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第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++ 【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c +=即只要满足3b+8c=1就可以使向量错误！未找到引用源。
和向量错误！未找到引用源。
垂直。
（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=-可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3）)()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ） 所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223y z A x yze xy e =+而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y x e x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。
![电磁场第八章习题[整理版]](https://uimg.taocdn.com/413f4c5dc950ad02de80d4d8d15abe23482f03e4.webp)
习 题8.1 有一内充空气、截面尺寸为()a b b a ab ⨯<<的矩形波导，以主模工作在20%。
若要求工作频率至少高于主模截止频率的20%。
(1) 给出尺寸a 和b 的设计(2) 根据设计的尺寸，计算在工作频率时的波导波长和波阻抗。
8.2 在尺寸为 222.8610.16a b mm ⨯=⨯得矩形波导中，传输TE 10模，工作频率30GHz 。
(1)求截止波长c λ，波导波长g λ，和波阻抗10TE Z 。
(2)若波导的宽边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？(3)若波导的窄边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？8.3 空气填充的矩形波导中传输波的频率3f GHz =，相速81.25310/p v m s =⨯⨯；传输波的电场为()40sin /j z y E x e V m aβπ-⎛⎫=⎪⎝⎭0x z E E ==(1) 求波导管壁上纵向表面电流密度的最大值；(2) 若该波导的负载不匹配，则波导中将出现驻波。
试确定电场的两个相邻最小点之间的距离；(3) 求波导的横截面尺寸。
8.4 一矩形波导得横截面尺寸为22310a b mm ⨯=⨯由紫铜制作，传输电磁波的频率为10f GHz =。
试计算：(3) 当波导内为空气填充，且传输TE 10波时，每米衰减多少分贝？(4) 当波导内填充以 2.54r ε=的介质，仍传输TE 10波时，每米衰减多少分贝？8.5 设计10cm λ=的矩形波导，材料用紫铜，内充空气，并且要求TE 10模的工作频率至少有30%的安全因子，即210.7 1.3c c f f f ≥≥，此处1c f 和2c f 分别表示TE 10波和相邻高阶模式的截止频率。
8.6 矩形波导得前半段填充空气，后半段填充介质(介电常数为ε)，问当TE 10波从空气段入射介质段时，反射波场量和投射波场量各为多大？8.7 试推导在矩形波导中传输TE mn 波时的传输功率。
2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比。
2.4简述和 所表征的静电场特性 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
表明静电场是无旋场。
2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以 与闭合面外的电荷无布的电场强度。
2.6简述 和 所表征的静电场特性。
表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线， 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和 倍，即2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。
在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度又什么关系？ 单位体积的点偶极矩的矢量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为 极化强度P 与极化电荷面的密度 2.10电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么 电位移矢量定义为 其单位是库伦/平方米 （C/m 2） 2.11 简述磁场与磁介质相互作用的物理现象？ ερ/=•∇E 0=⨯∇E ερ/=•∇E 0=⨯∇E VS 0 0=⋅∇BJ B 0μ=⨯∇0=⋅∇B J B0μ=⨯∇0μC P•∇=-p ρnsp e •=P ρE P EDεε=+=0在磁场与磁介质相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产生的磁感应强度B 0 和磁化电流产生的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度又什么关系？ 单位体积内分子磁矩的矢量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度： 磁化电流面密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与非均匀媒质，线性媒质与非线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？ 均匀媒质是指介电常数 或磁介质磁导率 处处相等，不是空间坐标的函数。
