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Subortho-紧空间的逆极限性质

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第 ３期
曹金 文等 ： ｕ ｏ ｔｏ 紧空 间的逆极 限性质 Ｓ ｂ ｒｈ 一
・３ ５ ・ ４
设 Ａ 是 ｘ 的任 一子 空间 ， 是 Ａ 的任一开 覆盖 ， ， ， Ｖ【∈
） 于 使 得 开
）ｌＯ ， Ｃｓ＝ 而
｛ Ｕ）己∈ ｝ Ｘ 的开集簇 ， Ａｃ 易知 是 Ｕ （ ： 是 ， 且 Ｕ 的一个 开覆 盖 ， 因为 Ｕ 是 ｘ 的 开子 空间 ， 由已 知Ｕ 是 Ｓ ｂ ｒｈ － ｕ ｏｔ ｏ紧的 ， 存在 的开加 细序 列 ＜ ）Ｅ ， 得 ＶｚＥ Ｕ Ｖｎ ， ｎ（ ） ｚ 。 故 ｎ￣ 使 － ｏ Ｅ ６ 有 ０ Ｅ Ｎ（ ） 因 ＡＣ Ｕ 故 Ｖ ＥＡ， ＥＣ Ｖ 。令 一 ｛ Ｏ ＡｎＤ Ｄ ： Ｅ（ ） ｝则 ＜ ＞ 是 的开 加细 序列 ； ， 并且 Ｖｚ
第３卷 第３ ７ 期
２１ ０ ０年 ６月
成都 理工大 学学 报（ 自然科学版 ）
Ｊ ＵＲ ＬＯ Ｈ Ｎ Ｄ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹＯ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ（ｃｎｅ Ｔ ｃｎｌ ｙ ｄｉ ） Ｏ ＮＡ ＦＣ Ｅ Ｇ Ｕ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＦＴ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｓｉ ｃ ＆ ｅｈｏｏ ｉｏ ｅ ｇ Ｅ ｔｎ
一
个 局部有 限 的开加 细 。 定义 ３ 吲 空 间 ｘ称 为是 Ｓ ｂ ｒｈ 一 ｕ ｏｔｏ 紧的 ， 如果 它 的每个 开 覆盖 有 一个 开 的 加细 序列 ＞ 合 下 列引理 是我们 需要 的 。 引理 ｌ 设 Ｘ—ｌ Ｘ ，暑Ａ｝并且 ： — ｘ ，ＥＡ， ｛ （ ： 开 于 ｘ ） Ｘ 的一 个基 。 ［ 。 ｉ 丌， ， ｍ｛ ｘ ａ 则 Ｕ）Ｕ 是 引理 ２ ［ 设 是 一个基数 ， 空间 Ｘ 是 仿紧 的 ， 若 一 以是 一个定 向集 ，以Ｉ Ｉ — ， ｛ ：∈Ａ｝ ｘ 的 若 Ｈ。ａ 是
获得较 为理想 的结果 。
假定本 文 中所 讨论 的拓扑 空 间均 为 Ｈａ ｓｏ ｆ空 间 ， ｕｄ ｒ ｆ 以下 简称 空间 ； 定映 射所讨 论 的均 为连续 映 假
射； 本文用 （ 和 Ｎ（ 分 别 表示 集 簇 ｛ ： ｊ ｝ ） Ａ） Ｕ∈ Ｕ ｎＡ≠ ２ 和集 合 Ａ 的开邻 域 系 ； 别 地 ， ） 和 Ｎ 『 特 （ （） ｚ 分别 表示 （ Ｎ（ ｚ ） ｅ Ａ和 Ｉｔ 分别表 示集合 Ａ 相对 于子 空间 ｙ 的闭包 和 内部 。特别 地 ， ） 和 ｛ ） ；ｌ ， ｎｖ Ａ 当 ｙ 为全空 间时 ，ｌ 和 Ｉｔ 被分 别简记 为 ｃ Ａ和 Ｉ ｔ ｌ 表示 集合 Ａ 的基 数 ；／ 示非 负整 数 ｃｙ Ａ ｎ Ａ ｌ Ａ， ｎＡ；以Ｉ ６表 ｛ 集 或最小无 限基数 ； ｊ表 存在 ， Ｖ表任 意 。本 文所涉及 的逆极 限概 念 、 质 及逆 极 限 的记 号 和表示 方 法 性
