数学建模 第四章

第四章 微分方程模型在研究某些实际问题时，经常无法得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率之间的一些关系。

利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。

事实上，在微分方程课程中，解所谓应用题时已经遇到简单的建立微分方程模型问题，这些问题大多数是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表达出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案唯一的。

而本章介绍的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，作出不同的假设，就得到不同的方程。

问题没有标准答案，求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。

第一节 人口模型问题：据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今不足200万年。

纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿，经过漫长的过程到1830年，人口总数为10亿。

又经过100年即1930年，人口总数达20亿。

30年之后，在1960年，人口总数为30亿，又经过15年，1975年的人口总数为40亿，12年之后即1987年，人口总数为50亿。

问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这个规律。

⑴ Multhus 模型：18世纪末，英国神父Multhus 在研究了一百多年的人口统计资料之后，认为在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率-死亡率）为常数，于是提出了著名的Multhus 人口模型。

模型假设：①设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续、可微； ②人口增长率r 是常数；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增长与减少取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率。

模型建立与求解：由假设在时间],[t t t ∆+内人口的增量为t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，于是有方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rx dt dx ，求解得rt e x t x 0)(=，即人口增长是按指数规律增长，其图形为模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06⨯109，在1961~1970年这段时间内。

第四章初等代数、几何方法x = x(r, θ) = r cos θ,y = y(r, θ) = r sin θ,z = z(r, θ) = r,(r ∈[0, +∞), θ ∈[0, 2π]) 这是二元三维向量值函数，它是三维空间的一张半圆锥面，这是一元函数的另一种推广：多个因变量(x和y) 接1引言：有时候现象或事件中变量之间呈现向量值函数的关系，空间解析几何中熟知的映射f : [0, +∞) × [0, 2π] I→R3,(r, θ) I→(x, y, z)的具体分量形式是某种规律，随自变量t 或(r, θ) 的变化而相应变化．一般地设D是R n上的点集，DIR m的映射f : D →R m，x = (x1, x2, ···, x n)，z = (z1, z2, ···, z m)，称为n元m维向量值函数，(或多元函数组)，记为z = f(x)．D称为f(x)的定义域，R= {z ∈R m|z = f(x), x ∈D}称为f的值域．多元函数是m = 1的特殊情形．显然，每个z i(i = 1, 2, ···, m)都是x的函数zi = fi(x)，它称为(f )的第i个坐标(或分量)函数.于是，(f )可以表达为分量形式z1 = f1(x), z2 = f2(x),······z m = fm(x),因此f又可表示为f = (f1, f2, ···, fm).它们有的是线性代数方程，比如在投入产出问题中；另一种就是非线性代数方程，往往来自于几何中的曲线、曲面的方程以及其他领域．2 线性代数方法源头问题：线性代数中有几个最基本的概念：线性方程组、行列式、矩阵、二次型．大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组大约4000年前，巴比伦人能求解两个未知数的线性方程组．公元前200年，中国出版的“九章算术” 表明已经能求解3 × 3 的方程组了．简单方程Ax + B = 0 是一个古老的问题，莱布尼兹、拉格朗日、凯利(Cayley)和欧拉都有贡献．十九世纪，高斯提出了消去法，1848，J.J. Sylvester 提出的“矩阵”概念，1855年亚瑟凯莱J进了矩阵乘法和矩阵代数．但在很长一段时间里，许多线性代数的兴趣被放缓，直I第二次世界大战结束带来了计算机的发展，才使得线性代数向前更迅速、更有效的发展．最著名的例子是哈佛大学的列昂惕夫教授．1949年，他用计算机算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程组，这些模型是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入- 产出”模型．列昂惕夫因此获得了1973 年的诺贝尔经济学奖．例题1：某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路．开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费；创收一元钱的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费．在某一周内，煤矿接I外地金额为50000元的定货，发电厂接I外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求．问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？例题2：交通流量问题图中给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数)假设：(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2)全部流人一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。

2024年数学建模知识讲座教案模板精选一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：数学建模方法与应用。

具体内容包括：线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型以及应用案例分析。

二、教学目标1. 理解并掌握线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念及其求解方法。

2. 能够运用数学建模方法解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3. 培养学生的团队合作意识，提高沟通与协作能力。

三、教学难点与重点重点：线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念及求解方法。

难点：如何将实际问题抽象成数学模型，并运用合适的算法求解。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示一个实际案例，引导学生思考如何将现实问题抽象成数学模型。

2. 理论讲解（15分钟）介绍线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念，讲解求解方法。

3. 例题讲解（10分钟）以一道典型的数学建模题目为例，讲解如何建立模型并求解。

4. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，完成一个简单的数学建模问题。

5. 答疑解惑（5分钟）针对学生在练习中遇到的问题进行解答。

6. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论一个较为复杂的实际问题，尝试建立数学模型并求解。

7. 成果展示（10分钟）各小组展示自己的建模过程和结果，进行交流和评价。

六、板书设计1. 2024年数学建模知识讲座2. 线性规划、非线性规划、整数规划的基本概念3. 案例分析与求解步骤4. 随堂练习题目5. 小组讨论题目七、作业设计1. 作业题目：（1）某工厂生产两种产品，已知生产每种产品所需的材料、人工和设备费用，求利润最大时的生产计划。