电磁场习题解8（西安交通⼤学）第⼋章电磁辐射与天线8.1 由（8.1-2）式推导(8.1-3)及(8.1-4)式。
解：略8.2 推导(8.1-8)式。
解：电流元的辐射场为j k rerI d l jZ E E -==λθθθθ2sin ?? Z E H H /??θ==辐射功率为==ππθθλθ20022*sin )2sin (d d Zr rIdl S d H E P Sr222232)(8034)2(2sin )2(2λπλdlI Idl Z d Z Idl ===?8.3如果电流元yIl ?放在坐标原点，求远区辐射场。
解：电流元y Il ?的⽮量磁位为 j k re rIl y A -=πµ4? 在圆球坐标系中j k ry r erIl A A -==π?θµ?θ4sin sin sin sin j k ry er Il A A -==π?θµ?θθ4sin cos sin cosj k ry erIl A A -==π?µ??4cos cos由?θ?θ?θθθµµθA r rA A rr r rr A H rsin ?sin ??sin 1112==0])sin cos []cos [sin (sin 11=??-??=θθθµy y r A A r H)]cos ()sin ([1y y A r rA r Hµθ??-=)1(c o s 42rrjk eIl jkr+=-?π)]sin sin ()sin cos ([1θθθµ?y y A rA rr H ??-=)1(4s i n c o s 2rrjk e Il jkr--=-πθ对远区辐射场，结果仅取rerIl jH -=λ?θ2cosj k rerIl jH --=λ?θ?2sin cos根据辐射场的性质，E r ZH ?=?1得 j k rer Il jZ E --=λ?θθ2sin cosj k rerIl jZE --=λ??2cos8.4 三副天线分别⼯作在30MHz,100MHz,300MHz,其产⽣的电磁场在多远距离之外主要是辐射场。
《电磁场与电磁波第四版》考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个物理量是描述电磁场能量密度的？A. 磁感应强度B. 介电常数C. 电场强度D. 电位移矢量答案：C2. 在真空中，电磁波的传播速度为：A. 3×10^5 km/sB. 3×10^8 m/sC. 3×10^5 m/sD.3×10^6 m/s答案：B3. 在电磁波传播过程中，哪个物理量始终保持不变？A. 电磁波的频率B. 电磁波的波长C. 电磁波的振幅D. 电磁波的相位答案：A4. 下列哪个条件是电磁波传播的必要条件？A. 介电常数大于1B. 磁导率大于1C. 介电常数等于1D. 磁导率等于1答案：B5. 下列哪个现象可以用电磁波理论解释？A. 麦克斯韦方程组B. 法拉第电磁感应定律C. 光的折射D. 光的衍射答案：D二、填空题（每题2分，共20分）6. 电磁波在传播过程中，电场强度与磁场强度之间的关系为______。
答案：垂直7. 电磁波的能量密度与电场强度和磁场强度的平方成正比，表达式为______。
答案：u = 1/2 εE^2 + 1/2 μH^28. 电磁波在介质中的传播速度v与介质的介电常数ε和磁导率μ之间的关系为______。
答案：v = 1/√(με)9. 在电磁波传播过程中，能流密度矢量的方向与电磁波的传播方向______。
答案：相同10. 麦克斯韦方程组中，描述电场与磁场之间关系的方程是______。
答案：法拉第电磁感应定律三、计算题（每题20分，共60分）11. 已知某电磁波在空气中的波长为λ=2cm，求该电磁波在空气中的传播速度v和频率f。
解：由c=λf，得f=c/λ=3×10^8 m/s / 0.02 m =1.5×10^9 Hz再由v=c/f，得v=3×10^8 m/s / 1.5×10^9 Hz = 0.2m/s答案：v=0.2 m/s，f=1.5×10^9 Hz12. 有一均匀平面电磁波在无损耗介质中传播，已知电场强度E=50 V/m，磁场强度H=10 A/m，求该电磁波的能量密度u和能流密度S。
