安徽大学期末试卷近世代数8.doc

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件：1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性）2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性）3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性）则这个关系是的一个等价关系．2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元．3、错，因为由于[]Z x x Z <>≅，而整数环Z 不是一个域．4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群．5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且1）存在ϕ：()()f x f x →的次数，是非零多项式到非负整数集的一个映射；2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x 的次数． 因此[]F x 作成一个欧式环．二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)．2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{}50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身． 3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+5432[4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-． 三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分）1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>≅，整数环Z 是一个整环而不是一个域，故主理想x <>是整数环的一个素理想而不是极大理想．2、22,,,a b R Z a b c d Z c d ⨯⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭对普通的矩阵的加法和乘法作成一个环，R 有单位元1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，000a S a Z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭对普通的矩阵的加法和乘法作成R 的一个子环，S 有单位元1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，二单位元不相等． 3、Klein 四元群4K 是四次对称群4S 的一个正规子群，{}4(1),(12)(34)B =是4K 的一个正规子群（4K 是一个交换群），但4B 不是4S 的正规子群（44(13)(13)B B ≠）．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明：1）设G 是一个有限群，a 是G 的任意一个阶大于2的元素，则显然1a a -≠（否则将有2a e =，与a 阶大于2矛盾！），但a 与1a -有相同的阶，即1a -的阶也是大于2．又设b 也是G 的一个阶大于2的元素，且1,b a b a -≠≠，则容易得到：111,b a b a ---≠≠，这就是说，G 中阶大于2的元素总是成对出现的，由于G 是一个有限群，故中的阶大于2的元素个数必为偶数．2）设G 是一个偶数阶的有限群，由于单位元是阶为1的惟一元素，又由1）知G 中的阶大于2的元素个数一定是偶数，这样阶等于2的元素的个数一定是奇数．2、证明：设H 是G 的一个子群，任取1axa -，1aya -1aHa -∈（,x y H ∈），则由于H 是一个子群，故1xy H -∈，这样11111()()a x a a y a a x y a a H a ------=∈，从而1aHa G -≤．又由于易证1:x axa ϕ- 是H 到1aHa -的一个双射，且1()()x y a x y a ϕ-=11()()axa axa --=()()x y ϕϕ= 故ϕ是H 到1aHa -的一个同构映射，从而1aHa H -≅．2、证明：首先易证集合2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于普通的矩阵的加法作成一个加群，其零元为零矩阵，负元为负矩阵．其次，对22,a b c d R b a dc ⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,,,a b cd F ∈，我们有 2222a b c d c d a b b a d c d c b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222ac bd ad bc R bc ad bd ac ++⎛⎫=∈ ⎪++⎝⎭, 即普通矩阵的乘法是R 上的一个代数运算．且有 222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即R 对于普通的矩阵的乘法作成一个半群．另外，1001R ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得对 2a b R b a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1022100101a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2a b b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述，2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．4、证明：1）若R 的每个非零元素的阶都是无限，命题成立；若R 中有某个元素0a ≠的阶为n ，则在R 中任取0b ≠，有()()00na nb na b b ===． 但0a ≠，且R 无零因子，故nb 0=，b n ≤．设b m =，则()()0ma b a mb ==，0ma =，故n m ．从而n m b ≤=． 因此b n =，即R 中每个非零元素的阶都是n ．2）设char R 1n =>，且12n n n =， 1i n n <<．则在R 中任取0a ≠，由于R 中每个非零元素的阶都是n ，故10n a ≠，20n a ≠．但21212()()()n a n a n n a =20na == 这与R 中无零因子环矛盾，故n 必为素数．5、证明：1）任取,x y G ∈，则由于G H 与G K 都是交换群，故x y H y x H =，xyK yxK =．于是()xy H K xyH xyK = yxH yxK = ()yx H K = ，即GH K 也是一个交换群． 2）任取h H ∈，k K ∈，由于,H K 都是群G 的正规子群，故1111()hkh k h kh k H ----=∈，1111()hkh k hkh k K ----=∈，从而{}11hkh k H K e --∈= ，故11hkh k e --=，即得到hk kh =，得证！6、证明：(1)设N 是R 的诣零理想，若R 是诣零的，下证R N 也是诣零的． 对R a N N ∀+∈，因为R 是诣零的，故存在n Z +∈，使得0n a =，从而()0n n a N a N N N +=+=+=，即R N 也是诣零的． 反之，若R N 是诣零的，下面说明R 也是诣零的．对a R ∀∈，因R N 是诣零的，故存在m Z +∈，使得()m m a N a N N +=+=，即m a N ∈，又N 是R 的诣零理想，故存在n Z +∈，使得()0m n mn a a ==，从而R 是诣零的．(2) 若,A B 是环R 的诣零理想，则A B ⋂是R 的诣零理想，且A B ⋂分别是,A B 的诣零理想．由环第二同构定理知A B B A A B +≅⋂，由(1)知，B A B ⋂是诣零的，从而A B A +也是诣零的．而A 是R 的诣零理想，也是A B +的诣零理想，因此由(1)知A B +也是R 的诣零理想，得证．安徽大学2009－2010学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、设:X Y ϕ→为一个映射，A 是X 的一个非空子集，则1(())A A ϕϕ-=．答：不正确．只有当ϕ为单射时等号才成立，一般的1(())A A ϕϕ-⊇．2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个半群．答：正确．利用半群的定义易验证．3、整数环的全部素理想是由所有素数p 生成的主理想p <>和自己本身． 答：不正确．由于整数环无零因子，故零理想也是它的素理想．4、若,H G K G ≤≤，则HK G ≤．答：不正确．两个子群的乘积是原来群的子群充要条件是它们相乘时可交换．5、域是一个欧氏环．答：正确。

