北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。

它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。

本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。

关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。

但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。

虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。

[1]对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数tβ-e（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。

1.2拉普拉斯变换的定义当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。

学院：工学院班级：电气10-1姓名：乔林翰学号：101054118 指导老师：王学顺2011年11月19日北京林业大学工学院电气10-1 乔林翰学号：101054118关键词：傅里叶级数，傅里叶变换，三角级数，周期函数。

摘要：为了研究周期函数，我们可以将其展开为傅里叶级数的形式。

将变为傅里叶级数有利于研究函数在实际中的分析。

此处，我们将以阶跃信号为例，讨论信号的傅里叶级数与傅里叶变换。

正文：1.傅里叶级数在客观世界中，许多运动是周期性的，我们通常用周期函数的形式来描述这些函数，其中最简单的一类就是正弦函数（以简谐运动为例，我们用y=Asin（t+ɸ）对其进行描述，在上式中T（周期）=2/。

y为动点的位置，A为振幅，为角频率，ɸ为初相。

）因此我们就想，是否可以利用n多个正弦函数的叠加来表达相对复杂的周期函数。

非常自然的，我们想到了级数，具体说来就是我们有,很多以T为周期的正弦函数sin（n t+），将这n个正弦函数相加，就构成了可以描述较复杂周期函数f（x）的级数（）利用数学手段，我们可以对它进行变化，使之成为我们容易利用的形式:（）=sin cosn t+cos sinn t令=，=sin=cos，则有此为函数展开的三角级数形式。

在区间]正交，即三角函数系(1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,···cosnx, sinnx···)中任意不同两函数的乘积在区间]上的积分等于0：1.(n=1,2,3,···)2(n=1,2,3,···)3.(k,n=1,2,3,···)–4.(k,n=1,2,3···，k) –5.(k,n=1,2,3,···，k)证明此处省略。

在三角函数系中，两相同函数的乘积在区间的积分不为零。

基于matlab对复变函数与积分变量的研究姓名：徐庆学号：101044113单位：北京林业大学工学院自动化10-1内容摘要：《复变函数与积分变量》这门课程作为自动化专业的专业基础课程，对于后继课程有着极其重要的意义，但在学习过程中，很多量的求解需要繁琐的计算步骤与复杂的计算过程。

同时，作为一种抽象的函数，复变函数一般来说很难用具体图像来描绘其信息。

Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，利用一些编程语句可以很轻松的解决上述问题。

例如，利用matlab可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。

更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。

在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。

在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。

在编程化的语句中，可以对同一类的问题进行统一的解决。

关键字：复变函数积分变量matlab语句运算结果目录1 matlab在复常数中的应用 (4)1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算 (4)1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算 (5)1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算 (7)2.利用matlab对函数进行泰勒级数展开 (8)3 matlab在留数和积分中的应用 (9)3.1利用matlab计算复变函数的留数 (9)3.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分 (10)4 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换 (11)4.1 利用matlab对信号做傅里叶变换 (11)4.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换 (13)5 利用matlab绘制复变函数 (14)1 matlab在复常数中的应用1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算在matlab中，生成复数的形式分为两种：代数形式（如z=x+y*i）与指数形式（如z=r*exp(theta i)，其中r为模长，theta为幅角的弧度值）。

复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。

由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。

文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。

复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。

和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。

复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。

如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。

这个方程是复变函数可导的充分必要条件。

（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。

这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。

（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。

设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。

2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。

（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。

对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。

傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。

傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。

（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。

对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。

拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。

拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。

47关于《复变函数与积分变换》课程的几点教学思考崔晓梅（吉林化工学院 吉林吉林 132022）摘要：针对复变函数与积分课程的重要性，提出几点教学思考。

通过培养学生兴趣、优化教学内容、增加实验提高动手能力和让学生参与教学等方面提高课程的教学效果。

ꢀ关键词：复变函数与积分变换；实验教学；兴趣ꢀ复变函数与积分变换是高校工科某些专业的一门基础必修课，很多课程如工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统与自动控制等等都以复变函数与积分变换为先修课，电工信号等课程更要大量用到积分变换的知识。

而传统的以教师讲课为主的教学中，学生普遍反应难度较高，每节课的授课量较大，教学效果受到极大的制约。

因此教师迫切的需要以现代教研理论为指导，积极尝试新型教学方法、模式，不断优化教学内容，才能激发学生的学习兴趣，建立学生学习的信心，提高学生分析问题、解决问题的能力。

一、培养学生对课程的兴趣无论是什么课程，无论多好的教学模式和老师，首先都应该让学生产生兴趣，因为兴趣是最好的老师。

首先我们应该在第一次课的时候，让学生对复变函数与积分变换有一个正确的认识，让他们觉得这门课有意思、有用，学不好会影响后面专业课程的学习，而不是对一门数学课程的畏惧。