《电磁场与电磁波理论》思考题第1章思考题什么是标量什么是矢量什么是矢量的分量什么是单位矢量什么是矢量的单位矢量什么是位置矢量或矢径直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的什么是右手法则或右手螺旋法则若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么矢量积又如何若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么标量积又如何若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算什么是场什么是标量场什么是矢量场什么是静态场或恒定场什么是时变场什么是等值面它的特点有那些什么是矢量线它的特点有那些哈密顿算子为什么称为矢量微分算子标量函数的梯度的定义是什么物理意义是什么什么是通量什么是环量矢量函数的散度的定义是什么物理意义是什么矢量函数的旋度的定义是什么物理意义是什么什么是拉普拉斯算子标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的三个重要的矢量恒等式是怎样的什么是无源场什么是无旋场为什么任何一个梯度场必为无旋场为什么任何一个无旋场必为有位场为什么任何一个旋度场必为无源场为什么任何一个无源场必为旋度场高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么什么是矢量的唯一性定理在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场为什么直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的点电荷的严格定义是什么点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型有哪几种电流分布模型他们是如何定义的常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
第7章 导行电磁波1、 求内外导体直径分别为0.25cm 和 0.75cm 空气同轴线的特性阻抗； 在此同轴线内外导体之间填充聚四氟乙烯（ 2.1r ε=），求其特性阻抗与300MHz 时的波长。
解：空气同轴线的特性阻抗00.7560ln60ln =65.9170.25b Z a ==Ω 聚四氟乙烯同轴线:00.75=41.404ln345.487 0.25b Z a ===Ω80.69v m f λ==== 2、在设计均匀传输线时，用聚乙烯（εr ＝2.25）作电介质，忽略损耗⑴ 对于300Ω的双线传输线，若导线的半径为0.6mm ，线间距应选取为多少？ ⑵ 对于75Ω的同轴线，若内导体的半径为0.6mm ，外导体的内半径应选取为多少？ 解：⑴ 双线传输线，令d 为导线半径，D 为线间距，则0110 ln , ln1 300 ln3.75, 25.5D L C D d dDZ dDD mm dμπεππ=====∴== ⑵ 同轴线，令a 为内导体半径，b 为外导体内半径，则0112 ln , 2lnb L C b a aμπεπ==01 ln 752 ln1.875, 3.91bZ abb mm aπ===∴==3、设无耗线的特性阻抗为100Ω, 负载阻抗为5050j -Ω, 试求：终端反射系数L Γ驻波比VSWR 及距负载0.15λ处的输入阻抗in Z 。
解：005050100112505010035L L L Z Z j j j Z Z j j ---++Γ===-=-+-+-1 2.6181L L S +Γ===-Γ()()000250501000.15100210050500.15L in L j j tan Z jZ tan d Z d Z Z jZ tan d j j tan πλβλπβλλ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==⨯+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭43.55 +34.16j =4、一特性阻抗为50Ω、长2m 的无耗线工作于频率200MHz ，终端阻抗为4030j +Ω，求其输入阻抗in Z 。
电磁场与电磁波第四版课后答案第一章：电磁场与电磁波简介1.电场与磁场是电磁场的两个基本概念。
电磁场是由电荷和电流产生的。
第二章：静电场2.静电场是指电荷分布不随时间变化的电场。
3.庞加莱定理：在任意封闭曲面内，电场的通量等于该曲面内的电荷代数和除以介电常数。
第三章：电磁场的数学描述4.麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组。
5.麦克斯韦方程组包括4个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
第四章：静磁场6.静磁场是指磁场随时间不变的情况。
7.安培环路定律描述了静磁场中的磁场强度与电流的关系。
第五章：电磁波的产生与传播8.电磁波是由振荡的电场和磁场组成的波动现象。
9.麦克斯韦方程组的解可以得到电磁波的传播方程，即波动方程。
第六章：电磁波谱10.电磁波谱是按照电磁波的频率或波长划分的。
第七章：矢量分析与场11.矢量分析是用来描述场的数学工具。
12.二、三维坐标系下的矢量分析公式包括梯度、散度、旋度等概念。
第八章：电磁波在介质中的传播13.介质中的电磁波传播速度小于真空中的光速。
14.介质中的电磁波受到折射和反射的影响。
第九章：光的偏振与吸收15.光的偏振是指电磁波在传播方向上的振动方向。
16.介质对电磁波的吸收会产生能量损耗。
总结本文简要介绍了《电磁场与电磁波第四版》课后习题答案。
通过对电磁场与电磁波的基本概念、静电场、电磁场的数学描述、静磁场、电磁波的产生与传播、电磁波谱、矢量分析与场、电磁波在介质中的传播以及光的偏振与吸收等内容的讨论，我们对电磁场与电磁波的相关知识有了更深入的了解。
理解这些知识对于学习和应用电磁场与电磁波有着重要的意义。
希望本文的内容能够帮助读者更好地掌握《电磁场与电磁波第四版》的相关知识。
第8章 电磁辐射前面讨论了电磁波的传播问题，本章讨论电磁波的辐射问题。
时变的电荷和电流是激发电磁波的源。
