初升高衔接 乘法公式与因式分解

初中中考数学因式分解的九种方法解析初中中考数学因式分解的九种方法解析把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

xx小编整理了初中中考数学因式分解的九种方法，希望能帮助到您。

一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a^2-b^2=（a+b）（a-b）a^2+2ab+b^2=（a+b）^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=（a+b）（a-b）2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

四、完全平方公式1、把乘法公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2 和（a-b）^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=（a+b）^2 和 a^2-2ab+b^2=（a-b）^2，这两个公式叫完全平方公式。

这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。

3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。

m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。

3、因式分解的方法： （1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。

（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． （4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。

我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。

第一讲数与式的运算第二讲因式分解知识篇数与式的运算1、实数；2、代数式；3、乘法公式；4、分式；5、二次根式因式分解1、提取公因式；2、运用公因式；3、分组分解法；4、十字相乘法；5、配方法笔记:归纳小结:数与式的运算1 、已知 的公式表示试写出用21121,,111R ，R R R R R R R ≠+=2、设X=,3232-+ Y=,3232+- 求33Y X +的值3、化简下列各式1）221-32-3）（）（+ 2）22x -2x -1）（）（+ （X ≥1）4、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a2+b2+c2的值。

分解因式1、提公因式法，运用公因式法（1）3a3b-81b4（2）a7-ab62、分组分解法（3）2ax-10ay+5by-bx （4）ab(c2-d2)-(a2-b2)cd （5）x2-y2+ax+ay （6）2x2+4xy+2y2-8z23、十字相乘（7）x2-7x+6 （8）x2+13x+36（9）x2+xy-6y2（10）(x2+x)2-8(x2+x)+12 （11）12x2-5x-2 （12）5x2+6xy-8y24、配方法（13）x2+12x+16 （14）a4+a2b2+b45、其他方法添项、拆项法、分解因式（15）x 3-3x 2+4 （16）(x 2-5x+2)(x 2-5x+4)-8二、因式分解的应用 1、已知a+b=32，ab=2，求代数式 a 2b+2a 2b 2+ab 2的值2、计算12345678921234567890-123456789112345678902）（ab o作业篇一选择1、二次根式，a -=2a 成立的条件是 （ ）A 、a ＞0，B 、a ＜0，C 、a ≤0，D 、a 是任意实数2、若x ＜3，则6x 6x -92--+x 的值是 （ ） A 、-3， B 、3， C 、-9， D 、93、数轴上有两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则线段AB 的长度是 （ ） A 、a-b ， B 、a+b ， C 、b -a ，D 、b +a4、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A 、a+b ＞a ＞b ＞a-b ， B 、a ＞a+b ＞b ＞a-b C 、a-b ＞a ＞b ＞a+b ， D 、a-b ＞a ＞a+b ＞b5、若等于，则yy x y x322x =+- （ ） A 、1， B 、45， C 、54， D 、56二化简1、19183-232）（）（+ 2、313-1+3、1-32-23121++4、38a -5、aa 1-⨯三、已知x+y=1，求x 3+y 3+3xy四、若2)1()1(22=++-a a ，求a 的取值范围。

02分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >， 则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x 2+6x +8； （2）x 2﹣x ﹣6； （3）x 2﹣5xy +6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

因式分解的一点补充——十字相乘法同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。

这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。

这就是分解因式的十字相乘法。

下面举例具体说明怎样进行分解因式。

例1、因式分解。

分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。

分析：因为-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。

但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了课前练习：下列各式因式分解1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+483．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

例3 把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 ×3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-11×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。

因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1：分解因式：
（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；
（3）22
x a b xy aby
-++；（4）1
()
-+-．
xy x y
2．提取公因式法
一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则
12b x a -+=
，22b x a
--=，
∴| x 1－x 2|
=
||
a ==．
于是有下面的结论：
若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|
＝||
a （其中Δ＝
b 2－4a
c ）．
例题：若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根
（1）求| x 1－x 2|的值；
（2）求
22
12
11
x x +的值； （3）x 13＋x 23．。

乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见且重要的概念。

它们在代数运算和解决各种数学问题时起着关键作用。

本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用以及解题方法。

一、乘法公式乘法公式是指一些常见的数学公式，用于求解乘法式子的结果。

常见的乘法公式包括：1. 两个整数相乘：a × b = c2. 平方的乘法公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^23. 两个二次根式相乘：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd4. 两个多项式相乘：(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be这些乘法公式在解决数学问题和代数运算时非常有用。

