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负二项分布参数负二项分布（Negative Binomial Distribution）是一种离散概率分布，适用于描述多次独立伯努利试验中，达到指定次数的成功所需要的独立伯努利试验次数的分布。
在本文中，我们将详细介绍负二项分布的定义、特征以及其在概率统计学中的应用。
负二项分布可以看作是几何分布的一个自然扩展。
几何分布描述的是在一系列独立伯努利试验中，第一次成功所需要的试验次数的分布。
而负二项分布则描述的是在一系列独立伯努利试验中，获得指定次数的成功所需要的试验次数的分布。
负二项分布的定义如下：设X为负二项分布的随机变量，n为成功的次数，p为每次试验成功的概率。
那么X会取到整数k的概率可以表示为：P(X=k) = C(k-1,n-1) * p^n * (1-p)^(k-n)，其中C(k-1,n-1)表示组合数。
负二项分布的期望值与方差的计算公式如下：E(X) = n/pVar(X) = n*(1-p)/p^2负二项分布的几个特征值可总结如下：1. 分布的值域为正整数集合，即X的取值只能是自然数。
2. 分布函数的形状呈现出右偏的特点，即大部分质量集中在较小的数值上。
3. 分布的均值与方差与分布参数n和p相关，当n固定时，p越大，均值越大；方差越小。
当p固定时，n越大，均值越大；方差越大。
负二项分布在概率统计学中有着重要的应用。
以下是几个负二项分布的典型应用场景：1. 在风险管理中，负二项分布可以用于描述某件事发生特定次数以后才出现成功或失败的风险概率。
例如，某公司希望在某个项目中获得10个以上的成功案例才视为成功，那么可以使用负二项分布来计算项目成功的风险。
2. 在金融领域，负二项分布可以用于描述某个事件发生特定次数以后再次发生的概率。
例如，某交易员交易股票，希望在10次交易中至少有2次赚钱，那么可以使用负二项分布来计算赚钱的概率。
3. 在医学领域，负二项分布可以用于描述治疗某种疾病所需的试验次数。
伽马分布和负二项分布的关系伽马分布和负二项分布是概率统计学中常见的两种分布形式。
它们在描述随机事件发生的概率分布以及在实际问题中的应用方面都具有重要意义。
尽管它们有一些相似之处，但也存在着一些差异。
下面将详细介绍伽马分布和负二项分布之间的关系及其特点。
伽马分布是一种连续概率分布，它描述了正实数上的随机变量的概率分布。
伽马分布的概率密度函数具有如下形式：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * x^(α-1) * e^(-x/β)其中，Γ(α)表示伽马函数，α和β是分布的两个参数。
伽马分布在很多实际问题中都有广泛的应用，例如描述风险事件发生的时间间隔、可靠性分析以及金融建模等。
伽马分布的特点是具有正偏斜性，即分布的尾部向右延伸，同时具有一定的灵活性，可以通过调整参数来适应不同的数据分布。
负二项分布是一种离散概率分布，它描述了二项分布中成功次数的概率分布。
负二项分布的概率质量函数具有如下形式：P(X = k) = C(k+r-1, k) * p^r * (1-p)^k其中，X表示成功次数，k表示成功的次数，r表示失败的次数，p 表示成功的概率。
负二项分布常用于描述重复试验中，出现r次失败之前成功的次数。
负二项分布的特点是具有右偏斜性，即分布的尾部向右延伸，同时具有离散性，适用于描述离散的随机事件。
伽马分布和负二项分布之间的关系可以通过负二项分布的期望与伽马分布的参数之间的联系来描述。
负二项分布的期望为E(X) = r * (1-p) / p，而伽马分布的期望为E(X) = α * β。
通过比较两个期望的表达式可以得出：r * (1-p) / p = α * β这表明，在满足上述等式的条件下，负二项分布的期望与伽马分布的参数之间存在一种对应关系。
这种对应关系对于实际问题的建模和分析具有重要意义。
例如，在风险事件发生的时间间隔建模中，可以通过负二项分布的参数来确定伽马分布的参数，从而对风险事件的发生概率进行预测和分析。
泊松分布、负二项分布和曲线特征1. 引言在统计学和概率论领域，泊松分布和负二项分布是两个重要的概率分布。