多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abb a b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（c）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。

A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。

2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于----25--。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为----双射-------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---右单位元------。

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。

A 、不可能就是群B 、不一定就是群C 、一定就是群D 、 就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。

5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x =ο，则称a 为---------。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、B 、C 、D 、{}a {}e a ,{}3,a e {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），1σ2σ3σ1σ2σ=（1324），则=（ ）3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、12σ1σ2σ22σ2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。

G a 4a 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

ϕϕ7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得αF F n a a a ,,,10 。

010=+++n n a a a αα8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。

9、一个除环的中心是一个-域———--。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。

数学与应用数学专业《 近世代数 》一、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1、一个变换群的单位元是2、设()G a =是一个6阶循环群，G 的生成元的集合是3、H 是群G 的子群，H 的右陪集Ha Hb =当且仅当4、,,a b H ab H ∈∈是群G 的非空有限子集H 作成G 的一个子群 的 条件5、假定循环群()G a =，a 的阶是n ，那么G 的乘法是h k a a =6、在两个群G 和G '的一个同态映射f 下，:f a a '→，a a '与的阶的关系是（填一定相同, 一定不同, 可能不同，整除等） 7、在4S 中，元(13)(24)的阶是8、模6剩余类环6Z 的子环{[0],[2],[4]}的特征为二、解答题（本题共7小题，每小题6分，共42分）1、设f 是集合A 到B 的映射，,a b A ∈，规定关系:“”:()()a b f a f b ⇔=:， 判断:“”是不是A 上的等价关系，并说明理由。

2、设()G a =是10阶循环群，找出G 的所有子群。

3、求群12(,)Z + 关于子群([3])H =的所有左陪集。

4、求模10的剩余类环10Z 的所有零因子。

5、设环R 与R '同态，命题：R '是交换环，则R 也是交换环是否正确？说明理由。

6、在实数域R 上的2阶全矩阵环是不是它的理想？说明理由。

7、已知2112341234,,24133412αβαβ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求，并把最终结果写成循环置换乘积的形式．三、证明题（本题共3小题，34分）1、设f 和g 都是群G 到G '的同态映射。

证明：{()()}H x x G f x g x =∈=且是G 的子群。

（10分）20(),,,,00a b a M R a b c d R S a R c d ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭中2、设C 是非零复数乘法群， R 是正实数乘法群，D 是模为1的复数乘法群，证明：C R D≅ 。

《近世代数》试卷一、填空题(每空2分,共20分)1、4次对称群4S 的阶是____,在4S 中,(14)(312)=_______,(1423)1-=_______, 元素(132)的阶是______.2、整数加群Z 是一个循环群,它有且仅有两个生成元是______和_____.3、模6的剩余类环6Z 的全部零因子是__________.4、在模12的剩余类环12Z 中,[6]＋[8]=_______,[8][6]=_______.5、17Z 是模17的剩余类环,在一元多项式环][17x Z 中,=+17])8[]6([x _________.二、判断题(对打“√”,错打“×”,不说明理由,每小题2分,共20分)1、( )交换群的子群是不变子群。

