最新建筑力学第六章超静定结构内力计算
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高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
建筑力学静定结构内力计算
工业建筑及大跨度民用建筑中的屋架、托 架、檩条等常常采用桁架结构。
上弦杆 斜杆 竖杆
节间距离
下弦杆 跨度
桁架的计算简图常常采用下列假定： (1) 联结杆件的各结点，是无任何摩擦的理想铰。 (2) 各杆件的轴线都是直线，都在同一平面内，并且 都通过铰的中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平 面内。
Nc=33.3 kN (拉力)
求Nb:取Na与Nc的交点O为矩心， 如图 (c)所示，并将Nb在1结点处分 解为Vb、Hb，则： ∑MO=0: ∑MO=VAx+Vb(x+4)-10x-
20(x+2)=0 根据相似三角形的比例关系有： x=6m 将x=6代入∑MO 40×6+Vb×10-60-20×(6+2)=0 Vb=-2 kN 根据力Nb与其竖向分量Vb的比
也就是说，当杆件变形达到一定限度，点之间出 现开裂现象。当截面上的内力都达到了极限，所有点 之间都出现了裂缝，则意味着杆件发生断裂破坏了。
具体的定量表达将在后面介绍的强度条件中描述。
2、截面法
确定杆件某一截面中的内力，假想将杆件沿需求内力的 截面截开，使杆件分为两部分，取其中任一部分作为研究对 象。用作用于截面上的内力，代替舍去部分对留下部分的作 用力。 再由静力平衡条件求出此内力的方法，称为截面法。 截面法可归纳为两个步骤：
在桁架中，有时会出现轴力为零的杆件，它 们被称为零杆。在计算之前先断定出哪些杆件为 零杆，哪些杆件内力相等，可以使后续的计算大 大简化。在判别时，可以依照下列规律进行。
（1） 对于两杆结点，当没有外力作 用于该结点上时，则两杆均为零杆， 如图 (a)所示；当外力沿其中一杆的 方向作用时，该杆内力与外力相等， 另一杆为零杆，如图 (b)所示。 （2） 对于三杆结点，若其中两杆共 线，当无外力作用时，则第三杆为零 杆，其余两杆内力相等，且内力性质 相同（均为拉力或压力）。如图 (c) 所示。 （3） 对于四杆结点，当杆件两两共 线，且无外力作用时，则共线的各杆 内力相等，且性质相同。如图 (d)所
上弦杆 斜杆 竖杆
节间距离
下弦杆 跨度
桁架的计算简图常常采用下列假定： (1) 联结杆件的各结点，是无任何摩擦的理想铰。 (2) 各杆件的轴线都是直线，都在同一平面内，并且 都通过铰的中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平 面内。
Nc=33.3 kN (拉力)
求Nb:取Na与Nc的交点O为矩心， 如图 (c)所示，并将Nb在1结点处分 解为Vb、Hb，则： ∑MO=0: ∑MO=VAx+Vb(x+4)-10x-
20(x+2)=0 根据相似三角形的比例关系有： x=6m 将x=6代入∑MO 40×6+Vb×10-60-20×(6+2)=0 Vb=-2 kN 根据力Nb与其竖向分量Vb的比
也就是说，当杆件变形达到一定限度，点之间出 现开裂现象。当截面上的内力都达到了极限，所有点 之间都出现了裂缝，则意味着杆件发生断裂破坏了。
具体的定量表达将在后面介绍的强度条件中描述。
2、截面法
确定杆件某一截面中的内力，假想将杆件沿需求内力的 截面截开，使杆件分为两部分，取其中任一部分作为研究对 象。用作用于截面上的内力，代替舍去部分对留下部分的作 用力。 再由静力平衡条件求出此内力的方法，称为截面法。 截面法可归纳为两个步骤：
在桁架中，有时会出现轴力为零的杆件，它 们被称为零杆。在计算之前先断定出哪些杆件为 零杆，哪些杆件内力相等，可以使后续的计算大 大简化。在判别时，可以依照下列规律进行。
（1） 对于两杆结点，当没有外力作 用于该结点上时，则两杆均为零杆， 如图 (a)所示；当外力沿其中一杆的 方向作用时，该杆内力与外力相等， 另一杆为零杆，如图 (b)所示。 （2） 对于三杆结点，若其中两杆共 线，当无外力作用时，则第三杆为零 杆，其余两杆内力相等，且内力性质 相同（均为拉力或压力）。如图 (c) 所示。 （3） 对于四杆结点，当杆件两两共 线，且无外力作用时，则共线的各杆 内力相等，且性质相同。如图 (d)所
第六章--静定结构的内力计算-建筑力学
120kN
40kN/m
C
A
120kN D
B
C
40kN/m
D
60kN
A B
60kN
145kN
145
FS图 +
（kN ）
M图 （kN m）
320
235kN
60
-
+
-
60
175
120
180
§6-6 三铰拱
q
C
FAx = FH A
FA y
l 2
l 4
l
q
A
C
FA0y
F
f
B
l
FB x
4 FB y
F
B
FB0y
dx l l y2 = 3m
FA y
81.5m =12m
FB y
100kN
A
20kN/m
C
B
M 2 = M 20 - FH y2 = 67.5kN m
FSL2 = FSL20 c os - FH sin
= 41.6kN
FSR2 = FSR20 c os - FH sin
FA0y tg2 = 0.667
0.5m
FA = 19kN
D
1.5m
8kN
A
FNAC
FxAD
19kN
FyAD
FNAD
