chap4-3有导体存在时的电磁波

§3 电磁波在导电介质中的传播¾真空或者理想绝缘介质中，电磁波可以无损耗的传播；¾对于导电介质，由于存在电导，在电磁场的作用下会形成电流，从而产生焦耳热，使得电磁波的能量不断损耗——衰减波本节所要解决的问题1.导电介质内电荷分布的特点；2.电磁波在（良）导体内的传播；3.在导电介质表面电磁波的折射4.在导电介质表面电磁波的反射1、导电介质内自由电荷分布•在静电情况下，理想导体内部自由电荷的体密度为零；自由电荷只能分布在导体的表面；•对于电磁场随时变化的电磁波，导电介质内的自由电荷分布情况如何？2、电磁波在（良）导体内的传播电场所满足的方程:r r 2 r ∂ E ∂E 2 ∇ E − μσ − με 2 = 0 ∂t ∂tr ∇ ⋅ E = 0, r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r ∂E , ∇ × B = μσE + εμ ∂t r ∇⋅B = 0考虑时谐（单色）波：r r r r − iω t E (r , t ) = E (r ) e代入得到2与自由空间情况下的差别r σ ⎞ 2r ⎛ ∇ E + μ ⎜ ε + i ⎟ω E = 0 ω⎠ ⎝r σ ⎞ 2r ⎛ ∇ E + μ ⎜ ε + i ⎟ω E = 0 ω⎠ ⎝2定义复电容率：σ ε '= ε + i ω（复介电常数）良导电介质中，电磁波电场分量所满足的方程r r 2 ∇ E + με 'ω E = 02对比：绝缘介质中，电磁波的电场满足的方程 r r 2 2 ∇ E + μεω E = 0r r 2 ∇ E + με 'ω E = 02r 2）定义复波矢：k ' r r k '⋅k ' = k '2 = με 'ω 2良导体中，电磁波的波动方程为 r r 2 2 ∇ E + k' E = 0r r 2 ∇ E + k' E = 023）良导体中，时谐平面电磁波： r r r i (kr '⋅ x r E (r , t ) = E0 e −ωt )r r r 复波矢： k ' = β + iα式中 α 、 β 均为实矢量。

则rr r r r −α rr E (r , t ) = E0e ⋅x ei (β ⋅x −ωt )rrrr r r r −α rr E (r , t ) = E0e ⋅x ei (β ⋅x −ωt )r r r r r r k '⋅k ' = β + iα ⋅ β + iα r r 2 2 = β − α + 2 iα ⋅ β()()r r r k ' = β + iα= μεω 2 + iμσω比较得2 2 2 ⎧ − = β α ω με , ⎪ ⎨ r r ⎪ ⎩2α ⋅ β = ωμσr r k '⋅k ' = k '2 = με 'ω 2σ ε '= ε + i ω3、电磁波在绝缘/导电介质分界面处的折射r r r k ' ' = β + iα1）波矢的连续性及波数之间的关系kx = kx ''k sin θ = β x + iα x金属θ '' θr k2 ' '⎧α x = 0, ⎨ ⎩ β x = k sin θr kr k'k = ω μ 0ε 0 为真空中的波数⎧α x = 0, ⎨ ⎩ β x = k sin θβ z2 − α z2 = ω 2 με − k 2 sin 2 θ ⎫ ⎪1 α z β z = ωμσ 22 2 z2 2 2 ⎧ − = β α ω με ⎪ ⎨ r r ⎪ ⎩2α ⋅ β = ωμσ⎬ ⎪ ⎭1 2 2 2 β − ω gμεβ − ω μ σ = 0 44 zg = 1−sin 2 θμ rε r1 2 2 2 β − ω gμεβ − ω μ σ = 0 44 z 2 2 z解得⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ β z = ω μεg ⎢ ⎜ 1 + 2 2 2 + 1⎟ ⎥ ⎟⎥ 2⎜ ω ε g ⎢ ⎠⎦ ⎣ ⎝2 12β x = k sin θ122 ⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ α z = ω με g ⎢ ⎜ 1 + 2 2 2 − 1⎟ ⎥ ⎟⎥ ω ε 2⎜ g ⎢ ⎠⎦ ⎣ ⎝αx = 0rr r r r −α rr ⋅ x i (β ⋅ x −ωt ) E (r , t ) = E0e er r r −αz i (βr ⋅ x r −ω t ) E (r , t ) = E0 e e2）垂直入射情况：金属zr k ''r k'xβx = 0r r r '' −αz i (βr ⋅ x r E (r , t ) = E0 e e −ωt )r kr r r '' − α z i ( β z − ω t ) E (r , t ) = E0 e e电磁波在金属表面的穿透深度 δ =1α2 ⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ β z = ω με g ⎢ ⎜ 1 + 2 2 2 + 1⎟ ⎥ ⎟⎥ 2⎜ ω ε g ⎢ ⎝ ⎠⎦ ⎣12垂直入射情况：g =1⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ ⎜ 1 + 2 2 2 − 1⎟ ⎥ α z = ω μεg ⎢ ⎟⎥ 2⎜ ω ε g ⎢ ⎠⎦ ⎣ ⎝212g = 1−sin 2 θμ rε r⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ β = ω με ⎢ ⎜ 1 + 2 2 + 1⎟ ⎥ , ⎟⎥ 2⎜ ω ε ⎢ ⎠⎦ ⎣ ⎝212⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ α = ω με ⎢ ⎜ 1 + 2 2 − 1⎟ ⎥ ⎟⎥ 2⎜ ω ε ⎢ ⎠⎦ ⎣ ⎝2123）电磁波在良导体表面的穿透深度 对于良导体，σ ωε >> 1⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ β = ω με ⎢ ⎜ 1 + 2 2 + 1⎟⎥ ⎟⎥ 2⎜ ω ε ⎢ ⎠⎦ ⎣ ⎝2 12≈ωμσ2,⎡1 ⎛ ⎞⎤ σ α = ω με ⎢ ⎜ 1 + 2 2 − 1⎟⎥ ⎟⎥ ω ε 2⎜ ⎢ ⎠⎦ ⎣ ⎝212≈ωμσ2δ=1α=2ωμσ为电磁波在良导体表面的穿透深度δ=1α=2ωμσ¾它表示电磁波的振幅降至原值 1 e 的传播距离。

