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第三节有效数字及其运算规则

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有效数字及运算法则

有效数字及运算法则

（2）计算不确定度 N
N
0.01 0.2 0.004 A B C N A B C 3.21 6.5 21.843
2 2 2 2 2 2
3.21 6.5 = 21 – 3.21 – 6.5
–
–
–
20.865
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
试确定N的有效数字。
解：
（1）先计算N
3.21 6.5 N 0.957 cm 21.8
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
50.00 2.0 = 100 1.00 2 1.010 = 100 = 1.0
2 10.0 lg100.0 27.3211 27.31
35
=
100 2.0000 35 0.01
2104 35 = =
4 210
试用有效数字计算结果：
（1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000

2 65
2 N 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm

有效数字

有效数字
2．根据有效数字的规定，凡是仪器上读出的数值，有效数字中间与末尾的 0，均应 算作有效位数。例如，6.003 cm , 4.100 cm 均是四位有效数字；在记录数据中，有时因 定位需要，而在小数点前添加 0，这不应算作有效位数，如 0.0486 m 是三位有效数字而 不是四位有效数字，有效数字中的 0 有时算做有效数字，有时不能算做有效数字，这对 初学者也是一个难点，要正确理解有效数字的规定。
一、有效数字的概念 任何一个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么一个物理量的数值 就不应当无止境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能比较真实的表达物理量。 因此，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效 数字的概念。若用最小分度值为 1mm 的米尺测量物体的长度，读数值为 5.63cm。其中 5 和 6 这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。 末尾数字 3 是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。虽 然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使 测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当保留到这一位是合理的， 即使估计数是 0，也不能舍去。测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字，故测量数 据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个 数叫做有效数字的位数，如上述的 5.63cm 称为三位有效数字。 有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。因此，用以表 示小数点位置的 0 不是有效数字。当 0 不是用作表示小数点位置时，0 和其它数字具有 同等地位，都是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面 的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位 数。如 0.0135 m 是三位有效数字，0.0135m 和 1.35cm 及 13.5mm 三者是等效的，只不 过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m 是四位有效数字。从有效 数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如 0.0135m 是用最小刻度为毫米的尺 子测量的，而 1.030m 是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌握有效数字的 概念对物理实验来说是十分必要的。 二、直接测量的有效数字记录 物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读 出，并记录下来。仪器上显示的最后一位数字是 0 时，此 0 也要读出并记录。对于有分 度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。在记录直接测量的

第三节有效数字及其运算规则

第三节有效数字及其运算规则

有效数字运算规则
2014-6-19
Analytical chemistry
用氢氧化钠测定阿司匹林的含量称取阿司匹林04015g用已经标定好的氢氧化钠滴定液01025moll滴定终点时用去氢氧化钠滴定液2278ml空白实验用去006ml氢氧化钠已知每11毫升的氢氧化钠滴定液01moll相当于1802mg的乙酰水杨酸计算实测供试品阿司匹林的含量
第三节 有效数字及运算规则
第三节 有效数字及运算规则
的有效数字位数。 例： 60.064 5.103 0.0325÷139.82
先修约再运算：0.0712
√ 先运算再修约：0.0713药检实例：例题：用氢氧化钠测定阿司匹林的含量,称取阿司匹林 0.4015g, 用已经标定好的氢氧化钠滴定液(0.1025mol/L) 滴定, 终点时用去氢氧化钠滴定液22.78mL, 空白实验用去 0.06mL氢氧化钠, 已知每1毫升的氢氧化钠滴定液 (0.1mol/L)相当于18.02mg的乙酰水杨酸, 计算实测供试品 （阿司匹林）的含量。
2. 有效数字位数的确定
（1） 数据中的零
双重作用：
① 数字中间和数字后边的“0”都是有效数字 4位有效数字： 5.108， 1.510 ② 数字前边的“0”都不是有效数字
3位有效数字： 0.0518 ，5.1810-2
注
意：
对于较大和较小的数据，常用10的方次表示
例：1000mL,若有3位有效数字，可写成1.00103mL
有效数字 有效数字的修约规则 有效数字的运算规则
药检中的有效数字应用
一、有效数字（ Significant figure）
1. 概念 有效数字指实际能测量到的数字，其位数包括所有 的准确数字和最后的一位可疑数字。