通过熟练掌握这些公式，可以简化计算过程，提高解题效率。

二、因式分解因式分解指将一个多项式分解成若干个乘法因子的过程。

因式分解的目的是简化多项式的形式，方便问题的求解。

因式分解可以根据多项式的不同形式采用不同的方法。

1. 提公因式法：对于一个多项式，如果各项之间存在公因子，可以将公因子提到括号外，并将其余部分化简为一个新的多项式。

例如，对于表达式4x + 8y，可以提取出2作为公因子，得到2(2x + 4y)。

2. 二次因式分解法：对于一个二次多项式，可以通过因式分解的方法将其分解为两个一次因式的乘积。

例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以进行二次因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。

3. 公式法：对于一些特定的多项式，可以利用一些常见的因式分解公式进行分解。

例如，对于多项式x^2 - 4，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)。

因式分解在解决代数方程、求解方程根和简化运算等方面具有广泛的应用。

熟练掌握因式分解的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种数学问题。

三、应用举例下面通过几个具体的数学问题来展示乘法公式与因式分解的应用。

初升高衔接乘法公式与因式分解乘法公式是数学中的一种基本运算法则，它是将多个数相乘的一种表达方式。

在初中数学中，我们通常学习了多种乘法公式，比如二项式乘法公式、三项式乘法公式等等。

其中比较常用且重要的是二项式乘法公式，它的表达形式如下：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)(a-b)=a^2-b^2这些乘法公式的应用范围非常广泛，例如可以用来进行整式的乘法计算，简化问题的表达形式，从而更好地解决数学问题。

因式分解是将一个多项式写成一系列不可再分解的乘积的方式。

有时候一个多项式太过复杂，我们难以直接对它进行运算或者处理，这时候就可以使用因式分解来简化问题的求解。

因式分解是初中数学中的一个重要内容，它不仅需要掌握多项式的因式分解方法，还需要理解因式分解的意义和应用。

在初中数学教材中，我们学习了一些常用的因式分解方法，如公式法、提公因式法、配方法等等。

对于常见的多项式，我们可以根据不同的情况选择合适的方法进行因式分解。

因式分解的目的是将一个多项式写成一系列不可再分解的乘积的形式，从而更方便后续的计算和求解。

乘法公式和因式分解在初中数学中是两个独立却又密切相关的概念。

实际上，乘法公式是因式分解的一种特殊情况，因为乘法公式本质上就是将一个多项式进行因式分解的过程。

以二项式乘法公式为例，我们可以将它理解为：将一个多项式(a+b)^2写成一系列不可再分解的乘积，即a^2 + 2ab + b^2、其中，乘法公式中的a和b就是多项式的因子，而a^2 + 2ab + b^2则是多项式的因式分解结果。

因此，乘法公式和因式分解是密切相关的，乘法公式可以看作是因式分解的一种应用，因式分解则是乘法公式的一种推广和扩展。

在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择使用乘法公式或者因式分解，从而更好地处理和解决问题。

