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第一课时 对数函数的图象及性质

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数学：2.2.2《对数函数及其性质》教案(新人教版A必修1)

数学：2.2.2《对数函数及其性质》教案(新人教版A必修1)

2.2.2对数函数及其性质一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。

必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第一课时对数函数的图象及性质aa高一数学

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第一课时对数函数的图象及性质aa高一数学
1．对数函数的概念 函数 y＝ logax (a＞0，且 a≠1)叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞) ．
[点睛] 形如 y＝2log2x，y＝log2 x3都不是对数函数，可 称其为对数型函数．
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第二页，共十八页。
2．对数函数的图象及性质
a 的范围

0＜a＜1
4．已知 y＝ax 在 R 上是增函数，则 y＝logax 在(0，＋∞)上是 ________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
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第六页，共十八页。
对数函数(duìshù hán shù)的概念
[例 1] 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.
[活学活用] 1．函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实 数 a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 1. 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1. 答案：1
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第九页，共十八页。
求对数(duìshù)型函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝lnx4－－3x； (4)y＝ log0.54x－3.
2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质
预习课本 P 70～73，思考并完成以下问题
(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有 哪些性质？
(3)反函数的概念是什么？
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对数函数图像及性质1

对数函数图像及性质1
2
2
{x | x < 4}
例2 比较下列各组数中两个值的大小： ⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) ＞ 因为它的底数2＞ 解:⑴考察对数函数 y = log 2x, 因为它的底数 ＞1, ⑴ 所以它在(0,+∞)上是增函数 于是 上是增函数,于是 所以它在 上是增函数 log 23.4＜log 28.5 ＜ ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数为 因为它的底数为 0.3, 即0＜0.3＜1,所以它在 所以它在(0,+∞)上是减函数 于是 上是减函数,于是 ＜ ＜ 所以它在 上是减函数 log 0.31.8＞log 0.32.7 ＞
质
(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1 (4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0 时 时 0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0 时 0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1 时 (5) a>1时, 在R上是增函数； 上是增函数； 时 上是增函数 0<a<1时,在R上是减函数 时 在 上是减函数 (5) a>1时,在(0,+∞)是增函数； 是增函数； 时在 是增函数 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数 时在 是减函数
y 对称性： 对称性： = a 和
x
1 x y = ( ) 的图像关于 轴对称 轴对称. a 的图像关于y轴对称

对数函数及其性质(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

对数函数及其性质(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

）
（1）A已．知cab0.3a0.4 ，A．b cB．lobga34ab，cc lBo．g0.a3 4C，b．则b（c a c ）C． b Da．bc c a D．b c a
A． c b a B． a b c
C．b a c
D．b c a
例题讲练
（2）设 a log3 ， b log2 3 ， c log3 2 ，则（
x lxogaloyg（a ya （ 0a且 a0 且 1a），1x），也是x 也以是y以为自y 为变自量变的量函的数函（数其（中其y 中 0y， 0x ， Rx ），R ）， 根据根我据们我的们认的知认习知惯习，惯我，们我把们x 把 lxogaloyg中a 字y 中母字x 母， xy，对调y 对，调， 写成写y成 lyogaloxg（a 其x （中其x 中 0x， 0y， Ry ）．R ）．
例题讲练
【练习习 55】】
（（11））已已知知ff((xx))的的定定义义域域为为[0[,10],1，] ，则函则数函数f [lof g[l1o(g31(3x)] 的x)定] 的义定域义为域___为____________．_____．
22
例题讲练
（2）已知函数 y f [lg(x 1)] 的定义域为 (0,99] ，则函数 y f [log2 (x 2)] 的定义域为__________．
§4.4 对数函数及其性质 (第一课时)
人教版高中数学必修一
课堂引入：
通过前面的学习我们知道，某细胞经过 x 次分裂后，变成的细胞个数 y 2x ,
得由到一由y 个y2指x 数2x函x数x．lo由gglo22gyyy2y2对x 于对任于x意任的意lo细的g2胞细y个胞，数个对数y于，任y 我，意们我的都们细可都胞以可个通以数过通y对过，数对我运数们算运都算可 得到以得唯通到一唯过的一对的数x 与运x 之与算对之得应对到，应唯所，一以所的细以x胞细与分胞之裂分对次裂应数次,所数x以也x细可也胞以可分看以裂出看次以出数细以x胞细也个胞可数个以数y看为y成自为以变自细变胞个 量的数量函的y数函为．数自．变量的函数． 同样同地样，地根，据根指据数指与数对与数对的数关的系关，系由，y由 ayx（aax （ 0a且 a0 且 1a）可1）以可得以到得：到：