有效数字及其运算规则

有效数字及其运算规则
1.有效数字的加减
的必要。
在上面两例中，我们按数值的大小对齐后相加或相减，并以其中可疑位数最靠前的为基准，先进行取舍，取齐诸数的可疑位数，然后加、减，则运算简便，结果相同。
2.有效数字的乘除
点后面是可疑数字，允许有所不同。
从以上两例中可得如下结论：诸量相乘或相除，以有效数字最少的数为标准，将有效数字多的其它数字，删至与文相同，然后进行运算。最后结果中的有效数字位数与运算前诸量中有效数字位数最少的一个相同。
2.确定测量结果有效数字的基本方法
(1)仪器的正确测读
仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
4.数值表示方幂来表示其数量级。前面的数字是测得的有效数字，并只保留一位数在小数点的前面。如×105m×10-3kg等。
二、有效数字的运算规则
在有效数字的运算过程中，为了不致因运算而引进误差或损失有效数字，影响测量结果的精确度，并尽可能地简化运算过程，因此，规定有效数字运算规则如下(例中加横线的数字代表可疑数字)：
有效数字及其运算规则
§ 有效数字及其运算规则
一、有效数字的一般概念
1.有效数字
任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。例如，的有效数字是三位，是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。

有效数字处理..PPT

有效数字处理..PPT
④ 若第一位数（不为零数）8，在使用时可多看 作一位有效数字，如8.93可看做四位有效数字。
第三节 有效数字及其运算规则
二．有效数字的表示规则
① 一切直接测量值或由此计算的数值都是有效数 字，有效数字的位数与仪器的准确度相适应。
使用仪器 精度 正确记录 有效数字
移液管 ±0.01ml 25.00ml
b.乘除法 在几个数据的乘除运算中，所得结果
的有效数字的位数取决于相对误差最大的 那个数。
ห้องสมุดไป่ตู้
第三节 有效数字及其运算规则
例如：
3.261×10 -5 ×) 1.78
5.804 58×10 -5
↓
5.804×10 -5
相对误差 ／%
0.03 0.6 0.0002
0.2
第三节 有效数字及其运算规则 三．有效数字的运算规则
在运算中弃去多余数字时，应以“四舍六入五 成双”的原则决定进位或弃去。
几个数相加减时，保留有效数字的位数，决定 于小数点后位数最少的一个数，也就是绝对误 差最大的一个数。
第三节 有效数字及其运算规则 三．有效数字的运算规则
几个数相乘除时，保留有效数字的位数，决定 于有效数字位数最少的一个数，也就是相对误 差最大的一个数。
c.计算过程中应注意
1.自然数、分数、倍数不是测量来的，其有效数字位 数可看作不确定。如n(Fe)=6n(K2Cr2O7)中的6倍或 其有效数字可看成任意位的。
2.某一数据中第一位有效数字大于或等于8，则有效 数字可多算一位。如8.34虽只3位，但可看作4位有 效数字。
第三节 有效数字及其运算规则 三．有效数字的运算规则
如10.06 mL，两个零都是测量得来的，这个 数字含有4位有效数字。

第三节 有效数字

第三节 有效数字
不确定度用σ 不确定度用σ表示
误差以一定的概率被包含在量值范围 (σ ~ +σ )中 真值以一定的概率被包含在量值范围 ( N σ ) ( N + σ ) 中
σ的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度。 的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度。
二、不确定度的分类
A类不确定度S： 类不确定度S
可以通过统计方法来计算(如偶然误差)
是表示多次测量中每次测量值的分散程度小表示每次测量值很接近反之则比较分散它随测量次数n的增加变化很是表示平均值偏离真值的多少小接近真值反之大远离真值随着n的增加的大小收敛得很快
误差的估计——标准偏差 二、误差的估计 标准偏差
高斯分布 为有限时， 当测量次数n为有限时，多次测量中任 意一次测量的标准偏差
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时， 数据过大或过小时，可用科学表达式
某电阻值为20000 （ 欧姆） 某电阻值为 20000（ 欧姆 ） ， 保留三位有 20000 00× 效数字时写成 2.00×104 又如数据为0.0000325m ， 使用科学记数 又如数据为 0 0000325m 法写成3 25× 法写成3.25×10-5m 这种指数形式的书写法称为科学记数法。 这种指数形式的书写法称为科学记数法。
注意:如果误差不知道或不确定时， 注意 如果误差不知道或不确定时，可读到仪器最小 如果误差不知道或不确定时 分度的下一位，若知道误差时，就不能这样读了。 分度的下一位，若知道误差时，就不能这样读了。
（1）用米尺测长度
当物体长度在24㎜ 25㎜之间时， 当物体长度在24㎜与25㎜之间时， 24 24.X㎜ 读数为24.X 读数为24.X㎜
电表的最大误差 = 级别 % 电表的满量程
C.未给出仪器误差时 C.未给出仪器误差时 如米尺。 连续可读仪器 最小分度的一半 如米尺。 如游标类、数字式仪表。 非连续可读仪器 最小分度 如游标类、数字式仪表。

有效数字及其运算规则

有效数字及其运算规则一、测量结果得有效数字1.有效数字得定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位得可疑数字统称为测量结果得有效数字。

有效数字具有以下基本特性:(1)有效数字得位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量得大小有关。

