2018年高考数学(理)复习：小题提速练10 “12选择+4填空”80分练含答案

小题提速练(九) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝RC [集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C.] 2．设(1＋i)(x ＋y i)＝2，其中x ，y 是实数，则|2x ＋y i|＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 D [由(1＋i)(x ＋y i)＝2得x －y ＋(x ＋y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴|2－i|＝ 5.]3．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B ．15 C.19D ．320A [“A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C 第一个出场”的概率是13.]4．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,1)，则a 在b 方向上的投影为( )A ．－22B ．22 C ．－55D ．55A [∵a ＝(2,1)，b ＝(－1,1)，∴a·b ＝－1，|b |＝2，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－22，故选A.] 5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 3＝2a 1，则下列结论错误的是( )A ．a 4＝0B ．S 4＝S 3C ．S 7＝0D ．{a n }是递减数列D [∵S 3＝2a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝2a 1，∴a 2＋a 3＝a 1＝a 1＋a 4，∴a 4＝0，∴S 4＝S 3，S 7＝7a 4＝0，故选项A ，B ，C 正确，选D.]6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( )A ．－120B ．－100C ．100D ．120D [令x ＝1，可得a ＋1＝3，故a ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝－1，得r ＝3，∴1x项的系数为C 3522(－1)3，令5－2r ＝1，得r ＝2，∴x 项的系数为C 2523，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中的常数项为C 3522(－1)3＋C 2524＝120.]7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( )A.33 B ．23 C.233D ．13A [∵∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，∴△F 1PQ 为等边三角形，∴直线PQ 过右焦点F 2且垂直于x 轴，∴△F 1PF 2为直角三角形．∵|F 1P |＋|F 1Q |＋|PQ |＝4a ，∴|F 1P |＝43a ，|PF 2|＝23a ，由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋(2c )2，即a 2＝3c 2，∴e ＝ca ＝33.] 8．如图22，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )【导学号：07804225】图22A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.] 9．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0x ＋3y －13≤0x －y －1≤0，则z ＝|2x －3y ＋4|的最大值为( )A ．3B ．5C ．6D ．8 C [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0x ＋3y －13≤0x －y －1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (1,4)．设t ＝2x －3y ，平移直线y ＝23x ，则直线经过点B 时，t ＝2x －3y 取得最小值－10，直线经过点A 时，t ＝2x －3y 取得最大值1，所以－6≤t ＋4≤5，所以0≤z ≤6.所以z 的最大值为6，故选C.]10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图23)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图23A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B [弦长为2×4sin π3＝43，圆心到弦的距离为d ＝4×cos π3＝2，所以弧田面积为12×[43×(4－2)＋(4－2)2]＝43＋2≈9(平方米)．]11．对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x－a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)B [因为存在实数x 0(x 0≠0)，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则e x 0－a ＝－e -x 0＋a ，即e x 0＋1e x 0＝2a ，又x 0≠0，所以2a ＝e x 0＋1ex 0＞2e x 0·1ex 0＝2，即a ＞1，故选B.]12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln xx，且f (e)＝1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f (x )＋e ＞x ＋1e的解集是( ) A ．(0，e)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)A [令g (x )＝xf (x )，则f (x )＝g x x ，g ′(x )＝ln x x，∴f ′(x )＝gx ·x －g xx 2＝ln x －gxx2，令h (x )＝ln x －g (x )，则h ′(x )＝1x－g ′(x )＝1－ln xx，当0＜x ＜e 时，h ′(x )＞0，当x ＞e 时，h ′(x )＜0，∴h (x )≤h (e)＝1－g (e)＝1－e f (e)＝0，∴f ′(x )≤0.令φ(x )＝f (x )－x ，则φ′(x )＝f ′(x )－1≤－1＜0，∴φ(x )为减函数，又不等式f (x )＋e ＞x ＋1e 可化为φ(x )＞φ(e)，∴0＜x ＜e ，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．我们可以用随机数法估计π的值，如图24所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为________．(保留小数点后3位)图24[解析] 在空间直角坐标系O ­xyz 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域，相应区域的体积为13＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜10＜z ＜1x 2＋y 2＋z 2＜1表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为18×43π×13＝π6，因此π6≈5211 000，即π≈3.126. [答案] 3.12614．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.[解析] 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎨⎧x 2＝4yx ＝3y －，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163. [答案]16315．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，则∑n ＝12 017a n ＝________.[解析] ∵a 1＝2，a 2＝8，a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，∴a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a 3＝a 2－a 1＝8－2＝6，同理可得a 4＝－2，a 5＝－8，a 6＝－6，a 7＝2，a 8＝8，…，∴a n ＋6＝a n ，又2 017＝336×6＋1，∴∑n ＝12 017an＝336×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋a 1＝2.[答案] 216．球内有一个圆锥，且圆锥底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3π，已知球的半径R ＝2，则此圆锥的体积为________.【导学号：07804226】[解析] 设圆锥底面半径为r ，由πr 2＝3π得r ＝ 3. 如图所示，O 为球心，O 1为圆锥底面圆的圆心， 设O 1O ＝x ，则x ＝R 2－r 2＝4－3＝1， 所以圆锥的高h ＝R ＋x ＝3或h ＝R －x ＝1，所以圆锥的体积V ＝13×3π×3＝3π或V ＝13×3π×1＝π.[答案] 3π或π。