应该给学生讲讲它的背景，发展史等，尤其书上涉及到的重要定理的历史及数学家的故事，如柯西、黎曼等，通过历史故事使学生对定理内容产生好奇心，同时激发了学生的学习兴趣，为后继内容的讲解奠定基础。

在教学过程中渗入课程的应用激发学生兴趣。

复变函数的魅力还在于它广泛的应用。

不仅在数学领域的许多分支用到复变函数的理论，在许多工程领域也大量用到复变函数知识。

在讲共形映射时，可以向学生介绍俄国的茹科夫斯基在设计飞机时，如何通过共形映射研究机翼外部的绕流问题，计算出飞机机翼剖面压力，从而解决了机翼的造型的例子。

如此知识的讲解更加生动有趣，同时培养了学生综合应用的能力。

二、针对不同专业需求优化教学内容以往复变函数与积分变换，我们采用统一教材，相同的授课计划，对不同专业对课程需求差异性没有做深入的思考。

复变函数结课论文——《论复变函数的历史发展及专业应用》复数的概念源于求解方程组的根。

二次、三次代数方程的求根公式中就出现了负数开方的情况。

在16世纪中期，意大利的数学家卡尔丹诺在解三次方程时，首先产生了复数开平方的思想。

在17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。

复变函数论产生于18世纪，由数学家欧拉做出。

同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。

我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，也都达到了当时的国际水平。

复数的一般形式是a+bi，i是虚数单位。

一复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的呢就是欧拉所做的复变函数论了。

解析函数是复变函数中具有解析一类性质的函数，复变函数论就是研究复数域之中的解析函数。

复变函数的许多概念理论等都是实变函数在复数范围内的推广与发展。

所以他们之间有着很大的相似之处。

但复变函数和事变函数也同样有着不同之处。

函数的理论、方法和概念在数学、自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。

能够解决例如流体力学、热学、电磁学和弹性理论值的平面理论等诸多问题，在自然科学和生产技术发展的同时极大的推动了复变函数的发展并丰富了其内容。

我们在学习之中要正确的理解和掌握复变函数的数学概念和方法，逐步培养利用这些方法概念去解决实际问题的能力。

复变函数在很多领域都有非常重要的应用，其涵盖的范围十分广泛，甚至也已用来解决一些复杂的计算问题。

作为最富饶的科学的一类分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。

特别是在解析函数的微分理论（cauchy-riemann方程），积分理论（cauchy积分定理与积分公式），weierstrass的级数理论（taylor级数和laurent级数）等方面的应用。

除了这些之外，在别的领域里面的应用也是非常常见的。

比如说，物理学上有很多的不稳定场，所谓的场就是每点对应的有物理量的一个区域，对他们的计算就是通过复变函数来解决的。

复变函数与积分变换课程教学经验的总结与探讨摘要：本文研究了复变函数与积分变换课程内容与工科相关课程之间的联系，总结了复变函数与积分变换课程的教学现状，针对教学现状中存在的问题提出了几点教学改革上的想法。

关键词：复变函数与积分变换多媒体MatlabMathematic1 引言工科高校所有的数学公共基础课程中，复变函数与积分变换作为最后一门学习的课程，是与各学科专业基础课程紧密联系的一门课程，它是解决诸如流体力学、空气动力学、电磁学、热学及弹性力学中平面问题的有力工具，同时也是研究微分方程、积分方程、数学物理方程、积分变换等数学分支的必要工具，更是学习自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课的理论基础[1-2]。

当同学们已经学习了高等数学、线性代数及概率论与数理统计几门数学基础课程后，已经具备一定的数学基本理论基础及数学素养，具备了一定的运用数学理论分析问题、归纳问题、解决问题的基本能力。

复变函数理论一方面为学生向更深层次的数学理论的学习做好铺垫，另一方面也可以为其它数学理论提供一种重要的解析工具，工科学生将来的学习、科研、计算都离不开诸多的解析理论和变换理论，所以复变函数与积分变换课程对于工科学生来说是分量很重的一门课程，它决定着学生将来专业基础课程的学习效果。

然而，复变函数与积分变换课程的内容相对来讲比高等数学更加抽象，理解难度更大，所以传统的纯粹的板书教学方式已经远远不能适应学生的需要，不能反应时代特征，我们必须从教材、备课、授课、联系、复习等环节进行有效的改进以达到期望的教学效果，下面浅谈几点想法。

2 课程理论体系及教学现状复变函数与积分变换是以实变函数为基础发展起来的一门理论，基本理论与实变函数有着千丝万缕的联系，在相当一部分的定义、定理及性质都有相似的理论体系，所以因为实变函数课程只在数学本科专业的教学计划中有所体现，那么工科的同学在没有实变函数课程学习经历的情况下，如何学好复变函数与积分变换理论就是一个十分棘手的问题。