十校联合体2017-2018学年第一学期高三期末联考数学试题(理科)

2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数Z=1+i+（1+i）6（i为虚数单位）在复平面上对应的点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数y=sin（+2x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数3．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．4．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．2505．（5分）设命题p：若集合A={x∈R|≤0}，则∁R A={x∈R|x＞0}（其中R为实数集）；命题q：∃x∈R，sinx≥1，则（）A．p∨（￢q）是假命题B．p∨q是假命题C．p∧q是真命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题6．（5分）为了研究某班学生的身高y（单位：厘米）和脚长x（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知=225，=1650，，则的值是（）A．750B．75C．80D．8007．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x 8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里9．（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．体积为2的三棱锥B．体积为2的四棱锥C．体积为6的三棱锥D．体积为6的四棱锥10．（5分）已知实数x，y满足，则（x﹣1）2+（y+1）2的取值范围是（）A．[，10]B．[，2]C．[，10]D．[，2] 11．（5分）设P是抛物线C1：x2=4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2=4上的动点，d是点P到直线y=﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．D．+1 12．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x，y∈R，则x+y 的取值范围为（）A．（1，2]B．[1，2]C．[1，2）D．[﹣2，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则n=．14．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽米．16．（5分）小明发现，直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上，现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=BC=，AC=6，AA1⊥平面ABC，AA1=2，则该三棱柱的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：．18．（12分）朱老师家住H小区，他在C学校工作，从家开车到C学校上班有L1，L2两条路线（如图），路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走路线L1，求最多遇到2次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助朱老师分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．20．（12分）已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤10，求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+2mx﹣m．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）证明：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．选修4—4：极坐标与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．选修4—5：不等式选讲23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数Z=1+i+（1+i）6（i为虚数单位）在复平面上对应的点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵Z=1+i+（1+i）6=1+i+[（1+i）2]3=1+i+（2i）3=1﹣7i，∴在复平面上对应的点P的坐标为（1，﹣7），在第四象限．故选：D．2．（5分）函数y=sin（+2x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：函数y=sin（+2x）=cos2x，它的周期为=π，且为偶函数，故选：C．3．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选：D．4．（5分）为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为（）A．50B．100C．150D．250【解答】解：产量在75件以上（含75件）的工人包括第4组和第5组的工人，∵f=f4+f5=0.010×10+0.005×10=0.15．∴该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为：1000×0.15=150．故选：C．5．（5分）设命题p：若集合A={x∈R|≤0}，则∁R A={x∈R|x＞0}（其中R为实数集）；命题q：∃x∈R，sinx≥1，则（）A．p∨（￢q）是假命题B．p∨q是假命题C．p∧q是真命题D．（￢p）∧（￢q）是真命题【解答】解：A={x∈R|≤0}={x|x＜0}，则∁R A={x∈R|x≥0}，即命题p是假命题，当sinx=1时，满足sinx≥1，即命题q是真命题，则p∨（￢q）是假命题，故选：A．6．（5分）为了研究某班学生的身高y（单位：厘米）和脚长x（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知=225，=1650，，则的值是（）A．750B．75C．80D．800【解答】解：∵=225，=1650，∴=22.5，=165，由165=4×22.5+，解得：=75，故选：B．7．（5分）在如图程序框图中，已知：f0（x）=xe x，f i′（x）是f i（x）的导函数，则输出的是（）A．2016e x B．2016e x+xe x C．2017e x D．2017e x+xe x 【解答】解：由程序框图知，f0（x）=xe x，f1（x）=f0′（x）=e x+xe x，∴f2（x）=f1′（x）=e x+e x+xe x=2e x+xe x；…；∴输出f2017（x）=f2016′（x）=2017e x+xe x．故选：D．8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．4 里B．5 里C．6 里D．8 里【解答】解：每天走的路形成等比数列{a n}，q=，S6=378．∴S6=378=，解得a1=192．∴该人最后一天走的路程=a1q5==6．故选：C．9．（5分）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．体积为2的三棱锥B．体积为2的四棱锥C．体积为6的三棱锥D．体积为6的四棱锥【解答】解：几何体的直观图如图：由题意可得几何体的底面积为：=3，体积为：V=．故选：B．10．（5分）已知实数x，y满足，则（x﹣1）2+（y+1）2的取值范围是（）A．[，10]B．[，2]C．[，10]D．[，2]【解答】解：（x﹣1）2+（y+1）2的几何意义是P（1，﹣1）到可行域上的点的距离的平方，d min==，最小值为：；由可得B（2，2），最大值为可行域内的第一象限三角形的顶点到P（1，﹣1）的距离的平方：（2﹣1）2+（2+1）2=10，故选：C．