苏教版高中数学必修第一册6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质【授课课件】

苏教版高中数学必修第一册6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质【授课课件】

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为 R．
()
(2)y＝log2x2 不是对数函数．
()
[答案] (1)× (2)√
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
知识点 2 对数函数的图象与性质 a>1
义
域
为
x0≤x<12
．
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函 数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注 意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调 性，有针对性地解不等式.
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
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(2)f(x)＝ －lg 1－x；
[解] 由－ 1－lgx>10－，x≥0，
得lg 1－x≤0， x<1
⇒0＜1－x≤1， x<1
⇒0≤x<1．
∴函数的定义域为[0,1)．
图 象
0<a<1
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
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a>1

对数函数及其性质(第一课时)课件

对数函数及其性质(第一课时)课件

A.0 a b 1 c d
在指数函数 y 2 中， x 为自变量， y 为因 变量。如果把 y 当成自变量，x 当成因变量，那
x
探 究:
么 x 是 y 的函数吗？如果是，那么对应关系是
什么？如果不是，请说明理由。 y=2x x log 2 y y 0,
(1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的定义域为 解:
- (0,+ (-4)
(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为
(3) y=log(x-1)(3-x)
解：
因为
3-x>0
x-1>0
x-1≠
所以 1<x<3,且x≠2即函数y=log(x-1)(3-x) 的定义域为: (1,2)
1 1 log 7 2 log 7 5
y
log 2 7 log 5 7
o
y log2 x y log5 x
1
7
x
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
例4:比较下列各组数中两个值的大小： log 6 7 ＞ log 7 6 log 6 7 ＞ log 6 6 = 1 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1 log 6 7 ＞ log 7 6
log 3 2 ＞ log 2 0.8
log 3 2 ＞ log 3 1= 0
log 2 0.8 ＜ log 2 1= 0
log 3 2＞ log 2 0.8
钥当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法” 匙 常需引入中间值0或1(各种变形式).
小结：两个对数比较大小
（一）同底数比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断； 2.当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。 （二）同真数比较大小 1.通过换底公式； 2.利用函数图象。 （三）若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。

对数函数的图像和性质说课稿

课题：《对数函数的图像和性质》（第一课时）说课稿陕科大附中吕健学一、教材分析1、教材的地位和作用《对数函数的图像和性质》是高中数学必修一第三章第五节的内容。

本节课是学生在已掌握了对数函数的一般性质和简单的对数运算的基础上，进一步研究对数函数，以及对数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。

因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

2、教学的重点和难点对数函数的图象是研究对数函数性质的直观工具，它清晰地刻画了对数函数的性质。

因此确定在理解对数函数定义的基础上掌握对数函数的图象和由图象得出的性质及其图像性质的简单应用作为本节教学重点。

本节课的难点是对数函数中底数a的变化对于函数值的影响3、教学目标1、知识目标：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像、性质及其简单应用2、能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力3、情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

二、教法学法分析1、教法分析遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课我采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学。

通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。

2、学法分析本节课所面对的是高中一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导，本节课从学生原有的知识和能力出发，教师将带领学生创设疑问，通过合作交流、共同探索来寻求解决问题的方法。

三、教学过程分析根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，即：创设情境，形成概念，发现问题，探求新知，深入探究，加深理解，强化训练，巩固双基，小结归纳，拓展深化，布置作业，提高升华 1、创设情境，形成概念在本节课的开始，我采用学生比较容易入手三个指对运算引出课题，这样有利于学生对对数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。