为了有效地使电磁波能量按所要求的方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按某种特殊的方式分布，天线就是设计成按规定方式有效地辐射电磁波能量的装置。
本章先讨论电磁辐射原理，再介绍一些常见的基本天线的辐射特性。
8.1滞后位在洛仑兹条件下，电磁矢量位A 和标量位ϕ满足的方程具有相同的形式222t ϕρϕμεε∂∇-=-∂ （8.1.1）J A A μμε-=∂∂-∇222t（8.1.2）我们先来求标量位ϕ满足的方程式（8.1.1）。
该式为线性方程，其解满足叠加原理。
设标量位ϕ是由体积元'V ∆内的电荷元'q V ρ∆=∆产生的，'V ∆之外不存在电荷，则由式（8.1.1）'V ∆之外的标量位ϕ满足的方程2220tϕϕμε∂∇-=∂ （8.1.3）可将q ∆视为点电荷，它所产生的场具有球对称性，此时标量位ϕ仅与r 、t 有关，与θ和φ无关，故在球坐标下，上式可简化为222210r r r r tϕϕμε∂∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂∂⎝⎭ （8.1.4） 设其解()(),,U r t r t rϕ=，代入式（8.1.4）可得 0122222=∂∂-∂∂tUv r U （8.1.5） 其中，με1=v 。
该方程的通解为(),()()r rU r t f t g t v v=-++ （8.1.6）式中的()r f t v -和()r g t v +分别表示以()r t v -和()rt v+为变量的任意函数。
所以q ∆周围的场为()11,()()r rr t f t g t r v r vϕ=-++ （8.1.7） 式（8.1.7）中第一项代表向外辐射出去的波，第二项代表向内汇聚的波。
在讨论发射天线的电磁波辐射问题时，第二项没有实际意义，取0=g ，而f 的具体函数形式需由定解条件来确定。
此时()1,()rr t f t r vϕ=- （8.1.8）为得到()r f t v-的具体形式，将式(8.1.8)与同样位于原点的准静态电荷元'V ρ∆产生的标量位()(0,)'4t V r rρϕπε∆∆=比较，可以看出应取()1(0,)',()4r t r v V r t f t r v r ρϕπε-∆∆=∆-=（8.1.9） 若电荷元'V ρ∆不是位于原点，而是位于'r ，则在场点r 处产生的标量位为()(,)1,'4t v t V ρϕπε''--∆=∆'-r r r r r r由场的叠加性可得体积V 内分布的电荷产生的标量位为()(,)1,'4Vt v t dV ρϕπε''--='-⎰r r r r r r （8.1.10）上式表明，t 时刻场点r 处的标量位，不是决定于同一时刻的电荷分布，而是决定于较早时刻t t v ''=--r r 的电荷分布。
换句话说，观察点的位场变化滞后于源的变化，所推迟的时间v '-r r 恰好是源的变动以速度με1=v 传播到观察点所需要的时间，这种现象称为滞后现象，故将式（8.1.10）表示的标量位(),t ϕr 称为滞后位。
由于矢量位A 所满足的方程在形式上与标量位ϕ所满足的方程相同，我们可将矢量位(),t A r 分解为三个分量，因而每个分量都应具有与式（8.1.10）相似的解。
故矢量滞后位可由下式表示()(,),'4Vt v t dV μπ''--='-⎰J r r r A r r r （8.1.11）对于正弦时变场，则式（8.1.10）和（8.1.11）的复数形式为1()()'4jk Ve dV ρϕπε'--'='-⎰r rr r r r （8.1.12）()()'4jk Ve dV μπ'--'='-⎰r r J r A r r r （8.1.13）式中2k πλ==为波数。
至此可以看出，根据天线上的电流分布来计算由其产生的电磁场的步骤是：利用式（8.1.13），由给定的J 求出A ，再根据=∇⨯B A 求得B ，最后由j ωε∇⨯=H E 求得E 。
8.2 电偶极子的辐射在几何长度远小于波长的线元上载有等幅同相的电流，这就是电偶极子。
关于电偶极子产生的电磁场的分析计算，是线形天线工程计算的基础。
设线元上的电流随时间作正弦变化，表示为()cos Re j ti t I t Ie ωω⎡⎤==⎣⎦如图8.2.1所示，电偶极子沿z 轴放置，中心在坐标原点。
元的长度为l 、横截面积为S ∆，故有d 'd d zz IV S z I z S '''=∆='∆J e e 用d 'z I z e 替换d 'V J ，得载流线元在点P 产生的矢量位为d 'z '-r r（8.2.1）考虑到l <<r ，故式（8.2.1）可近似为0()4jkrzIl r e rμπ-=A e （8.2.2） 它在球坐标系中的三个坐标分量为00cos cos 4sin sin 40jkrrz jkr z Il A A e rIl A A e r A θφμθθπμθθπ--⎧==⎪⎪⎪=-=-⎨⎪=⎪⎪⎩（8.2.3） 点P 的磁场强度为200sin sin 11sin r rr r r rA rA r A φθθφθθμμθφθ∂∂∂=∇⨯=∂∂∂e e e H A 将式（8.2.3）代入上式，得+q t -图8.2.1 电偶极子2200sin 14()r jkrH H k Il j H e kr kr θφθπ-⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎡⎤⎪=+⎢⎥⎪⎣⎦⎩（8.2.4）由麦克斯韦方程，P 点的电场强度200sin