11．（5分）设P是抛物线C1：x2=4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2=4上的动点，d是点P到直线y=﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．D．+1【解答】解：圆（x﹣5）2+（y+4）2=4的圆心（5，﹣4），半径为2．抛物线x2=4y的准线方程为：y=﹣1，如图：d为P到y=﹣2的距离，P为抛物线x2=4y上一动点，M为（x﹣5）2+（y+4）2=4上一动点，d+PM最小值就是FC2的连线与抛物线的交点是P，与圆的交点为M，过P作PN垂直直线y=﹣1的交点为N，有抛物线的定义可知：PF=PN，即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值，∵F（0，1），C2（5，﹣4），∴|FC2|==5，∴d+|PM|≥1+|FC2|﹣2=5﹣1所以d+PM最小值为5﹣1，故选：B．12．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x，y∈R，则x+y 的取值范围为（）A．（1，2]B．[1，2]C．[1，2）D．[﹣2，2]【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤120°可得A（1，0），B（﹣，），由若=x（1，0）+y（﹣，）得，x﹣y=cosθ，y=sinθ，∴y=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+30°），∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴1≤2sin（θ+30°）≤2∴x+y的范围为[1，2]，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则n=5．【解答】解：∵（1+2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，若a2=40，则×4=40，求得n2﹣n﹣20=0，∴n=5，或n=﹣4（舍去），故答案为：5．14．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是．【解答】解：小明有4枚完全相同的硬币，他把4枚硬币叠成一摞，基本事件总数n=24=16，所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对，包含的基本事件的个数m=24﹣2=14，∴所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率：p===．故答案为：．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽2米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2，∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣1）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．16．（5分）小明发现，直棱柱的外接球的球心位置一定在上下底面外接圆圆心连线上，现已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=BC=，AC=6，AA1⊥平面ABC，AA1=2，则该三棱柱的外接球表面积为．【解答】解：由题意，圆心到球心的距离为1，∵AB=BC=，AC=6，∴AC的高为，其中一个底角的正弦值为；由正弦定理：2r=；则r=外接球半径R==三棱柱的外接球表面积S=4πR2=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足（n ≥2，n∈N+）．则：当n≥2时，，整理得：S n﹣S n=2S n﹣1S n，﹣1所以：（常数）．所以：数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以：，当n=1时，符合通项．故：，所以：，=，=18．（12分）朱老师家住H小区，他在C学校工作，从家开车到C学校上班有L1，L2两条路线（如图），路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走路线L1，求最多遇到2次红灯的概率；（Ⅱ）若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助朱老师分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】设“走路线L1，最多遇到2次红灯”为事件A，则P（A）=×+×+××=；∴走L1最多遇到2次红灯的概率为；【解法二】设“走路线L1，最多遇到2次红灯”为事件A，则事件为“走路线L1遇到3次红灯”，∴P（A）=1﹣P（）=1﹣×=；∴走L1最多遇到2次红灯的概率为；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值为0，1，2；计算P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=，P（X=2）=×=，∴X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×=；（Ⅲ）设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B（3，），∴E（Y）=3×=，由E（X）＜E（Y），∴选择路线L2上班更好些．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知双曲线x2﹣=1的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且≤10，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b=1，因为椭圆的离心率为，所以e2===，即a2=4，∴椭圆方程为+x2=1；（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或x=．所以x2=．同理可得，x1=．所以x1•x2=1．（Ⅱ）解：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），则=（﹣1﹣x1，﹣y1），=（﹣1﹣x2，﹣y2），因为•≤10，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤10，即x12+y12≤11，因为点P在双曲线上，则x1﹣=1，所以x12+4x12﹣4≤11，即x12≤3．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤．因为S1=|AB|•|y2|=|y2|，S2=|OB|•|y1|=|y1|，所以S12﹣S22=y22﹣y12=（4﹣4x22）﹣（x12﹣1）=5﹣x12﹣4x22．由（Ⅱ）知，x1•x2=1，即x2=．设t=x12，则1＜t≤3，则S12﹣S22=5﹣t﹣．设f（t）=5﹣t﹣=5﹣（t+）=5﹣4=1，当且仅当t=，即t=2时取等号，所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．因为f（3）=5﹣3﹣=，f（1）=0，所以f（1）＜f（3）所以S12﹣S22的取值范围为（0，1]．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+2mx﹣m．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅱ）证明：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．【解答】（I）解：f′（x）=﹣3x2+2m，m≤0时，f′（x）≤0，∴函数f（x）在R上单调递减，无极值．m＞0时，f′（x）=﹣3（x+）（x﹣），可得：﹣＜x＜时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＜﹣，或x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=﹣，函数f（x）取得极小值，=﹣﹣m．