乘法公式和因式分解在数学中的应用非常广泛。

通过乘法公式，我们可以简化复杂的运算，扩展计算能力，从而更好地解决数学问题。

目录第一讲数与式 (2)第二讲因式分解 (8)第三讲一元二次方程根与系数的关系 (12)第四讲二次函数 (19)第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 【公式3】完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（完全平方公式）证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=. ∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x222222432111()()()2(22()33381.339x x x x x x x =++++⨯+⨯⨯=-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)证明：22223333()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-.【例2】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++解：（1）原式=333644m m +=+.（2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-.（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a .（4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=. 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【例3】已知2310x x -+=，求331x x +的值．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、指数式当n N ∈时，an na a a a 个⋅⋅⋅=. 当n Q ∈时，⑴零指数01(0)a a =≠， ⑵负指数1(0)n n a a a-=≠.⑶分数指数 0,,n maa m n =>为正整数).幂运算法则：(1),(2)(),(3)() (,0,,)mnm nm n mn n n n a a aa a ab a b a b m n Z +⋅===>∈.【例4】求下列各式的值：328，21100-，43)8116(-解: 422)2(8233323232====⨯；101)10(110011002121212===-；8272332)32()8116(3333444343====----． 【例5】计算下列各式⑴)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； ⑵8)(8341-q p ． 解: ⑴a ab bab a b a b a 444)3()6)(2(0653121612132656131212132===-÷--+-+；⑵3232888)()()(83418341q p qp qp q p ===---．三、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥||a =0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥ 如果有nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数．当n a =，当n {,0||,0a a a a a ≥==-<. 【例6】化简下列各式：1)x +≥解：(1) 原式=2|1|211-+=-+=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(3) -+解：(1) 原式23(2623-==--(2) 原式(3) 原式=-+=-说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母()．这时形式() ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+与2-)．四、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例8】化简11xxxxx-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x xx x x x xx x x x xx x x xx xxxx xx xx++=====--⋅+-+-+++--+解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x xx x x xx x x x x xx x xxx xxxx xx++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例9】化简233396162279x x x xxx x x++-+-+--解：原式=22339611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x xx x x x xx x x x x++--+-=--+-+-+-++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x+-------===+-+-+.说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1a =-成立的条件是( ) A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．93．化简： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(2) a+5．化简：102m + 0)x y >>B 组1．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．2．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．3．设12x =，求4221x x x ++-的值．4．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----5．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-第一讲 数与式答案A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2 12a b -----5．B 组1．3,2-2． 3 3．3-4．43210355024x x x x -+-+5．444222222222x y z x y x z y z ---+++第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】因式分解：(1) 38x +(2) 30.12527b -解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+. (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++.说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()nnnab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】因式分解：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()().a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+766622422422222222222()()()()[()]()()()().a ab a a b a a b a a b b a a b a b a b a a b a b a ab b a ab b -=-=-++=-+-=+-++-+二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--.说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+.【例5】把2222428x xy y z ++-分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++- 222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-.三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++.因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++. 【例6】因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．(2) 21336(4)(9)x x x x ++=++.【例7】因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-.(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-.2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【例8】因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +- 解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+. 324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-.1 254-⨯【例9】因式分解：(1) 22(2)7(2)8x x x x +-+- (2)a ax x x 51522---+分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.解：(1)原式)82)(12(22-+++=x x x x )4)(2()1(2+-+=x x x .(2)原式)5()152(2a ax x x +--+=)5()5)(3(+-+-=x a x x )3)(5(a x x --+=.四、配方法【例10】因式分解 (1) 2616x x +- （2）2244x xy y +-解：(1)222616(3)5x x x +-=+-(8)(2)x x =+-.(2)2222244(44)8x xy y x xy y y +-=++-22(2)8(2)(2)x y y x y x y =+-=+++-.说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．五、拆(添)项法【例11】因式分解3234x x -+ 解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-.说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．A 组1．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-2．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+(2) 2245m mn n --(3)2673x x --(4) 2()11()28a b a b -+-+3．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+(2) 22(2)9x x --(3) 2282615x xy y +-(4) 22(67)25x x --4．把下列各式分解因式：(1) 233ax ay xy y -+-(2) 251526x x xy y -+-(3) 224202536a ab b -+-(4) 66321x y x --+B 组1．把下列各式分解因式： (1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x +(4) 32113121x x x -+-2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．第二讲 因式分解答案A 组1．2222(1)()(),(2)()().n x x y x xy y x x y x xy y +-+-++2．(1)(2)(1),x x --(2)(5)(),(3)(23)(31),m n m n x x -+-+(4)(4)(7).a b a b -+-+ 3．32(1)(2)(8),(2)(3)(1)(23),ax x x x x x x ---+-+2(3)(2)(415),(4)(21)(35)(675).x y x y x x x x -++--+4.3333(1)()(3),(2)(3)(52),(3)(256)(256),(4)(1)(1).x y a y x x y a b a b x y x y -+-+---+---+B 组1．