小题提速练(三) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i[答案] B2．已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{x |x ＜a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0][答案] A3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[答案] B4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则( )A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，则α∥βD ．若α∥β，则m ∥n[答案] D5．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5[答案] D6．执行如图1所示的程序框图，输出的n 值为( )【导学号：04024180】图1A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B7．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图2A.18B.17 C.16 D.15[答案] D8．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ＞0)没有零点，则a ＋cb的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)[答案] D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sinA ＋sinB 的最大值是( )【导学号：04024181】A ．1 B. 2 C ．3 D. 3[答案] D10．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(1,3] D ．(1,3)[答案] A11．(2016·全国卷Ⅲ)已知( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] A12．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nmC.4m nD.2mn[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图3，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【导学号：04024182】图3[解析] 由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，① BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →)＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF →2－BD →2＝9|DF →|2－|BD →|2＝4.② 由①②得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2 ＝4|DF →|2－|BD →|2＝4×58－138＝78.[答案] 7814．如图4，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．图4[解析] 在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ， ∴PD ＝23－x ，∴V P ­BCD ＝13S △BCD ·h ≤13×12BC ·CD sin 30°·PD＝16×2x ×12×(23－x ) ＝16x (23－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22 ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝12，当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． [答案] 1215．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列， 当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2， ∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＋2＝91.[答案] 9116．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12； ②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ； ③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是________.[解析] 令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，m ∈Z ， 所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确． 因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝－x －{－x }＝f (－x )≠－f (x )(k ∈Z )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误．f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，又可知小于1的正数都不是f (x )的周期，所以最小正周期为1.所以③正确．显然④错误．所以正确的为①③. [答案] ①③。

小题提速练(十) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝[－1,2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．[1,4]B ．[1,2]C ．[－1,0]D ．[0,2]D [∵A ＝[－1,2]，B ＝[0,4]，∴A ∩B ＝[0,2]，故选D.]2．若复数z 1＝a ＋i(a ∈R )，z 2＝1－i ，且z 1z 2为纯虚数，则z 1在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [z 1z 2＝a ＋i 1－i＝a ＋＋2＝a －＋＋a i2为纯虚数，则a ＝1，所以z 1＝1＋i ，z 1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.]3．设随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，则函数f (x )＝2x 2－4x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.13C.15D.25A [由f (x )不存在零点可知Δ＝16－8ξ＜0，故ξ＞2. 又ξ～N (2，σ2)，故P (ξ＞2)＝12.故选A.]4．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )【导学号：07804227】A.π6B ．5π6C.π4 D ．3π4A [因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a ＋2b )·b ＝a·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝a ＋2b ·b|a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.] 5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则y x的最大值是( )A ．－2B ．－1C ．12D ．2D [画出不等式组表示的平面区域，则y x表示的几何意义是区域内包括边界上的动点M (x ，y )与原点连线的斜率，故其最大值为O ，A 两点的连线的斜率，即k ＝2，故应选D.]6．如图25所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x ＝2，n ＝5，则输出的v ＝( )图25A ．26B ．48C ．57D ．64A [执行程序依次为：x ＝2，v ＝1，k ＝2，则v ＝2＋2＝4，k ＝3＜5；v ＝2×4＋3＝11，k ＝4＜5；v ＝2×11＋4＝26，k ＝5，此时输出v ＝26，故应选A.]7．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图26所示，则剩余部分的表面积等于( )图26A ．39πB ．48πC ．57πD ．63πB [由三视图可知剩余几何体是圆柱挖去一个圆锥的几何体，且圆柱底面圆的半径为3，母线长为4，则圆锥的母线长为5，所以剩余部分的表面积S ＝π×32＋2π×3×4＋π×3×5＝48π，故应选B.]8．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的图象向右平移π4ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上为增函数，则ω的最大值为( )A ．