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数学北师大版必修4第1章-9 三角函数的简单应用

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§9 三角函数的简单应用内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．知识点1 利用三角函数模型解决实际问题在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型． 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析． 【预习评价】 求下列函数的周期(1)y ＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；(2)y ＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；(3)y ＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.知识点2 三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．【预习评价】在函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋b(A ＞0，ω＞0)中，A ，b 与函数的最值有何关系？ 提示 A ，b 与函数的最大值y max ，最小值y min 关系如下： (1)y max ＝A ＋b ，y min ＝－A ＋b ； (2)A ＝y max －y min 2，b ＝y max ＋y min2.题型一 已知解析式求周期最值【例1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E ＝2203·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)． 即开始时的电压为110 3 V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V.当100πt＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．【训练1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt＋π6. (1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)图略． (2)当t ＝0时， s ＝6sin π6＝6×12＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt＋π6的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.(4)s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt＋π6的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 题型二 已知模型求解析式【例2】 如图所示，表示电流I 与时间t 的关系式：I ＝Asin(ωt＋π)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I ＝Asin(ωt＋φ)的解析式．解 由图像可知A ＝300，又T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝100π. 又∵t ＝－1300时，ωt＋φ＝0，∴100π(－1300)＋φ＝0即φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt＋π3.规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”中A ，ω，φ，B 的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．解析 设该振子振动的函数解析式为y ＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t 轴，振幅A 为2，周期T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝5π2，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2x ＋φ.将点(0.1,2)代入，得φ＝π4. 故该振子振动的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x ＋π4.答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2x ＋π4【例3】 据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋7⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2来表示(x 为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( ) A ．4.2万元 B ．5.6万元 C ．7万元D ．8.4万元解析 由题知A ＝2，T ＝2×(7－3)＝8， ∴ω＝π4，φ＝－π4.∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7，把x ＝10代入得y ＝7＋2≈8.4万元． 答案 D【迁移1】 例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？解 由f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．【迁移2】 例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？解 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7＜7得5＜x ＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图课堂达标1．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( ) A.g π B.g 2π C.g π2 D.g4π2 解析 T ＝2πg l，所以，g l ＝2πT ＝2π，则l ＝g 4π2. 答案 D2.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是( )A ．f(x)＝x ＋sin xB ．f(x)＝cos xxC ．f(x)＝xcos xD ．f(x)＝x·⎝⎛⎭⎪⎫x －π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2解析 观察图像知，函数为奇函数，排除D ；又函数在x ＝0处有定义，排除B ；令x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，A不合适，故选C. 答案 C3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．解析 t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式知单摆周期T ＝2π2＝π，频率为1π.答案1π4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6 (x ＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5.答案 20.55．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15 t ＋12(t≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课堂小结1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.基础过关1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C. 答案 C2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I ＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6，∴I ＝10sin(100πt＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 答案 A3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T 为( )A ．24.5天B ．29.5天C ．28.5天D ．24天解析 由题图知，地球从E 1到E 2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期． 答案 B4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________．解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m<9π，且m ∈Z ， ∴m ＝26,27,28. 答案 26,27,285．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标有12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]． 解析 将解析式可写为d ＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.答案 10sin πt606.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解 (1)最大用电量为50万kW·h， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图像可知从8～14时的图像是y ＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式， 又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解 (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t(t≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8.所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．能力提升8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t2(其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A ．[0,5] B ．[5,10] C ．[10,15]D ．[15,20]解析 由－π2＋2kπ≤t 2≤π2＋2kπ(k∈Z)得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k ∈Z ，当k ＝1时，3π≤t≤5π.答案 C9.如图所示，某风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 距离地面0.5 m ．风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h 与t 满足的函数关系为( )A ．h ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋3π2＋2.5B ．h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋1.5 C ．h ＝－2cos π6t ＋2.5D ．h ＝2cos π6t ＋2.5解析 最大值M ＝4.5 m ，最小值m ＝0.5 m ，所以A ＝M －m 2＝2，b ＝M ＋m 2＝2.5，因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，又风车从最低点开始运动，所以π6×0＋φ＝2kπ＋3π2(k ∈Z)，不妨设φ＝3π2，所以h 与t 满足的函数关系为h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋3π2＋2.5＝－2cos π6t ＋2.5.答案 C10．弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间做简谐振动，B 、C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次达到C 点，则振子在5秒内通过的路程及5 s 末相对平衡位置的位移大小分别为________cm ，________cm.解析 振幅A ＝10，T ＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过 200 cm ；经过5个周期仍回到初始位置B ，位移为10 cm. 答案 200,1011．已知f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω>0)，f(π6)＝f(π3)，且f(x)在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin(π4·ω＋π3)＝－1，∴π4ω＋π3＝2kπ＋3π2(k ∈Z)． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z)，因为f(x)在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 答案14312．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝Acos ωt＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t>0，∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t<12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.13．(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为 5×2π60＝π6. 则OP 在时间t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s ．。