22(1)()(),(2)(42)(2),(3)(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ (4)(1)(3)(7).x x x --- 2．283.第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+=(1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根： x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：24b ac ∆=-.【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>， ∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=， ∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-.(1) 141203k k ->⇒<； (2) 141203k k -=⇒=； (3) 141203k k -≥⇒≤；(4) 141203k k -<⇒>．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：把方程看作是关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=.由于x 是实数，所以此方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==.所以：12b x x a+=+=-，12244ac cx x a a⋅====.定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b cx x x x a a+=-=. 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．【例4】若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．解：由题意，由根与系数的关系得：12122,2009x x x x +=-=-.(1) 2222121212()2(2)2(2009)4022x x x x x x +=+-=---=.(2)121212112220092009x x x x x x +-+===-. (3) 121212(5)(5)5()2520095(2)251974x x x x x x --=-++=---+=-.(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体代换思想．【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 解：法一 设这两个数分别是x ，y ，则{412x y xy +==-1126x y =-⎧⇒⎨=⎩或2262x y =⎧⎨=-⎩.因此，这两个数是－2和6．法二 由韦达定理知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解方程得：x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6．【例6】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．解： 2213[(1)]4(1)23042k k k k ∆=-+-+=-≥⇒≥. (1) 21211544x x k k =+=⇒=±. 所以，当4k =时，方程两实根的积为5．(2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =302k ⇒∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，不合题意，舍去．综上可知，32k =时方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．【例7】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=有两个实数根.∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⨯+=-≥⎩.(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． (2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++.∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．A 组1．已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，求1211x x +的值.3．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，请您写出,,a b c 之间的关系．4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，求这个直角三角形的斜边的长．5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，请问k 的值是多少．6．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，请您求出p ，q 的值．7．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 请您求出求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11． 求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案A 组1． 2,1k k <≠且2． 23．2,a c b b c +=≠且 4． 35． 9或3-6．1,3p q =-=-7．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=-B 组1．13(1)112k k <≠且 (2) 不存在 2．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．第四讲 二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况.本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题.一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像和性质（1）当0a >时，函数2y ax bx c =++图象开口向上，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线2bx a=-.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当2bx a=-时，函数取最小值244ac b y a -=． （2）当0a <时，函数2y ax bx c =++图象开口向下，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线2bx a=-.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小；当2bx a=-时，函数取最大值y ＝244ac b a -． 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题．【例1】 请您求出二次函数2361y x x =--+的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象．解：∵223613(1)4y x x x =--+=-++. ∴函数图象的开口向下，对称轴方程x ＝－1，顶点坐标为(－1，4)， 当1x =-时，max 4y =.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小 (如图) .x yO x ＝－2baA 24(,)24b ac b a a-- xy Ox ＝－2baA 24(,)24b ac b a a-- x ＝－1二、二次函数的三种表示方式 1．一般式：2(0)y ax bx c a =++≠.2．顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标是),(k h ．3．交点式：12()() (0)y a x x x x a =--≠，其中1x ，2x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．【例2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为2(0)y ax bx c a =++≠．由条件得2228124288a b c a c b a b c c -+=-=-⎧⎧⎪⎪=-⇒=⎨⎨++==-⎪⎪⎩⎩ .所求的二次函数为22128y x x =-+-．【例3】 已知二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线1y x =+上，并且图象经过点（3，－1），求此二次函数的解析式．解：由条件易知顶点坐标是（1，2），设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵图像经过点（3，－1），∴ 21(32)12a a -=-+⇒=-．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即2287y x x =-+-．【例4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．解：法一 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为(3)(1) (0)y a x x a =+-≠，即223y ax ax a =+-.顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， ∵二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2，∴1|4|22a a -=⇒=±． ∴二次函数的表达式为21322y x x =+-或21322y x x =-+． 解：法二 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线1x =-．又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2或－2．∴可设二次函数为2(1)2y a x =++或2(1)2y a x =+-.∵函数图象过点(1，0)， ∴12a =±． ∴二次函数的表达式为21322y x x =+-或21322y x x =-+．说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、二次函数的最值问题【例5】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例6】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，max 1y =-，当2x =时，min 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：A 组1．选择题：（1）函数22(1)2y x =-+是将函数22y x =（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （2）函数21y x x =-+-图象与x 轴的交点个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定 （3）函数21(1)22y x =-++的顶点坐标是（ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)2．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．3．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值、最小值，并求对应的x 的值．4．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上． (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．第五讲 二次函数的最值问题答案A 组1．（1）D （2）A （3）C 2. 4 14或2，323．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =． 4．5y ≥-B 组1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-． 2．14a =-或1a =-．。