（2）某城市公交线路优化问题，已知各站点间的距离和客流量，求最短的公交线路。

2. 答案：（1）根据线性规划求解方法，列出目标函数和约束条件，使用单纯形法求解。

（2）根据整数规划求解方法，列出目标函数和约束条件，使用分支定界法或割平面法求解。

第四章2.符号说明：酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升；t ～时刻（小时）；x1(t) ～在时刻t吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；D0～在段时间内喝下2瓶啤酒后吸收室内的酒精量（毫克）；c1(t) ～在时刻t吸收室（肠胃）的酒精含量（毫克/百毫升）；c2(t) ～在时刻t中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；V～中心室的容积（百毫升）；k1～酒精从吸收室吸收进入中心室的速率系数；k2～酒精从中心室向体外排除的速率系数；k3～假如所喝入的酒精完全吸收进中心室却没有排除出体外，中心室的酒精含量将达到的最大值（毫克/百毫升）；模型假设：假设一：酒是在很短时间内喝的大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1）吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为3D0/2；在任意时刻，酒精从吸收室吸收进入中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为k1；（2）中心室的容积V保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为k2；（3）在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设k1和k2都是常数，与饮酒量无关；假设二：酒是在较长一段时间（如2小时）内喝的大李在较长一段时间（如2小时）内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1）吸收室在初始时刻t=0时，酒精量为0；在任意时刻，酒精从吸收室吸收进入中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为k 1；（2）中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为k 2；（3）在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设k 1和k 2都是常数，与饮酒量无关；模型建立和求解：假设一：酒是在很短时间内喝的 根据4.1.7小节饮酒驾车案例，假设k 1=2.0079，k 2=0.1855则在很短时间内喝下三瓶酒时0333103.86155.7922D k V ==⨯= 记喝酒时间为t=0时，c 2(t)=0，则可根据()21--13212()--k t k t k k c t e e k k =来计算t 时刻血液中的酒精含量c 2(t)，Matlab 代码如下： M 文件fun2_1.mk1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;c2=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); hold on ;plot(0:0.01:20,c2(0:0.01:20)); plot([0,20],[20,20],[0,20],[80,80]); xlabel('时刻t （小时）');ylabel('血液中酒精含量c2（毫克/百毫升）');title('短时间内喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程');输出图像由图像可知c 2(t)的函数图像与y=20和y=80分别都有2个交点，故可继续添加代码求出这4个交点坐标，代码如下： M 文件fun2_1.m 续f=@(t)c2(t)-20; g=@(t)c2(t)-80;ft=[fzero(f,1),fzero(f,20)] gt=[fzero(g,1),fzero(g,20)]输出结果ft =0.0689 11.5887 gt =0.3805 4.1125即（1）当[0.0689,0.3805][4.1125,11.5887]t ∈时，220()80c t ≤<，属于饮酒驾车；（2）当[0.3805,4.1125]t ∈时，2()80c t ≥，属于醉酒驾驶； 假设二：酒是在较长一段时间（如2小时）内喝的 根据4.1.7小节饮酒驾车案例，假设k 1=2.0079，k 2=0.1855则在较长一段时间（如2小时）内喝下三瓶酒时0333103.8677.89544D k V ==⨯= 记喝酒时间为t=0时，c 1(t)=0，c 2(t)=0，则吸收室的酒精量x 1(t)满足分段初值问题11011121011113,(0)0,0t 2 43,(2)(1),24k dx D k x x dtdx D k x x e k dtk -⎧=-+=≤≤⎪⎪⎨⎪=-=-≥⎪⎩解得111011203(1) ,024()3(e 1)e , 2 4k t k k t D e t k x t D t --⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 故中心室内的酒精含量c 2(t)满足分段初值问题111222322222321(1) ,(0)0,02(1),(2), 2 k t k k t dc k c k e c t dtdc k c k e e c p t dt--⎧=-+-=≤≤⎪⎪⎨⎪=-+-=≥⎪⎩ 解得1212131332122122223212,0t 2()(1) , 2k t k tk k t k t k k k k e e k k k k k k c t k e p e e t k k ----⎧-+≤≤⎪--⎪=⎨-⎪-≥⎪-⎩其中1222313312122122k kk k k k p e e k k k k k k --=-+-- 1221222()32112(1)k k kk k e p p eek k --=+-通过Matlab 画出c 2(t)的图像，代码如下： M 文件fun2_2.mk1=2.0079;k2=0.1855;k31=155.79;k3=k31/2; c2=@(t)(k1.*k31)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); hold on ;plot(0:0.01:20,c2(0:0.01:20),'--');plot([0,20],[20,20],[0,20],[80,80]);xlabel('时刻t（小时）');ylabel('血液中酒精含量c2（毫克/百毫升）');p1=k3*exp(-2*k1)/(k1-k2)-k1*k3*exp(-2*k2)/(k1*k2-k2*k2)+k3/k2;p2=p1*exp(2*k2)+k3*(exp(2*k1)-1)*exp(2*(k2-k1))/(k1-k2);c21=@(t)k3.*exp(-k1.*t)./(k1-k2)-k1.*k3.*exp(-k2.*t)./(k1.*k2-k2.*k2)+k3/k2;c22=@(t)p2.*exp(-k2.*t)-k3.*(exp(2.*k1)-1).*exp(-k1.*t)./(k1-k2);plot(0:0.01:2,c21(0:0.01:2));plot(2:0.01:20,c22(2:0.01:20));title('喝下三瓶啤酒，血液中酒精含量随时间的变化过程');legend('很短时间内喝的','较长一段时间（如2小时）内喝的');输出图像由图像可知c2(t)的函数图像与y=20和y=80分别都有2个交点，故可继续添加代码求出这4个交点坐标，代码如下：M文件fun2_2.m续f=@(t)c2(t)-20;g=@(t)c2(t)-80;ft=[fzero(f,1),fzero(f,20)]gt=[fzero(g,1),fzero(g,20)]输出结果ft =0.6233 12.6196 gt =1.6366 5.1412即（1）当[0.6233,1.6366][5.1412,12.6196]t ∈时，220()80c t ≤<，属于饮酒驾车；（2）当[1.6366,5.1412]t ∈时，2()80c t ≥，属于醉酒驾驶。