FyAD = 11kN FxAD = 33kN
FNAD = 34.8kN FNAC = -33kN
P
P+P'
无外载时的内力: P
有外载时的内力: P+P'
ΔP=P+P'-P=P' —(附加)内力 研究的是外力所产生的附加内力, 简称内力
建筑力学 第六章 静定结构内力分析(二)PPT课件
❖
附属部分——荷载作用其上，基本部分受力
3．内力分析步骤
❖
未知反力数 ＝ 独立平衡方程数
❖ 计算——按几何组成的相反次序求解
❖
（避免解联立方程）
❖ 反力、内力计算，内力图绘制——同单跨梁
40
❖ 4. 多跨静定梁基本组成形式 ❖ a. 基本－附属部分——交互排列 ❖ b. 基本－附属部分——依次排列
能差的材料（砖、石、混凝土等）建造。
49
另一方面：
❖ 由于有水平推力，要求有坚固的基础，这给 施工带来困难。
❖ 常采用由拉杆来承受水平推力，做成带拉杆 的三铰拱。
50
❖ 带拉杆的拱——消除推力 （消除对支承结构的影响）
51
拱的各部名称（参数）
❖ 基本参数 ❖ 拱高f ❖ 跨度l ❖ 高跨比f/l
❖
剪力对x的一阶导数=相应位置分布荷载的
集度的相反数；
❖
弯矩对x的一阶导数=相应截面上的剪力；
❖
弯矩对x的二阶导数=相应位置分布荷载的
集度的相反数。
❖ 此推论对直梁各种情况均成立，有兴趣的同学可 验证一下。
12
由高等数学可知：
❖ 一阶导数的几何意义是：代表曲线上的切线斜率； ❖ 二阶导数的正、负可用来判定曲线的凹向。
（2）分段，计 算控制截面内力
AB、BC、 CD段
8
9
注：以杆轴线为坐标轴， 纵坐标有明确定义——M、FS、FN （不能画斜线，象剖面线）
q
（M）
－
（FS） 10
+
几何意义：图形斜率～力（荷载连续分布）
q
dFS d x
q(x)
dM dx
FS
+
结构力学超静定结构的内力和位移计算PPT课件
5
第5页/共29页
力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位 移，相应的计算公式为
dii
M
2 i
ds
EI
FN2i ds EA
kFS2i ds GA
dij d ji
MiM j ds EI
FNi FNj ds EA
kFSi FSj ds GA
FNitl
Dt h
M i ds
13
第13页/共29页
例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已 知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为。
原结构
力法基本结构
FN1
M1
M图
d11 X1 D1t 0
d11
1 EI
(1 l 2
d n1 X1 d n2 X 2 d nn X n DnP Dn 0
对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点： (1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程； (2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示 发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必 为正，即dii>0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外 界因素无关； (3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可 为正、负或0； (4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
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力法方程中的柔度系数与自由项，都是力法基本结构在已知力作用下的位 移，相应的计算公式为
dii
M
2 i
ds
EI
FN2i ds EA
kFS2i ds GA
dij d ji
MiM j ds EI
FNi FNj ds EA
kFSi FSj ds GA
FNitl
Dt h
M i ds
13
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例题5-7. 图示刚架，外侧温度升高20oC，内侧温度升高30oC，试用力法求解并作出M图。已 知杆件横截面为矩形截面，高度h=l/10，EI=常数，材料线膨胀系数为。
原结构
力法基本结构
FN1
M1
M图
d11 X1 D1t 0
d11
1 EI
(1 l 2
d n1 X1 d n2 X 2 d nn X n DnP Dn 0
对于力法典型方程，应注意理解与掌握以下几点： (1) 力法典型方程的物理意义，是多余约束处的位移方程； (2) dij称为结构的柔度系数，其定义是j方向的单位力引起的i方向的位移，第1个下标表示 发生位移的位置，第2个下标表示产生位移的原因。位移互等定理，dij=dji。主柔度系数必 为正，即dii>0。副柔度系数dij可为正、负或0。柔度系数为结构的固有特性，与荷载等外 界因素无关； (3) 自由项DiP的物理意义是，荷载单独作用在力法基本结构上产生的沿Xi方向的位移，可 为正、负或0； (4) 力法方程也称为柔度方程，力法也称为柔度法；
D1P
X1 2d EA
FN