初升高数学知识点衔接乘法公式
与因式分解
1．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
（2）完全平方公式
2．因式分解
因式分解是代数的一种重要的恒等式变形。

初中教材中涉及到的常用方法主要有:提取公因子法和公式法(平方差公式和完全平方公式)。

因式分解和代数表达式乘法是对立变形，在分式运算、解方程和各种恒等式变形中有重要作用，是一项重要的基本功。

————高中知识链接————
我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：
（3）立方和公式
（4）立方差公式
（5）三数和平方公式
（6）两数和立方公式
（7）两数差立方公式
我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：
证明：
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．。

乘法公式一、我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。

二、我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方与公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； 〔3〕三数与平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 〔4〕两数与立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； 〔5〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。

对上面列出五个公式，有兴趣同学可以自己去证明。

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++。

解：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x - 例2 4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++值。

解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=。

练习：1．填空：〔1〕221111()9423a b b a -=+〔 〕；〔2〕(4m + 22)164(m m =++ )；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )。

2．选择题：〔1〕假设是一个完全平方式，那么k 等于〔 〕A 、2mB 、214mC 、213mD 、〔2〕不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+值〔 〕A 、总是正数B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数3、找规律与为什么观察以下等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，… … 用含自然数n 等式表示这种规律:_______________________________并证明这一规律。

初中、高中衔接课第1课时因式分解学习目标 1.理解提取公因式法、分组分解法.2.掌握十字相乘法.3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.知识点一常用的乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.(3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.(4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.(6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.知识点二因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.(4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2).(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式.如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1提取公因式后分解因式.1.a3＋b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2).()2.a2＋2ab＋b2＋c2＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2.()3.a3－3a2b－3ab2＋b3＝(a－b)3.()4.多项式ax2＋bx＋c(a≠0)一定可以分解成a(x－x1)·(x－x2)的形式.()突破一配方法因式分解例1把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2.跟踪训练1分解因式x2＋6x－16..突破二十字相乘法因式分解命题角度1形如x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q).因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.我们也可以用一个图表，此方法叫做十字相乘法.例2把下列各式因式分解：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y.反思感悟十字相乘法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实质是乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算.跟踪训练2把下列各式因式分解：(1)x2＋xy－6y2；(2)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12.命题角度2形如一般二次三项式ax2＋bx＋c型的因式分解我们知道，(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2.反过来，就得到：a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1，a2，c1，c2写成a1a2×c1c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)·(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上一行，a2，c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法.例3 把下列各式因式分解： (1)12x 2－5x －2；(2)5x 2＋6xy －8y 2.跟踪训练3 把下列各式因式分解： (1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7； (3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3.1.分解因式x 2－3x ＋2为( ) A.(x ＋1)(x ＋2) B.(x －1)(x －2) C.(x －1)(x ＋2) D.(x ＋1)(x －2)2.分解因式x 2－x －1为( ) A.(x －1)(x ＋1) B.(x ＋1)(x －2)C.⎝⎛⎭⎫x －1＋52⎝⎛⎭⎫x －1－52 D.⎝⎛⎭⎫x ＋1－52⎝⎛⎭⎫x －1＋52 3.分解因式：m 2－4mn －5n 2＝________.4.分解因式：(a －b )2＋11(a －b )＋28＝________.5.分解因式：x 2－y 2－x ＋3y －2＝____________.一、选择题1.计算(－2)100＋(－2)101的结果是( ) A.2 B.－2 C.－2100 D.21002.边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为( ) A.120 B.60 C.80 D.403.下列各式中，能运用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是()A.x2＋4xB.a2－4b2C.x2＋4x＋1D.x2－2x＋14.将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为()A.(x＋5)(x－1)B.(x－5)(x＋1)C.(x＋5)(x＋1)D.(x－5)(x－1)5.要在二次三项式x2＋()x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是()A.1，－1B.5，－5C.1，－1,5，－5D.以上答案都不对6.已知多项式x2＋bx＋c因式分解的结果为(x－1)(x＋2)，则b＋c的值为()A.－3B.－2C.－1D.07.下列变形正确的是()A.x3－x2－x＝x(x2－x)B.x2－3x＋2＝x(x－3)－2C.a2－9＝(a＋3)(a－3)D.a2－4a＋4＝(a＋2)28.若2m＋n＝25，m－2n＝2，则(m＋3n)2－(3m－n)2的值为()A.200B.－200C.100D.－100二、填空题9.因式分解：ax＋ay＋bx＋by＝______________________.10.因式分解：(x＋y)2－2y(x＋y)＝_________________________________________________.11.分解因式：(a2＋1)2－4a2＝__________________.三、解答题12.分解因式：(1)x2＋6x＋8；(2)x2－x－6.14.若x(x＋1)＋y(xy＋y)＝(x＋1)·M，则M＝_______________________________________.15.