¾由 于 δ ∝ ω −1 2 ， 对 于 高 频 电 磁 波 （ 同 时 满 足σ ωε >> 1 ） ， 其电场及相应的高频电流仅分布在表面很薄的一层内（趋肤效应） 。

4）良导体中磁场的分布情况： “良导体中磁场的位相比电场位相滞后π/4。

”r r ∇ × E = iωμ H金属zr k ''r k'xr r r '' i ( k '' z −ω t ) E ' ' (r , t ) = E0 er 1 r r H ''= k ' '× E ' '第141页公式（1.27）r kωμ1=ωμr r r r β (β + iα ) e z × E ' ' = (1 + i ) e z × E ' 'β≈α≈ωμσ2ωμωμσ2σ iπ 4 r r e ez × E'' = ωμ1⎛ 2 1 2⎞ εE + B ⎟ w= ⎜ ⎜ μ ⎟ 2⎝ ⎠导体内磁场能量密度与电场能量密度之比为r H ''=B' ' σ μH ' ' = >> 1 2 = 2 μεE ' ' ωε εE ' '22σ iπ 4 r r e ez × E'' ωμ结论：当电磁波入射到良导体表面，在良导体的内 部电磁波能量主要是磁能。

磁能r r r '' − α z i ( β z − ω t ) E (r , t ) = E0 e e例题：证明平面波垂直入射到导电介 质时，流入能量全部转化为Joule热 解：功率损耗（Joule热）为单位时 间内电磁场对带电体系所做的功金属zr k ''r k'xr r r r W = J ⋅ E ' ' = σE ' '⋅E ' ' 第40页公式（6.4） r r < W >=<σE' '⋅E' ' > r r 1 '' 2 −2α z =<σ Re E' ' ⋅ Re E' ' > = σ (E0 ) e 2r k( ) ( )单位面积上消耗的能量为P=∫∞01 '' = σ E W dz 0 2( )∫2∞0e− 2α z1 '' = σ E dz 0 4α( )2r r r ' ' − αz i ( β z − ω t ) E ' ' (r , t ) = E0 e e =Eer H ''='' − α z i ( β z −ω t ) 0 y金属zer er k ''r k'xσ iπ 4 r r e ez × E'' ωμr σ iπ 4 =− e E'' ex ωμr kσ '' −αz i ( β z −ωt +π 4 ) r =− E0 e e ex ωμr r r r r S = E ' '× H ' ' = Re E ' ' × Re H ' '( )( )r σ ' ' 2 − 2α z ( = E0 ) e cos (β z − ωt ) cos (β z − ωt + π 4 )e z ωμr S=σ ' ' 2 − 2α z ( E0 ) e ωμ r • cos (β z − ωt ) cos (β z − ωt + π 4 )e zσ '' 2 − 2α z ( E0 ) e ωμ金属zr k ''r k'xr S =r kr • cos (k ' ' z − ωt ) cos (k ' ' z − ωt + π 4 ) e z = 1 2σ ' ' 2 − 2α z r ( E0 ) e e z 2ωμcos (k ' ' z − ωt ) cos (k ' ' z − ωt + π 4 )= cos (π 4 ) cos 2 (k ' ' z − ωt ) − sin (π 4 ) cos (k ' ' z − ωt )sin (k ' ' z − ωt )=1 2=0r 1 S = 2σ ' ' 2 − 2α z r ( E0 ) e e z 2ωμ电磁波垂直入射到良导体表面，流入导体的能流为r S 1 σ '' 2 r = E0 e z 2 2ωμz =0( )1 σ 2 '' 2 r = ⋅ E0 e z 2 4 ωμσ2( )α≈ωμσ2σ '' 2 r ( = E0 ) e z 4α通过导电介质表面流入的电磁波能量全部转化为Joule热4 电磁波在绝缘/导电介质分界面处的反射波为简便起见，仅讨论垂直入射情况下的反射波2 1r k2 ' 'S 偏振r k1r k1 '2 1 r E1 r r k1 B1r r k2 ' ' r E2 ' ' B2 ' ' r E1 ' r k1 '⎧E + E ' = E ' ', ⎨ ⎩H − H ' = H ' 'r B1 '1）真空中磁场与电场关系：H = ε 0 μ0 E, H ' = ε 0 μ 0 E '.⎧E + E ' = E ' ' ⎨ ⎩H − H ' = H ' '2）垂直入射情况下，良导体内磁场与电场关系σ (1 + i ) E ' ' H ''= 2ωμ⎧E + E ' = E ' ', ⎪ σ ⎨ ⎪ E − E ' = 2ωε (1 + i )E ' '. 0 ⎩这里已取 μ ≈ μ 0。