3B ．2 C.32D ．54C [g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4＋π4＝2sin ωx .因为y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上为增函数，所以ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≥－π2＋2k π(k ∈Z )且ω·π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得0＜ω≤32，则ω的最大值为32.故选C.]9．设k 是一个正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k k的展开式中第四项的系数为116，记函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的阴影部分的面积为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点(x ，y )恰好落在阴影区域内的概率为( )图27A.1796B ．532 C.16D ．74810．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)满足：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π3，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3，14π3内有最大值但没有最小值．给出下列四个命题：p 1：f (x )在区间[0,2π]上单调递减； p 2：f (x )的最小正周期是4π； p 3：f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；p 4：f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0对称．其中的真命题是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4C [由题意得，当x ＝8π3＋14π32＝11π3时，f (x )取得最大值，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11πω3＋π6＝1，11πω3＋π6＝2k π，ω＝12k －122(k ∈N *)，又易知T ＝2πω≥14π3－8π3＝2π，0＜ω≤1，故0＜12k －122≤1，112＜k ≤2312(k ∈N *)，所以k ＝1，ω＝12，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6. 故f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4π，p 2是真命题，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝0，所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，0对称，p 4是真命题．] 11．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1D [设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝x2或y ＝－x2，F 2(3，0)，求得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.选D.]12．已知函数f (x )＝(2a －1)x －12cos 2x －a (sin x ＋cos x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f ′(x )＝2a －1＋sin 2x －a cos x ＋a sin x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，即a ≥1－sin 2x 2＋sin x －cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立．设g (x )＝1－sin 2x 2＋sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则g (x )＝x －cos x 22＋sin x －cos x ，设sin x －cos x ＝t ，则y ＝t 22＋t ＝t ＋2－t ＋＋4t ＋2＝t ＋2＋4t ＋2－4，因为t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－1≤t ≤1,1≤t ＋2≤3，所以0≤y ≤1，所以a ≥1，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知三棱锥A ­BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则该三棱锥的外接球的体积为________.【导学号：07804228】[解析] 因为BC ＝1，CD ＝3，BC ⊥CD ，所以BD ＝2，又AB ＝AD ＝2，所以AB ⊥AD ，所以三棱锥A ­BCD 的外接球的球心为BD 的中点，半径为1，所以三棱锥A ­BCD 的外接球的体积为4π3. [答案]4π314．把数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1各项按顺序排列如下：113 1517 19 111 113115 117 119 …… 129…… 第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则A (6,10)＝________.[解析] 前5行共有20＋21＋22＋23＋24＝31个数，所以A (6,10)为数列的第41项，∵a n ＝12n －1，∴a 41＝181. [答案]18115．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率e 为________．[解析] 由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )(k ≠0)，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝|k |(a －c )，|OE |＝|k |a ，设OE 的中点为H ，由△OBH ∽△FBM ，得12|OE ||FM |＝|OB ||BF |，即|k |a2|k a －c＝aa ＋c ，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13. [答案] 1316．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．[解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”， ∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8. [答案] 8。

小题提速练(七) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x ∈N *|x －1≤2}，则A ∩B ＝( )A ．{x |1≤x ≤3}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3}D [因为B ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,2,3}，故选D.] 2．若z 是复数，z ＝1－2i1＋i，则z ·z ＝( )A.102B ．52C ．1D ．52D [因为z ＝1－2i1＋i＝－－＋－＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32i ，所以z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝52，故选D.]3．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( )A ．80B ．85C ．90D ．95C [由题意，得(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90，故选C.]4．(2017·广东梅州一模)设椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )【导学号：07804220】A.x 212＋y 216＝1 B ．x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D ．x 264＋y 248＝1B [y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，即c ＝2，所以椭圆的焦点在x 轴上，排除A ，C ，又e＝c a ＝12，所以a ＝4，故排除D.故选B.]5．