它们在描述离散型随机变量的分布特征、事件发生的概率等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨泊松分布和负二项分布的定义、特征和应用，并对它们的曲线特征进行分析和讨论。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积等）内随机事件发生次数的概率分布。
在泊松分布中，随机事件的发生是相互独立的，并且在给定时间或空间内的发生概率是恒定的。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间内随机事件的平均发生次数，k为实际发生的次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 负二项分布负二项分布是描述进行一系列独立的伯努利试验，直到出现r次成功所需的试验次数的概率分布。
负二项分布与泊松分布不同，它描述的是成功次数而非事件发生次数。
负二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (k-1 choose r-1) * (p^r) * (1-p)^(k-r)其中，p为每次独立伯努利试验中成功的概率，r为成功的次数。
负二项分布的期望值为r/p，方差为r(1-p)/p^2。
4. 曲线特征泊松分布和负二项分布的曲线特征均落在离散型分布的范畴中。
泊松分布的概率质量函数呈现出一个单峰形态，随着λ的增大，峰值不断右移，分布变得更加集中；而负二项分布的形态则呈现出右偏的特点，随着成功次数r的增加，分布形态趋向于单峰。
在实际应用中，泊松分布常用于描述单位时间内随机事件的发生次数，如通信方式交换机接到的通信方式数、客户到达的数量等；而负二项分布则常用于描述成功次数的分布，如一次广告点击的次数、一次销售中获得的订单数等。
5. 总结与展望通过本文的讨论，我们对于泊松分布和负二项分布的定义、特征以及曲线特征有了更进一步的了解。
伽马分布和负二项分布的关系伽马分布和负二项分布是两种常见的概率分布，它们之间存在着密切的关系。
本文将从概率分布的定义、性质以及应用等方面，探讨伽马分布和负二项分布之间的关系。
我们来了解一下伽马分布和负二项分布的定义。
伽马分布是一种连续概率分布，它的概率密度函数为：$$f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\quad x>0$$其中，$\alpha$和$\beta$是分布的两个参数，$\Gamma(\alpha)$是欧拉伽马函数。
负二项分布是一种离散概率分布，它的概率质量函数为：$$P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k,\quad k=0,1,2,\cdots$$其中，$r$和$p$是分布的两个参数，$\binom{k+r-1}{k}$是组合数。
接下来，我们来探讨伽马分布和负二项分布之间的关系。
事实上，负二项分布可以看作是伽马分布的一种特殊情况。
具体来说，当伽马分布的参数$\alpha$为正整数时，它就可以表示为$r$次独立伯努利试验中成功$k$次的概率，即：$$P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k,\quad k=0,1,2,\cdots$$其中，$p=\frac{\beta}{\beta+1}$，$r=\alpha$。
这就是负二项分布的概率质量函数。
我们来看一下伽马分布和负二项分布的应用。
伽马分布在统计学中有着广泛的应用，例如用于描述连续随机变量的等待时间、寿命等。
而负二项分布则常用于描述离散随机变量的二项分布中成功次数的分布。
在实际应用中，我们可以通过伽马分布和负二项分布之间的关系，来更好地理解和应用这两种概率分布。
伽马分布和负二项分布之间存在着密切的关系。
负二项分布可以看作是伽马分布的一种特殊情况，它们在统计学中都有着广泛的应用。
对于学习和应用概率分布的人来说，了解伽马分布和负二项分布之间的关系，将有助于更好地理解和应用这两种概率分布。
负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用【摘要】给出了负二项分布的分解定理，进一步研究了负二项分布的有关性质及参数的无偏一致估计，以及在流行病学该分布的生物学意义。
