下载文档原格式
复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。
2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。
3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。
二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。
2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。
3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。
三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。
2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。
四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。
2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。
3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。
2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。
3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。
以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。
这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。
复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。
1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。
如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。
Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。
全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。
3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。
调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。
4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。
例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。
二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。
常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。
定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换总结第一章小结一、复数及运算1.复数及代数运算2复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积商的模等于模的积商，幅角等于幅角和差；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、复变函数1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法1参考一元实变函数的研究方法在0连续，且f00，证明必存在0的一个邻域，使得在此邻域内f0f02证明：设imff0，则对任意的0,存在0使得当0时ff0f02f02,因此f0ff02,所以f02转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1证明复数模的不等式关键步骤：1证明原不等式两端平方后的不等式2利用22.确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,满足的方程3确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,的方程；转化为关于r,将平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤：1写出wf对应的两个二元实变函数2的极限及连续性关键步骤：1将wf看成一些简单函数的运算2通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性3利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳复变函数复习重点一复数的概念1.复数的概念：i，,是实数,Re,Imi21注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2复数的表示1）模：22；2）幅角：在0时，矢量与轴正向的夹角，记为Arg（多值函数）；主值arg是位于,]中的幅角。
3）arg与arctan之间的关系如下：；当0,argarctan0,argarctan当0,0,argarctan；4）三角表示：coiin，其中arg；注：中间一定是“”号。
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x >arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同） 3） 对数函数：ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）； 主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLna ae a =≠；(0)bbLnzze z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+====sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同） 4） 双曲函数,22z z z ze e e e shz chz ---+==； shz奇函数，chz是偶函数。
,shz chz在z平面内解析，且()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：()0f z '=()()000limz f z z f z z∆→+∆-∆；2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D内可微，且满足C D-条件：,u vu v x yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：()()1lim nk k c n k f z dz f z ξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质 1） ()()1c cf z dz f z dz -=-⎰⎰（1c -与c 的方向相反）；2）()()()()[],,cccf zg z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数；3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12c c c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。
3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()c c c f z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c ：()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c f z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则① ()cf z dz ⎰()1,knk c f z dz ==∑⎰ 其中c 与k c 均取正向；② ()0f z dz Γ=⎰，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -=所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则()()()212112(,)z zf z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D，0z 为c 内任意一点，则()()002c f z dz if z z z π=-⎰6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()()()0102(1,2)()!n n c f zidz f z n z z n π+==-⎰其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。
7．重要结论：12,010,()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰。
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 内解析，● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =⎰ ● c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 内不解析 ●曲线c 内仅有一个奇点：()()()()()0001022()!cn n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰（()f z 在c 内解析） ● 曲线c 内有多于一个奇点：()cf z dz ⎰()1knk c f z dz ==∑⎰（i c 内只有一个奇点k z ）或：()12Re [(),]nk k cf z dz i s f z z π==∑⎰（留数基本定理）●若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ϕ在D 内有二阶连续偏导数且满足22220x yϕϕ∂∂+=∂∂，(,)x y ϕ为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v为实部u 的共轭调和函数。
