
FAy FAx A
F m E FE FB 部分为分离体，受力分析如图。
a a aa
由平衡方程
∑ C D B
FC m
Fx = 0,
FCD + FAx + FFE + FCE cos 45° = 0
a a aa
CD B
FC
取节点K，受力分析如图。由平衡方程
∑ Fx = 0, FFE −FFA cos 45° =os 45° = 0
解得 FFE = −2 kN，FFC = 2 kN
建筑力学
例题 4-1
FCF
C
FCA
FCE FCD
内力和内力图
16
FAy A
的几何形状不变的结构。
P
所有杆件的轴线都在 同一平面内的桁架称为 平面桁架。
2. 工程实例
建筑力学
内力和内力图
4
例：地面卫星接收系统
建筑力学
内力和内力图
5
例：海洋石油钻井平台
建筑力学
内力和内力图
6
例：埃菲尔铁塔
建筑力学
内力和内力图
7
3. 分析桁架内力的目的：
(1) 截面形状和尺寸设计； (2) 材料选取； (3) 强度校核。
FAx
F
E FE FB
a a aa
CD B
FC
FC
取节点C，受力分析如图。由平衡方程
∑ Fx = 0, −FCA + FCD + FCE cos 45° = 0 ∑ Fy = 0, −FC + FCF + FCE cos 45° = 0
解得 FCE = 2 2 kN , FCD = 2 kN
建筑力学
FBE FBD
FB
FAy
F
E FE FB
A a a aa
FAx
CD B
B
FC
取节点B，受力分析如图。由平衡方程
∑ Fx = 0, − FBD − FBE cos 45° = 0
∑ Fy = 0, FB + FBE cos 45° = 0
解得 FBD = −2 2 kN FBE = −2 2 kN
建筑力学