【关键词】负二项分布；无偏一致估计；应用负二项分布是概率论中常用的重要的离散型随机分布，它在医学中主要用于聚集性疾病及生物、微生物、寄生虫分布模型等的研究。
具体地说，当个体间发病概率不相等可以拟合负二项分布，如单位人数内某传染病的发病人数，某地方病、遗传病的发病人数等，这些均可通过负二项分布进行处理。
本文从概率论的角度阐述负二项分布的性质及参数的最小方差无偏估计，并且以该分布在流行病学中应用为例证讨论了其生物学意义。
1 负二项分布的概率模型负二项分布又称帕斯卡分布（Pascal）,它有两种基本模型［1］：模型Ⅰ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，直到恰好出现r （指定的一个自然数）次成功所需试验次数X,则X的概率分布为：p(X=K)=πCr-1k-1πk-1(1-π)k-r=Cr-1k-1π-(1-π)k-rk=r,r+1 (1)模型Ⅱ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，试验进行到r次成功为止，记X为试验共进行的次数,则X 的概率分布为［3］：p(X=k)=Cr-1k+r-1πk(1-π)k k=0,1,2, (2)此分布的概率是πr(1-(1-π))-r 的幂级数展开式的项，负二项分布由此而得名记作 X～f(k,r,π) ，或 X～NB(r,π)一个重要的特例是 r=1。
这时（2）成为p(X=k)=π(1-π)k k=0,1,2, (3)称为几何分布。
2 性质特征为研究负二项分布的性质，我们先给出一个重要的结论：引理：设X～NB(r,π)，则其特征函数为ψx(t)=πr(1-(1-π)eit)-r 证明：ψx(t)=E（eitx)=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr(1-π)i eitr=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr((1-π) e)rti=πr∑∞i=0Cr-1i+r-1((1-π) ert)i=πr(1-(1-π)eit)-r定理1 设: X1,X2,…,Xr（3）的iid样本，如果X=∑ri=1Xi, 则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)证明：因为X1，X2，…，Xr独立同分布，又有引理知X=∑ri=1Xi 的特征函数为：φ(t)=πr(1-(1-π) eit)-r=πr∑∞k=0(-r)(-r01)…(-r-k+1)k! ((1-π) eit)k(-1)keitr=πr∑∞k=0(r+k-1)!(r-1)!k! (1-π)k eit(k+1)=∑∞k=0πr(1-π)k eit(k+r) Cr-1r+k-1这正是 p(X=k)=Cr-1r+k-1(1-π)k 的概率分布则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)定理2 设：X=X1,X2,…,Xn)是（1）的iid样本，则T（X）=∑ni=0Xi～NB(nr,π),则有p(T=k)=Cnr-1k-1πnr(1-π)k-nr k=nr,nr+1, (4)证明：设ξ的特征函数为f(t) ，那么f(t)=∑∞x=reitxCr-1N-1πN(1-π)N-r =πeit1-(1-π)eitr因为x是ξ的iid样本，所以Xi 的特征函数fi(t)=f(t),i=1,2,…,n 有特征函数的性质得T的特征函数为:∏ni=1fi(t)πeit1-(1-π)eitr由于特征函数与概率分布唯一对应，所以T～f(k,nr,π) ，其概率分布便是（4）。
概率分布公式速查手册指数分布伽玛分布与负二项分布概率分布公式速查手册：指数分布、伽玛分布与负二项分布一、指数分布指数分布是一种连续概率分布，常用于描述事件发生的间隔时间。
在统计学和随机过程中广泛应用。
下面是指数分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）：1. 指数分布的概率密度函数（PDF）：f(x) = λ * e^(-λx)，x >= 0，λ > 02. 指数分布的累积分布函数（CDF）：F(x) = 1 - e^(-λx)，x >= 0，λ > 0二、伽玛分布伽玛分布是一种连续概率分布，常用于描述正数或非负数的概率模型，如表示事件持续时间、发生次数等。