［ 摘要］证 明了如下结果： ｘ＝ｌ Ｘｏ ， ，以ｆ ， 设 ｉ ｍ｛ ， 以｝ ｆ 一＾ 并且每 个投 射 ： ｘ一 是开 满的，
（ ） Ｘ 是 仿 紧 的 并 且 每个 Ｘ Ｓ ｂ ｒ ｏ紧 空 间， Ｘ 是 Ｓ ｂ ｒｈ １若 ～ ｕｏｔ 一 ｈ 则 ｕ ｏｔ￣紧 空 间 ：２ 若 Ｘ 是 遗 传 （） ＾仿 紧 的并 且 每 个 ｘ 一 是 遗 传 Ｓ ｂ ｒｈ一 空 间， Ｘ 是 遗 传 Ｓ ｂ ｒｈ一 空 间 。 ｕ ｏｔｏ紧 则 ｕ ｏｔｏ紧
ｖ １ ７ Ｎ ． ｏ ３ ｏ３ ．
Ｊ ｎ ２ １ ｕ．００
［ 章编 号 ］１７ —７７ ２ １ ）３０ ４—４ 文 ６ １９ ２ （０ ０ ０ —３ ４０
Ｓ ｂ ｒ ｏ紧空问的逆极限性质 ｕ ｏｔ 一 ｈ
曹金 文 刘 宛 昀 任 亮英
（ 都 理 工 大 学信 息管 理 学 院 ， 都 ６ ０ ５ ） 成 成 １０ ９
证 必要性 显然 ， 下证充 分性 。
［ 稿 日期 ］２０ —２２ 收 ０ ９０ —６ ［ 基金项 目］四川省教 育厅科研基金 资助项 目（０ ６ ０ １ ； ２０ Ｃ ４ ） 成都理工大学科研基金资助项 目（ ２ ０４ ） Ｒ ３ ２ ６ ［ 者简 介 ］曹金 文 （９ ６ ， ， 授 ， 事拓 扑 学研 究 ， － ｉ ｃｏｉｗ ｎ ｃｕ．ｎ 作 １５ 一） 男 教 从 Ｅ ｍａ ：ａｊ ｅ ＠ ｄ ｔｃ 。 ｌ ｎ
［ 关键 词］逆 极 限 ； － 紧 ； ｕｏ ｔｏ紧 ；遗 传 Ｓ ｂ ｒｈ一 ２仿 Ｓ ｂｒ 一 ｈ ｕ ｏｔｏ紧 ［ 分类 号］Ｏ ８ ． ｌ １ ９ １ ［ 献 标 识 码 ］Ａ 文
１ 引言 及 预 备
著 名拓扑 学者 Ｋ Ｃ ｉａ研究 了在 仿紧 的条件 下 ， ． ｈｂ 一 一系 列分离 性质 及覆 盖性 质 在逆 极 限运 算 下 的 保持性 Ｌ ； １ 但是 ， 有一 些分离 性质及 覆盖性质 在逆 极 限运 算下 是否 保 持性 的 问题 尚未 涉 及 。最近 ， ］ 还 有 文 献分别 证 明了在 仿紧 的条件下 ， 正规 可遮空 间和正规 可加空 间在逆 极 限运 算下 的保 持性 ［ ］ ２ 。本 文去掉 了每个 ｘ 正规 的假 设 ， 明 了在 仿 紧的条 件 下 ， ｕ ｏ ｔｏ紧空 间在 逆 极 限运 算下 的保持 性 ， 证 Ｓ ｂ ｒｈ 一
于 Ｖ． ７ Ｃ ∈Ｘ， （ Ｅ 使 得 Ｎ（ ） ） ｊ ） ＥＮ（ 。
一Байду номын сангаас
个定 向上升 开覆盖 ， 则存在 ｘ 的定 向上 升开覆 盖 ｛ ａ Ｋ ： ＥＡ） 得对 ａ 使 ＥＡ 有Ｋ Ｈ ｃ 。 引理 ３ 空 间 ｘ 是遗传 Ｓ ｂ ｒ ｏ紧 的当且仅 当 Ｘ 的每个开子 空 间是 Ｓ ｂ ｒｈ 一 的。 ｕ ｏｔ － ｈ ｕ ｏ ｔｏ紧
都依 照文献 ［ ］ ５ 。 ４ 和［ ］
下列概念 是熟 知 的 ， 为方便读 者本 文重述 如下 ： 定义 １２ 设 （ ≤ ＞ ［ ］ 三， 是定 向集 ， 集族 ｛ ｎａ ｝ 为定 向上 升 的 ， 、 ：Ｅ 称 ， 如果 Ｖａ ∈ ， 。若 ａ ， ≤卢 则 ｃ
ｖ 。 ｇ
定义 ２１ 设 是 一个基 数 ， 且 ≥ ２ 空 间 ｘ 称 为是 仿 紧的 ， ［ 并 ， 一 如果 Ｘ 的每个 势≤ 的开覆 盖有