若将上弦杆DE去掉，其基本结构如示。此时，在X1与荷载共同作用下，D、E两点沿轴方向的相对线位移不
建筑力学课件5静定结构的内力计算
28
qa A a Q
q
Q qa; M 0 左端点：
a x
线形：根据
dQx qx ； dx
2
dM ( x) dM ( x) q( x) Q( x)； 2 dx dx
– qa qa2
及集中载荷点的规律确定。
3 2 分区点A： Q qa; M qa 2 qa 2
按叠加原理作弯矩图
平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课
11
平面弯曲的概念 弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
12
3. 工程实例
13
14
4. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截面上的内力 对所留部分而言是外力）。
例如： 截面法求N。 P 截开： A A 简图 代替： P A 平衡： N P
P
P
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
3. 轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N与外法线反向,为负轴力(压力) N N N N N>0 N<0
l
q
A
ql2 8 l
B
33
a m l m A a l b m l b B
m l
m l
34
按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P 1P 2 P n) Q 1(P 1) Q2(P 2 ) Qn (P n)
支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
11X1 12 X 2 1c 0 21X1 22 X 2 2c 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算 从以上分析可以看到，选不同形式的基本结构，建立的力法方
程的形式不同。但各种形式的力法方程表达的物理意义的实质是相 同的。在力法方程的等号左边表示的是：基本结构上在各种因素作 用下引起的某一多余力方向上的位移；而等号右边表示的是：原结 构在此方向上的位移。
度升图高a所t2 示C，为用两力次法超计静算定其刚内架力，的设方各法杆与外支侧座温移度动升时高的t1情C，况内相侧类温似。 首先选取基本结构，设去掉支座C处的两个多余约束，代之以多余 未知力X1、X2，得到基本结构如图b所示。列出力法方程为
11X1 12 X 2 1t 0 21X1 22 X 2 2t 0
式中系数计算和前面相同。
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
自由项 it（i = 1，2）表示基本结构上C点处由温度改变所引起 的Xi方向上的位移，可按十三章中介绍的位移计算公式求得，即
it
() l FNilt0ds
() Mil tds
lh
(a)
当t0、t 、h、 l 为常数时，则上式可写成
侧截温面度形降心低轴5为C对，称各轴杆，材截料面的高线度膨h胀= 0系.4数m。为试用l ，力弯法曲计刚算度，E并I为绘常制数，
内力图。
【解】 此刚架为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。建
立力法方程为
11Χ 11t 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
绘出 M1 、FN1 图，分别如图c、d所示。
it
lt0 ANi
l
t h
AMi
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算 从以上分析可以看到，选不同形式的基本结构，建立的力法方
程的形式不同。但各种形式的力法方程表达的物理意义的实质是相 同的。在力法方程的等号左边表示的是：基本结构上在各种因素作 用下引起的某一多余力方向上的位移；而等号右边表示的是：原结 构在此方向上的位移。
度升图高a所t2 示C，为用两力次法超计静算定其刚内架力，的设方各法杆与外支侧座温移度动升时高的t1情C，况内相侧类温似。 首先选取基本结构，设去掉支座C处的两个多余约束，代之以多余 未知力X1、X2，得到基本结构如图b所示。列出力法方程为
11X1 12 X 2 1t 0 21X1 22 X 2 2t 0
式中系数计算和前面相同。
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
自由项 it（i = 1，2）表示基本结构上C点处由温度改变所引起 的Xi方向上的位移，可按十三章中介绍的位移计算公式求得，即
it
() l FNilt0ds
() Mil tds
lh
(a)
当t0、t 、h、 l 为常数时，则上式可写成
侧截温面度形降心低轴5为C对，称各轴杆，材截料面的高线度膨h胀= 0系.4数m。为试用l ，力弯法曲计刚算度，E并I为绘常制数，
内力图。
【解】 此刚架为一次超静定结构，取基本结构如图b所示。建
立力法方程为
11Χ 11t 0
目录
力法\支座移动和温度改变时超静定结构的内力计算
绘出 M1 、FN1 图，分别如图c、d所示。
it