以下是伽玛分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）：1. 伽玛分布的概率密度函数（PDF）：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * x^(α-1) * e^(-x/β)，x >= 0，α > 0，β > 0其中，Γ(α)表示伽玛函数。
2. 伽玛分布的累积分布函数（CDF）：F(x) = (1 / Γ(α)) * γ(α, x/β)，x >= 0，α > 0，β > 0其中，γ(α, x/β)表示下不完全伽玛函数。
三、负二项分布负二项分布也被称为帕斯卡分布或几何分布。
它描述在一系列独立的伯努利试验中，直到第r次成功为止，所需的失败次数。
以下是负二项分布的概率质量函数（PMF）和累积分布函数（CDF）：1. 负二项分布的概率质量函数（PMF）：P(x) = C(x-1, r-1) * p^r * (1-p)^(x-r)，x = r, r+1, ...其中，C(x-1, r-1)表示组合数。
2. 负二项分布的累积分布函数（CDF）：F(x) = 1 - I_p(x - r + 1, r)，x = r, r+1, ...其中，I_p表示正则化不完全贝塔函数。
第四周常见随机变量这一周我们介绍几种常见的随机变量。
我们希望能够从各种随机变量产生的机理角度进行说明，从而使它们的性质展开更加自然，同时也能更深入地理解它们之所以常见的内在原因。
本周学习的分布包括：二项分布，负二项分布，泊松分布，几何分布，指数分布，正态分布。
************************************************************4.1二项分布与负二项分布伯努利（Bernoulli）试验一个随机试验只有“成功”和“失败”两种可能的结果，其中出现“成功”的概率为()01p p <<，则称此随机试验为一个参数为p 的伯努利试验。
由参数为p 的伯努利试验定义一个随机变量X ，,,10X ⎧=⎨⎩伯努利试验成功否则则称X 是参数为p 的伯努利随机变量，或称X 服从参数为p 的伯努利分布。
************************************************************例4.1.1抛一颗均匀色子，如果出现偶数点称为试验“成功”，出现奇数点为试验“失败”，则随机变量,,,10X ⎧=⎨⎩抛出的点数为偶数抛出的点数为奇数.是一个参数为12p =的伯努利随机变量。
************************************************************************二项分布将参数为p 的伯努利试验独立地重复n 次，定义随机变量X 为试验成功的次数，则X 的分布律为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n kp p p p p n k 210210，其中()k p P X k ==k n C =()1n k k p p --,0,1,,k n = 。
此分布即称为二项分布，记为()~,X B n p ，也称X 服从参数为(),n p 的二项分布。
利用二项式定理可验证：()()00111n n n n k k k k n k k p C p p p p -===-=+-=⎡⎤⎣⎦∑∑，************************************************************例4.1.2甲、乙两棋手约定进行10局比赛，每局棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率为0.4。
负二项分布离散型随机变量的分布特性负二项分布是概率论中常见的离散型随机变量分布，用来描述重复进行独立的二项试验，直到出现一定数量的成功次数的情况。
在负二项分布中，我们关注的是达到指定数量的成功之前，所需进行的试验次数。
1. 定义负二项分布是定义在非负整数集上的概率分布。