x=时，函数f（x）取得极大值，f=﹣m．（II）证明：当m＞，0≤x≤1时，要证明﹣m＜f（x）＜m﹣．即证明：f （x）﹣＜0．由（I）可得：0＜x＜时，此时函数f（x）单调递增；x＞时，函数f（x）单调递减．①当≥1时，m≥时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≤f（1）．这时f（x）﹣＜f（1）﹣|m﹣|=﹣1+2m﹣m﹣（m﹣）=﹣＜0．②当＜1时，＜m＜时，f（x）≤f，∴f（x）﹣≤f（）﹣|m﹣|=﹣2m+．令=t，则t∈，m=．g（t）=﹣2m+=t3﹣+．∵g′（x）=﹣t=t（t﹣3）＜0，∴g（t）在t∈上单调递减，∴g（t）＜g（）=﹣＜0，综上所述：当m＞，0≤x≤1时，﹣m＜f（x）＜m﹣．选修4—4：极坐标与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程（θ是参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1上的点P到直线C2的距离为d，求d的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程（θ是参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．转换为直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（2）设曲线C1上的点P（），则：点P到直线x+y﹣1=0的距离d==．故：d的最大值为．选修4—5：不等式选讲23．已知f（x）=|2x+2|+|3x﹣3|，g（x）=|x+2m|+|x﹣m|．（Ⅰ）求函数y=的定义域．（Ⅱ）若∀x∈R，∃x0∈R，使得f（x）=g（x0），试求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）要使函数有意义，必须f（x）﹣8≥0，当x≤﹣1时，﹣（2x+2）﹣（3x﹣3）﹣8≥0，解得x；当﹣1＜x≤1时，（2x+2）﹣（3x﹣3）﹣8≥0，解得x∈∅；当x＞1时，（2x+2）+（3x﹣3）﹣8≥0，解得x．综上所述，函数的定义域是（﹣）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵f（x）=∴f（x）≥f（1）=4又∵g （x ）=|x +2m |+|x ﹣m |≥|（x +2m ）﹣（x ﹣m ）|=3|m | ∴若∀x ∈R ，∃x 0∈R ，使得f （x ）=g （x 0），都有3|m |≤4， ∴m 的取值范围为[﹣，]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q) ()2b f a-0xx<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

2016-2017学年第一学期温州十校联合体高三期末考试数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1.已知集合}2|{x y x P -==，)}1ln(|{+==x y x Q ，则=Q P （ ）A ．{|12}x x -≤≤B ．{|12}x x -≤<C ．{|12}x x -<≤D ．{|12}x x -<<2.若复数iz -=12，其中i 为虚数单位，则z = （ ） A ．1−iB ．1+iC ．−1+iD ．−1−i 3. “一条直线l 与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4. 二项式6(x的展开式中常数项为 （ ） A ．15- B ．15 C ．20- D ．205.若向量(sin2,cos ),(1,cos )a b ααα==,且21tan =α，则a b ⋅的值是 （ ） A ．58 B ．56 C ．54 D ．2 6.点P 为直线34y x =上任一点，12(5,0),(5,0)F F -，则下列结论正确的是 （ ） A ．12||||||8PF PF ->B ．12||||||8PF PF -=C ．12||||||8PF PF -<D ．以上都有可能7.设函数2log (),0()2,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[0,)+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ． [1,)+∞8.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足122n n a S ++=，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值是 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．119.在OMN ∆中，点A 在OM 上，点B 在ON 上，且//AB MN ，2OA OM =，若O P x O A y O B =+，则终点P 落在四边形ABNM 内（含边界）时，21y x x +++的取值范围是 （ ） A ．1[,2]2 B ．1[,3]3 C ．3[,3]2 D ． 4[,4]310.点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为 （ ）ABCD二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2017-2018学年 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数31z i=+，则z 为（ ）A ．32 B C D 2.已知集合(){}{}22|log 11,|230A x x B x x x =-<=--<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.将函数()2sin cos 1sin f x x x x =-+的图像经过恰当平移后得到一个偶函数的图像，则这个平移可以是（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向右平移4π个单位4.已知直线()200,0ax by a b -+=>>被圆222210x y x y ++-+=截得的弦长为2，则12a b+的最小值为（ ）A ．3B ．32+．2．3+5.某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．64πD ．48π6.已知平行四边形ABCD 中，012,1,60,3AB AD BAD AM AB ==∠==，则M C M D 的值为（ ） A ．13-B ．49C ．23D ．19 7.执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是407，y 值是259，那么输出的x 值是（ ）A ．2849B ．37C ．74D ．778.已知实数,x y 满足044220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则142yx z ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．29.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221128x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．22184x y -= 10.已知a 为第三象限角，4tan 23α=-，则sin α的值为（ ） A． B． C．．45-11.一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一个张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（ ）A ．60B ．48C ．42D ．3612.设定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞都有()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦．若方程()()f x f x a '+=有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．12,ln 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ C ．13,2ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式()13nx -的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为___________．14.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A B C 、、sin cos 20A a B a --=，则B ∠=__________．15.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且满足()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()13x f x -=，则13log 10f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为_________．16.一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为32，黄色区域的面积为12．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的13改涂成黄色，原有黄色区域的13改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()()2*111,1n n a na n a n n n N +==+++∈．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）如图，四边形ABEF 为矩形，四边形CEFD 为直角梯形，//,CE DF EF FD ⊥，平面ABEF ⊥平面,CEFD P 为AD 的中点，且12AB EC FD ==．（1）求证：CD ⊥平面ACF ；（2）若2BE AB =，求二面角B FC P --的余弦值． 19.（本小题满分12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为25，小弄水库需要泄洪的概率为12，假设每座水库是否泄洪相互独立． （1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分）已知12F F 、分别是椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，离心率为3，点P 在椭圆C 上，且点P 在x 轴上的正投影恰为1F ，在y轴上的正投影为点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()24,0ln ,0x x t x f x x x x ⎧++<=⎨+>⎩其中t 是实数．设A B 、为该函数图像上的两点，横坐标分别为12,x x ，且12x x <．（1）若20x <，函数()f x 的图像在点A B 、处的切线互相垂直，求122x x -的最大值； （2）若函数()f x 的图像在点A B 、处的切线重合，求t 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 中，//,AB DC AC BD 、交于点3,5E AE AC =，ABD ∠的角平分线交AC 于点F ．（1）求CDAB的值； （2）若12AF FC =，求证：2BD DC AB +=．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++． （1）解不等式()4f x <；（2）若存在实数0x ，使得()02log f x <t 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题 13. 3540x - 14. 23π 15. 1027 16. 163162三、解答题17.（1）证明：由已知得，111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+，*n N ∈， 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()()()2122222222111111211223111n n n n S b b b n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦．．．．．12分18.（1）证明：∵AF EF ⊥，平面ABEF ⊥平面CEFD ，平面ABEF 平面CEFD EF =，∴AF ⊥平面CEFD ，从而AF CD ⊥． 设Q 为DF 的中点，连接CQ ．∵四边形CEFD 为直角梯形，1,2EC FD FQ EC AB EF ====， ∴四边形CEFQ 为正方形，CQD ∆为等腰直角三角形． ∴090FCD ∠=，即CD FC ⊥．又AF CF F = ，∴CD ⊥平面ACF ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：方法一（几何法）：连接EQ ，设EQ EC O = ，则FC EQ ⊥．∵//,//BE AF PQ AF ，∴BE ⊥平面,CEFD PQ ⊥平面CEFD ． ∴,BE FC PQ FC ⊥⊥， 又,BE CE E PQ OQ Q == ， ∴FC ⊥平面,BOE FC ⊥平面POQ ， ∴,FC OB FC OP ⊥⊥，故BOP ∠为二面角B FC P --的平面角．设1AB =，则2,1,22BE PQ OB BP =====∴222cos 23OB OP BP BOP OB OP +-∠==，即二面角B FC P --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 方法二（向量法）：以F 为坐标原点，FE FD FA 、、所在直线分别为,y,z x 轴建立如图所示的空间直角 坐标系，设1AB =，则2,2BE FD ==．∴()()()()()()0,0,01,1,01,0,20,2,00,0,20,1,1F C B D A 、、、、、P ，故()()()1,1,01,0,20,1,1FC FB FP ===、、，设平面BFC 的一个法向量()1111,,n x y z =，则110,n 0n FC FB ==，∴1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令11z =，则()12,2,1n =-．同理可得，平面FCP 的一个法向量()21,1,1n =-．∴121212cos ,n n n n n n === B FC P --为锐二面角，故其．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）至少有一座水库需要泄洪的概率是321371115240⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．3分（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．()()()32133223213011;52402119111;52240212111121115252240P P C P C ξξξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23132112193115225240P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()22321134152220P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()321155220P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭． 故ξ的分布列为故()312301234540404040202010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题可得，P 点坐标为,3c ⎛-⎝⎭． ∴222413c a c a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a b =．