lt0 ANi
l
t h
AMi
《建筑力学》_第六章_静定结构的内力计算
(2) 用截面法求D截面的内力。
(3）应用静力学平衡方程求解 杆件内力的值。
F x0 , F A xF0
M A(F)0, F B yaFa 20
F y 0 , F A y F B y 0
解得:
FF FAxF,FAy2,FBy2
F x 0 ,F N F A x 0 ,F N F
F F y0, F sF A y0, F s2
3.内力图的符号规定: （1）正的轴力和剪力画在 x 上侧，负的轴力和剪力画在 x 下侧； 若不画坐标轴，则需：正的标注符号(+);负的标注符号(-)。 (2) 将弯矩图画在杆件的受拉侧(图不必标正或负）。
编辑课件
11
第二节 内力方程·内力图
作 AC 杆的内力图
轴力方程 剪力方程 弯矩方程
FN(x)F
CB 段 FsBFBa lF, MB0
b
a b
F sC 右 = F sC R F B = lF , M C R F B b编l辑F 课件
20
第二节 内力方程·内力图
[例题 6–5] 用简便法绘制梁的剪力图和弯矩图。
解：
(1)求支座反力。
FA
FB
Me l
C
(2) 将梁分为AC、CB 两段，
分析AC、CB 两段的内力图形状。
注意剪力图和弯矩图的特征：
1. 集中载荷作用处，剪力有突变，弯矩连续，但呈现一个尖点;
2. 集中力偶作用处，弯矩有突变，剪力连续；
3. 剪力图和弯矩图是封闭的图形。
4. 剪力为零处,有极值。 编辑课件
19
第二节 内力方程·内力图
[例题 6–4] 试用简便法绘制梁的剪力图和弯矩图。
解：
(1)求支座反力。 F B
建筑力学问题简答(七)超静定结构内力计算
建筑力学问题简答（七）超静定结构内力计算194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
195．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
197．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
198．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
200．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n 次超静定结构的力法方程对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。
建筑力学常见问题解答6超静定结构内力计算
建筑力学常见问题解答6 超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。
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δ11·X1 +Δ1F =0 上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数， Δ1F称为方程的自由项。
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
去掉多余约束处的已知位移为零时，采用上面同
样的方法可以得到n个方程，称为力法典型方程。
11Χ112Χ2 133 Δ1F 0 21Χ122Χ2 233 Δ2F 0 31Χ132Χ2 333 Δ3F 0
上式就是三次超静定结构的力法方程。
X3 X1
X2
=
（b） X3
+
（e）
（c）
X1
+
X2 （d）
3F
2F
+
1F
（f）M
图
F
式 中 ： δ11 、 δ21 、 δ31 —— 当 X1 ＝ 1 时 引 起 的 基 本 结
X1
(b)基本结构
只要能够求出多余未知力X1，原结构的计算问 题就转变为静定的基本结构在荷载q及多余未知力 X1共同作用下的静定结构计算问题了。我们把多余 未知力称为力法计算的基本未知量。
X1
(b)基本结构
在图(b)所示的基本结构上，多余未知力X1是代 替原结构支座B的作用。因此，基本结构的受力和 变形应与原结构完全相同。设基本结构在B点沿X1 方向上的位移为Δ1。由于在原结构图(a)中，支座B 处的竖向位移等于零。所以，在基本结构图(b) 中， B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上 的位移Δ1也应该为零，即
下面通过对一次超静定结构的分析，阐述力 法的基本原理。
如图所示一端固定、另一端铰支的梁，该梁 有一个多余约束，是一次超静定结构。
如果把支 杆B作为多余约束去掉，并代之以多 余未知力X1，则原结构就转化为图（b）所示的静 定梁。它承受着与图（a）所示原结构相同的荷载 和多余未知力。我们把这种去掉多余约束用多余 未知力来代替后的静定结构称为按力法计算的基 本结构。
构上沿 X1 、X2 、X3方向上的位移[图(c)]；
δ12、δ22、δ32 ——当X2＝1时引起的基本结构上沿
X1 、 X2 、X3方向上的位移[图(d)]；
δ13、δ23、δ33——当X3＝1时引起的基本结构上沿
X1 、X2 、X3方向上的位移[图(e)]； Δ1F、Δ2F、Δ3F——荷载引起的基本结构上沿X1 、
X2
X3
X1
X2
(a)
(b)
c
MA X1