设X为负二项分布随机变量，n为进行试验的次数，p为每次试验成功的概率，则X的概率函数为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中C(k-1, r-1)为组合数，表示从k-1个试验中选出r-1次成功的组合方式，r为所需达到的成功次数。
2. 期望和方差负二项分布的期望和方差可以通过分布的定义计算得到。
期望E(X) = r/p，在进行试验的每一次中，成功的期望次数为1/p。
方差 Var(X) = r(1-p)/p^2，每次成功或失败的结果都是独立的，因此方差为r(1-p)/p^2。
3. 特性3.1. 概率质量函数的性质负二项分布的概率质量函数具有如下性质：- P(X=k) ≥ 0，对于任意的k ≥ r；- ΣP(X=k) = 1，其中Σ表示求和运算，和为从r到∞的所有概率之和。
3.2. 概率累积函数的性质负二项分布的概率累积函数是指随机变量取值小于等于某个值的概率，可以通过对概率质量函数进行累积得到。
- F(X=k) = P(X≤k) = ΣP(X=i)，其中i为从r到k的整数。
- 概率累积函数是递增的，即F(X=k)≤F(X=k+1)。
3.3. 随机变量的取值范围负二项分布随机变量X的取值范围为正整数集合{r, r+1, r+2, ...}，表示达到所需成功次数之前的试验次数。
3.4. 与二项分布的关系负二项分布可以看作是二项分布的推广形式。
在二项分布中，我们关注在指定次数的试验中成功的次数，而在负二项分布中，我们关注在达到指定成功次数之前所需进行的试验次数。
4. 应用负二项分布在实际问题中具有广泛的应用，例如：- 在市场调研中，我们可能需要进行多次问卷调查才能达到一定的有效样本量；- 在质量控制中，我们可能需要进行多次检验才能发现一定数量的次品；- 在客户服务中，我们可能需要进行多次电话沟通才能达到一定数量的满意反馈。
负二项分布例子
以下是 8 条关于负二项分布的例子：
1. 你想想看，就像投篮比赛中，某个球员一直投不进，哎呀，那连续失手的情况不就是负二项分布吗？比如小明投篮，连续十几次都没进呢！
2. 嘿，你知道吗？就好比抽奖，一直抽不到想要的奖品，一次次地尝试却总是失败，这不是很像负二项分布嘛！像小张一直抽奖都不中，真让人着急！
3. 你说像下雨的日子，一直等着雨停，可这雨就是不停地下，这是不是可以理解为负二项分布呀？就像那次我们出去玩，雨一直下，可烦死啦！
4. 想想看，连续生病的状况啊，哎呀，总是好不起来，这和负二项分布也挺像的吧！我有个朋友前段时间就一直生病，可愁人了！
5. 这不就跟打游戏老是输一样嘛，一盘接着一盘地输，这难道不是负二项分布在作祟？我上次玩游戏就一直输，气死我了！
6. 你看哦，就像等公交车，等了一辆又一辆都不是自己要坐的，这多像负二项分布啊！我昨天等公交等得都要发飙了！
7. 好比找东西，怎么找都找不到，一次又一次地落空，这跟负二项分布也很契合呢！我之前找钥匙找得我都要崩溃啦！
8. 哎呀呀，就像考试一次次不及格，连续的打击，这简直就是负二项分布的真实写照嘛！我以前有个同学经常考试不及格，那叫一个郁闷！
我的观点结论就是：生活中好多这样类似负二项分布的情况，真的是让人又无奈又感慨呀！。
负二项分布抽样中的患病率无偏估计李宝月/金欢/罗剑锋/姜庆五/赵耐青【内容提要】目的本次研究以第三次全国血吸虫病流行病学调查为背景～对其部分抽样过程进行计算机模拟～采用负二项分布抽样方法～得到感染率的无偏估计～并与传统的抽样方法比较～综合评价两种抽样方法的优缺点。
方法分别在样本量相同及样本量不同两种情况下对抽样结果估计感染率的绝对误差、相对误差及正确率作统计学描述分析～并综合评价。
结果在相同样本量下～两种抽样方法估计的感染率在绝对误差、相对误差、正确率及可信区间宽度方面差别的P值均大于0.05,当感染率为0.6%时～两者的正确率及可信区间宽度差别P值接近0.05,,在样本量不同时～两种抽样方法估计的感染率在正确率方面差异无统计学意义(P值均大于0.05)～在绝对误差、相对误差及可信区间方面差别的P值均小于0.01～仅在感染率较高时,大于10%,两者差异无统计学意义。
结论在样本量一致情况下～两种抽样方法在不同的感染率范围内的估计精度相当。
当实际感染率较小时,如小于1%,～采用负二项分布抽样可实现抽到足够的患者,当实际感染率未知且无法预测时～该方法又是一种探索性的抽样方法。
【关键词】负二项分布/血吸虫感染率/随机模拟一、研究背景卫生部分别于1989、1995和2004年开展了第一、二、三次全国血吸虫病流行病学抽样调查，为防治规划提供了科学依据。