故椭圆的方程为22132x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设直线l 的方程为()()111,,y k x A x y =+、()22,B x y ．由()221132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2222236360k x k x k +++-=，故22121222636,,2323k k x x x x k k-+=-=++． ∴12x x -== 故)2122123k AB x x k+=-=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵1,,//3P PQ AB ⎛- ⎝⎭， ∴直线PQ 的方程为()1y k x =+．由()2213132y k x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，()222236360k x k k x k ⎛⎛+++-= ⎝⎭⎝⎭， ∵1P x =-，∴Q x =，∴P Q PQ x x =-=若四边形PABQ 能成为平行四边形，则AB PQ =，∴4=-，解得3k =． 故符合条件的直线l的方程为)1y x =+，即10x +=．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）当20x <时，10x <．由已知()()121f x f x ''=-，∴()()1224241x x ++=-， 故121248x x =--+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴()()()122222112222224242x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-++=-+++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，∵122424x x +<+，∴1224024x x +<<+，∴1222x x -≤224x =-时，等号成立， 故122x x -的最大值为2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得，()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵12x x <，∴120,0x x <>．∴()222111221ln 41241x x x x t x x x x +-+++=+=-，解得()2111ln 23t x x =--+，令()()231ln 23,02g x x x x =--+-<<，则()2223g x x x '=-+．．．．．．．．．．8分 ∵0,230x x <+>，∴()0g x '<，故()g x 在3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减．．．．．．．．．．．10分 ∴当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()01ln3g x g >=--， ∴1ln 3t >--，即t 的取值范围为()1ln3,--+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（1）解：∵35AE AC =，∴32AE EC =． ∵//AB DC ，∴CED AEB ∆∆ ， ∴23CD CE AB AE ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证明：分别过点D C 、作BF 的平行线交AB 的延长线于G H 、两点，则,ABF BGD EBF BDG ∠=∠∠=∠．∵BF 平分ABD ∠，∴ABF EBF ∠=∠，∴BGD BDG ∠=∠，∴BD BG =． 又∵//,//DG CH DC GH ，∴四边形CDGH 是平行四边形，∴DC GH =． ∴BD DC BG GH BH +=+=．∵//BF CH ，∴12AB AF BH FC ==，∴2BH AB =，∴2BD DC AB +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22184x y +=．由cos sin 40ρθθ-=得，曲线2C 的直角坐标方程为40x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设(),P θθ，则点P 到曲线2C 的距离为44cos d πθ⎛⎫-+ ⎪===．．．．．．．．．．．8分当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值0，所以PQ 的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，当1x <-时，由()4f x <，得413x -<<-； 当112x -≤<时，由()4f x <得，112x -≤<； 当12x ≥时，由()4f x <得，1423x ≤<． 综上所述，不等式()4f x <的解集为44|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()f x 的图像可知，()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．7分根据题意，有23log 2>>3t <-或3t >． 故实数t 的取值范围为()(),33,-∞-+∞ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

九江市2017-2018学年高三十校第一次联考理科数学试卷试卷说明：考试时间：120分 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21CD ．23-2.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则（ ） A .A B =∅ B ．B A ⊆ C ．{0,1}A B = D ．A B ⊆3. 若)1(,2)]([,21)(-+=-=g x x f g x x f x 则的值为( ).21.-A 6.B 1.C 3.D 4.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数5．函数21()ln 2f x x x =-的单调减区间（ ） A ．(]1,1- B ．(]0,1 C ．()1,+∞ D ．()0,+∞6.在ABC ∆中，已知B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+，（其中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ），则 （ ）A .a ，b ，c 依次成等差数列B .b ，a ，c 依次成等差数列C .a ，c ，b 依次成等差数列D .a ，b ，c 依次既成等差数列，也成等比数列7．已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A .6πB .4π C .3π D .2π8．已知数列{}n a ，若点(,)(n n a n ∈*N )在经过点)6,10(的定直线l 上，则数列{}n a 的前19 项和=19S （ ）A . 110B .114C . 119D .1209． 在△ABC 中，“A >B ”是“B A 2cos 2cos <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10.已知点)0,1(A ，点B 在圆O ：122=+y x 上运动，若点C 满足+=2,则点C 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．椭圆11.一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为32，黄色区域的面积为12．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的13改涂成黄色，原有黄色区域的13改涂成红色，其他不变。