人教A版高中数学必修一对数函数的图像及其性质 教案

对数函数的图像及其性质一、教学目标：知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.二、重点难点重点：对数函数的定义、图象和性质；难点：底数a 对图象的影响.三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.四、教学过程（1）情景导学；师：如2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t =log573021P估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系t =log573021P ，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以，t 是P 的函数.设计意图：由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力(2)问题探究： 对数函数概念一般地，函数y =log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y =log a x 的定义域是（0，+∞），值域是R .探究1：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）为什么对数函数log a y x （a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．探究2. 对数函数的图象.借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系.（1）y =2x ，y =log 2x ； （2）y =（21）x ，y =log 21x .2.当a ＞0，a ≠1时，函数y =a x ，y =log a x 的图象之间有什么关系？对数函数图象有以下特征图象的特征（1）图象都在y 轴的右边（2）函数图象都经过（1，0）点（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .对数函数有以下性质0＜a ＜1 a ＞1图 象定义域 （0，+∞）值域 R性 质 （1）过定点（1，0），即x =1时，y =0（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数设计意图：由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．例1 求下列函数的定义域：（1）y =log a x 2； （2）y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）解：（1）由x 2＞0，得x ≠0. ∴函数y =log a x 2的定义域是{x |x ≠0}.（2）由题意可得1-x ＞0，又∵偶次根号下非负，∴x －1＞0，即x ＞1.∴函数y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）的定义域是{x |x ＞1}.小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例2 求证：函数f （x ）=lg x x+-11是奇函数.证明：设f （x ）=lg x x +-11，由xx +-11＞0，得x ∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1）， 又对于定义域（－1，1）内的任意的x ，都有f （－x ）=lgx x -+11=－lg x x +-11=－f （x ）， 所以函数y =lg xx +-11是奇函数. 注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.例3 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH 刻画的.pH 的计算公式为pH=－lg ［H +］，其中［H +］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H +］=10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.解：根据对数的运算性质，有pH=－lg ［H +］=lg ［H +］－1=lg ]H [1+.在（0，+∞）上，随着［H +］的增大，]H [1+减小，相应地，lg ]H [1+也减小，即pH 减小.所以，随着［H +］的增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.（2）当［H +］=10－7时，pH=－lg10－7，所以纯净水的pH 是7. 事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH 的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH 应该在5.0～7.0之间.五、课堂小结1.对数函数的定义.2.对数函数的图象和性质.六、课后作业课时练与测七、教学反思备选例题；例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x .∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象.【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }.函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x ， 其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.。

第1课时 对数函数的概念、图象及性质 课件(40张)

⑥也不是对数函数;只有③④符合对数函数的定义.故选B.
数学
2
即时训练 1-1:(1)若函数 f(x)=log(a+1)x+(a -2a-8)是对数函数,则 a=

(2)已知对数函数 f(x)的图象过点 M(8,3),则 f( )=
.
.

-- = ,
解析:(1)由题意可知 + > 0, 解得 a=4.
+ > ,
所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.
+ > 0,

(2)由题意有
解得 x>- 且 x≠0,

+ ≠ ,

则函数的定义域为(- ,0)∪(0,+∞).

数学
[变式训练2-1] 把本例(1)中的函数改为y=loga(x-3)+loga(x+3)呢?
解:由 - > 0, 得 x>3.
为(
)
解析:法一
函数 y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1},可排除 A,C;当 x=1
时,y=-lg 2<0,显然只有 D 符合题意.故选 D.
法二
y=-lg |x+1|=
-( + ), > -,
-(--), < -,
又 x∈(-1,+∞)时,y=-lg(x+1)是减函数,因此选 D.
数学
即时训练5-1:(2020·海南高一期中)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和
y=logbx的图象,则(
)
(A)0<a<b<1
(B)0<b<a<1