第三次全国血吸虫病抽样调查，采取分层、整群、随机抽样方法，在抽样范围内抽取样本村作为调查点。
抽样范围:湖北、湖南、江西、安徽、江苏、四川和云南七省中，未达到传播阻断标准乡镇的所有流行村。
第一亚层:在抽样范围内，根据流行类型划分为8个不同层次:湖沼型流行区湖汊亚型、洲滩亚型，洲垸亚型、垸内亚型，水网型流行区水网亚型，山丘型流行区丘陵亚型、高山峡谷亚型、平坝亚型。
第二亚层:在第一亚层的基础上，根据流行区县(市、区)血防所(站)的最近一次查病结果、钉螺分布现状以及多年血防信息的感染率粗略预估计，将各流行村的居民血吸虫估计感染率分为,1%、1%,、5%,、10%,等4个层次。
负二项分布
负二项分布（Negative binomial distribution）是统计学上一种描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数达到指定次数（记为r）时失败次数的离散概率分布。
比如，如果我们定义掷骰子随机变量x值为x=1时成功，所有x≠1为失败，这时我们反复掷骰子直到1出现3次（成功次数r=3），此时非1数字出现次数的概率分布即为负二项分布。
帕斯卡分布（Pascal distribution，来自布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal)）和波利亚分布（Polya distribution，又称罐子模型，来自乔治·波利亚(George Pólya)）均是负二项分布的特例。
在工程、气候等领域中经常用“负二项分布”或“帕斯卡分布”来描述变量r为整数的情况，而使用“波利亚分布”来描述r取到实数值R的情况。
对于“相关的离散事件”（"associated discrete events"）的发生，例如龙卷风爆发，相比于泊松分布，波利亚分布由于允许其平均值和方差不同，而能够给出更精确的模型。
在流行病学中，它已被用于模拟传染病的疾病传播，其中可能的继发感染数量可能因个体和环境而异[1]。
更一般地说，由于正协方差项，事
件具有正相关的事件导致比独立事件更大的方差可能是合适的。
“负二项分布”与“二项分布”的区别在于：“二项分布”是固定试验总次数N的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到r次成功时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。
负二项分布概率最大值的性质丁勇【摘要】The character of probability maximum value for negative binomial distribution was explored. The probability maximum value for negative binomial distribution was a function of p and r, where p was the probability of success for each test, and r was the number of the first successful test. It was a mono-tonically increasing continuous function of p when r was given,only (r-1)/p was a integer, its derivative did not exist, and a monotone decreasing function of r when p was given.%负二项分布概率的最大值是每次试验成功的概率p和首次试验成功次数r的函数。
对确定的r,该函数是p的单调上升的连续函数,仅当(r-1)/p是整数时不可导；对确定的p,该函数是r 的单调下降函数。
