积分变换复习提纲(总结)

复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

δ (t) f (t)dt = (−1) f (0)
(n) n (n)
函数的傅氏变换为: ∗δ-函数的傅氏变换为:
F(ω) = F[δ (t)] = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt +∞
dt = e
− jωt t =0 − jωt
=1
− jωt0
F[δ (t −t0 )] = ∫ δ (t −t0 )e
F−1[αF (ω) + β F2 (ω)] = α f1(t ) + β f2 (t ) 1
2)位移性质 2)位移性质
F[ f (t ± t0 )] = e± jωt0 F[ f (t )] F−1[F(ω m ω0 )] = e± jω0t f (t )
3)微分性质 3)微分性质
d F[ f ′(t )] = jωF[ f (t )], F(ω) = F[− jtf (t )] dω dn F[ f (n) (t )] = ( jω)n F[ f (t )], n F(ω) = (− j)n F[t n f (t )] dω
Dirichlet积分
Fourier积分定理 *Fourier积分定理 若f(t)在(-∞, +∞)上满足条件: 1、f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2、f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有 1 +∞ ∞ − jωτ ejωt dω f (t) = ∫−∞ ∫−∞ f (τ )e dτ 2π 成立 而左端的f (t)在它的间断点处 应以 , t ,
f (t + 0) + f (t − 0) 来代替 . 2
Fourier变换 2、 Fourier变换
若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则 在f(t)的连续点处, 有 ∞ − jωt F(ω) = ∫ f (t)e dt = F[ f (t)] −∞ f (t ) 的Fourier变换式 变换式 1 +∞ f (t) = F(ω)ejωt dω = F−1[F(ω)] ∫−∞ 2π

解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,

cn 是 c
cn 为边界的区域全含于 D 内，则

c
f z dz f z dz,
k 1 ck
n
其中 c 与 ck 均取正向；
1
②
f z dz 0 ，其中 由 c 及 c

(k 1, 2,
n) 所组成的复合闭路。
4
3．闭路变形原理 ：
一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
y 之间的关系如下： x y 当 x 0, arg z arctan ； x
y 0, arg z arctan 当 x 0, y 0, arg z arctan
y x ； y x
4）三角表示： z z cos i sin ，其中 arg z ；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示： z z e ，其中 arg z 。
6 ．高阶导数公式：解析函数 f z 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为

f z 2 i n dz f z0 n 1 c (z z ) n! 0
(n 1, 2 )
其中 c 为 f z 的解析区域 D 内围绕 z 0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于 D 。 7．重要结论：
bz
。
eiz eiz eiz eiz sin z cos z , cos z , t gz , ctgz 2i 2 cos z sin z
sin z, cos z 在 z 平面内解析，且 sin z cos z, cos z sin z
5

复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

西南交大复变函数与积分变换复习提纲一． 复变函数1. 复数（1）复数的运算例 ()()()()11031(1)1324,(2),(3)1,(4)11i i i i i i-+++++. （2）区域、单连通、多连通区域的判断2. 解析函数（1）解析函数的概念：函数在区域内解析、函数在某一点解析、奇点。

（2）函数解析的判断：Cauchy-Riemann 条件、导数公式。

例 判断函数2(z)f x y ixy =+ 在何处可导？何处解析？例 找出函数的奇点 2sin (1)(z 1)e zz + ，(2)sin z e z π. （3）初等函数例 计算下列表达式的值()99312(1)e ,(2)ln 1i)i i π+++ . 3.级数（1）级数敛、散性的判断例 判断下列级数是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。