对数函数的图象及性质 课件


2. 若 对 数 函 数 y=log(1-a)x(x>0) 是 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 _______. 【解析】因为对数函数y=log(1-a)x(x>0)是增函数, 所以1-a>1,故a<0. 答案：a<0
3.函数y= log1 x 的定义域为__________.
2
【解析】函数y= log1的x 定义域为(0,+∞).
2
答案：(0,+∞)
1.底数对对数函数图象的影响 (1)依据：对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与直线y=1的交 点是(a,1). (2)对图象的影响：比较图象与y=1的交点，交点的横坐标越大， 对应的对数函数的底数越大.也就是说，沿直线y=1由左向右看， 底数a增大(如图).
【典例训练】
1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值为
()
(A)128
(B)256
(C)512
(D)8
2.对数函数f(x)的图象经过点P(8，3)，则f( 1 )=_________.
2
3.(2011·陕西高考)设f(x)=
lgx, x 10x , x
0，则f(f(-2))=_______.
x 4 0,
【解析】1.选D.由 lgx 1解 0得,
x＞0,
x 4, lgx 1, x＞0,
所以x≥4且x≠10. 所以函数的定义域为［4,10)∪(10,+∞).
2x 1 0,
2.由 2x 1 解 1得, x>
3x 2 0,
,且x2 ≠1,
3
所以函数的定义域为( 2，1)∪(1，+∞).
纵坐标都大于0；另一类图象 当0<a<1时，
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点击进入课后作业
2a 3a 1, 又 A=B,所以 2 a 1 2,
解得 a=-1. 综上所述,a=-1.
达标检测——反馈矫正
及时总结
1.下列函数是对数函数的是 ( C ) (A)y=loga2x(a>0,a≠1) (B)y=loga(x2+1)(a>0,a≠1) (C)y= log 1 x(a>0,a≠1)
∴x>-1 且 x≠1, ∴函数的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}.
x 1 0, (2)要使函数有意义,需满足 1 x 0,
解得-1<x<1, ∴函数的定义域为{x|-1<x<1}.
备选例题
【例 1】 为了保证信息安全传输,有一种称为密钥的密码系 统,其加密、解密原理如下: 明文 密文 密文 明文.现在加密 密钥码为 y=loga(x+2),明文“6”通过加密后得到密文“3”, 再发送,接收方通过解密密钥码解密得到明文“6”.若接收 方接到密文为“4”,则解密后得到明文为“ ”.
新课导入 知识探究 题型探究
达标检测
新课导入——实例引领
思维激活
实例:庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
若已知剩余长度的大小,你能知道经过了多长时
间吗?剩余长度与时间之间是函数关系吗?
1 y 解:设剩余长度为 x,经过的时间为 y,则( ) =x,由 2
对数的定义可得 y= log 1 x,这里的 y 是 x 的函数.
解析:由题意知 loga(6+2)=3,得 a=2. 密文为“4”,即 y=4, 即 log2(x+2)=4, 得 x=14,即明文为“14”.
答案:14
【例 2】 已知 a>0 且 a≠1,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象可能是 ( )
解析:由 y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在 y 轴左侧,可排除 A、D 选项. 当 a>1 时,y=ax 应为增函数,y=loga(-x)应为减函数,可 知 B 项正确. 而对 C 项,由图象知 y=ax 递减⇒ 0<a<1⇒ y=loga(-x)应 为增函数.与 C 图不符.故选 B.
题后反思
判断一个函数是对数函数必须
是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式,即必
须满足以下条件:
(1)系数为1; (2)底数为大于0且不等于1的常数; (3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练 1 1:函数 f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x 是对数函 数,则实数 a= .
解析:a2-a+1=1,解得a=0或a=1. 又a+1>0,且a+1≠1,
∴a=1.
答案:1
题型二 对数函数的图象特征
【例 2】 如图所示,曲线是对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象,已知 a
4 3 1 取 3 、 、 、 ,则相应于 C1、 C2、 C3、 C4 的 a 值依次为( 3 5 10 4 3 1 (A) 3 、 、 、 3 5 10
4 1 3 (B) 3 、 、 、 3 10 5 4 3 1 (C) 、 3 、 、 3 5 10 4 1 3 3 (D) 、 、 、 3 10 5
2.对数函数的图象与性质 见附表
3.反函数 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且 a≠1)互为 反函数 . 思考2:函数y=log2x与y=2x的定义域与值域有什么关系? (函数y=log2x的定义域、值域分别是函数y=2x的值域、 定义域) 思考3:在第一象限内,对数函数的图象与底数有什么关系? (由y=logax与y=ax关于y=x对称,根据指数函数的图象在 第一象限满足“底大图高”的规律可得对数函数的图象 在第一象限满足“底大图右”的规律)