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遗传σ-ortho紧空间、超空间c（d，x）的性质及刻画

遗传σ-ortho紧空间、超空间c（d，x）的性质及刻画

成都理工大学硕士学位论文遗传σ-ortho紧空间、超空间C（D，X）的性质及刻画姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20100501摘 要I遗传ortho σ-紧空间、超空间(,)C D X 的性质及刻画作者简介：李焱，男，1985年7月生，师从成都理工大学曹金文教授，2010年6月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。

摘 要本论文回答了关于ortho σ-紧空间遗传性的一个问题，获得了遗传ortho σ-紧空间的等价刻画，并且研究了超空间(,)C D X 的一些性质，得到以下主要结论：1.X 是遗传ortho σ-紧空间当且仅当X 的每一个散射分解有一个σ-内部保持的开膨胀。

2.X 是拓扑空间，下列各条等价：(1)X 是遗传ortho σ-紧空间；(2)X 的每个单调递减的闭集族{}:F ααγ<有一个-σ内部保持的开集族n n ω∈=V V 使得对αγ∀<，{}:X F V V F αα-=∈=∅V ；(3)X 的每个单调递增的开集族{:}U ααγ=<U 有一个-σ内部保持的开加细n n ω∈=V V 使得αγ∀<，{}:U V V U αα=∈⊂V 。

3. 设X ，Y 是连续统，映射:f X Y →是合流的当且仅当对任意()D C X ∈，有((,))((),)f C D X C f D Y ∧=。

4. 设X ，Y 是连续统，:h X Y →是同胚映射，那么，我们则有(,)((),)C D X C h D Y ≈。

5. 设X 是连续统，若()D C X ∈，使得对任意的,(,)A B C D X ∈，有A 和B 是可比的，那么(,)C D X 是弧。

6. 设X 是连续统且()D C X ∈，则(,)C D X 的割集既不是D 也不是X 。

7. 设X 是连续统，()D C X ∈，假设(,)A C D X ∈使得D A X 。

那么，A成都理工大学硕士学位论文终止于D 当且仅当A 是(,)C D X 的割集。

ascoli-arzela定理

ascoli-arzela定理

ascoli-arzela定理Ascoli-Arzela定理（又称紧化定理）是关于度量空间中有界闭集族紧性质的一个定理。

它描述了一组函数在一定条件下能否构成一个紧空间，可以用来证明一大类数学问题的定理，包括微分方程、变分法等。

具体表述为：设$X$是完备的度量空间，$Y$是赋范线性空间，$\mathscr{F}$是从$X$到$Y$的一族等度连续有界函数，即对于任意的$\epsilon>0$和$x\in X$，存在$\delta>0$，使得对于任意的$y\in X$，如果$d(x,y)<\delta$，则$\|\mathscr{F}(x)-\mathscr{F}(y)\|<\epsilon$，并且对于任意的$x\in X$，都有$\|\mathscr{F}(x)\|\leq M$，其中$M$是常数。

如果$\mathscr{F}$是逐点有界的，即对于任意的$x\in X$，都有$\|\mathscr{F}(x)\|\leq M$，那么$\mathscr{F}$在$X$上是相对紧的。

换句话说，给定任意一个$\epsilon>0$，可以从$\mathscr{F}$中选取有限个函数$f_1,\cdots,f_n$，使得任意的$f\in\mathscr{F}$和$x\in X$都满足$d(f(x),f_i(x))<\epsilon$，其中$i=1,\cdots,n$。