2024数学建模课程教案课件一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章“线性规划及其应用”，具体内容包括：线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形法及其应用、线性规划的敏感性分析。

二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。

2. 学会使用单纯形法求解线性规划问题，并能应用于实际问题。

3. 了解线性规划的敏感性分析，培养学生对优化问题的求解能力和分析能力。

三、教学难点与重点重点：线性规划模型的建立，单纯形法的求解步骤。

难点：线性规划模型的构建，单纯形法的推导和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、《数学建模》学习指导书、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的优化问题，如工厂生产计划、物流配送等，引出线性规划的概念。

2. 理论讲解（15分钟）介绍线性规划的基本概念，引导学生思考如何建立线性规划模型。

3. 例题讲解（15分钟）以一个具体的线性规划问题为例，讲解如何构建模型，并引导学生运用单纯形法求解。

4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成一个线性规划问题的建模和求解，教师巡回指导。

5. 知识拓展（5分钟）介绍线性规划的敏感性分析，引导学生了解优化问题的求解过程。

教师带领学生回顾本节课所学内容，强调线性规划的重点和难点。

7. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 黑板左侧：线性规划基本概念、模型建立方法。

2. 黑板右侧：单纯形法求解步骤、线性规划敏感性分析。

七、作业设计1. 作业题目：max z = 2x + 3ys.t. x + y ≤ 42x + y ≤ 6x ≥ 0, y ≥ 0max z = 3x + 4ys.t. 2x + 3y ≤ 12x + y ≤ 5x ≥ 0, y ≥ 02. 答案：（1）最优解为：x = 2, y = 2，z = 10。

（2）对约束条件进行敏感性分析，当约束条件2x + 3y ≤ 12变为2x + 3y ≤ 11时，最优解不变；当约束条件x + y ≤ 5变为x + y ≤ 4时，最优解变为x = 2, y = 1，z = 10。

《数学建模》课程教案教学文档一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：线性规划及其应用。

详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形方法及其应用。

二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。

2. 学会运用单纯形方法求解线性规划问题，并能将其应用于实际问题。

3. 培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立、单纯形方法的运用。

重点：线性规划的基本概念、线性规划模型的求解。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。

学具：教材、笔记本、计算器。

五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景，引出线性规划问题。

实践情景：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。

生产每个产品A需要2小时工时和3平方米厂房面积，生产每个产品B需要4小时工时和1平方米厂房面积。

工厂每天有8小时工时和6平方米厂房面积可用。

如何分配生产时间和厂房面积，使得工厂每天的生产利润最大？2. 知识讲解：1) 线性规划的基本概念。

2) 线性规划模型的建立。

3) 单纯形方法及其应用。

3. 例题讲解：例题1：求解导入环节提出的实际线性规划问题。

例题2：求解一个标准形式的线性规划问题。

4. 随堂练习：让学生独立求解一个线性规划问题，并给出解答。

六、板书设计1. 线性规划基本概念2. 线性规划模型的建立3. 单纯形方法4. 例题解答七、作业设计1. 作业题目：习题4.1：求解线性规划问题。

习题4.2：应用单纯形方法求解实际问题。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念和求解方法掌握程度，以及对实际问题的建模能力。

2. 拓展延伸：探讨线性规划的其他求解方法，如内点法、对偶问题等。

引导学生关注线性规划在实际问题中的应用，如物流、生产计划等。

重点和难点解析1. 线性规划模型的建立。

2. 单纯形方法的运用。

3. 例题讲解与随堂练习的设置。