2、( )若21,H H 是群G 的子群,则21H H 也G 是的子群。

3、( )任意两个循环群同构。

4、( )模27的剩余类环27Z 是域。

5、( )一个阶是19的群只有两个子群。

6、( )欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。

7、( )在一个环中,若左消去律成立,则右消去律成立。

8、( )域是唯一分解环。

9、( )存在特征是143的无零因子环。

10、( )只有零理想和单位理想的环是域。

三、解答题(第1题15分,第2,3题各10分,共35分)1、设)}132(),123(),1{( H 是3次对称群3S 的子群,求H 的所有左陪集和右陪集,试问H 是否是3S 的不变子群？为什么？2、求模12的剩余类环12Z 的所有理想。

3、设G 是交换群,e 是G 的单位元,n 是正整数,},,|{e a G a a H n=∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？四、证明题(第1,2题各10分,第3题5分,共25分)1、证明：整数环Z 中由34和15生成的理想(34,15)就是Z 本身。

2、设G 和H 是两个群,G e 和H e 分别是G 和H 的单位元,f 是群G 到H 的满同态映射,B 是H 的子群,证明：})(,|{B a f G a a A ∈∈=是G 的子群。

近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 =（ 1324），则3 =（）A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）.A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元，如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素，对任何x A 均成立x ax，则称a为 --------- .9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群， H 是 G的子群， H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E 中的运算，（ E，?）是一个代数系统，问（ E，?）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若 <G，*> 是群，则对于任意的a、 b∈ G，必有惟一的 x∈ G使得 a*x ＝ b.2、设 m是一个正整数，利用m定义整数集 Z 上的二元关系： a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群， G有（）个元素，则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（ {2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),)5、设 S3＝ {(1) ， (12) ， (13) ， (23) ，(123) ，(132)} ，那么，在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有（）A、(1) ， (123) ，(132) B 、 12) ，(13) ，(23)C、(1) ， (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的，每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射，a是 A 的一个元，则f1f a---------- .3、区间 [1 ， 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1， S2是 A的子环，则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6.1．求和1；2．确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换.和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A)，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对2、解：设 A 是任意方阵，令 2 ， 2称矩阵，且AB C.若令有AB1C1 ，这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1 ，C C1，所以，表示法唯一.3、答：（Mm，m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G中任意元 x，y，由于(xy)2 e ，所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx（对每个 x，从x2 e 可得 x x 1 ）.2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义，作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、{2} ；6、一一映射；7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： H的 3 个右陪集为： {I,(1 2)} ，{(123) ，(1 3)} ，{(1 32) ，(23)}H的 3 个左陪集为： {I,(1 2)} ，{(1 2 3) ，(2 3)} ，{(1 3 2 ) ，(1 3 )}2、答：（ E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式：a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代： 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的解 .若 x ∈G也是 a*x ＝ b 的解，则 x ＝e*x ＝(a － 1*a)*x ＝a－1*(a*x ) ＝a－1*b ＝ x. 所以， x＝a－1*b 是 a*x ＝ b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= ｛x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可记为a，称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时， Z2 仅含 2 个元： [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一；2、a； 3、 2； 4、 24；5、； 6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法. 用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，等等，可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ，因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 ．(1243)(56) ，1(16524 ) ；2．两个都是偶置换 .四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a 0，由理想的定义a 1a 1，因而R的任意元b b ?1这就是说=R，证毕 .2、证必要性：将 b 代入即可得 . 充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1.。

一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集〔 〕是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统〔G ，*〕中，〔 〕不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，以下哪种运算是可结合的？〔 〕A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=〔12〕〔23〕〔13〕，2σ=〔24〕〔14〕，3σ=〔1324〕，则3σ=〔 〕 A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它〔 〕。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶假设是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、假设映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21Λ和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯Λ21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同；②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯Λ21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a +=ο； ②在有理数集Q 上，ab b a =ο；③在正实数集+R 上，b a b a ln =ο；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -=ο。