对于同一被测量量,如果使用不同精度得仪器进行测量,则测得得有效数字得位数就是不同得。

例如用千分尺(最小分度值,)测量某物体得长度读数为。

其中前三位数字“”就是最小分度值得整数部分,就是可靠数字;末位“"就是在最小分度值内估读得数字,为可疑数字;它与千分尺得在同一数位上,所以该测量值有四位数字、如果改用最小分度值(游标精度)为得游标卡尺来测量,其读数为,测量值就只有三位有效数字。

游标卡尺没有估读数字,其末位数字“"为可疑数字,它与游标卡尺得也就是在同一数位上。

(2)有效数字得位数与小数点得位置无关,单位换算时有效数字得位数不应发生改变。

2、有效数字与不确定度得关系在我们规定不确定度得有效数字只取一位时,任何测量结果,其数值得最后一位应与不确定度所在得那一位对齐、如,测量值得末位“”刚好与不确定度得“"对齐。

由于有效数字得最后一位就是不确定度所在位,因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值得不确定度(或误差限值)。

测量值得有效数字位数越多,测量得相对不确定度越小;有效位数越少,相对不确定度就越大。

3.数值得科学表示法二、有效数字得运算规则１.数值得舍入修约原则测量值得数字得舍入,首先要确定需要保留得有效数字与位数,保留数字得位数确定以后,后面多余得数字就应予以舍入修约,其规则如下:(１)拟舍弃数字得最左一位数字小于5时,则舍去,即保留得各位数字不变。

(2)拟舍弃数字得最左一位数字大于5,或者就是５而其后跟有并非0得数字时,则进１,即保留得末位数字加１。

(3)拟舍弃数字得最左一位数字为5,而5得右边无数字或皆为0时,若所保留得末位数字为奇数则进1,为偶数或0则舍去,即“单进双不进”。

有效数字及其运算规则

有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。

有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。

例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。

其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。

如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。

游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。

也是在同一数位上。

（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。

2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。

如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。

”对齐。

由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。

测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。

有效数字及其运算规则案例


例：5.0643, 0.3746 ， 0.3745, 0.3735 均修约至 三位有效数字
5.0643
5.06
0.3746
0.375
0.5645 0.3735
0.564 0.374
四 舍 被修约的那个数字小于或等于4时，舍去
六
入
被修约的那个数字大于或等于6时，进位
五
成 双
被修约 的数字 为5时
当5的前一位为奇数时，进位 当5的前一位为偶数时，舍去
（0.0217×0.01211）9
+4×14.0067+4×15.9994
（8）（97.70 ÷32.44×100.0 +36.04） ÷687.0
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
（1）0.0251
（2）0.2180
（3）1.8×10-5
（4）pK＝2.55
（5）6910
（6）20.37
5.用正确的有效数字表示下列测量结果
（1）用称量绝对误差为10mg的天平称30g 重
（2）用最小刻度为mm的刻度尺测量25cm 长
（3）用称量绝对误差为0.1mg的分析天平 称出15g重
6.根据有效数字运算规则，计算下列各式： （1）135.621+0.33+21.2163 （2）0.4112×0.6773×9.72 （3）18.5312×0.077×42.00 （4）0.1045×25.00÷ 26.77 （5）9.827×50.62 ÷0.005164 ÷136.6 （6）（4.276×4.27+1.17×10－2）－