【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(048)003【总页数】5页(P47-50,56)【关键词】负二项分布;概率最大值;单调性【作者】丁勇【作者单位】南京医科大学康达学院数学与计算机教研室江苏连云港222000【正文语种】中文在伯努利实验的家族中，作为几何分布的一种延伸，负二项分布是重要的离散型分布之一，在排队论、可靠性以及群团型生态格局分布等方面有着重要的应用[1-3]，有关该分布的理论和应用研究已取得很多成果[4-10].本文对负二项分布概率最大值的性质进行讨论，使我们对负二项分布有更深入的认识和理解.在独立重复贝努里试验中，第r次成功的试验次数X是个随机变量，其一切可能值是r，r+1，……，X的概率分布称为负二项分布，且有[10〗这里p为每次试验成功的概率.负二项分布也称为巴斯卡分布，当r=1时成为几何分布.对确定的p，当r=1时，负二项分布的图形是下降的.当r>1时，负二项分布的图形先上升，后下降.图1为p=0.6、r=5时负二项分布的图形.已知+1时(这里[]表示向下取整)[5]，Pr(X=k)有最大值，记为Pmax，它是一个关于r和p的二元函数.固定r或p，则Pmax是一个关于p或r的一元函数，分别记为(p)和(r)，本文对这两个函数的性质进行研究.下面讨论中，α～β表示=1.图2是r=10时(p)的图形，由图2可观察到，(p)是一条有尖点的单调上升的连续曲线，性质(p)是单调上升的连续函数，且 (p)=1.当不是整数时，是可导函数，记，则,当是整数时，是不可导函数.证明记.先考虑t>0的情况，取Δp充分小-p)，使，即当p有微小改变时，k不变，从而，故.由于t>0，所以，从而kp<r-1+p<r，即再考虑t=0的情况，此时+1，从而k-1>r-1.先取Δp充分小,，使，类似于上面证明可得，且再取Δp充分小，使，，所以=0且pr-2(1-p)k-r-1>0，从而当是整数时，，所以此时是不可导函数.由于无论哪种情况都有的极限为0和的极限大于0，所以(p)是单调上升的连续函数.当r=1时，，显然有(p)=1.当r>1时，因为，故当p→0时，∞.当n→∞时，根据斯特林公式可得，由于，根据罗必塔法则可得：.所以.令，当p→1时，ε→0，取，由于，所以当p→1时，k=r，故有.的性质性质2 记，则m≥1,当时，1≤m≤2.证明，当时，.性质3 对确定的,即负二项分布的概率最大值是r的单调下降函数，且不超过p. 证明由于，故当r→∞时，，根据斯特林公式.由于，再根据第二个重要极限，,所以.再证，记kr+1-kr=m时，上述不等式为,化简得下面用归纳法对 (2)式进行证明.当m=1时，(2)式为p≤1，由于，故当m=1时，不等式成立.归纳假设不等式(2)成立，将m换作m+1，要证，根据归纳假设，即要证，即(kr+m)p≥r，由于，故不等式成立.本文就负二项分布概率最大值的问题进行了探讨，发现了负二项分布概率最大值的二元分布图(图3)，相邻两个最大值之差的图形，呈现出震荡的、振幅不断变大的趋势(图4).负二项分布概率最大值是p的连续函数，且在可数个点不可导，其值随着p的增加而增加(图3)、随着r的增加而减少(图3)，当r增加1个单位时，极大值点右移，至少右移一个单位，当≤p≤1时，极大值点最多右移2个单位.【相关文献】[1] 蒋仁言，左明健著．可靠性模型与应用[M]．北京：机械工业出版社，1999．[2] 田乃硕．休假随机服务系统[M]．北京：北京大学出版社，2001．[3] 陈峰，杨树勤．论负二项分布的应用条件[J]．中国卫生统计， 1995，4：21-22．[4] 周源泉，李宝盛. 预定成功数的负二项分布预测[J].质量与可靠性，2013 (1)：1-8．[5] 何春. 负二项分布概率的最大值点[J]. 生物数学学报,2011，26(1)：160-162[6] GUPTA R C，ONG S H．A new generalization of the negative binomial distribution[J] ．Computational statistics and data analysis,2003， 45(2)：287-300．[7] 牛燕影，王增富，田乃硕．负二项分布类的条件概率封闭性[J]．数学理论与应用，2005，25(3)：101-103.[8] 熊加兵，陈光曙. 负二项分布随机变量的分解定理[J]. 大学数学， 2008，24(1)：108-110.[9] 王新利，陈光曙. 几何分布和负二项分布高阶矩的递推公式[J]. 高等数学研究，2011，14(2)：15-16.[10]康殿统.负二项分布的两个不同定义[J].河西学院学报.2014，30(5)：22-30.。