()()3211111222(1),(2),(3),,!n nn n n n n n i i in i n n n n ∞∞∞∞====+++∑∑∑∑（2）幂级数的收敛：Abel 定理、收敛半径例 计算幂级数的收敛半径()()()110(1)(1)1,(2),(3)312121!nn n n n n n i z z n z n n +∞+∞+∞===-++++∑∑∑. （3）函数的幂级数展开：Taylor 级数、Laurent 级数例 将函数在指定点展开成幂级数12321,0,1,1(z 1)z z z z ==-=+. 例 将函数在指定的圆环域内展开成Laurent 级数21(z),(1)12,(2)013,(3)2 3.(z 1)(z 2)f z z z =<<<+<->+- 4.复变函数的积分（1）基本积分公式:[](),()()()z z t t C f z dz f z t z t dt αββα=≤≤'=⎰⎰.例 计算复积分的值,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.（2）Cauchy 积分定理（单连通、多连通）、积分与路径无关、Cauchy 积分公式、高阶导数公式例 复积分299cos 12sin(z 1)(z 1)e zz dz =++⎰的值等于？ 例 计算复积分的值2,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.例 计算复积分()24cos (z )z z dz z i π=++⎰的值.（3）留数：孤立奇点的类型、极点的级数、孤立奇点处留数的计算（重点：m 级极点处留数的计算）、留数定理、利用留数计算复积分和定积分.例 判断下列函数的孤立奇点的类型，如果是极点请指明极点的级数.12100sin 1(1),(2),(3)e (1)z z z z e z z z+-+ 例 计算下列复积分的值 223211(1),(2)tan ,(3)sin z (z 1)1z z z z e z dz zdz dz z z π===-+-⎰⎰⎰ 例 计算下列定积分的值2240011(1),(2)2sin 1x dx dx x x π+∞+++⎰⎰ 二． 积分变换1.Fourier 变换（1）Fourier 的定义、Fourier 变换的计算、函数的Fourier 积分表达式、δ函数的筛选性.例 (),kt f t e k -+=∈R 计算函数的Fourier 变换[]()f t F. 例 2(t 2)e ?t dt δ+∞--∞-=⎰（2）Fourier 变换的性质：线性性质、平移性质、伸缩性质、对称性质、微分性质、积分性质及Paeseval 等式.例 计算Fourier 变换：12[]t te+-F . 例 计算积分2212dt t +∞-∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰ 的值. （3）卷积（Fourier 变换意义下）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理例 设20,0,sin ,0,(t),(t),00, t t t t f g e t π-<≤≤⎧⎧==⎨⎨≥⎩⎩其它.计算卷积(t)g(t)f *.place 变换（1） Laplace 变换的定义、计算.例 设3,02,(t)1,24,0, 4.t f t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩计算Laplace 变换[()]f t L .（2） Laplace 变换的性质：线性性质、微分性质、积分性质及位移性质. 例 计算Laplace 变换202[]tx xcos x dx e ⎰L ,22002[t ],[2]t t t x cos x dx e xcos xdx e⎰⎰L L . （3） 利用Laplace 变换计算定积分.例 计算定积分的值20sin (1)cos ,(2)x xx x xe dx dx xe +∞-⎰⎰. （4） 卷积（Laplace 变换意义）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理. 例 计算如下卷积(1)t cos2t,(2)sint cost,(3)e cos t t ***.。

复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。

2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。

t 0
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部 分分式法、查表法等.
六. 拉氏变换的卷积与卷积定理 (1).定义： f1 (t ) f2 (t ) 0 f1 ( ) f2 (t )d
t
(2)拉氏变换的卷积定理 若 ℒ f1 (t ) F1 (s), ℒ f 2 (t ) F2 (s), 则
f2 (t )
则
1 F f1 (t ) f 2 (tBiblioteka ) F1 ( ) F2 ( ) 2
六、微分、积分方程的Fourier变换解法 象原函数 (方程的解)
象函数
取Fourier逆变换
解代数 方程 微分积分方程 象函数的 代数方程
取Fourier变换
第二章 拉普拉斯变换
一. 定义式
2）. 位移性质:
（1）象原函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), t 0 为实常数,则
F
f (t t0 ) ei t0 F ()
（2）象函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), 0 为实常数,则
1
F
F ( 0 ) f (t )ei0t
n (n)
t
设F [ f (t )] F ( )，若 tlim f (t )dt 0, 则
F [
t
1 f (t )dt ] F ( ) . i
五.卷积的概念 1.定义： 若函数 f1 (t ),
f 2 (t ) 定义在 , 上,

函数 f1 (t ), f 2 (t ) 的卷积, f1 (t ) f2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
(n)

其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。 21
主要内容
复 变
四、计算定积分
函 数 与
3. I P( x) eiaxd x (a 0)
Q( x)
积
分 要求 (1) P(x) , Q(x) 为多项式，
变 换
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,
复 习
幂函数 w z e Lnz .
求导公式
f
( z )
u x
i
v x
.
28
主要内容
复 变
七、其它
函 数
柯西积分定理 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续，
与
积 分
则 C f (z)dz 0.
变
换 柯西积分公式 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续， 复
习
则
f (z)
积
分
的展开区域 )分为若干个解析环。
变
换 复
比如 设函数的奇点为 z1, z2 , z3 ,
习
展开点为 z0 , 则复平面
被分为四个解析环：
z1 r2 r1 z2 z0 r3
z3
16
主要内容
复 变
三、利用留数计算闭路积分
函 数
1. 计算留数
与 积
法则 若 z0为 f (z) 的 m 级极点，则
分
变
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
方法 设 R(z) P(z) , Q(z)
则 I
P( x) eiaxd x
Q( x)
2πi
k
Res[ R(z) eia z , zk ].

一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。

积分变换文字总结第1篇我们称 \mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}\mathrm{d}t为拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一个特殊的傅里叶变换。

我们可以直接有定义得出：\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]我们有：拉普拉斯变换也满足如下几个性质：这个微分性质可以用来求一些特殊函数的拉普拉斯变换，比如：f(t)=e^t\Rightarrow f(0)=1,f'(t)=e^t\Rightarrow\mathcal{L}[e^t]=s\mathcal{L}[e^t]-1\Rightarrow(s-1)\mathcal{L}[e^t]=1 所以 \mathcal{L}[e^t]=\frac{1}{s-1}积分性质也能得到一个非常重要的计算反常积分的方法：\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_0^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\mathrm{d}t=\int_s^{+\infty}F(s')\mathrm{d}s' 取 s=0 有我们还有性质:我们可以由位移性质得到一个比较重要的拉普拉斯变换}}：\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s+a}]=\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{s-1+(1+a)}]=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{[s-(-1-a)]-1}\}=e^{-(1+a)t}e^t=e^{-at}即： \mathcal{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}不同于傅里叶变换，我们并没有直接给出拉普拉斯逆变换的公式，不过我们说过有\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}] 所以我们可以得到：注意奇点和所要用的函数并不一样！我们可以用此性质来求微分方程：如： y''+2y'-3y=e^{-t}，y(0)=0,y'(0)=1令 \mathcal{L}[y(t)]=Y(s)\Rightarrow s^2Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=\frac{1}{s+1}\Rightarrow Y(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s-1)(s+3)}\Rightarrow...剩下的就很好处理了。