第三节 有效数字


B 1.234 0.003cm 2 , C 5.43 0.06cm 2 试确定N的有效数字。 解： （1） N 62.5 1.234 5.43 58.304( cm 2 ) （2）求出N的不确定度 N
N
2 A 2 B 2 C 2 A
2
2.偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对不确 定度等，所有位数都是可疑的，没有可靠位数，只 有可疑位数，都是一位有效数字。实际应用中，为 了减少计算误差，一般用两位可疑数字数字表示， 但有效位数仍是一位。
σ决定N的有效位数
N N (单位)
b 20.02 0.01cm 2 a 10.0 0.1cm
这是因为误差所在位不同，既准确度是不同的.
1.关于“0”的有效问题
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字 0.123cm 、 0.0123dm 、0.00123m 如：
均是3位有效数字。
注意：进行单位换算时，有效 数字的位数不变.(指十进制)
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可用科学表达式
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则：
如果误差不知道或不明确时，可读至仪器最小分度 的下一位；如果误差已知，读至产生误差的那一位。
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
(2)指数函数
10x 或 ex 的位数和 x 小数点后的位数 相同（包括紧接小数点后面的0）
例 11
6.25 10 =1778279.41 6 1.810
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准确数字
可疑数字 绝对误差 相对误差
0.19% 实际数据范围 51.8 0.1
3. 在0 ～ 9中，只有“ 0 ”既是有效数 字，又是无效数字(双重意义)
例： 0.06050 四位有效数字
定位 有效位数
例：3600
3600 → 3.6×103
有效数字位数不确定
两位
3600 → 3.60×103
3.某试样经分析测得含锰的质量分数（％） 为：41.24，41.27，41.23，41.23，求分 析结果的平均偏差，标准偏差和变异系 数。
4.下列数据包含几位有效数字，若有效数 字位数大于两位的请修约为两位 （1）0.0251 （2）0.2180 （3）1.8×10-5 （4）pK＝2.55 （5）6910 （6）20.37
(× )
5 0.1
1.45
+ 0.5812
52.1
5 2. 1312
(√ )
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准 （即以 绝对误差最大的数为准）
例： 10.5 + 0.145 + 1.325 5 = ？
Ea ±0.1 修约后 10.5 ±0.001 + 0.1 ±0.0001 + 1.3 =11.9 11.9 保留三位有效数字
51.8
这两个数是一样的吗?
51.80
第三节 有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测量得到的数字 1. 有效数字由其前面的所有准确数字和 最后一位可疑数字构成
例 ： 滴 定 读 数 20.30mL ， 四 位 有 效 数 字 , 其 中 “20.3”是准确数字,最后一位“0”是可疑的,
20 .3
0
准确数字 ,可疑数字
准确数字 ,可疑数字
5 .18
2
2.有效数字既表示数量的大小，又反映 测量的精确度
例如： 数据 有效数字位数 51.8 三位 51 8 0.1 51.80 四位 51.8 0 0.01 0.019% 51.80 0.01 51.800 五位 51.80 0 0.001 0.0019% 51.800 0.001
（7）58.69+8×12.01+14×1.0079 +4×14.0067+4×15.9994 （8）（97.70 ÷32.44×100.0 +36.04） ÷687.0
说明: 以有效数字位数最少的数为准 把其他数据修约为相同位数
小测
1.一个分析工作者获得3个极接近的平行测 定的结果，问可能得出下面什么结论： （1）偶然误差很低 （2）系统误差很低 （3）所用试剂很纯 （4）平均值是准确的
2.若分析结果的精密度很好，准确度很差， 可能是下面哪几种原因造成的： （1）操作中未发生机械损失（如溶液溅出） （2）使用为校正的砝码 （3）称样量记录有差错 （4）使用试剂不纯
3600 → 3.600×103
三位
四位
1.0004; 1.4000; 10.400
0.4000; 24.05%; 6.026× ×102 0.0360; 0.00360 0.0025; 0.30% 0.5; 30000 0.005%
五位有效数字
四位有效数字 三位有效数字 二位有效数字 一位有效数字 有效数字位数不确定
当5的前一位为奇数时，进位 当5的前一位为偶数时，舍去
2．只能对数字进行一次性修约
例：6.549, 2.451 一次修约至两位有效数字
6.549 2.451
6.5 2.4
判以下的修约过程是否正确(修约至四位)
18.4546 18.455 18.46 (× )
三、有效数字的运算法则
请同学们计算
50.1 + 1.45 + 0.5812 = ？ 52.1312
5.用正确的有效数字表示下列测量结果 （1）用称量绝对误差为10mg的天平称30g 重 （2）用最小刻度为mm的刻度尺测量25cm 长 （3）用称量绝对误差为0.1mg的分析天平 称出15g重
6.根据有效数字运算规则，计算下列各式： （1）135.621+0.33+21.2163 （2）0.4112×0.6773×9.72 （3）18.5312×0.077×42.00 （4）0.1045×25.00÷ 26.77 （5）9.827×50.62 ÷0.005164 ÷136.6 （6）（4.276×4.27+1.17×10－2）－ （0.0217×0.01211）
说明: 以小数点后位数最少的为标准, 把其他数据修约为同样小数点位数
2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准 （即以相对误差最大的数为准）
例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = ？
修约后: 0.0121 × 25.6 × 1.06 = 0.328
0.328
保留三位 有效数字
Ea ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 Er ±0.8% ±0.4% ±0.009%
4．单位变换不影响有效数字位数
例： 10.00 mL 0.01000 L 0.0250 g
25.0
mg
5.当需要在数的末尾加“0”作定位时, 最好采用指数形式表示
例: 0.250 g 2.50× 10
2
mg
3
3.05 L
3.05 ×10
mL
7．结果首位为8和9时，有效数字可以 多计一位
例：90.0% ，可视为四位有效数字
二、有效数字的修约规则
1．四舍六入五成双
例：5.0643, 0.3746 ， 0.3745, 0.3735 均修约至 三位有效数字 5.0643 0.3746 0.5645 0.3735
5.06 0.375 0.564 0.374
四 舍 六 入 五 成 双
被修约的那个数字小于或等于4时，舍去 被修约的那个数字大于或等于6时，进位 被修约 的数字 为 5时