sin 11sin r rr r r j j rH rH r H φθθφθθωεωεθφθ∂∂∂=∇⨯=∂∂∂e e e E H将式（8.2.4）代入上式，得323032302cos 14()()sin 14()()0jkr r jkr Ilk j E e kr kr Ilk j j E e kr kr kr E θφθπωεθπωε--⎧⎡⎤=-⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪=+-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪=⎪⎪⎩（8.2.5）由式（8.2.4）和（8.2.5）可看出，电偶极子产生的电磁场，磁场强度只有H φ分量，而电场强度有r E 和E θ两个分量。
每个分量都包含几项，且与距离r 有复杂的关系。
8.2.1 电偶极子的近区场r λ<<即1kr <<的区域称为近区，在此区域中()()23111kr kr kr <<<< 且 1jkr e -≈ 故在式（8.2.4）和（8.2.5）中，主要是1kr的高次幂项起作用，其余各项皆可忽略，故得 3030cos 2sin 4rIl E j r Il E jr θθπωεθπωε⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（8.2.6） 2sin 4Il H r φθπ= （8.2.7）考虑到电偶极子两端的电荷与电流的关系()()d d q t i t t=，即I j q ω=，式（8.2.6）可表示为33003300cos cos 22sin sin 44e r e p ql E r r p ql E r r θθθπεπεθθπεπε⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（8.2.8）式中的e p ql =是电偶极矩e q =p l 的振幅。
从以上结果可以看出，在近区内，时变电偶极子的电场表示式与静电偶极子的电场表示式相同；磁场表示式则与静磁场中用毕奥－沙伐定律计算出的恒定电流元的磁场表示式相同。
因此把时变电偶极子的近区场称为准静态场或似稳场。
由式（8.2.6）和（8.2.7）可计算出近区场的平均功率流密度1Re 02av *⎡⎤=⨯=⎣⎦S E H 此结果表明电偶极子的近区场没有电磁功率向外输出。
应该指出，这是忽略了场表示式中的次要因素所导致的结果，而并非近区场真的没有净功率向外输出。
8.2.2电偶极子的远区场r λ>>即1kr >>的区域称为远区，在此区域中()()23111kr kr kr >>>> 在式（8.2.4）和（8.2.5）中，主要是含1kr的项起作用，其余项均可忽略。
故得 20sin 4sin 4jkr jkrIlk E j e rIlk H j e r θφθπωεθπ--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（8.2.9）将k =2k πλ=以及0η=代入式（8.2.9）得 0sin 2sin 2jkrjkr Il E j e rIl H j e r θφηθλθλ--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（8.2.10） 可见，远区场与近区场完全不同。
我们根据式（8.2.10）对远区场的性质作如下讨论：（1）远区场是辐射场，电磁波沿径向辐射。
远区的平均坡印廷矢量为111Re Re Re 222av r E H E H θθφφθφ***⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯=⨯=⎣⎦⎣⎦⎣⎦S E H e e e 可见，有电磁能量沿径向辐射。
（2）远区场是横电磁波（TEM 波）。
远区的电场和磁场都只有横向分量()E H θθφφ==E e H e 、，E 与H 相互垂直，且垂直于传播方向。
E θ和H φ的比值为0120E H θφηπ==Ω（3）远区场是非均匀球面波。
相位因子jkr e -表明波的等相位面是r =常数的球面，在该等相位面上，电场（或磁场）的振幅并不处处相等，故为非均匀球面波。
（4）场的振幅与r 成反比，这是由于电偶极子由源点向外辐射，其能量逐渐扩散，（5）远区场分布有方向性。
方向性因子sin θ表明在r =常数的球面上，θ取不同的数值时，场的振幅是不相等的。
在电偶极子的轴线方向上(0)θ=，场强为零；在垂直于电偶极子轴线的方向上0(90)θ=，场强最大。
通常用方向图来形象地描述这种方向性。
图8.2.2是用极坐标绘制的E 面（电场矢量E 所在并包含最大辐射方向的平面）方向图，角度表示方向，矢径表示场强的相对大小。
图8.2.3是 H 面（磁场矢量H 所在并包含最大辐射方向的平面）方向图，由于电偶极子的轴对称性，因此在这个平面上各方向的场强都等于最大值。
图8.2.4是根据sin θ绘制的立体方向图。
显然，E 面方向图和H 面方向图就是立体方向图分别沿E 面和H 面这两个主平面的剖面图。
最后我们讨论电偶极子的辐射功率，它等于平均坡印廷矢量在任意包围电偶极子的球面上的积分，即1d Re d 2r av rs s P E H θφ*⎡⎤==⎣⎦⎰⎰S S eS2220001(sin )sin d 22r r Il r d rππηθθθφλ=⎰⎰e e 22320015()d sin d Il πππφθθλ=⎰⎰ 22240()lI πλ=可见，电偶极子的辐射功率与电长度lλ有关。