4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座 改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。
X1
X1
(a)
(b)
(c)
6.2 力法
6.2.1 力法的基本原理
力法计算超静定结构，是以静定结构为计算 对象，把多余未知力作为基本未知量，根据变形 协调条件建立力法方程，从而把计算超静定结构 多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题。
本结构。
X3 X1
X2
（a）
（b）
由于原结构C处为固定支座，其线位移和角位
移都为零。所以，基本结构在荷载q及X1、X2 、X3 共同作用下，C点沿X1、X2 、X3方向的位移都等于
零，即基本结构应满足的位移条件为
Δ1=0 Δ2=0 Δ3=0
X3
X1
X2
（a）
（b）
根据叠加原理，上面的位移条件可以表示为
6.2.2 力法典型方程
前面用一次超静定结构说明了力法计算的基
本原理，下面以一个三次超静定结构为例进一步
说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典
型方程。
图(a)所示为一个三次超静
定刚架，荷载作用下结构的变
形如图中虚线所示。
（a）
这里我们去掉固定支座C处的多余约束，用多
余未知力 X1、X2 、X3代替，得到如图(b)所示的基
建筑力学第六章超静定结 构内力计算
本章内容
6.1 概述 6.2 力法 6.3 位移法 6.4 力矩分配法
2.去掉一个铰支座或一个单铰，相当于去掉两 个约束，如图所示。
X2
X1
(a)
X1
X2
X2
X1
(b)
3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当
于去掉三个约束，如图所示。
X2
X1 X3
(a) MF 图
X1
(b)M1图
由于MF
图和M
图分别是基
1
本结构在X1＝1和荷载q作用下
的弯矩图，同时 M 1 图又可理解 成为求B点的竖向位移而绘制的
单位荷载作用下的弯矩图。所
以，可用图M
1
乘
M
1 图，即M
图
1
自乘，则有
11E 1 I1 2ll23l3lE 3 I
(a) MF 图
(b)M1图
X1
Δ1=0
上式称为基本结构应满足 的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示 荷 载 q 与 多 余 末 知 力 X1 单 独 作 用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加 原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1Fc)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用 于 基 本 结 构 时 引 起 的 B 点 沿 X1 方 向 上 的 位 移 ， 即 Δ11 = δ11·X1 ，则
因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起 的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计 算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知
力X1。
为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本 结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和 M图1 [图(a， b)]，然后用图乘法计算。
构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘
出原结构的弯矩图，如图（c）所示。
超静定结构的最后弯矩图
ql 2 8
ql 2
M，也可利用已经绘出的
M
图
1
和 MF 图 按 叠 加 原 理 绘 出 ， A
8
B
即MM1X1MF。
M图 （c）
综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知 量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构， 根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位 移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超 静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。
同理可用M 1 图乘MF图计算Δ1F
Δ 1F E 1 I1 3l1 2q2l4 3l8 qE 4lI
(a) MF 图
将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力
X1。
Χ1
1F 1 1
3ql 8
X1
(b)M1图
所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所
设的方向相同。
多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与 荷载q共同作用在基本结构上, 就可以按求解静定结