分解因式：(1)(x－y)2＋4(x－y)＋3；第2课时 二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式学习目标 理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.知识点一 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法将其变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2. (1)当b 2－4ac >0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a ；(2)当b 2－4ac ＝0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x 1,2＝－b2a；(3)当b 2－4ac <0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.由于可以用b 2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，表示为Δ＝b 2－4ac . 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，所以：x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac2a＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a＝(－b )2－(b 2－4ac )2(2a )2＝4ac 4a 2＝c a .一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.知识点三 二次函数的图象与性质 仅讨论y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的情况： 1.x 的取值范围为一切实数.2.y 的取值范围为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ 当x ＝－b2a 时，y 取得最小值4ac －b 24a.3.二次函数的三种表达方式： ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ＋c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；y ＝a (x －h )2＋k .4.对称轴x ＝－b 2a (图象关于x ＝－b2a 对称). 5.(1)当x 1<x 2≤－b2a 时，则y 1>y 2.(2)当x 2>x 1≥－b2a时，则y 1<y 2.6.有相异两实根x,＝＝x1.方程ax2＋bx＋c＝0如果有实数根，则Δ＝b2－4ac≥0.()2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－b2a时取得最值.()3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根，则ax2＋bx＋c>0的范围为x>x2或x<x1.()突破一一元二次方程的相关知识的应用例1已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值.反思感悟(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大于21”求出m的值，取满足条件的m的值即可.(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由根与系数的关系解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.因为，根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实数根.跟踪训练1若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，(1)求|x1－x2|的值；(2)求1x21＋1x22的值；(3)x31＋x32.突破二二次函数的图象与性质例2已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.反思感悟在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.跟踪训练2求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？画出该函数的图象，并指出y>0时x的取值范围.突破三一元二次不等式的解法例3求不等式4x2－4x＋1>0的解.跟踪训练3求不等式－3x2＋6x>2的解.1.不等式9x2－6x＋1≤0的解为()A.全体实数B.无解C.x≠13 D.x＝132.不等式－4x2＋4x<－15的解为()A.－32<x<52 B.－52<x<32C.x>52或x<－32 D.x>32或x<－523.函数y＝x2－2x，当－1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为__________.4.方程x2－ax＋1＝0的两根为x1，x2，若|x1－x2|＝5.则a＝________.5.不等式ax2＋bx＋1>0的解为－12<x<13，则a＋b＝________.一、选择题1.若关于x的方程(a＋1)x2－3x－2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是()A.a≠0B.a≠－1C.a＞－1D.a＜－12.若一元二次方程x2－2x＋1－a＝0无实根，则a的取值范围是()A.a＜0B.a＞0C.a＜34 D.a＞343.若m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值是()A.－3B.3C.－1D.14.不等式2x2－x－1>0的解是()A.－12＜x＜1 B.x＞1C.x＜1或x＞2D.x＜－12或x＞15.关于二次函数y＝－2x2＋1，下列说法中正确的是()A.它的开口方向是向上B.当x＜－1时，y随x的增大而增大C.它的顶点坐标是(－2,1)D.当x＝0时，y有最大值是26.若二次函数y＝x2－mx的对称轴是x＝－3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解是()A.x1＝0，x2＝6B.x1＝1，x2＝7C.x1＝1，x2＝－7D.x1＝－1，x2＝77.y＝ax2＋ax－1对于任意实数x都满足y＜0，则a的取值范围是()A.a≤0B.a＜－4C.－4＜a＜0D.－4＜a≤0二、填空题8.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解为1<x<2，则关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解为_______________.9.函数y＝－x2＋1，当－1≤x≤2时，函数y的最小值是________.10.不等式x2－5x＋6≤0的解为________________.11.x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则代数式x21＋3x1＋x2＝________.三、解答题12.画出函数y＝2x2－4x－6的草图.13.已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1＋x2|＝2x1x2，求k的值.14.将抛物线y＝(x－1)2＋1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A.y＝(x－2)2＋1B.y＝x2＋1C.y＝(x＋1)2＋1D.y＝(x－1)215.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.。

初升高中衔接教程数学第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集第6讲集合的基本运算变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.例6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域。

1、同底数幂相乘：底数不变、指数相加：n m n m a a a +=∙
同底数幂相除：底数不变、指数相减：n m n m a a a -=÷
2、幂的乘方：底数不变、指数相乘：()mn n m a a =
3、积的乘方：等于把积的每一个因时分别乘方，再把所得的幂相乘：m m m b a ab =)(
4、单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式
5、单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
6、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把
所得的积相加
7、单项式相除：把它们的系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
8、多项式除以多项式：先把这个多项式的每一项除以这个多项式，再把所得的商相加
9、任何不等于0的数的0次幂都等于10
=a （a ≠0）
10、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差()()22b a b a b a -=-+
11、完全平方公式：两个数的和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上（减去）这两个
数积得2倍
()2222b ab a b a ++=+
()2222b ab a b a +-=-
12、p 、q 型整式乘法：()()()pq x q p x q x p x +++=++2。