简单来说，若$X$是紧集，而$\mathscr{F}$是函数空间$X\to Y$中的一族有界等度连续函数，则$\mathscr{F}$在$X$上是相对紧的。

它的推论是：若一族函数$\{f_n\}$在精细的拓扑空间中等方向地”收敛”（用连续的函数来表示），那么在这个空间中就可以找到一个收敛子列。

拓扑学中的紧致空间判定准则

拓扑学中的紧致空间判定准则

拓扑学中的紧致空间判定准则拓扑学是研究空间及其性质的数学学科，其中一个重要的概念是紧致空间。

紧致空间在数学和物理学中有广泛的应用，因此判定一个空间是否紧致是非常重要的。

本文将介绍拓扑学中的紧致空间判定准则，重点讨论Tychonoff定理和Heine-Borel定理。

1. Tychonoff定理Tychonoff定理是基于直积拓扑空间的一个重要定理，它提供了一种判定紧致空间的方法。

给定一族拓扑空间{X_i}，其中每个空间X_i都是紧致的，那么它们的直积空间X = ∏(X_i)也是紧致的。

Tychonoff定理的证明可以通过Zorn引理和紧致性的等价性来完成，但由于篇幅的限制，详细的证明过程在此不再展开。

2. Heine-Borel定理Heine-Borel定理是拓扑学中判定实数空间上紧致性的重要定理。

这个定理提供了一种判定有界闭集合的紧致性的准则。

对于实数空间R^n中的子集A，它是紧致的当且仅当A是有界的和闭的。

也就是说，如果集合A在R^n中既有界又闭，那么A是一个紧致集合。

Heine-Borel定理的证明可以利用覆盖定理和有限子覆盖的概念，但在这里我们不再详细阐述具体的证明过程。

3. 紧致空间判定准则在拓扑学中，我们可以利用Tychonoff定理和Heine-Borel定理来判定紧致空间。

具体步骤如下：步骤1：对于给定的拓扑空间，判断它是否可以表示为一族拓扑空间的直积。

如果能够表示为直积空间，那么应用Tychonoff定理，得出该空间是紧致的。

步骤2：对于实数空间R^n中的子集，判断该子集是否同时满足有界性和闭性。

如果满足条件，应用Heine-Borel定理，得出该子集是紧致的。

通过上述两个判定准则，我们可以判断一个空间或者子集是否是紧致的。

这些定理为拓扑学的研究提供了有力的工具和方法。

结论拓扑学中的紧致空间判定准则对于研究空间的性质及其应用具有重要意义。

Tychonoff定理和Heine-Borel定理为我们提供了判定紧致空间的有效准则，为解决实际问题提供了数学上的支持。

紧算子的特征函数

紧算子的特征函数

紧算子的特征函数1 紧算子的定义在函数分析中，紧算子是指从一个 Banach 空间到自身的线性算子，它将有界集映射成相对紧集。

2 紧算子的性质有许多有用的性质与紧算子相关。

- 紧算子是有界的。

- 紧算子的迹是定义良好的。

- 如果紧算子的逆存在，则它也是紧算子。

- 对于 Hilbert 空间上的紧算子，它们可以表示为一个核函数（即关于两个变量的函数），并可以应用所谓的 Fredholm 理论。

3 紧算子的特征函数当我们考虑紧算子时，特征函数是一个有用的工具，可以帮助我们了解算子的本质特征。

3.1 定义给定一个紧算子 $T: X \to X$，定义它的特征函数 $\varphi_T: X^* \to \mathbb{C}$ 如下：$$ \varphi_T(f) = \sum_{n = 1}^\infty \langle Tf, e_n\rangle \langle e_n, f \rangle$$其中 $X^*$ 是 $X$ 的对偶空间，$e_n$ 是 $X$ 的正交归一基。

3.2 解读我们可以将特征函数的定义解释为：将一个函数 $f$ 作用于$T$ 后得到的新函数可以表示为原函数 $f$ 和基函数的内积之和。

这个和是按照 $\|Te_n\|\cdot\|e_n\|$ 递减的。

特别地，当 $T$ 是正规紧算子（即 $T$ 和 $T^*$ 可对换），$\varphi_T$ 可以写成这样：$$ \varphi_T(f) = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n |\langlee_n, f\rangle|^2$$其中 $\lambda_n$ 是 $T$ 的特征值。

3.3 特征函数与性质接下来我们列举一些特征函数的性质：- 在 Hilbert 空间中，可逆的紧算子 $\varphi_T$ 的值总是在某个开集中取值，且 $\varphi_T$ 的零点集在 $X^*$ 中稠密。

- 如果 $T_1, T_2$ 都是紧算子，则它们的特征函数的值也是有界的。