跟踪训练 3 1:求下列函数的定义域:
1 (1)y= ; log2 x 1 1
(2)y=ln(x+1)+
x 1 0, 解:(1)要使函数有意义,需满足 log 2 x 1 1 0,
3x 2 . 1 x
x 1, 即 x 1 2,
【例 3】 已知集合 A={x|(x-2)(x-3a-1)<0},函数 y=lg
2a x 的定义域为集合 B. 2 x a 1
(1)若 a=2,求集合 B; (2)若 A=B,求实数 a 的值.
4 x 解:(1)当 a=2 时,函数 y=lg . x5 4 x 由 >0,得 4<x<5, x5
a
(D)y=2lg x
1 1 解析:∵a>0,a≠1,∴ >0, ≠1.故选 C. a a
2.函数 y=logax 的图象如图所示,则实数 a 的可能取值 是( A )
(A)5
1 (C) e 1 (B) 5 1 (D) 2
解析:因为图象过(1,0)点,且在(0,+∞)上函 数单调递增,故a>1,选A.
2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数的图象及性质
课标要求 1.初步理解对数函数的 概念. 2.掌握对数函数的图象 和性质. 3.了解反函数的概念,知 道指数函数与对数函数 互为反函数. 4.通过类比思想,利用指 数函数探索对数函数的 图象及性质,学会研究函 数的方法.
学法指导
根据对数函数与指数函数互为 反函数,在学习中类比指数函 数的图象及性质来研究对数函 数的图象和性质.
题型探究——典例剖析
题型一
2
举一反三
对数函数的概念
【例 1】 下列函数中,哪些是对数函数? ①y=logax (a>0,且 a≠1);②y=log2x-1; ③y=2log8x;④y=logxa(x>0,且 x≠1); ⑤y=log5x.
解:⑤为对数函数. ①中真数不是自变量 x,不是对数函数; ②中对数式后减 1,∴不是对数函数; ③中 log8x 前的系数是 2,而不是 1,∴不是对数函数; ④中底数是自变量 x,而非常数 a,∴不是对数函数.
3.若函数y=f(x)的反函数过点(1,5),则函数 y=f(x)的图象必过点( A )
(A)(5,1)
(B)(1,5)
(C)(1,1)
(D)(5,5)
解析:因为互为反函数的图象关于直线y=x对称,
所以函数y=f(x)的图象必过点(5,1).故选A.
4.函数f(x)=lg(x-1)的定义域为 间表示).
.(用区
解析:由x-1>0得x>1.
即f(x)定义域为(1,+∞). 答案: (1,+∞)
课堂小结
1.形如y=logax(a>0且a≠1)的函数为对数函
数,定义域为(0,+∞)、值域为R,当a>1时为增
函数,当0<a<1时为减函数.
2.底数不同的对数函数图象满足在第一象限
内底数越大图象越靠右侧. 3.知道对数函数y=logax与y=ax互为反函数.
故集合 B={x|4<x<5}.
(2)由题可知,B=(2a,a +1).
1 ①当 2<3a+1,即 a> 时,A=(2,3a+1), 3
2a 2, 又 A=B,所以 2 无解; a 1 3a 1,
2
②当 2=3a+1 时,显然不合题意;
1 ③当 2>3a+1,即 a< 时,A=(3a+1,2), 3
题后反思 由图象判断对数函数的底数大小的方法: (1)令 y=logax=1,则自变量 x 等于底数 a,由自变量大小确 定 a 的大小.
(2)根据对数函数在第一象限符合底大图右的0 且 a≠1,则函数 f(x)=loga(5x-9) 恒过定点 P 的坐标是 .
解析:令 5x-9=1,则 x=2,所以函数恒过定 点(2,0).
答案:(2,0)
题型三
与对数函数有关的定义域问题
【例 3】 求下列函数的定义域:
1 (1)f(x)=lg(x-2)+ ; x3
(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
x 2 0, 解:(1)要使函数有意义,需满足 x 3 0,
解得 x>2 且 x≠3, ∴函数定义域为(2,3)∪(3,+∞).
16 4 x 0, (2)要使函数有意义,需满足 x 1 0, x 1 1,
解得-1<x<0 或 0<x<4, ∴函数定义域为(-1,0)∪(0,4).
题后反思 求与对数函数有关的函数的定义域时,有 如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意 对数的底数大于零且不等于 1,三是按底数的取值应 用单调性,有针对性地解不等式.
2
想一想 实例中 y= log 1 x 应是什么函数.
2
知识探究——自主梳理
1.对数函数的概念
思考辨析
函数 y=logax(a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .
思考1: (1)对数函数的定义域为什么是(0,+∞)? (因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函 数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数 函数的定义域是(0,+∞)) (2)对数函数的解析式有何特征? (在对数函数的定义表达式y=logax(a>0且a≠1) 中,logax前面的系数必须是1,自变量x在真数的位 置上,否则不是对数函数)
)
解析:法一 作直线 y=1 与四条曲线交于四点,由 y=logax=1, 得 x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小 的底数小,所以 C1、C2、C3、C4 对应的 a 值分别