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

安徽大学2008—2009学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、模n 的同余关系是一个等价关系．2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个群．3、x <>是[]Z x 的一个极大理想．4、在同态映射下，正规子群的象是正规子群．5、数域F 上的多项式环[]F x 是一个欧氏环．二、计算分析题1、设两个六次置换：(134652)σ=，(1235)(46)τ=计算：στ，2τσ，1τστ-．2、求剩余类环12Z 的所有可逆元和所有子环．3、在8Z 中计算：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例）1、环的素理想而非极大理想；2、环和其一个子环均有单位元，但二者不相等；3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明在一个有限群中：1) 阶数大于2的元素的个数一定是偶数；2) 偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数．2、设H G ≤，证明：对1,a G aHa G -∀∈≤且1aHa H -≅．3、证明：对集合2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．4、设R 是一个无零因子的环，且1R >．则1）R 中所有非零元素（对加法）的阶均相同；2）若R 的特征有限，则必为素数．5、设,H K 是群G 的两个正规子群，证明：1）如果GH 与G K 都是交换群，则G H K 也是交换群； 2）若H K = {}e ，证明：H 与K 中元素相乘时可交换．6、环R 的一个理想N 叫做诣零的，如果对a N ∀∈，均存在n Z +∈，使得0n a =，证明：1) 若N 是R 的诣零理想，则R 是诣零的RN ⇔是诣零的；2) 环R 的两个诣零理想之和仍为诣零理想．安徽大学2009—2010学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、设:X Y ϕ→为一个映射，A 是X 的一个非空子集，则1(())A A ϕϕ-=．2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个半群．3、整数环的全部素理想是由所有素数p 生成的主理想p <>和自己本身．4、若,H G K G ≤≤，则HK G ≤．5、域是一个欧氏环．二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1、给出剩余类环12Z 的所有素理想和极大理想．2、设(143)(45)(26)τ=，7(267)(43)S σ=∈，1) 求τ，σ的阶； 2) 计算1?στσ-=， 1?στσ-=．3、求多项式321x x x +-- 在8Z 中的所有根．三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例）1、除环而非域；2、群的正规子群而非特征子群．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明：1) 若环R 有正则元，则全体正则元对乘法作成一个半群；2) 环R 的元素0a ≠是正则元当且仅当由0axa =可得0x =．2、设,H K 是群G 的两个正规子群，且二者的交为{}e ．证明：H 与K 的元素相乘时可换．3、设G 是一个群，,a b G ∈，11a b ab --称为,a b 的换位元，记作[],a b ．由G 的全体换位元生成的群称为G 的换位子群，记作G '．证明：1) G '是G 的正规子群；2) 设N G ，则G N 是交换群G N '⇔≤4、设,a b 是群G 中阶分别为m 与n 的两个元素．证明：若ab ba =，[] ,ab m n ，其中[],m n 为m 与n 的最小公倍数, 并证明G 中有阶为[],m n 的元素．5、证明：Gauss 整环[]Z i 是一个欧氏环．6、设R 是一个阶大于1且有单位元的可换环．证明：R 是域⇔R 到任意环的非零同态都是单的．。

近世代数试题一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。

A、aB、 a,eC、 e,a 3D、 e, a,a 32、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法B、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法D、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3 =（）A、2 B 、12 D 、2112C 、25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4的阶等于 ------。

4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----a, a1,, an使得n8、a 是代数系统( A,0)的元素，对任何x A均成立x a x，则称 a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。

安徽大学2020-2021学年第一学期软件工程专业近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A ×B中含有（）个元素。

A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射ϕ：x→x＋2，∀x∈R，则ϕ是从A到B的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。

A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m，n∈Z，m n＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m，n∈Z，m n＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A 的一个等价关系。

7.设(G，·)是一个群，那么，对于∀a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于∀a∈G，则元素a的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。

.....一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)在每题列出的四个备选项中只有一个是切合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。

A、aB、 a, eC、 e,a 3D、 e, a, a32、下边的代数系统（ G，* ）中，（）不是群A、G 为整数会合， *为加法B、 G 为偶数会合，*为加法C、G 为有理数会合，*为加法D、G 为有理数会合，*为乘法3、在自然数集 N 上，以下哪一种运算是可联合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3是三个置换，此中1 = （12 ）（ 23）（ 13），2 = （24）（ 14），3=（1324），则3 =（）A、 2B、12C、 2D、 2 11 25、随意一个拥有 2 个或以上元的半群，它（）。

A、不行能是群B、不必定是群C、必定是群D、是互换群二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分 )请在每题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ----------同构。

2、一个有单位元的无零因子----- 称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4的阶等于 ------ 。

.....4、a 的阶假如一个有限整数 n，那么 G 与------- 同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=----- 。

6、若映照既是单射又是满射，则称为-----------------。

7 、叫做域 F 的一个代数元，假如存在 F 的----- a, a1,,an使得n0 。

a0 a1 a n8 、a是代数系统( A,0)的元素，对任何 x A 均成立x a x ，则称 a 为--------- 。