X2 、X3方向上的位移[图(f)]。
对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n
个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在
去掉多余约束处的已知位移为零时，采用上面同
样的方法可以得到n个方程，称为力法典型方程。
11Χ112Χ2 133 Δ1F 0 21Χ122Χ2 233 Δ2F 0 31Χ132Χ2 333 Δ3F 0
上式就是三次超静定结构的力法方程。
X3 X1
X2
=
（b） X3
+
（e）
（c）
X1
+
X2 （d）
3F
2F
+
1F
（f）M
图
F
式 中 ： δ11 、 δ21 、 δ31 —— 当 X1 ＝ 1 时 引 起 的 基 本 结
X1
(b)基本结构
只要能够求出多余未知力X1，原结构的计算问 题就转变为静定的基本结构在荷载q及多余未知力 X1共同作用下的静定结构计算问题了。我们把多余 未知力称为力法计算的基本未知量。
X1
(b)基本结构
在图(b)所示的基本结构上，多余未知力X1是代 替原结构支座B的作用。因此，基本结构的受力和 变形应与原结构完全相同。设基本结构在B点沿X1 方向上的位移为Δ1。由于在原结构图(a)中，支座B 处的竖向位移等于零。所以，在基本结构图(b) 中， B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上 的位移Δ1也应该为零，即
下面通过对一次超静定结构的分析，阐述力 法的基本原理。
如图所示一端固定、另一端铰支的梁，该梁 有一个多余约束，是一次超静定结构。
如果把支 杆B作为多余约束去掉，并代之以多 余未知力X1，则原结构就转化为图（b）所示的静 定梁。它承受着与图（a）所示原结构相同的荷载 和多余未知力。我们把这种去掉多余约束用多余 未知力来代替后的静定结构称为按力法计算的基 本结构。
构上沿 X1 、X2 、X3方向上的位移[图(c)]；
δ12、δ22、δ32 ——当X2＝1时引起的基本结构上沿
X1 、 X2 、X3方向上的位移[图(d)]；
δ13、δ23、δ33——当X3＝1时引起的基本结构上沿
X1 、X2 、X3方向上的位移[图(e)]； Δ1F、Δ2F、Δ3F——荷载引起的基本结构上沿X1 、
X2
X3
X1
X2
(a)
(b)
c
MA X1
4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座 改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。
X1
X1
(a)
(b)
(c)
6.2 力法
6.2.1 力法的基本原理
力法计算超静定结构，是以静定结构为计算 对象，把多余未知力作为基本未知量，根据变形 协调条件建立力法方程，从而把计算超静定结构 多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题。
本结构。
X3 X1
X2
（a）
（b）
由于原结构C处为固定支座，其线位移和角位
移都为零。所以，基本结构在荷载q及X1、X2 、X3 共同作用下，C点沿X1、X2 、X3方向的位移都等于
零，即基本结构应满足的位移条件为
Δ1=0 Δ2=0 Δ3=0
X3
X1
X2
（a）
（b）
根据叠加原理，上面的位移条件可以表示为
6.2.2 力法典型方程
前面用一次超静定结构说明了力法计算的基
本原理，下面以一个三次超静定结构为例进一步
说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典
型方程。
图(a)所示为一个三次超静
定刚架，荷载作用下结构的变
形如图中虚线所示。
（a）
这里我们去掉固定支座C处的多余约束，用多
余未知力 X1、X2 、X3代替，得到如图(b)所示的基
建筑力学第六章超静定结 构内力计算
本章内容
6.1 概述 6.2 力法 6.3 位移法 6.4 力矩分配法
2.去掉一个铰支座或一个单铰，相当于去掉两 个约束，如图所示。
X2
X1
(a)
X1
X2
X2
X1
(b)
3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当
于去掉三个约束，如图所示。
X2
X1 X3
(a) MF 图
X1
(b)M1图
由于MF
图和M
图分别是基
1
本结构在X1＝1和荷载q作用下
的弯矩图，同时 M 1 图又可理解 成为求B点的竖向位移而绘制的
单位荷载作用下的弯矩图。所
以，可用图M
1
乘
M
1 图，即M
图
1
自乘，则有
11E 1 I1 2ll23l3lE 3 I
(a) MF 图
(b)M1图
X1
Δ1=0
上式称为基本结构应满足 的原结构的位移条件，设 Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示 荷 载 q 与 多 余 末 知 力 X1 单 独 作 用于基本结构上时，引起的B 点沿X1方向上的位移。由叠加 原理，有
Δ1 =Δ11 +Δ1Fc)
+
(d)
X1
由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用 于 基 本 结 构 时 引 起 的 B 点 沿 X1 方 向 上 的 位 移 ， 即 Δ11 = δ11·X1 ，则