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北师大版高中数学课本目录标准版

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必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量位移、速度、和力向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4 平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列数列的概念数列的函数特征§2 等差数列等差数列等差数列的前n项和§3 等比数列等比数列等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系不等关系比较大小§2 一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3 基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法综合法分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同性质直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念定积分的背景—面积和路程问题定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理二项式定理二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布连续型随机变量正态分布第三章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形球面上两直线的交角球面上的对称性球面三角形球面三角形的基本性质球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系平面三角形的余弦定理和正弦定理球面三角形边的余弦定理球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积球面二角形球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式球面三角部分球面上的欧拉公式球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式凸多面体和简单多面体简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较欧氏几何与球面几何的区别与联系另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似图形变化的不变形平移、旋转、反射相似与位似平行线分线段成比例定理直角三角形的射影定理§2 圆与直线圆周角定理圆的切线的判定和性质弦切角定理切割线定理相交弦定理§3 圆与四边形圆内接四边形托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系平面与球的关系§3 柱面与平面的截面柱面、旋转面垂直截面一般截面§4 平面截圆锥面圆锥面垂直截面一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化直线与圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线平摆线渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。

高一数学必修4课件：1-6三角函数模型的简单应用

高一数学必修4课件：1-6三角函数模型的简单应用


第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)
－A＋b＝700， A＋b＝900，
＋b(A>0，ω>0)，则
解得A＝100，b＝800，
又周期T＝2(6－0)＝12， 2π 2π π ∴ω＝ T ＝12＝6.
π 则有y＝100sin6t＋φ＋800.
kπ－φ ，0 ω
，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的
π kπ＋ －φ 2 最值，即对称轴是直线A版 · 必修4
(8)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中
第一章 1.6
)
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1 6．函数y＝ sin 2
π 2x－ 6
的振幅是________，周期是
________，初相为________，对称轴是直线________，对称 中心为________，单调增区间是________．
第一章
1.6
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[答案] C
第一章
1.6
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规律总结：由函数图象寻求函数解析式是近几年来的热 点试题，解答此类试题，一般是根据图象所反映出的函数性 质来解决，而函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单 调性、值域，还有零点等等都可以作为判断的依据．
第一章
1.6
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π 3π 则sin8t＋ 4 ∈[－1,1]，可得ymin＝－10＋20＝10，
新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排

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新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排必修1（36节）第一章集合（5）§1 集合的含义与表示 1 §2 集合的基本关系1§3 集合的基本运算 2 阅读材料康托与集合论小结与复习1第二章函数（9）§1 生活中的变量关系1 §2 对函数的进一步认识3§3 函数的单调性 1 §4 二次函数性质的再研究2§5 简单的幂函数 1 阅读材料函数概念的发展小结与复习1第三章指数函数和对数函数（14）§1 正整数指数函数 1 §2 指数概念的扩充3§3 指数函数 3 §4 对数 2§5 对数函数3§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1第四章函数应用7§1 函数与方程 2 §2 实际问题的函数建模4小结与复习1必修2（36）第一章立体几何初步（18节）§1 简单几何体 1 §2 直观图 1§3 三视图 3 §4 空间图形的基本关系与公理 2§5 平行关系 3 §6 垂直关系 4§7 简单几何体的面积和体积2第二章解析几何初步（18节）§1 直线与直线的方程8 §2 圆与圆的方程 5§3 空间直角坐标系3必修3全书目录第一章统计（16）§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法第二章算法初步（12）§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句第三章概率（8）§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用必修4第一章三角函数（16）§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章平面向量（12）§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形（8）§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用必修5第一章数列（12）§1数列1.1数列的概念 1.2数列的函数特性§2等差数列2.1等差数列 2.2等差数列的前ｎ项和§3等比数列3.1等比数列 3.2等比数列的前ｎ项和§4书雷在日常经济生活中的应用第二章解三角形（8）§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理 1.2余弦定理§2三角形中的几何计算§3解三角形的实际应用举例第三章不等式（16）§1不等关系——2 1.1不等关系 1.2比较大小§2一元二次不等式——52.1一元二次不等式的解法 2.2一元二次不等式的应用§3基本不等式——— 33.1基本不等式 3.2基本不等式与最大（小）值§4简单线性规划——54.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划 4.3简单线性规划的应用。