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12，c ＝log 1510，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞cD [0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1215＜⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0＜a ＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12＝512＞50＝1，即b ＞1，又c ＜0，所以b ＞a ＞c ，故选D.]6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1D [(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D.]7．某几何体的三视图如图17所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()图17A.16π3 B ．π3C.2π9D ．16π9D [由三视图可知该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的一部分，设底面扇形的圆心角为θ，则cos(π－θ)＝12，所以θ＝2π3，所以所求几何体的体积V ＝23π2π×13π×22×4＝16π9，故选D.]8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有类似问题：今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问：几何日相逢及各行几何？该问题所对应的程序框图如图18所示，则在这个问题中，两马相逢时，良马比驽马多跑的路程里数为( )图18A ．540B ．450C ．560D ．460A [由题意，良马每日所行路程构成等差数列{a n }，其中首项a 1＝103，公差d ＝13； 驽马每日所行路程构成等差数列{b n }，其中首项b 1＝97，公差t ＝－0.5. 从而{a n }的前n 项和A n ＝na 1＋n n －2d ＝103n ＋n n －2×13，{b n }的前n 项和B n ＝nb 1＋n n －2t ＝97n ＋n n －2×(－0.5)，所以良马和驽马前n 天所行路程之和S n ＝A n ＋B n ＝200n ＋n n －2×12.5.令S n ＝2×1 125＝2 250，则200n ＋n n －2×12.5＝2 250，整理得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)．故良马所行路程A 9＝103×9＋9×82×13＝1 395，驽马所行路程B 9＝97×9＋9×82×(－0.5)＝855.良马比驽马多行路程里数为1 395－855＝540.故选A.]9．已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线交于A ，B 两点．O为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．2 2D ．4B [双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12·2p ·p 2＝p 22＝1，解得p ＝2，故选B.] 10．如图19所示，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，点A (0,1)为圆C 与y 轴的上交点，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝s ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (s )的图象大致为( )图19D [当s 由0→12时，t 从－∞→0，且t ＝f (s )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增；当s 由12→1时，t从0→＋∞，且t ＝f (s )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上也单调递增．∴排除A ，B ，C ，故选D.]11．在三棱锥S ­ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝12SC ，且三棱锥S ­ABC 的体积为932，则该三棱锥的外接球的半径为( )【导学号：07804221】A ．1B ．2C ．3D ．4C [如图，取SC 的中点O ，连接OB ，OA ，因为SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，所以OB ⊥SC ，OA ⊥SC ，OB ＝12SC ，OA ＝12SC ，所以SC ⊥平面OAB ，O 为外接球的球心，SC 为球O 的直径，设球O 的半径为R ，则AB ＝12SC ＝R ，所以△AOB 为正三角形，所以∠BOA ＝60°，所以V S ­ABC ＝V S ­OAB ＋V C ­OAB ＝2×12R 2sin60°×13×R ＝932，解得R ＝3，故选C.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－nsin πx2＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋，－n ＋1sin πx2＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋(n ∈N )，若数列{a m }满足a m ＝f (m )(m ∈N *)，数列{a m }的前m 项和为S m ，则S 105－S 96＝( )A ．909B ．910C ．911D ．912A [S 105－S 96＝a 97＋a 98＋a 99＋…＋a 105＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (105)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－972π＋98＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－982π＋98＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 992π＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1002π＋100＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1012π＋102＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1022π＋102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1032π＋104＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 1042π＋104＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1052π＋106＝97＋98＋99＋100＋101＋102＋103＋104＋105＝97＋1052×9＝909.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝________.[解析] BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·BA →＝BA 2→＋BC →·BA →＝22＋2×2cos 60°＝6. [答案] 614．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极小值10，则ba＝________.[解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得f ′(1)＝0，所以3＋2a ＋b ＝0,1＋a＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.又当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9时，f ′(x )＝3x2－12x ＋9，函数f (x )在x ＝1处取得极大值10；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x＋1，函数f (x )在x ＝1处取得极小值10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，即b a 的值为－12.[答案] －1215．在(0,8)上随机取一个数m ，则事件“直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点”发生的概率为________．[解析] 因为m ∈(0,8)，直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜8，|3＋4－1|2＞m ，解得0＜m ＜32，所以所求概率P ＝328.[答案]32816．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y －2≤0x ＋y －2≤0，若z ＝x －ay (a ＞0)的最大值为4，则a ＝________.[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A (2,0)，B (－2，－2)．显然直线z ＝x －ay 过A 时不能取得最大值4，若直线z ＝x －ay 过点B 时取得最大值4，则－2＋2a ＝4，解得a ＝3，此时，目标函数为z ＝x －3y ，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，当直线经过点B 时，截距最小，此时，z 的最大值为4，满足条件．[答案] 3。