复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。

V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。

s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。

积分变换复习提纲（20学时）——基本内容第一章 Fourier变换（一）目的与要求1．熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；2．了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义-频谱，卷积与卷积定理,单位脉冲函数的性质；3．掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法,Fourier变换与逆变换的性质。

（二）教学内容第一节Fourier积分1．主要内容：傅里叶积分。

2．基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。

3．问题与应用(能力要求)：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理.第二节Fourier变换1．主要内容：傅里叶变换.2．基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。

3．问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念,了解单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。

第三节Fourier变换的性质1．主要内容：傅里叶变换的性质。

2．基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。

3．问题与应用(能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换与逆变换的求法。

第四节卷积与相关函数1．主要内容：卷积与相关函数。

2．基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。

3．问题与应用(能力要求)：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。

第五节Fourier变换的应用1．主要内容：Fourier变换的应用。

2．基本概念和知识点:微分方程的Fourier变换解法。

3．问题与应用（能力要求)：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。

（三）课后练习；31），3);4；习题二1;31)；7；9；12；习题三2；3；4；7；8;10;112)，习题一21）2）；习题四16) 8)；2;52) 4）5）6).习题五1；2;32);42）。

复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。

(t) 与 1 ;
1 与 2 π () ;
ei 0 t 与
ut 与
cos0 t 与 sin 0 t 与
2 π (- 0 ) ; 1 π () ; i
π[ ( - 0 ) ( 0 )] ;
i π[ ( + 0 ) ( 0 )] .
F s f (t)est d t 0
L (t) 1
F () f (t) e-it d t,
当k(t, s) est ,(s iw为复变量),(a,b)为(0, )时 Laplace变换
F s f (t)est d t 0
Fourier变换
Laplace变换
f (t) 1
Байду номын сангаас2π
f
( )
e-i
d
ei t
d,
F s f (t)est d t 0
象原函数
积分逆变换
（微分、积分方程的解）
象函数 Y(w)/Y(s)
解代数方程
微分、积分方程
积分变换
象函数Y(w)/Y(s) 的代数方程
F
f1(t)
f2 (t)
1 2π
F1()
F2 ().
L f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s) L 1 F1(s)F2 (s) f1(t) f2 (t)
Fourier积分定理中，满足时域中的卷积对应频域中的乘积
1 利用卷积定理方法；
2 利用留数方法；
f (t) 1
2 πi
积分变换：通过积分运算，把一个函数转换为另一个函数的变换。
b
F ( ) a f (t)k(t, )d t
实质：把某函数类A中的函数f(t),通过上述积分运算转换为另一函数类

积分变换公式知识点总结一、积分变换的概念积分变换是微积分学中的一个重要概念，它是对函数进行变换的一种方法，通过对函数进行积分变换，可以得到原函数的一些新的性质和特征。

积分变换被广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。

二、常见的积分变换公式1. 恒等式公式1）积分的线性性质：若f(t)和g(t)都在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b]（af(t) + bg(t)）dt = a∫[a, b]f(t)dt + b∫[a, b]g(t)dt。

2）区间可加性：如果函数f(t)在区间[a, c]上可积，那么f(t)在区间[a, b]和区间[b, c]上都可积，并且有∫[a, c]f(t)dt = ∫[a, b]f(t)dt + ∫[b, c]f(t)dt。

3）可积函数的基本性质：若函数f(t)在区间[a, b]上可积，那么f(t)在这个区间的任何子集上也可积，且积分的值是相同的。

2. 基本积分变换公式1）积分的基本性质：∫kf(t)dt = k∫f(t)dt，其中k为常数。

2）换元积分法：∫f(u)du = ∫f(u(t))u'(t)dt。

3）分部积分法：∫udv = uv - ∫vdu。

3. 常用的积分变换公式1）指数函数的积分变换：∫e^x dx = e^x + C。

2）三角函数的积分变换：∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C。

3）对数函数的积分变换：∫1/x dx = ln|x| + C。

三、积分变换的应用1. 信号处理中的应用积分变换在信号处理领域有着重要的应用，特别是在分析和处理一些特殊的信号时，比如正弦信号、脉冲信号等。

通过对这些信号进行积分变换，可以得到它们的频谱特性，从而更好地理解和处理这些信号。

2. 控制系统中的应用在控制系统中，积分变换也有着重要的应用。

例如在PID控制器中，积分环节能够消除系统的静态误差，改善系统的稳定性和精度。