2018版高中数学第二章数列2.2.3等差数列的前n项和二学案苏教版
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2.2.3 等差数列的前n 项和(二) 学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.会解等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .知识点一 数列中a n 与S n 的关系思考1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n?梳理 对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝， n ≥2，n ∈N *思考2 在数列{a n }中，已知S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，这个数列一定是等差数列吗？知识点二 等差数列前n 项和的最值思考 我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？梳理 等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1>0，d >0，则{S n }是递增数列，S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则{S n }是递减数列，S 1是{S n }的最大值．类型一 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引申探究例1中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．不符合则分段． 跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n，求a n .类型二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．反思与感悟 在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．类型三 求等差数列前n 项的绝对值之和例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .反思与感悟求等差数列{a n}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．跟踪训练3 已知数列{a n}中，S n＝－n2＋10n，数列{b n}的每一项都有b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和T n的表达式．1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n，则a n＝________.2．已知数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________．3．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝3＋2n，求a n.1．因为a n ＝S n －S n －1只有n ≥2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，当⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，当⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．答案精析问题导学知识点一思考1 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.梳理 S 1 S n －S n －1思考2 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋b ＋c ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(an 2＋bn ＋c )－[a (n －1)2＋b (n －1)＋c ] ＝2an －a ＋b .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c n ＝，2an －a ＋b n ≥2，n ∈N *，只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b ，数列{a n }才是等差数列． c ≠0时，整个数列{a n }不是等差数列，但从第二项起，以后各项依次构成等差数列． 知识点二思考 由二次函数的性质可以得出：当a 1＜0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1>0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值． 题型探究例1 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列． 引申探究解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋12n ＋1)－[(n －1)2＋12(n －1)＋1]＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *. 跟踪训练1 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1，得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3， n ＝1，2·3n －1， n ≥2，n ∈N *.例2 解 方法一 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57， 所以S n ＝5n ＋n n －2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值． 方法二 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－57 ＝－57n ＋407. 令a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，且a 8＝0，a 9<0. 故前n 项和是从第9项开始减小，而S 7＝S 8，所以前7项或前8项和最大．跟踪训练2 解 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.例3 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n n －2d ＝13n ＋n n －2×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×＋2－(15n －2n 2) ＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *.跟踪训练3 解 由S n ＝－n 2＋10n ，得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N *)．验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N *.∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋10n ，n ≤5，n ∈N *，n 2－10n ＋50，n >5，n ∈N *.当堂训练1．2n 2.－1 3.5或64．解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5. 当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1， 又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.又当n ＝1时，a 1＝5≠21－1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5， n ＝1，2n －1， n ≥2，n ∈N *.。
